專(zhuān)題14 圓中的輔助線(xiàn)模型（解析版）

專(zhuān)題14.圓中的輔助線(xiàn)模型在平面幾何中，與圓有關(guān)的許多題目需要添加輔助線(xiàn)來(lái)解決。百思不得其解的題目，添上合適的輔助線(xiàn)，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解，思路暢通，從而有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。添加輔助線(xiàn)的方法有很多，本專(zhuān)題通過(guò)分析探索歸納八類(lèi)圓中常見(jiàn)的輔助線(xiàn)的作法。模型1、遇弦連半徑（構(gòu)造等腰三角形）【模型解讀】已知AB是⊙O的一條弦，連接OA，OB，則∠A＝∠B．在圓的相關(guān)題目中，不要忽略隱含的已知條件。當(dāng)我們要解決有關(guān)角度、長(zhǎng)度問(wèn)題時(shí)，通?？梢赃B接半徑構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理及圓中的相關(guān)定理，還可連接圓周上一點(diǎn)和弦的兩個(gè)端點(diǎn)，根據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角，解決角度或長(zhǎng)度的計(jì)算問(wèn)題例1．（2023·陜西初三一模）如圖，已知△ABC是圓O的內(nèi)接三角形，AB＝AC，∠ACB＝65°，點(diǎn)C是弧BD的中點(diǎn)，連接CD，則∠ACD的度數(shù)是【答案】15°【分析】如圖，連接AO，BO，CO，DO，由等腰三角形的性質(zhì)可求∠ABC＝∠ACB＝65°，∠BAC＝50°，由圓周角定理可求∠AOC＝2∠ABC＝130°，∠BOC＝2∠BAC＝100°，可求∠AOD＝30°，即可求解．【解析】如圖，連接AO，BO，CO，DO，∵AB＝AC，∠ACB＝65°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，∴∠BAC＝50°，∴∠AOC＝2∠ABC＝130°，∠BOC＝2∠BAC＝100°，∵點(diǎn)C是弧BD的中點(diǎn)，∴，∴∠BOC＝∠COD＝100°，∴∠AOD＝30°，∵∠AOD＝2∠ACD，∴∠ACD＝15°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角、圓心角、弧的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例2.（2022?南召縣中考模擬）如圖，⊙O的直徑AB與弦CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，則∠E等于（）A．42° B．28° C．21° D．20°【分析】利用OB＝DE，OB＝OD得到DO＝DE，則∠E＝∠DOE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠1＝∠DOE+∠E，所以∠1＝2∠E，同理得到∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，然后利用∠E=13∠【解答】解：連結(jié)OD，如圖，∵OB＝DE，OB＝OD，∴DO＝DE，∴∠E＝∠DOE，∵∠1＝∠DOE+∠E，∴∠1＝2∠E，而OC＝OD，∴∠C＝∠1，∴∠C＝2∠E，∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，∴∠E=13∠AOC=13×84【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)：掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．例3．（2023·重慶九年級(jí)一模）如圖，⊙O1的半徑是⊙O2的直徑，⊙O1的半徑O1C交⊙O2于B，若的度數(shù)是48°，那么的度數(shù)是______．【答案】24°【分析】連接，得到等腰，結(jié)合已知條件求解，從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接的度數(shù)是48°，的度數(shù)是故答案是：【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，弧的度數(shù)等于它所對(duì)的圓心角的度數(shù)，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．例4．（2023年山東省淄博市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，，，是邊上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若，，則的半徑為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】連接,∵,∴∴,∵,∴是等邊三角形,∴,

∵，,∴,，∴,∵,，，即的半徑為，故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)度量是解題的關(guān)鍵.模型2、遇弦作弦心距（解決有關(guān)弦長(zhǎng)的問(wèn)題）【模型解讀】已知AB是⊙O的一條弦，過(guò)點(diǎn)OE⊥AB，則AE＝BE，OE2+AE2=OA2。在圓中，求弦長(zhǎng)、半徑或圓心到弦的距離時(shí)，常添加弦心距，或作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過(guò)弦的端點(diǎn)的半徑。利用垂徑定理、圓心角及其所對(duì)的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系、弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量。一般有弦中點(diǎn)、或證明弦相等或已知弦相等時(shí)，常作弦心距。例1．（2023年湖南省永州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是一個(gè)盛有水的容器的橫截面，的半徑為．水的最深處到水面的距離為，則水面的寬度為．

【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，依題意，得出，進(jìn)而在中，勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，

∵水的最深處到水面的距離為，的半徑為．∴，在中，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．例2．（2023年四川省廣安市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，內(nèi)接于，圓的半徑為7，，則弦的長(zhǎng)度為．

【答案】【分析】連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，先根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)等腰三角形的三線(xiàn)合一可得，，然后解直角三角形可得的長(zhǎng)，由此即可得．【詳解】解：如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

，，，，，∵圓的半徑為7，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、解直角三角形、等腰三角形的三線(xiàn)合一，熟練掌握?qǐng)A周角定理和解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．例3．（2021·湖北中考真題）筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車(chē)的工作原理，如圖1，筒車(chē)盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心為圓心的圓，如圖2，已知圓心在水面上方，且被水面截得的弦長(zhǎng)為6米，半徑長(zhǎng)為4米．若點(diǎn)為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)到弦所在直線(xiàn)的距離是（）

A．1米 B．米 C．2米 D．米【答案】B【分析】連接OC交AB于D，根據(jù)圓的性質(zhì)和垂徑定理可知OC⊥AB，AD=BD=3，根據(jù)勾股定理求得OD的長(zhǎng)，由CD=OC﹣OD即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意和圓的性質(zhì)知點(diǎn)C為的中點(diǎn)，連接OC交AB于D，則OC⊥AB，AD=BD=AB=3，在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，∴OD===，∴CD=OC﹣OD=4﹣，即點(diǎn)到弦所在直線(xiàn)的距離是（4﹣）米，故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解答的關(guān)鍵．例4．（2023·廣東廣州·九年級(jí)?？甲灾髡猩┤鐖D所示，圓的直徑與弦相交于點(diǎn)．已知圓的直徑，，則的值是（

）A． B．8 C． D．4【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)作，于點(diǎn)，連接，根據(jù)題意可得，進(jìn)而根據(jù)垂徑定理，有，進(jìn)而將轉(zhuǎn)化為，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，于點(diǎn)，連接，則，∵∴，∵∵∴∴故選：B．【點(diǎn)睛】考查垂徑定理，等腰直角三角形的性質(zhì)等，把式子進(jìn)行變形是解題的關(guān)鍵.模型3、遇求角可構(gòu)造同弧的圓周角（圓心角）【模型解讀】如圖，已知A、B、P是⊙O上的點(diǎn)，點(diǎn)C是圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC、BC，則∠ACB=∠AOB。例1．（2023·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的外接圓，若，則（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，首先根據(jù)圓周角定理得到，然后利用半徑相等得到，然后利用等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】如圖所示，連接，

∵，，∴，∵，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半，等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．例2．（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，且∠ACB=100o，則∠α度數(shù)為（

）A．160o B．120o C．100o D．80o【答案】A【分析】在⊙O取點(diǎn)，連接利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與一條弧所對(duì)的圓心角是它所對(duì)的圓周角的2倍，可得答案．【詳解】解：如圖，在⊙O取點(diǎn)，連接四邊形為⊙O的內(nèi)接四邊形，．故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，同弧所對(duì)的圓心角是它所對(duì)的圓周角的2倍，掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．例3．（2022春·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，內(nèi)接于，，，則的半徑為（

）

A．4 B．8 C． D．【答案】C【分析】連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，連接，根據(jù)是的直徑得到，進(jìn)而求出，根據(jù)勾股定理求出，即可得到的半徑．【詳解】解：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，連接，∵是的直徑，∴，∵，，∴，∴，∴，∴的半徑為，故選：C．

【點(diǎn)睛】此題考查圓周角定理，勾股定理，根據(jù)角的正切值求線(xiàn)段，正確連出輔助線(xiàn)解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵．例4．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的兩條弦，D，G分別為的中點(diǎn)，的半徑為2．若，則的長(zhǎng)為（

）

A．2 B． C． D．【答案】D【分析】連接，圓周角定理得到，勾股定理求出，三角形的中位線(xiàn)定理，即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：連接，

∵的半徑為2．，∴，∴，∵D，G分別為的中點(diǎn)，∴為的中位線(xiàn)，∴．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理和三角形的中位線(xiàn)定理．熟練掌握相關(guān)定理，并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵．模型4、遇直徑作直徑所對(duì)的圓周角（構(gòu)造直角三角形）【模型解讀】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)，連接AC、BC，則∠ACB=90o。如圖，當(dāng)圖形中含有直徑時(shí)，構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角是解問(wèn)題的重要思路，在證明有關(guān)問(wèn)題中注意90o的圓周角的構(gòu)造。例1．（2023·遼寧營(yíng)口·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，是的直徑，弦交于點(diǎn)E，連接，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖所示，連接，先由同弧所對(duì)的圓周角相等得到，再由直徑所對(duì)的圓周角是直角得到，則．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，∴，∵是的直徑，∴，∴，故選D．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了同弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角是直角，正確求出的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．例2．（2022春·廣東廣州·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，弦的長(zhǎng)為10，圓周角，則這個(gè)圓的直徑為．

【答案】【分析】連接，根據(jù)勾股定理和圓周角定理的推論即可求解．【詳解】連接，∵，∴，∵直徑，∴，∵，∴．故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考考查圓周角定理和勾股定理，掌握直徑所對(duì)的圓周角是直角是解題的關(guān)鍵例3．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)在斜邊上，以為直徑的半圓與相切于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，連接．若，，則的長(zhǎng)是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，，首先根據(jù)勾股定理求出，然后證明出，利用相似三角形的性質(zhì)得到，，證明出，利用相似三角形的性質(zhì)求出．【詳解】如圖所示，連接，，

∵，，，∴，∵以為直徑的半圓與相切于點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，即，∴解得．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了圓與三角形綜合題，切線(xiàn)的性質(zhì)定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．模型5、遇90°的圓周角連直徑【模型解讀】如圖，已知圓周角∠BAC=90o，連接BC，則BC是⊙O的直徑。遇到90°的圓周角時(shí)，常連接兩條弦沒(méi)有公共點(diǎn)的另一端點(diǎn)，得到直徑。利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑。例1．（2022·遼寧營(yíng)口·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在上，，則的長(zhǎng)為（

）A． B．8 C． D．4【答案】A【分析】連接，根據(jù)可得為的直徑，又根據(jù)得到，故在直角三角形中，利用特殊角的三角函數(shù)即可求出．【詳解】解：連接，，，為的直徑，，，在中,，．.故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理，解三角形，解題的關(guān)鍵是掌握公式、定理。例2．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考二模）如圖，半徑為的經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)，B是y軸左側(cè)優(yōu)弧上一點(diǎn)，則為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，連接，如圖，則，根據(jù)圓周角定理和勾股定理求出，然后根據(jù)求解即可.【詳解】解：設(shè)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，連接，如圖，則，∵，∴是的直徑，∵的半徑為，∴，∵，∴，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理可得：，∴；故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、三角函數(shù)和勾股定理等知識(shí)，屬于?？碱}型，正確添加輔助線(xiàn)、靈活應(yīng)用轉(zhuǎn)化的思想是解題的關(guān)鍵.例3．（2022·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）家具廠(chǎng)利用如圖所示直徑為1米的圓形材料加工成一種扇形家具部件，已知扇形的圓心角∠BAC＝90°，則扇形部件的面積為（

）A．米2 B．米2 C．米2 D．米2【答案】C【分析】連接，先根據(jù)圓周角定理可得是的直徑，從而可得米，再解直角三角形可得米，然后利用扇形的面積公式即可得．【詳解】解：如圖，連接，，是的直徑，米，又，，（米），則扇形部件的面積為（米2），故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、解直角三角形、扇形的面積公式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握?qǐng)A周角定理和扇形的面積公式是解題關(guān)鍵．模型6、遇切線(xiàn)連圓心和切點(diǎn)（構(gòu)造垂直）【模型解讀】如圖，已知直線(xiàn)AB連與圓O相切于點(diǎn)C，連接OC，則OC⊥AB。AABCO已知圓的切線(xiàn)時(shí)，常把切點(diǎn)與圓心連接起來(lái)，得半徑與切線(xiàn)垂直，構(gòu)造直角三角形，再利用直角三角形的有關(guān)性質(zhì)解題。例1．（2022·黑龍江哈爾濱·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，如圖，、分別切于點(diǎn)、，點(diǎn)為優(yōu)弧上一點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】要求的度數(shù)，只需根據(jù)圓周角定理構(gòu)造它所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角，即連接，；再根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)以及四邊形的內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】

解：連接，∵、分別切于點(diǎn)、，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查切線(xiàn)的性質(zhì)，圓周角定理，以及四邊形的內(nèi)角和，熟練掌握切線(xiàn)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．例2．（2023·湖北武漢·九年級(jí)統(tǒng)考自主招生）如圖，在中，，點(diǎn)在上，以點(diǎn)為圓心，為半徑的剛好與相切，交于點(diǎn)．若，則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作于，如圖，設(shè)的半徑為，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得，再在中利用正切定義得到，在中利用勾股定理得到，然后證明，則利用相似比得到，再解方程求出后計(jì)算的面積．【詳解】解：作于，如圖，設(shè)的半徑為，為切線(xiàn)，，在中，，，，在中，，，，，即解得，的面積．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)：圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑；若出現(xiàn)圓的切線(xiàn)，則作垂線(xiàn)得到半徑．解決本題的關(guān)鍵是用半徑表示、，然后利用相似比得到關(guān)于半徑的方程．例3．（2023秋·廣東·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，點(diǎn)是半徑為的外一點(diǎn)，，分別切于，點(diǎn)，若是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連結(jié)、，，根據(jù)切線(xiàn)的定理得，，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知，最后利用勾股定理即可解答．【詳解】解：連結(jié)、、，則，∵是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，∴，，∵，分別切于，點(diǎn)，∴，，∴，平分，∴，∴，∴，∴在中，，∴，故選：．

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，切線(xiàn)的性質(zhì)定理，切線(xiàn)長(zhǎng)定理，直角三角形中角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理，正確地作出所需要的輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．模型7、證明切線(xiàn)的輔助線(xiàn)（證垂直或直角）【模型解讀】證明直線(xiàn)AB是⊙O的切線(xiàn).ABABCO遇到證明某一直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)時(shí)：（1）有點(diǎn)連圓心：當(dāng)直線(xiàn)和圓的公共點(diǎn)已知時(shí)，聯(lián)想圓的切線(xiàn)的判定定理，只要將該店與圓心連接，再證明該直徑與直線(xiàn)垂直。如圖，已知過(guò)圓上一點(diǎn)C的直線(xiàn)AB，連接OC，證明OC⊥AB，則直線(xiàn)AB是⊙O的切線(xiàn)．（2）無(wú)點(diǎn)作垂線(xiàn)：需證明的切線(xiàn)，條件中沒(méi)有告知與圓之間有交點(diǎn)，則聯(lián)想切線(xiàn)的定義，過(guò)圓心作該直線(xiàn)的垂線(xiàn)，證明圓心到垂足的距離等于半徑。如圖，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB，證明OC等于⊙O的半徑，則直線(xiàn)AB是⊙O的切線(xiàn)．例1．（2023年四川省攀枝花市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，為的直徑，如果圓上的點(diǎn)恰使，求證：直線(xiàn)與相切．

【答案】見(jiàn)詳解【分析】由等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理得出，則，再由切線(xiàn)的判定即可得出結(jié)論．【詳解】證明：如圖，連接，，，為的直徑，，，，，即，，是的半徑，直線(xiàn)與相切．

【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的判定、圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握?qǐng)A周角定理和切線(xiàn)的判定是解題的關(guān)鍵．例2．（2023秋·福建福州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，，，的直徑為6．求證：直線(xiàn)是的切線(xiàn)．

【答案】見(jiàn)解析【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)三線(xiàn)合一和勾股定理求出的長(zhǎng)，即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，，∴，∴，∵的直徑為6，∴為的半徑，又，∴直線(xiàn)是的切線(xiàn)．【點(diǎn)睛】本題考查切線(xiàn)的判定．熟練掌握切線(xiàn)的判定方法，是解題的關(guān)鍵．例3．（2023年遼寧省阜新市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)C，D是上異側(cè)的兩點(diǎn)，，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，且平分．

(1)求證：是的切線(xiàn)．(2)若，，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)，得出．根據(jù)平分，得出，則．根據(jù)得出，進(jìn)而得出，即可求證；（3）連接，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)F，通過(guò)證明為等邊三角形，得出，．求出．最后根據(jù)即可求解．【詳解】（1）解：連接，∵，∴．∵平分，∴，∴．∵，∴，∴，即，∴是的切線(xiàn)．（2）解：連接，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)F，∵，∴．∵，，∴為等邊三角形，∴，．∵，，，∴．∴．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線(xiàn)的判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，求扇形面積，解題的關(guān)鍵是掌握經(jīng)過(guò)半徑外端切垂直于半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)；扇形面積公式．例4．（2023年遼寧省鞍山市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，過(guò)點(diǎn)D作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，連接．若．

(1)求證：為的切線(xiàn)．(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)的半徑為【分析】（1）連接，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等，得到，等角的余角相等，得到，等邊對(duì)等角，得到，推出，得到，即可得證；（2）連接，推出，利用銳角三角函數(shù)求出的長(zhǎng)，設(shè)的半徑為，證明，列出比例式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）證明：連接，

∵，，∴，∵為的直徑，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即：，又為的半徑，∴為的切線(xiàn)；（2）連接，則：，

∵為的直徑，∴，∴，∴，在中，，，∴，設(shè)的半徑為，則：，∵，∴，∴，即：，∴；∴的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查圓與三角形的綜合應(yīng)用，重點(diǎn)考查了切線(xiàn)的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)．題目的綜合性較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵．模型8、遇三角形的內(nèi)切圓，連內(nèi)心與頂點(diǎn)（切點(diǎn)）當(dāng)遇到三角形內(nèi)切圓，連接內(nèi)心到三角形各頂點(diǎn)，或連接內(nèi)心到各邊切點(diǎn)（或做垂線(xiàn)）。利用內(nèi)心的性質(zhì)可得一內(nèi)心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線(xiàn)是各角的平分線(xiàn)，內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。例1．（2020·青?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，則的內(nèi)切圓半徑．【答案】【分析】在中，，，，根據(jù)勾股定理可得，設(shè)的內(nèi)切圓與三條邊的切點(diǎn)分別為、、，連接、、，可得，，，可得矩形，再根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理可得，所以矩形是正方形，可得，所以，，進(jìn)而可得的內(nèi)切圓半徑的值．【詳解】解：在中，，，，根據(jù)勾股定理，得，如下圖，設(shè)的內(nèi)切圓與三條邊的切點(diǎn)分別為、、，連接、、，∴，，，可得四邊形為矩形，根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理，得，∴矩形是正方形，∴，∴，，∵，∴，解得，則的內(nèi)切圓半徑．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、切線(xiàn)長(zhǎng)定理以及勾股定理等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是理解并掌握三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、切線(xiàn)長(zhǎng)定理以及勾股定理．例2．（2023年四川省攀枝花市中考數(shù)學(xué)真題）已知的周長(zhǎng)為，其內(nèi)切圓的面積為，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得，，，由面積關(guān)系可求解．【詳解】解：如圖，設(shè)內(nèi)切圓與相切于點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，連接，，，，，，切于，，，，同理：，，，，，故選A【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，掌握內(nèi)切圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例3．（2023年湖北省潛江、天門(mén)、仙桃、江漢油田中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，的內(nèi)切圓與分別相切于點(diǎn)，，連接的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，則．

【答案】/度【分析】如圖所示，連接，設(shè)交于H，由內(nèi)切圓的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出，再由切線(xiàn)長(zhǎng)定理得到，進(jìn)而推出是的垂直平分線(xiàn)，即，則．【詳解】解：如圖所示，連接，設(shè)交于H，∵是的內(nèi)切圓，∴分別是的角平分線(xiàn)，∴，∵，∴，∴，∴，∵與分別相切于點(diǎn)，，∴，又∵，∴是的垂直平分線(xiàn)，∴，即，∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)切圓，切線(xiàn)長(zhǎng)定理，三角形內(nèi)角和定理，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定，三角形外角的性質(zhì)，正確作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)期中）如圖，為直徑，弦于點(diǎn)，，，則長(zhǎng)為（）

A．10 B．9 C．8 D．5【答案】A【分析】設(shè)的半徑為，則，根據(jù)垂徑定理求出，，在中，由勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【詳解】解：連接，

設(shè)的半徑為，則，，，，，在中，由勾股定理得：，，解得：，即，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出的長(zhǎng)和得出關(guān)于的方程，注意：垂直于弦的直徑平分這條弦．2．（2022·湖北武漢·?？家荒＃┤鐖D，是的直徑，D為上一點(diǎn)，A為的中點(diǎn)，于H并交于點(diǎn)E，若，，則的半徑長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，連接，由A為的中點(diǎn)，可得，由垂徑定理得，，則，，，由，，可得，則，設(shè)，則，，，，，在中，，在中，，則，計(jì)算求出滿(mǎn)足要求的，，則，，設(shè)的半徑為，則，，在，，即，計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，連接，

∵A為的中點(diǎn)，∴，∵是的直徑，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，設(shè)，則，，∴，，，在中，，在中，，∴，解得，或（舍去），∴，，設(shè)的半徑為，則，，在，，即，解得，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，垂徑定理，等角對(duì)等邊，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．3．（2023秋·江蘇常州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是的直徑，是的弦，連接，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，推出，求出的度數(shù)，即可推出的度數(shù)；【詳解】連接是的直徑，故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角的有關(guān)定理，關(guān)鍵作好輔助線(xiàn)，構(gòu)建直角三角形，找到同弧所對(duì)的圓周角4．（2023秋·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶市第七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，已知與相切于點(diǎn)A，是的直徑，連接交于點(diǎn)D，E為上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，根據(jù)圓周角定理得到，從而求得，根據(jù)與相切得到，結(jié)合三角形內(nèi)角和即可得到答案；【詳解】解：連接，∵，，∴，∵，∴，∵與相切，∴，∴，故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，切線(xiàn)性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線(xiàn)得到．5．（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，的半徑，，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)半徑相等，結(jié)合已知條件可得是等邊三角形，即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，

∵，，∴是等邊三角形，∵，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的半徑相等，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．7．（2022·廣東茂名·統(tǒng)考二模）如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接、、、．若，則的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，再根據(jù)“弧，弦，圓心角的關(guān)系”求出，然后根據(jù)圓周角定理得出答案．【詳解】解：連接，

∵點(diǎn)B是的中點(diǎn)，∴．∵，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧，弦，圓心角的關(guān)系，圓周角定理等，理解定理是解題的關(guān)鍵．即圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半．8．（2023秋·成都·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，是弦，是切線(xiàn)，過(guò)B點(diǎn)作于D，交于E點(diǎn)，若平分，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)作直徑，連接，先證明，再推出，利用三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作直徑，連接，∵是的切線(xiàn)，是的直徑，則，，∴，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握切線(xiàn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9．（2023秋·福建福州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是以原點(diǎn)為圓心、半徑為4的圓，已知有一條直線(xiàn)與有兩個(gè)交點(diǎn)、，則弦長(zhǎng)的最小值為（

）

A．4 B． C．8 D．【答案】B【分析】設(shè)交軸的正半軸于點(diǎn)，交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，先根據(jù)垂徑定理可得點(diǎn)為的中點(diǎn)，，再求出，根據(jù)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)可得當(dāng)直線(xiàn)與直線(xiàn)重合時(shí)，弦的值最小，由此即可得．【詳解】解：如圖，設(shè)交軸的正半軸于點(diǎn)，交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

則點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，即，又∵直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，，∴當(dāng)直線(xiàn)與直線(xiàn)重合時(shí)，弦的值最小，其值等于，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵．10．（2023春·廣東深圳·九年級(jí)校考自主招生）如圖，已知半徑為10，割線(xiàn)交于點(diǎn)B，，點(diǎn)O到的距離為6，則．

【答案】364【分析】作于M，連接，則，，根據(jù)勾股定理可得，在中，由勾股定理，即可求解．【詳解】解：作于M，連接，則，，

在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：．故答案為：364【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．11．（2023秋·江蘇泰州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，內(nèi)接于，，．若，則的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出，連接，再根據(jù)圓周角定理得出，結(jié)合進(jìn)而可求出圓的半徑，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解即可．【詳解】解：∵，，∴，連接，

則，∵，∴，∵，∴，∴的長(zhǎng)為；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握上述知識(shí)、得出三角形是等腰直角三角形是解題關(guān)鍵．12．（2022秋·廣東深圳·九年級(jí)校考自主招生）如圖，在直角中，，，．圓與邊和相切，圓與邊和相切，圓與圓相外切，設(shè)圓心距的最小值為m，則．

【答案】5【分析】設(shè)與邊和的切點(diǎn)為，圓與邊和相切于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理，推出，利用正切的定義，求出，，根據(jù)倍角公式，得到，，設(shè)圓和圓的半徑分別為a和b，求出，，，進(jìn)而得到，令所求的圓心距，得到，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)與邊和的切點(diǎn)為，圓與邊和相切于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，

則：，，∴四邊形為矩形，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，，；∴，，設(shè)圓和圓的半徑分別為a和b，∴，，．∴．令所求的圓心距，∴．∴，∴．消去交叉項(xiàng)后，將兩元分別配方，得．故當(dāng)時(shí)，要使d取最小值，應(yīng)取最大值，取最小值0．因此，當(dāng)時(shí)，d的最小值m滿(mǎn)足：．∴．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查切線(xiàn)的性質(zhì)，圓與圓的位置關(guān)系，解直角三角形，勾股定理．熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造特殊圖形，是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·吉林四平·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，是的弦，是的切線(xiàn)，為切點(diǎn)，經(jīng)過(guò)圓心．若，則．

【答案】/度【分析】連接，如圖，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到，再利用圓周角定理得到，然后利用互余計(jì)算出的度數(shù)．【詳解】解：連接，如圖，是的切線(xiàn)，，，，．故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．14．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知的內(nèi)接五邊形，連接，，若，，則的度數(shù)為．

【答案】/30度【分析】連接，，，，利用弧、弦、圓心角的關(guān)系得到，則利用圓周角定理的推論得到，然后再利用圓周角定理得到的度數(shù)．【詳解】如圖，連接，，，．

∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，圓心角，弧，弦之間的關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．15．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是的直徑，，則的度數(shù)是．【答案】120【分析】解：如圖，連接，由是的直徑，可得，由，可得，，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，連接，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，故答案為：120．【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角為直角，含的直角三角形，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于明確角度之間的數(shù)量關(guān)系．16．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，直徑與弦交于點(diǎn)．連接，過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)．若，則°．

【答案】66【分析】連接，則有，然后可得，則，進(jìn)而問(wèn)題可求解．【詳解】解：連接，如圖所示：

∵是的直徑，且是的切線(xiàn)，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故答案為：66．【點(diǎn)睛】本題主要考查切線(xiàn)的性質(zhì)、圓周角、弧之間的關(guān)系，熟練掌握切線(xiàn)的性質(zhì)、圓周角、弧之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．17．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，以為直徑作半圓，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則弧的長(zhǎng)為．

【答案】/【分析】連接，，，根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一性質(zhì)，圓周角定理，中位線(xiàn)定理，弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，連接，，，

∵為直徑，∴，∵，∴，，∴，，∴弧的長(zhǎng)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形三線(xiàn)合一性質(zhì)，中位線(xiàn)定理，弧長(zhǎng)公式，熟練掌握三線(xiàn)合一性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，圓周角定理是解題的關(guān)鍵．18．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）為傳承非遺文化，講好中國(guó)故事，某地準(zhǔn)備在一個(gè)場(chǎng)館進(jìn)行川劇演出．該場(chǎng)館底面為一個(gè)圓形，如圖所示，其半徑是10米，從A到B有一筆直的欄桿，圓心O到欄桿的距離是5米，觀眾在陰影區(qū)域里觀看演出，如果每平方米可以坐3名觀眾，那么最多可容納名觀眾同時(shí)觀看演出．（取3.14，取1.73）

【答案】184【分析】過(guò)點(diǎn)O作的垂線(xiàn)段，交于點(diǎn)，根據(jù)直角三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系求出的角度，陰影面積即為扇形的面積減去三角形的面積，隨機(jī)可以求出容納觀眾的數(shù)量．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作的垂線(xiàn)段，交于點(diǎn)，

圓心O到欄桿的距離是5米，米，，，米，，，，可容納的觀眾陰影部分面積（人），最多可容納184名觀眾同時(shí)觀看演出，故答案為：184．【點(diǎn)睛】本題考查了弓形的面積，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)，熟知扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．19．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，有一個(gè)半徑為的圓形鐵皮，要從中剪出一個(gè)圓心角為的扇形，其中、、都在圓上，則被剪掉陰影部分的面積是．

【答案】【分析】根據(jù)的圓周角所對(duì)的弦是直徑得出為的直徑，則是等腰直角三角形，即可求出半徑的長(zhǎng)，利用扇形面積公式即可求出扇形的面積，最后求出圓的面積與扇形的面積之差即可得出陰影部分的面積．【詳解】解：如圖，連接，

，為的直徑，的半徑為，，，是等腰直角三角形，由勾股定理得，即，解得，，又，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算，熟記扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．20．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，與軸相切于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，．連接，．

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）如圖，連接，，過(guò)點(diǎn)P作，垂足為D，由垂徑定理得，由，得，，由切線(xiàn)性質(zhì)，得，，進(jìn)一步可證四邊形是矩形，得，中，，于是的坐標(biāo)；（2）如圖，由等腰三角三線(xiàn)合一，得，由圓周角定理，而，從而，中，，于是．【詳解】（1）如圖，連接，，過(guò)點(diǎn)P作，垂足為D，則∵點(diǎn)