2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《外接球、內(nèi)切球與棱切球問題》專項測試卷及答案

2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《外接球、內(nèi)切球與棱切球問題》專項測試卷

及答案

學(xué)校:姓名：班級：考號：

1、補(bǔ)成長方體

（1）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖1所示.

（2）若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構(gòu)造長方體，如圖2所示.

PA

正四面體尸可以補(bǔ)形為正方體且正方體的棱長。=如圖所示.

(3)-ABC忑3

（4）若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖4所示

圖1圖2圖3圖4

1.（2022?乙卷）已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點為O,底面的四個頂點均在球。的球面上，則當(dāng)該四

棱錐的體積最大時，其高為（）

A1R123D3

3232

2.（2022?新高考H）已知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為3右和46，其頂點都在同一球面上，

則該球的表面積為（）

A.100萬B.128萬C.1444D.192萬

3.（2022?新高考I）已知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36萬，且

3副3網(wǎng),則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

A.[18,—]B.[―,—]C.[―,—]D.[18,27]

44443

第1頁共60頁

4.（2021?天津）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為土生，兩個圓錐的

3

高之比為1:3,則這兩個圓錐的體積之和為（）

A.3萬B.4%C.9兀D.12萬

5.（2021?甲卷）已知A,B,。是半徑為1的球O的球面上的三個點，且AC=BC=1,則三棱

錐O—ABC的體積為（）

2

A包D.

D.--------

12124

6.（2023?甲卷）在正方體ABCD-A4GA中，/3=4,。為AG的中點，若該正方體的棱與球。的球面

有公共點，則球O的半徑的取值范圍是

7.（2023?甲卷）在正方體ABCD-ABCA中,E,尸分別為CD,的中點，則以￡F為直徑的球面與

正方體每條棱的交點總數(shù)為

8.（2020?新課標(biāo)III）已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為

考點一：正方體、長方體外接球

一榭律軟結(jié)

1、正方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半.

2、長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半.

例1.（2023?四川?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若球的表面積為48兀，則頂點均在該球球面上的正方體體積為（）

A.256B.64C.27D.8

例2.（2023?四川巴中?統(tǒng)考一模）已知長方體的表面積為22,過一個頂點的三條棱長之和為6,則該長

方體外接球的表面積為.

例3.（2023?重慶渝北?高三重慶市南華中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在長方體ABCD-ABIG。中，AB=6,

BC=2班,BBt=4,則長方體外接球的表面積為.

第2頁共60頁

考點二：正四面體外接球

如圖，設(shè)正四面體ABCD的的棱長為八將其放入正方體中，則正方體的棱長為今，顯然正四面體

和正方體有相同的外接球.正方體外接球半徑為心看乎生，即正四面體外接球半徑為R邛

a.

題型特訓(xùn)

例4.（2023?四川宜賓?四川省宜賓市南溪第一中學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知正四面體P-ABC的外接球的

體積為@兀，則該正四面體的棱長為（）

2

A.1B.A/3C.D.-s/6

例5.（2023?天津北辰?統(tǒng)考三模）中國雕刻技藝舉世聞名，雕刻技藝的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的

意思，制作相當(dāng)繁復(fù)，成品美輪美奐.1966年，玉石雕刻大師吳公炎將這一雕刻技藝應(yīng)用到玉雕之中，他

把玉石鏤成多層圓球，層次重疊，每層都可靈活自如的轉(zhuǎn)動，是中國玉雕工藝的一個重大突破.今一雕刻大

師在棱長為12的整塊正方體玉石內(nèi)部套雕出一個可以任意轉(zhuǎn)動的球，在球內(nèi)部又套雕出一個正四面體（所

有棱長均相等的三棱錐），若不計各層厚度和損失，則最內(nèi)層正四面體的棱長最長為（）

A.476B.473C.276D.6

例6.（2023?陜西西安?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正四面體的各棱長均為3,各頂點均在同一球面上，則該

球的表面積為（）

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考點三：對棱相等的三棱錐外接球

?規(guī)律總結(jié)

四面體ABCD中，AB=CD=m,AC=BD=n,AD=BC=t,這種四面體叫做對棱相等四面體，可

以通過構(gòu)造長方體來解決這類問題.

'b2+c2=m2

如圖，設(shè)長方體的長、寬、高分別為a,b,c,貝U/+C2=“2,三式相加可得片+體+右=+：+',

a2+b2=t22

m+n+12

而顯然四面體和長方體有相同的外接球,設(shè)外接球半徑為A,則/+0?=44，所以R=

一題型特訓(xùn)

例7.（2023?四川涼山?二模）在四面體A-3CD中，AB=CD=S,AD=BC=^,AC=BD=23,貝U

四面體A-BCD外接球表面積是（）

256

A.64兀B.32兀C.256兀D.兀

3

例8.（2023?廣東揭陽?高三校聯(lián)考期中）在三棱錐S-A3C中，SA=BC=5,SB=AC=d，SC=AB=后,

則該三棱錐的外接球表面積是（）

A.50nB.100兀C.150KD.200兀

例9.（2023?五華區(qū)校級期中）如圖，蹴鞠，又名“蹋鞠”、“蹴球”、“蹴圓”、“筑球”、“踢圓”等，“跳”

有用腳蹴、蹋、踢的含義，“鞠”最早系皮革外包、內(nèi)實米糠的球.因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、蹋、

踢皮球的活動，類似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批

國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.若將“鞠”的表面視為光滑的球面，已知某“鞠”表面上的四個點A,B,C,

D滿足Aj5=CD=Ac%,BD=AC=2#cm,AD=BC=5cm,則該''鞠”的表面積為（）

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A.20^cm2B.2471cm2C.Tlncnf'D.2971cm1

考點四：直棱柱外接球

一現(xiàn)僮放結(jié)

如圖1,圖2,圖3,直三棱柱內(nèi)接于球（同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角

形）

圖1圖2圖3

第一步：確定球心。的位置，。［是AABC的外心，則OQ_L平面ABC；

第二步：算出小圓。的半徑AO］=r,OO1=^h（AA=〃也是圓柱的高）；

22222222

第三步：勾股定理：OA=O^A+OXOR=（1）+r7?=^r+（1）,解出R

■^題型特訓(xùn)—

例10.（2023?湖南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在直三棱柱ABC-A4G中，AABC為等邊三角形，若三棱柱

ABC-ABC1的體積為3VL則該三棱柱外接球表面積的最小值為（）

A.12%B.6萬C.16%D.87c

例11.（2023?山東濰坊?統(tǒng)考模擬預(yù)測）在直三棱柱ABC-AB。［中，為等腰直角三角形，若三棱

柱ABC的體積為32,則該三棱柱外接球表面積的最小值為（）

A.12兀B.24兀C.48兀D.96兀

-7T

例12.（2023?陜西咸陽?統(tǒng)考一模）在直三棱柱ABC-A4G中，AB=BC=2,ZABC=-,若該直三棱

柱的外接球表面積為16/r,則此直三棱柱的高為（）.

A.4B.3C.4A/2D.2-72

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例13.(2023?廣東?統(tǒng)考一模)如圖，在直三棱柱ABC-ABC的側(cè)面展開圖中，B,C是線段AD的三

等分點，且4。=3后.若該三棱柱的外接球。的表面積為12〃，則的=()

4BiG2(4)

ABCD(A)

A.夜B.2C.y/5D.2A/2

考點五：直棱錐外接球

規(guī)律總結(jié)

如圖，上4_L平面ABC,求外接球半徑.

解題步驟：

第一步：將AABC畫在小圓面上，A為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑AD,連接PD,則PD必

過球心O；

第二步：。1為AABC的外心，所以O(shè)Q，平面ABC,算出小圓。?的半徑QD=r(三角形的外接圓直徑

算法：利用正弦定理，得」L=―也=^=2r),OO^-PA；

sinAsinBsinC2

第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①(2X)2=PT+(2力2=2里=J叢2+(24；

②R2=/+00：=R=^r2+00^.

■k題型特訓(xùn)

例14.(2023江西萍鄉(xiāng)?高三統(tǒng)考期末)三棱錐A-BCD中，AD_L平面BCD,DC工BD,2AD=BD=DC=2,

第6頁共60頁

則該三棱錐的外接球表面積為（）

A.史-9兀

B.——C.971D.3671

22

例15.（2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學(xué)統(tǒng)考二模）如圖，四棱錐P-ABCD中，24,平面ABCD,

底面ABC。為邊長為4的正方形，PA=5,則該四棱錐的外接球表面積為（）

.125宿

A.-------------B.48兀C.7571D.57兀

3

__TT

例16.（2023?河南開封統(tǒng)考三模）在三棱錐尸-ABC中，PA=AB,平面ABC,ZABC=-,AB+BC=6,

2

則三棱錐尸-ABC外接球體積的最小值為（）

A.8A/6TIB.16^6?1C.24痛兀D.32癡n

考點六：正棱錐與側(cè)棱相等模型

?規(guī)律總結(jié)

戶力

1、正棱錐夕卜接球半徑：R—I2

2、側(cè)棱相等模型：

如圖，尸的射影是AABC的外心

o三棱錐P—ABC的三條側(cè)棱相等

第7頁共60頁

。三棱錐P—ABC的底面AABC在圓錐的底上，頂點P點也是圓錐的頂點.

解題步驟：

第一步：確定球心。的位置，取AABC的外心則P,O,Q三點共線；

第二步：先算出小圓Q的半徑AQ=r,再算出棱錐的高產(chǎn)@=〃（也是圓錐的高）;

尸+力2

第三步：勾股定理：OA2=+Oft1R2=（h-R）2+r2,解出尺=------.

例17.（2023?重慶?高三重慶八中?？计谀┘褐颉槿忮FS-ABC的外接球，SA=SC=AB=AC=y/2,

BS=3C=2,則球。的表面積是（）

14萬-16萬——c

A.-----B.-----C.1兀D.87r

33

例18.（2023?河北保定?高三定州市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知正三棱錐的底面邊長為3,側(cè)棱長為2,

且頂點都在同一球面上，則該球的表面積為.

例19.（2023?福建福州?高三福建省福州屏東中學(xué)校考期末）已知正三棱錐P-AFC的頂點都在球。的球

面上，其側(cè)棱與底面所成角為三，且PA=2g,則球。的表面積為

例20.（2023?河南?模擬預(yù)測）已知正四棱錐尸-ABCD的底面邊長為2挺，高為〃，且該四棱

錐的外接球的表面積為S,則S的取值范圍為.

考點七：側(cè)棱為外接球直徑模型

一擷僖放結(jié)

找球心，然后作底面的垂線，構(gòu)造直角三角形.

一題型特訓(xùn)

例21.（2023?江蘇南通?高三海安市曲塘中學(xué)?？计谀┰谌忮F尸-A8C中，已知AABC是邊長為2的等

第8頁共60頁

邊三角形，%為此三棱錐外接球。的直徑，朋=4,則點P到底面A8C的距離為（）

A.&B.空C.逑D.城

333

例22.（2023?云南校級月考）已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球。的球面上，AABC是邊長為2的正

三角形，SC為球。的直徑，且SC=4,則此棱錐的體積為（）

A.晅B.走7D,472

333

例23.（2023?防城港模擬）體積為正的三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，已知AABC是邊

6

長為1的正三角形，5。為球。的直徑，則球。的表面積為（）

A.TCB.2兀C.4乃D.6%

考點八：共斜邊拼接模型

?規(guī)律總結(jié)

如圖，在四面體ABCD中，ABYAD,CBYCD,此四面體可以看成是由兩個共斜邊的直角三角形拼

接而形成的，為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之.設(shè)點。為公共斜邊的中點，根據(jù)直角

三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結(jié)論可知，OA=OC=OB=OD,即點。到A,B,C,。四點的距離

相等，故點。就是四面體ABCD外接球的球心，公共的斜邊就是外接球的一條直徑.

題型特訓(xùn)

例24.（2023?四川德陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知矩形ABC。的面積為8,當(dāng)矩形ABC。周長最小時，沿對角

線AC把AACD折起，則三棱錐。-ABC的外接球表面積等于（）

A.8TIB.16KC.48在兀D.不確定的實數(shù)

例25.（2023?安徽?蕪湖一中高二期中）己知三棱錐尸—ABC中，PA=1,PB=3,PC=5AB=2也,

CA=CB=2,則此三棱錐的外接球的表面積為（）

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例26.（2023?江西贛州?高二期中）在三棱錐A-SBC中，AB=710,ZASC=ZBSC=-,AC=AS,BC=BS

4

若該三棱錐的體積為巫，則三棱錐A-SBC外球的體積為（）

3

A.萬B.yC.辰D.4石萬

考點九：垂面模型

?規(guī)律總結(jié)

如圖1所示為四面體P-ABC,已知平面E1B_L平面ABC,其外接球問題的步驟如下：

（1）找出和A4BC的外接圓圓心，分別記為。［和。2-

（2）分別過。和儀作平面ELB和平面ABC的垂線，其交點為球心，記為O.

（3）過。i作"的垂線，垂足記為￡）,連接。22，則

（4）在四棱錐A-OQOO?中，AD垂直于平面DQOOz，如圖2所示，底面四邊形DQQO2的四個頂

點共圓且OD為該圓的直徑.

圖1圖2

題型特訓(xùn)

例27.（2023?重慶沙坪壩?高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）在三棱錐A-3CD中、平面A3C1平面BCD,

ZBAC^90°,且BC=CD=3,BD=40,則三棱維A-BCD的外接球表面積是（）

A.497rB.647rC.81萬D.100萬

例28.（2023?全國?模擬預(yù)測）如圖1,平面五邊形PABCD,AB//CD,BC=AB=AD=4fCD=8,

第10頁共60頁

PA=PD,將ARW沿AD折起至平面平面ABC。，如圖2,若PA=20，則四棱錐尸-ABCD的外

接球體積是()

例29.(2023?四川綿陽?高三綿陽南山中學(xué)實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí))己知四棱錐P-ABCD的體積是364，

底面ABC。是正方形，AFAB是等邊三角形，平面平面ABCD,則四棱錐P-ABCD外接球表面積為

()

A.89兀B.88兀C.84兀D.81兀

考點十：二面角模型

■.掠普結(jié)

如圖1所示為四面體P-ABC,已知二面角P-A5-C大小為a,其外接球問題的步驟如下：

U)找出和△ABC的外接圓圓心，分別記為a和

(2)分別過Q和Q作平面ELB和平面ABC的垂線，其交點為球心，記為O.

(3)過。［作AB的垂線，垂足記為￡),連接Q。，則

(4)在四棱錐A-OOQa中，AD垂直于平面。O°a，如圖2所示，底面四邊形。。。儀的四個頂

點共圓且OD為該圓的直徑.

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一題型特訓(xùn)

例30.（2023?安徽?蕪湖一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知在菱形ABCD中，AB=2,ZA=60°,把4ABD沿BD

折起到AAZD位置，若二面角A-9-C大小為120。，則四面體A3CD的外接球體積是（）

A7R空"「28^/21n772?

332727

例31.（2023?廣東?統(tǒng)考模擬預(yù)測）在三棱錐P-ABC中，AABC為等腰直角三角形，AB=AC=2,△PAC

jr

為正三角形，且二面角P-AC-3的平面角為二，則三棱錐尸-ASC的外接球表面積為（）

例32.（2023?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱三中?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱錐P-ABC,△RIC是以AC

為斜邊的等腰直角三角形，且8=20,AB=AC=y/6,二面角尸-AC-3的大小為120。，則三棱錐

P-ABC的外接球表面積為（）

A.平萬B.10.

C.9萬D.(4+2⑹乃

考點十一：坐標(biāo)法

?規(guī)律總結(jié)

對于一般多面體的外接球，可以建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)球心坐標(biāo)為O（x,y,z）,利用球心到各頂點的

距離相等建立方程組，解出球心坐標(biāo)，從而得到球的半徑長.坐標(biāo)的引入，使外接球問題的求解從繁瑣的

定理推論中解脫出來，轉(zhuǎn)化為向量的計算，大大降低了解題的難度.

例33.（2023?廣東陽江?高三陽春市第一中學(xué)階段練習(xí)）已知正方體ABC。-A46,的棱長為2,點尸是

線段與，上的動點，則三棱錐P-ABC的外接球半徑的取值范圍為.

例34.（2023?浙江?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）空間直角坐標(biāo)系。-孫z中，4（艱,0,0）,B（0,3,0）,C（0,0,5）,?G/I,3,5）,

則四面體ABC。外接球體積是（）

第12頁共60頁

A.257rB.367rC.—冗D.288〃

3

例35.（2023?安徽?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知四棱錐E-ABCD,底面ABCD是邊長為3的正方

形，面ABC。，EQ=2QD,EP=2PB，ER=^RC,若RP=RQ=#,則四棱錐E—ABCD外接球

表面積為（）

A.44%B.547rC.176萬D.216萬

例36.（2023?浙江金華?模擬預(yù)測）三棱錐尸一A5c中，AB±AC,AB=2,BC=272,PC1AC,PB=2y/5,

則三棱錐尸-ABC的外接球表面積的最小值為（）

A.16TIB.187rC.20KD.21TI

考點十二：圓錐圓柱圓臺模型

一挪律放結(jié)

1、球內(nèi)接圓錐

如圖1,設(shè)圓錐的高為/?,底面圓半徑為r,球的半徑為R.通常在△OCB中，由勾股定理建立方程來

計算R.如圖2,當(dāng)PC>CB時，球心在圓錐內(nèi)部；如圖3,當(dāng)尸C<CB時，球心在圓錐外部.和本專題前

面的內(nèi)接正四棱錐問題情形相同，圖2和圖3兩種情況建立的方程是一樣的，故無需提前判斷.

I,2

由圖2、圖3可知，OC=h-R^R-h,故（〃一+/=F,所以7?=---------.

2h

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2、球內(nèi)接圓柱

如圖，圓柱的底面圓半徑為，高為/7,其外接球的半徑為R,三者之間滿足§）+/=&.

3、球內(nèi)接圓臺

2r，r

R=r^+（^~'~）,其中小公〃分別為圓臺的上底面、下底面、高?

例37.（2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在正三棱臺ABC-A4G中，AB=2^3,

\B[=6,朋=40，則正三棱臺ABC-A4G的外接球表面積為（）

例38.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知圓錐的頂點和底面圓周均在球。的球面上.若該圓錐的底面半徑

為2石，高為6,則球。的表面積為（）

A.32兀B.48?C.647rD.80萬

例39.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知圓臺的母線長為2,母線與軸的夾角為60。，且上、下底面的面

積之比為1：4,則該圓臺外接球的表面積為（）

A.56兀B.100無C.1127tD.128兀

例40.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，半徑為4的球。中有一內(nèi)接圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時，球

的表面積與圓柱的表面積之差為（）

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考點十三：錐體內(nèi)切球

?k規(guī)律總結(jié)

等體積法，即氏=趙出

s表面積

一題型掙訓(xùn)

例41.（2023?浙江溫州?統(tǒng)考一模）與圓臺的上、下底面及側(cè)面都相切的球，稱為圓臺的內(nèi)切球，若圓臺

的上下底面半徑為2，且4%=1，則它的內(nèi)切球的體積為.

例42.（2023?湖南郴州?統(tǒng)考三模）已知三棱錐P-ABC的棱長均為4,先在三棱錐尸-ABC內(nèi)放入一個

內(nèi)切球。一然后再放入一個球。2,使得球。2與球。1及三棱錐尸-ABC的三個側(cè)面都相切，則球。2的表面

積為.

例43.（2023?四川成都?高三四川省成都列五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓錐的底面半徑為2,高為4近，

則該圓錐的內(nèi)切球表面積為.

例44.（2023?湖南長沙?雅禮中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，四邊形A3CD為平行四邊形，AB=3,AD=2,

NBAD=§,現(xiàn)將AABD沿直線翻折,得到三棱錐A'-3cD,若演7=夕，則三棱錐A-3CD的內(nèi)切

球表面積為_____.

A'

考點十四：棱切球

?規(guī)律總結(jié)

找切點，找球心，構(gòu)造直角三角形

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一題型特訓(xùn)

例45.（2023?貴州貴陽?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知球。的表面積為9兀，若球。與正四面體S-ABC的六條

棱均相切，則此四面體的體積為（）

A.9B.3亞C.逗D.還

28

例46.（2023?江西宜春?高三奉新縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正方體的棱長為2,則與正方體的各棱

都相切的球的表面積是.

例47.（2023?全國?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知三棱錐S-A3C的棱長均為26，則與其各條棱都相切的

球的體積為.

參考答案

1.（2022?乙卷）已知球O的半徑為1,四棱錐的頂點為O,底面的四個頂點均在球O的球面上，則當(dāng)該四

棱錐的體積最大時，其高為（）

:.無D.克

A.-B.-C

3232

【答案】C

【解析】對于圓內(nèi)接四邊形，如圖所示，

11

S四邊形ABC。=-AC-BD-sinO?-2r-2r-sm90°=2r9,

當(dāng)且僅當(dāng)AC,BD為圓的直徑，且時,等號成立，此時四邊形A8CD為正方形，

，當(dāng)該四棱錐的體積最大時，底面一定為正方形,設(shè)底面邊長為。，底面所在圓的半徑為r,

則

1~-2"

該四棱錐的高//=卡-'，

__________a2a2a2___

.?.該四棱錐的體積小1小2T樸

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當(dāng)且僅當(dāng)《=1-￡，即時，等號成立，

423

，該四棱錐的體積最大時，其高//=/?=，

2.（2022?新高考II）已知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為3g和4括，其頂點都在同一球面上，

則該球的表面積為（）

A.1004B.128萬C.144萬D.192萬

【答案】A

【解析】當(dāng)球心在臺體外時，由題意得，上底面所在平面截球所得圓的半徑為舊占一=3,下底面所在平

2sin60°

面截球所得圓的半徑為上8—=4,如圖，

2sin60°

設(shè)球的半徑為R,則軸截面中由幾何知識可得-3?-JR2-不=1,解得R=5,

.?.該球的表面積為4萬氏2=4萬*25=100萬.

止匕時JR2-32+JR2-42=1,無解.

綜上，該球的表面積為100萬.

故選：A.

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3.(2022?新高考I)已知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36萬，且

3御3百，則該正四棱錐體積的取值范圍是()

A.[18,—]B.[―,—]C.[―,—]D.[18,27]

44443

【答案】C

【解析】如圖所示，正四棱錐尸-4?CD各頂點都在同一球面上，連接AC與交于點E,連接PE,則球

心O在直線PE上，連接。4,

設(shè)正四棱錐的底面邊長為〃，高為/z,

在RtAPAE中，P^=AE2+PE2,即尸=(字)2+/=；片+『，

?.?球。的體積為36%，.?.球O的半徑R=3,

在RtAOAE中，CM2=OE2+AE2,BP7?2=(/z-3)2+(^)2,

二.一/+/22—6/Z=0,—a?+/=6/l,

22

:.儼=6h,又丁3領(lǐng)J3A/3,/.-^)h2，

22

該正四棱錐體積V{h}=-crh=-(l2h-21Tl)h=--^+4外,

V'(h)=-2h2+8〃=2/?(4-/i),

3o

.?.當(dāng)[工<4時，F(xiàn)(/z)>0,V(/z)單調(diào)遞增；當(dāng)4<九，=時，F(xiàn)(/z)<0,V(/z)單調(diào)遞減，

22

64

.?W(%=V⑷=5，

巖釉々)M

即該正四棱錐體積的取值范圍是[亍，y],

故選：C.

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4.（2021?天津）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為之吆，兩個圓錐的

3

高之比為1:3,則這兩個圓錐的體積之和為（）

A.3萬B.4%C.9?D.127r

【答案】B

【解析】如圖，設(shè)球。的半徑為R,由題意，-TTR3=—,

33

可得A=2,則球O的直徑為4,

,兩個圓錐的IWJ之比為1:3,AOX=1,BO]=3,

由直角三角形中的射影定理可得：/2=1x3,即廠=6.

這兩個圓錐的體積之和為V=g萬X（G）2X（1+3）=4萬.

故選：B.

5.（2021?甲卷）已知A,B,C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且AC_L3C,AC=BC=1,則三棱

錐O—ABC的體積為（）

【答案】A

【解析】因為AC_L3C,AC=BC=1,

所以底面ABC為等腰直角三角形，

所以AABC所在的截面圓的圓心。]為斜邊池的中點,

所以_L平面ABC,

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在RtAABC中，AB=yjAC2+BC2=42,則AQ=今

_________6

在RtAAOO[中，0O]="T_AQj=%，

故三棱錐O—ABC的體積為丫=，5.L001H義1義與=%

6.（2023?甲卷）在正方體98-440口中，AB=4,。為AQ的中點，若該正方體的棱與球。的球面

有公共點，則球O的半徑的取值范圍是—.

【答案】［272,2屈.

【解析】設(shè)球的半徑為R,

當(dāng)球是正方體的外接球時，恰好經(jīng)過正方體的每個頂點，所求的球的半徑最大，

若半徑變得更大，球會包含正方體，導(dǎo)致球面和棱沒有交點，

正方體的外接球直徑2R為體對角線長AG=742+42+42=4A/3,

即2R=4若，R=2百,故凡皿=2出，

分別取側(cè)枝A4,,BBt,CCX,的中點〃，H,G,N,

則四邊形MNGH是邊長為4的正方形，且O為正方形MNGH的對角線交點,

連接MG,貝?。軲G=40,

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當(dāng)球的一個大圓恰好是四邊形MNG打的外接圓，球的半徑最小，

即A的最小值為2?,

綜上，球O的半徑的取值范圍是［2后，2出］.

故答案為：［2點，273］.

7.（2023?甲卷）在正方體ABCD-〃中，E,尸分別為CD,A瓦的中點，則以EF為直徑的球面與

正方體每條棱的交點總數(shù)為一.

【答案】12.

【解析】在正方體ABCZ）-A4G2中，E,尸分別為8,A耳的中點，

設(shè)正方體中棱長為2,￡F中點為O,

取至，2月中點G,M,側(cè)面B8|GC的中心為N,

連接FG,EG,OM,ON,MN,如圖，

由題意得O為球心，在正方體ABCD-A耳CR中，EF=yjFG2+EG2=A/4+4=2應(yīng)，

:.R=y/2,

21

則球心O到BBX的距離為OM=4ON+MN=7T+T=&,

.?.球。與棱2片相切，球面與棱只有一個交點，

同理，根據(jù)正方體ABCD-A4Gq的對稱性可知，其余各棱和球面也只有一個交點，

,以防為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數(shù)為12.

故答案為：12.

8.（2020?新課標(biāo)III）已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為

亞

【答案】-7T

3

【解析】因為圓錐內(nèi)半徑最大的球應(yīng)該為該圓錐的內(nèi)切球，

如圖，圓錐母線3s=3,底面半徑3c=1,

則其高SC=yjBS2-BC2=2及，

不妨設(shè)該內(nèi)切球與母線BS切于點D,

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令OD=OC=r,由ASOE^ASBC,則——=——,

OSBS

即=工，解得r=變，

2女-r32

v43V2

33

故答案為：—71.

3

考點一：正方體、長方體外接球

1、正方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半.

2、長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半.

一題型特訓(xùn)

例1.（2023?四川?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若球的表面積為48兀，則頂點均在該球球面上的正方體體積為（

A.256B.64C.27D.8

【答案】B

【解析】因為球的表面積為48兀，

所以442=48%，解得R=2百,

設(shè)正方體的棱長為。，

因為正方體外接球的直徑為正方體的體對角線，

所以6a=2R,即a=4,

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所以V=a'=4,=64.

故選：B

例2.（2023?四川巴中?統(tǒng)考一模）已知長方體的表面積為22,過一個頂點的三條棱長之和為6,則該長

方體外接球的表面積為.

【答案】14K

,,f2（ab+bc+ac）=22

【解析】令長方體的長、寬、高分別為瓦。，則，/,

[a+b+c=b

由（a+6+cP=/+/+/+2ab+2bc+2ac=36,貝1J/+6?+C?=14,

而長方體外接球半徑，="+"+i,故r=且，其表面積4+=4兀

222

故答案為：14K

例3.（2023?重慶渝北?高三重慶市南華中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在長方體ABCD-ABIGA中，AB=6,

BC=2g,BBI=4,則長方體外接球的表面積為.

【答案】647r

【解析】由題意，根據(jù)長方體ABCD-A耳6。外接球的性質(zhì)，可得

2R=y）AB2+BC2+BB；=J62+僅可+42=8.

:.R=4,該長方體的外接球的表面積S=4TTR2=64".

故答案為：647r.

考點二：正四面體外接球

如圖，設(shè)正四面體ABCD的的棱