2025年高考數(shù)學(xué)重難題型二輪復(fù)習(xí)：概率與其他知識交匯問題（含馬爾科夫鏈）（3大題型）（學(xué)生版+解析）

i重難題型?解題技巧攻略

J----------------------------------------

專題17概率與其他知識交匯問題（含馬爾科夫鏈）

?>-----------題型歸納?定方向-----------*>

目錄

題型01概率與數(shù)列結(jié)合（馬爾科夫鏈）..........................................................1

題型02概率與導(dǎo)數(shù)結(jié)合.........................................................................4

題型03概率與其他知識點結(jié)合...................................................................8

?-----------題型探析?明規(guī)律-----------<>

題型01概率與數(shù)列結(jié)合（馬爾科夫鏈）

【解題規(guī)律?提分快招】

一、基本原理

1、轉(zhuǎn)移概率：對于有限狀態(tài)集合s,定義:P]j=Ix,i）為從狀態(tài)i到狀態(tài)J的轉(zhuǎn)移概率.

2、馬爾可夫鏈：若==即未來狀態(tài)xm只受當(dāng)前

狀態(tài)X”的影響，與之前的X“T,X?_2，…,X0無關(guān).

無記憶性：下一個狀態(tài)只與當(dāng)前狀態(tài)有關(guān)，與更前面的狀態(tài)沒有關(guān)系

高中階段考察的馬爾科夫鏈，其實很簡單，找到初始狀態(tài)和遞推關(guān)系即可

3、完備事件組：如果樣本空間Q中一組事件組｛A，4,…4』符合下列兩個條件：

（1）4cAj=0,ij,i,j=1,2,…”；

（2）U4=Q.

k=l

則稱｛4,4,…AJ是Q的一個完備事件組，也稱是Q的一個分割.

4、全概率公式：設(shè)｛4,4,…4J是一個完備事件組，則有

p（B）=^p（4）p（5i4）

k=l

5、一維隨機(jī)游走模型，即：設(shè)數(shù)軸上一個點，它的位置只能位于整點處，在時刻f=0時，位于點

x=i（i&N+）,下一個時刻，它將以概率a或者夕（ae（0,l）,o+，=l）向左或者向右平移一個單位.若

記狀態(tài)x$表示：在時刻才該點位于位置x=?eN+),那么由全概率公式可得：

P(X-)=P(X,a).P(X—|X,e)+P(X$+)P(X田,|Xe)

另一方面，由于P(Xf+1=;.|X』_i)=1P(Xr+l=i|Xu"a，代入上式可得：

6=a.Pi+l+(3-8_i.

進(jìn)一步，我們假設(shè)在％=0與工=皿冽＞0,根eN+)處各有一個吸收壁，當(dāng)點到達(dá)吸收壁時被吸收，不再游

走.于是，好=0,&=1.隨機(jī)游走模型是一個典型的馬爾科夫過程.

進(jìn)一步，若點在某個位置后有三種情況：向左平移一個單位，其概率為a,原地不動，其概率為6,向右平

移一個單位，其概率為c,那么根據(jù)全概率公式可得：Pi=aP,-Pi.[

二、解題技巧

①找到當(dāng)下狀態(tài)下的“前一次事件”的所有可能性

②結(jié)合對應(yīng)概率寫出“前一次”狀態(tài)下所有可能性的數(shù)列遞推關(guān)系(一階遞推數(shù)列或二階遞推數(shù)列)

③利用數(shù)列遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項公式

【典例訓(xùn)練】

一、解答題

1.(24-25高三上?上海嘉定?階段練習(xí))甲乙兩人輪流投擲骰子(正方體型，六個面分別標(biāo)記有1,2,3,4,

5,6點)，每人每次投擲兩顆，

(1)甲投擲一次，求兩顆骰子點數(shù)相同的概率；

(2)甲乙各投擲一次，求甲的點數(shù)和恰好比乙的點數(shù)和大8點的概率；

(3)若第一個使兩顆骰子點數(shù)和大于6者為勝，否則輪由另一人投擲.求先投擲人的獲勝概率.

2.(24-25高三上?廣東?開學(xué)考試)馬爾科夫鏈因俄國數(shù)學(xué)家安德烈?馬爾科夫得名，其過程具備“無記憶”

的性質(zhì)，即第”+1次狀態(tài)的概率分布只跟第〃次的狀態(tài)有關(guān)，與第〃3,?次狀態(tài)無關(guān).馬爾科夫鏈

是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，在強(qiáng)化學(xué)習(xí)、自然語言處理、金融領(lǐng)域、

天氣預(yù)測等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用.現(xiàn)有A,8兩個盒子，各裝有2個黑球和1個紅球，現(xiàn)從48兩個盒

子中各任取一個球交換放入另一個盒子,重復(fù)進(jìn)行?N*)次這樣的操作后,記A盒子中紅球的個數(shù)為Xn,

恰有1個紅球的概率為P”.

(1)求Pi，Pz的值;

(2)求p”的值(用〃表示)；

(3)求證：X”的數(shù)學(xué)期望E(X“)為定值.

3.(2024?河北.模擬預(yù)測)一個不透明的袋子中裝有大小、質(zhì)地相同的40個小球，其中10個紅球，10個黃

球，20個綠球，依次隨機(jī)抽取小球，每次只取1個小球，完成下列問題：

（1）若取出的小球不再放回，

①求最后取完的小球是黃球的概率；

②求紅球比其余兩種顏色小球更早取完的概率；

③設(shè)隨機(jī)變量X為最后一個紅球被取出時所需的取球次數(shù)，求E（x）；

（2）若取出的小球又放回袋中，直到取到紅球就停止取球，且最多取”次球，設(shè)隨機(jī)變量y為取球次數(shù)，證

明：E（Y）=4--.

4.（23-24高三上?江蘇南京?階段練習(xí)）在某公司組織的團(tuán)建活動中，A,B,C三個人進(jìn)行傳排球游戲，

規(guī)定：甲將排球拋出，乙接住或自己接住為一次傳球，假設(shè)每次傳球都能成功.當(dāng)排球在A手中時，A傳給8

的概率為:，A傳給自己的概率也為:；當(dāng)排球在3手中時，B傳給A的概率為:，3傳給C的概率為￡；

當(dāng)排球在C手中時，C傳給A,B的概率均為《.游戲開始時，排球在A手中，經(jīng)過次傳球后，設(shè)

排球在A手中的概率為冊，排球在B手中的概率為或.

⑴求%,生的值；

（2）經(jīng)過50次傳球后，排球在誰手中的概率最大？請說明理由.

5.（24-25高三上?浙江?期末）某籃球集訓(xùn)隊中甲、乙、丙三人進(jìn)行傳球訓(xùn)練.假設(shè)當(dāng)球在甲手中時，甲將球

12

傳給丙的概率為耳，否則甲將球傳給乙；當(dāng)球在乙手中時，乙將球傳給甲的概率為否則乙將球傳給丙;

當(dāng)球在丙手中時，丙將球傳給甲的概率為否則丙將球傳給乙；初始時，球在甲手中.

⑴求傳球3次后，球恰好在乙手中2次的概率；

（2）"次傳球后（neN,）,記球在丙手中的概率為P,,.

①求數(shù)列｛2｝的通項公式；

1n1o

②設(shè)%=（2、）,求證：w.

3

（-）P?P?+lM7

6.（24-25高三上?江西?開學(xué)考試）馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計中的一個重要模型，其過程具備“無記憶”的性質(zhì)：

下一狀態(tài)的概率分布只能由當(dāng)前狀態(tài)決定，即第"+1次狀態(tài)的概率分布只與第"次的狀態(tài)有關(guān)，與第

3,…次的狀態(tài)無關(guān),即尸（X“M|X”X2,,X“T，X“）=P（X/X“）.已知甲盒中裝有1個白球和

2個黑球，乙盒中裝有2個白球,現(xiàn)從甲、乙兩個盒中各任取1個球交換放入對方的盒中，重復(fù)”次（"eN*）

這樣的操作，記此時甲盒中白球的個數(shù)為X“，甲盒中恰有2個白球的概率為劣，恰有1個白球的概率為方“.

⑴求4,4和。2也.

⑵證明：｛4+22一g｝為等比數(shù)歹!J.

⑶求X”的數(shù)學(xué)期望（用〃表示）.

7.（24-25高三上?云南昆明?階段練習(xí)）設(shè)〃eN,數(shù)對（4也）按如下方式生成：（4也）=（0,0）,拋擲一枚

均勻的硬幣，當(dāng)硬幣的正面朝上時，若?！?gt;么,則（?！?1也+1）=（?！?1也+1）,否則（見+1，%）=（?！?1也）；

當(dāng)硬幣的反面朝上時，若…則（%,%）=（%+1也+1）,否則（%,%）=（q,2+1）.拋擲〃次硬幣

后，記%=2的概率為P“.

⑴寫出（生，仇）的所有可能情況，并求42；

⑵證明：,4-：1是等比數(shù)列，并求尸“；

⑶設(shè)拋擲w次硬幣后凡的期望為心，求E".

8.（2025?黑龍江?模擬預(yù)測）對于一個有窮整數(shù)列出，L，%，對正整數(shù)〃7CN*,若對于任意的

ne（1,2,,m｝,有窮數(shù)列。中總存在％,aM,L,ai+J,自然數(shù)J2。使得q+，++ai+j=n,則稱該數(shù)

列為1到加連續(xù)可表數(shù)列.即1到機(jī)中的每個數(shù)可由。中的一個或連續(xù)若干項表示，而加+1不可由Q中連續(xù)

若干項表示.例如數(shù)列2,1,3則。2=1，%=2,%=3,/+%=4,而％+的片5,“2+4*5,%+出+%*5,

所以數(shù)列2,1,3是1到4連續(xù)可表數(shù)列.

⑴數(shù)列Q：l,1,1,1,1是否為1到5連續(xù)可表數(shù)列？若數(shù)列2：2,1,4是一個1到m連續(xù)可表數(shù)列，

求加的值.

（2）若有窮數(shù)列%，L,與其調(diào)整順序后為一個等比數(shù)列，則該數(shù)列稱為準(zhǔn)等比整數(shù)列（等比數(shù)列本

身也可看作準(zhǔn)等比數(shù)列），調(diào)整后的公比稱為該數(shù)列公比.若準(zhǔn)等比整數(shù)列4,出，L,。“為1到5連續(xù)可

表數(shù)列，且公比4為整數(shù)，求數(shù)列的公比4的值.

0lm

⑶對正整數(shù)〃，geN*（g>2）,存在唯一的數(shù)列q,L,盤使得，n=ax-g+a2-g++am-g^,且滿足

l

?！笆?,0<a,<g-l,j=l,2,3…機(jī)數(shù)列a「g°,a2-g,L,a,“?g%】稱為正整數(shù)〃的g進(jìn)制殘片.記事

件“隨機(jī)挑選區(qū)間［1/］內(nèi)的整數(shù)（r為大于等于2的正整數(shù)），該數(shù)的g進(jìn)制殘片調(diào)整順序后能成為1到5連

續(xù)可表數(shù)歹『'的概率為2,（〃），求Pg&）的表達(dá)式.

題型02概率與導(dǎo)數(shù)結(jié)合

【典例訓(xùn)練】

一、解答題

1.（24-25高三上?四川成都?階段練習(xí)）某學(xué)校高三年級組織舉辦了知識競賽.選拔賽階段采用逐一答題的

方式，每位選手最多有5次答題機(jī)會，累計答對3道題則進(jìn)入初賽，累計答錯3道題則被淘汰.初賽階段

參賽者每兩人一組進(jìn)行比賽，組織者隨機(jī)從準(zhǔn)備好的題目中抽取2道試題供兩位選手搶答，每位選手搶到

每道試題的機(jī)會相等，得分規(guī)則如下：選手搶到試題且回答正確得10分，對方選手得0分，選手搶到試題

但沒有回答正確得。分，對方選手得5分，2道試題搶答完畢后得分少者被淘汰，得分多者進(jìn)入決賽（若分

數(shù)相同，則同時進(jìn)入決賽）

（1）已知選拔賽中選手甲答對每道試題的概率為:，且回答每道試題是否正確相互獨立，求甲進(jìn)入初賽的概

率；

（2）已知初賽中選手甲答對每道試題的概率為:，對手答對每道試題的概率為：，兩名選手回答每道試題是

否正確相互獨立，求初賽中甲的得分y的分布列與期望；

（3）進(jìn)入決賽后，每位選手回答4道試題，至少答對3道試題勝出，否則被淘汰，已知選手甲進(jìn)入決賽，且

決賽中前3道試題每道試題被答對的概率都為（。?（。,1））,若甲4道試題全對的概率為上，求甲能勝出的概

率的最小值.

2.（24-25高三上?重慶?階段練習(xí)）一游戲規(guī)則如下：一個質(zhì)點在數(shù)軸上運(yùn)動，從原點出發(fā)，每次向左或者

向右移動一個單位，共移動了〃次.

⑴己知質(zhì)點每次向右移動的概率為°（0<0<1）.

①當(dāng)p=g,"=6時，求質(zhì)點最終回到原點的概率；

②規(guī)定質(zhì)點在運(yùn)動過程中，只要出現(xiàn)在原點左側(cè)，游戲就結(jié)束，否則游戲就繼續(xù)、直到移動了〃次，分別求

出當(dāng)〃=3和〃=5時質(zhì)點最終落在原點右側(cè)的概率并比較它們的大小

（2）現(xiàn)在規(guī)定游戲分為兩個階段：第一階段，質(zhì)點每次向右移動的概率為Pi、共移動了3次、若質(zhì)點最終落

在了原點左側(cè)，則結(jié)束游戲，且最終得分為0分.若最終落在了原點右側(cè)、則通過第一階段，并進(jìn)入第二階

段：質(zhì)點重新回到原點，每次向右移動的概率為P2,并再次移動了3次，若質(zhì)點最終落在了原點左側(cè)，則

最終得分也為0分；若最終落在了原點右側(cè)，則最終得分為質(zhì)點位于數(shù)軸上所在位置對應(yīng)的實數(shù).

①請用含R，2的式子表示該游戲得分的數(shù)學(xué)期望；

②若“+。2=1，則當(dāng)A取何值的時候，該游戲得分的期望值最大？

3.（2025?陜西渭南?一模）第十五屆全國運(yùn)動會將于2025年在廣東、香港、澳門三地舉辦.為了普及全運(yùn)

知識.某中學(xué)舉辦了一次全運(yùn)知識闖關(guān)比賽.比賽分為初賽與復(fù)賽.初賽勝利后才能進(jìn)入復(fù)賽.初賽規(guī)定：

三人組隊參賽.每次只派一個人.且每人只派一次：如果一個人闖關(guān)失敗.再派下一個人重新闖關(guān)：三人

中只要有人闖關(guān)成功即視作初賽勝利.無需繼續(xù)闖關(guān).現(xiàn)有甲、乙、丙三人組隊參加初賽.他們各自闖關(guān)

成功的概率分別為四，0，P「假定P”P2，P3互不相等.且每人能否闖關(guān)成功相互獨立.

321

(1)若計劃依次派甲、乙、丙進(jìn)行初賽闖關(guān).A=4^2=3^3=--求該小組初賽勝利的概率：

⑵已知1>PI>0>Pi>0.現(xiàn)有兩種初賽人員派出方案：

方案一：依次派出甲乙丙：

方案二：依次派出丙乙甲

設(shè)方案一和方案二派出人員數(shù)目分別為隨機(jī)變量x,y.求E(x),E(y).并比較它們的大小；

(3)初賽勝利小組的三名成員都可以進(jìn)入復(fù)賽.復(fù)賽規(guī)定：單人參賽.每個人回答三道題.全部答對獲得一

等獎：答對兩道題獲得二等獎：答對一道題獲得三等獎：全部答錯不獲獎.已知某學(xué)生進(jìn)入了復(fù)賽.該學(xué)

生在復(fù)賽中前兩道題答對的概率均為第三道題答對的概率為6.若該學(xué)生獲得一等獎的概率為:，設(shè)該

O

學(xué)生獲得二等獎的概率為P.求P的最小值.

4.(24-25高三上?湖南長沙?階段練習(xí))湖南某高中在校園藝術(shù)節(jié)舉辦形式多樣的活動.

(1)抽獎活動規(guī)則如下：在一不透明的紙箱中有8張完全相同的卡片，其中3張寫有。字母，3張寫有A字

母，2張寫有3字母，抽獎學(xué)生每次不放回從箱中隨機(jī)取出1張卡片，若抽到寫有。的卡片，則再抽1次,

直至取到寫有A或8卡片為止.抽到A卡片送精美校園明信片一張，抽到B卡片送文學(xué)社設(shè)計的精美信封一

個.甲同學(xué)想要明信片，請問甲同學(xué)取到寫有A卡片的概率.

(2)領(lǐng)福袋活動規(guī)則如下：每位同學(xué)都可以去文化長廊領(lǐng)取自己最喜歡的福袋，規(guī)定只能取一次，并且只可

以向前走，不能回頭，長廊上一共懸掛“個福袋(每個福袋的大小不同)，福袋出現(xiàn)在各個位置上的概率相

等，乙同學(xué)想要摘取最大的福袋，他準(zhǔn)備采用如下策略：不摘前左(1<左〈/個福袋，自第Z+1個開始，只

要發(fā)現(xiàn)比他前面見過的福袋都大時，就摘這個福袋，否則就摘最后一個?設(shè)％=切，記乙同學(xué)摘到最大的福袋

概率為尸.

①若〃=4,笈=2,求尸；

②當(dāng)〃趨向于無窮大時，從理論的角度，求尸的最大值及尸取最大值時/的值.(取;+工++—1=ln?)

5.(24-25高三上?湖北?階段練習(xí))某學(xué)校為豐富學(xué)生活動，積極開展乒乓球選修課，甲乙兩同學(xué)進(jìn)行乒乓

球訓(xùn)練，已知甲第一局贏的概率為前一局贏后下一局繼續(xù)贏的概率為?，前一局輸后下一局贏的概率

為|,如此重復(fù)進(jìn)行.記甲同學(xué)第i局贏的概率為片(ieN*).

(1)求乙同學(xué)第2局贏的概率；

⑵求4；

(3)若存在i,使e%7n(q+l)+k20成立，求整數(shù)左的最小值.

6.(2024?全國?模擬預(yù)測)某研究團(tuán)隊需要研究成分S的性質(zhì)，以研制一種新藥.現(xiàn)有w(“eN*)瓶待測試劑，

這些試劑中的部分含有少量成分S,為了更方便的檢測出含有成分S的待測試劑，該團(tuán)隊設(shè)計了以下兩個方

案：

方案一：對這n瓶待測試劑進(jìn)行逐一檢測；

方案二：將這w瓶待測試劑分成G個小組(〃=，成，加eZ),每個小組分別將該組的待測試劑混合后檢測一

次，若未檢測出成分S,則不再進(jìn)行檢測，若檢測出成分S,則對該小組的待測試劑進(jìn)行逐一檢測.

己知每瓶待測試劑中含有成分S的概率均為p,設(shè)X是方案二這n瓶待測試劑的檢測次數(shù)，E(X)為方案二

的檢測次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.

⑴記E(X)的最大值為E,求證：￡<2〃+2」；

n

(2)能否認(rèn)為E(X)〈"恒成立?說明理由，并以此說明方案二的合理性；

(3)給出一個能有效減少檢測次數(shù)的方案，說明理由.

7.(2025?遼寧沈陽?一模)泊松分布是一種統(tǒng)計與概率學(xué)里常見的離散型分布，特別適合用于描述單位時間

(或單位空間)內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)，例如：某一服務(wù)設(shè)施在一定時間內(nèi)到達(dá)的人數(shù)，電話交換機(jī)接到

呼叫的次數(shù)，汽車站臺的候客人數(shù)，機(jī)器出現(xiàn)的故障數(shù)，自然災(zāi)害發(fā)生的次數(shù)，一個產(chǎn)品上的缺陷數(shù)，顯

微鏡下單位分區(qū)內(nèi)的細(xì)菌分布數(shù)等，因此，在管理科學(xué)、運(yùn)籌學(xué)以及自然科學(xué)的某些問題中都占有重要的

2k

地位.若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2(2>0)的泊松分布(記作X~兀(4)),則其概率分布為P(X=k)=^-\

上eN,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng);IN20時，泊松分布可以用正態(tài)分布來近似；當(dāng)4250時，泊松分布基本上就等于正態(tài)分布，此時可認(rèn)

為X~N(44).若乂~碎00),求P(110<X<120)的值(保留三位小數(shù))；

(2)某公司制造微型芯片，次品率為0.1%,各芯片是否為次品相互獨立，以X記產(chǎn)品中的次品數(shù).

①若X~p),求在1000個產(chǎn)品中至少有2個次品的概率；

②若X~M#,4=叩,求在1000個產(chǎn)品中至少有2個次品的概率.通過比較計算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?

⑶若X~7T(4),且尸(X>l)<0.01,求2的最大值(保留一位小數(shù)).

參考數(shù)據(jù)：若X~N(〃,cr2),則一有尸(〃—b<X<〃+cr卜0.6827,P(，—2cr<X<〃+2cr卜0.9545,

P(〃-3b<X<〃+3b)*0.9973；O.9991000~0.3676,0.9999"?0.3680,--0.3678.

題型03概率與其他知識點結(jié)合

【典例訓(xùn)練】

一、解答題

1.（2024?吉林長春?一模）某醫(yī)學(xué)研究團(tuán)隊經(jīng)過研究初步得出檢測某種疾病的患病與否和某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有關(guān),

利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性（患?。∮诨虻扔赾

的人判定為陰性（未患?。?此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率；誤診率是將未患病者判定

為陽性的概率.

（1）隨機(jī)抽取男女各500人進(jìn)行檢驗，采用臨界值。=97.5進(jìn)行判定時，誤判共10人（漏診與誤診之和），其

中2男8女，寫出2x2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值蟆=0.050的獨立性檢驗，能否認(rèn)為誤判與性別有關(guān)？

（2）經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布表：

(100,(105,(110,(115,(120,(125,

指標(biāo)[95,100]

105]110]115]120]125]130]

患病

者頻0.010.060.170.180.20.20.18

率

指標(biāo)[70,75](75,80](80,85](85,90](90,95](95,100](100,105]

未患

病者0.190.20.20.180.170.050.01

頻率

假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.若漏診率和誤診率同時控制在2.5%

以內(nèi)（小于等于2.5%）,求臨界值c的范圍；

（3）在（2）條件下，求出誤判率（漏診率與誤診率之和）最小時的臨界值及c。對應(yīng)的誤診率和漏診率.

n(ad-be)2

附:y2=-----------------

、{a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.1000.0500.0100.001

%2.7063.8416.63510.828

2.（2024?甘肅張掖?一模）近年來，隨著智能手機(jī)的普及，網(wǎng)上買菜迅速進(jìn)入了我們的生活，某小區(qū)將一周

網(wǎng)上買菜次數(shù)超過3次的居民認(rèn)定為“喜歡網(wǎng)上買菜”，不超過3次甚至從不在網(wǎng)上買菜的居民認(rèn)定為“不喜

歡網(wǎng)上買菜”.為了解該社區(qū)居民網(wǎng)上買菜的情況，工作人員隨機(jī)抽取了該社區(qū)100名居民，得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)

如下表所示：

喜歡網(wǎng)上買菜不喜歡網(wǎng)上買菜合計

年齡不超過45歲的

401050

居民

年齡超過45歲的居

203050

民

合計6040100

(1)試根據(jù)a=0.05的/獨立性檢驗，分析該社區(qū)的居民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡有關(guān)系.

(2)居民小張周一、二均在網(wǎng)上買菜，且周一等可能地從兩個買菜平臺隨機(jī)選擇一個下單買菜.如果周一選

4

擇在A平臺買菜，那么周二選擇在A平臺買菜的概率為不；如果周一選擇在8平臺買菜，那么周二選擇在A

平臺買菜的概率為:，求小張周二選擇在B平臺買菜的概率.

(3)用頻率估計概率，現(xiàn)從該社區(qū)隨機(jī)抽取10名居民，記其中喜歡網(wǎng)上買菜的居民人數(shù)為隨機(jī)變量X,并記

隨機(jī)變量y=2X+3,求X,￥的數(shù)學(xué)期望和方差.

參考公式及數(shù)據(jù)：…y其中…+?+〃?

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

3.(2024?廣西柳州?一模)某購物平臺為了吸引更多的顧客在線購物，推出了A和B兩個套餐服務(wù)，并在購

物平臺上推出了優(yōu)惠券活動，顧客可自由選擇A和3兩個套餐之一，下圖是該購物平臺7天銷售優(yōu)惠券的

(1)由折線圖可看出，可用回歸模型擬合y與/的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明;

I?

(2)假設(shè)每位顧客選擇A套餐的概率為選擇8套餐的概率為1,其中A包含一張優(yōu)惠券，B套餐包含兩

張優(yōu)惠券，截止某一時刻，該平臺恰好銷售了〃張優(yōu)惠券，設(shè)其概率為尸“，求匕;

(3)記(2)中所得概率2的值構(gòu)成數(shù)列｛匕｝(〃eN*),求數(shù)列｛舄的最值.

77n

參考數(shù)據(jù)：Ex=16.17,工e=68.359)2=。72,占=2.646

i=l，=1Vi=l

1(-)(%-刃

參考公式：相關(guān)系數(shù)」=I,3,

Jsu-n2Z(x-y)2

VZ=1Z=1

4.(23-24高三下?安徽阜陽?期末)某射擊隊舉行一次娛樂活動，該活動分為兩階段，第一階段是選拔階段，

甲、乙兩位運(yùn)動員各射擊100次，所得成績中位數(shù)大的運(yùn)動員參加下一階段，第二階段是游戲階段，游戲

規(guī)則如下：

①有4次游戲機(jī)會.

②依次參加4B,C游戲.

③前一個游戲勝利后才可以參加下一個游戲，若輪到C游戲后，無論勝利還是失敗，一直都參加C游戲，

直到4次機(jī)會全部用完.

④參加A游戲，則每次勝利可以獲得獎金50元；參加8游戲，則每次勝利可以獲得獎金100元；參加C游

戲，則每次勝利可以獲得獎金200元.

己知甲參加每一個游戲獲勝的概率都是乙參加每一個游戲獲勝的概率都是:，甲、乙參加每次游戲相

/3

互獨立，第一階段甲、乙兩位運(yùn)動員射擊所得成績的頻率分布直方圖如下:

頻率/組距

0.045

0.025

0.020

0.005

O-5060708090100成績/分

甲

(1)甲、乙兩位運(yùn)動員誰參加第二階段游戲?并說明理由.

(2)在(1)的基礎(chǔ)上，解答下列兩問.

(i)求該運(yùn)動員能參加C游戲的概率.

(ii)記x為該運(yùn)動員最終獲得的獎金額，尸為獲得每個獎金額對應(yīng)的概率，請用適當(dāng)?shù)谋硎痉ū硎臼P(guān)于

x的函數(shù).

5.(2024高三.全國?專題練習(xí))將連續(xù)正整數(shù)1,2,L,”(〃eN*)從小到大排列構(gòu)成一個數(shù)123n,F(n)

為這個數(shù)的位數(shù)(如當(dāng)〃=12時，此數(shù)為123456789101112,共有15個數(shù)字，下(12)=15),現(xiàn)從這個數(shù)中隨

機(jī)取一個數(shù)字，p(?)為恰好取到0的概率.

⑴求0(100).

(2)當(dāng)〃V2021時，求尸(九)的表達(dá)式.

(3)令g(〃)為這個數(shù)中數(shù)字0的個數(shù)，/⑺為這個數(shù)中數(shù)字9的個數(shù)，版〃)=/(〃)-g(〃),

S={川/2(〃)=l,〃W100,〃eN*},求當(dāng)“eS時"(")的最大值.

6.(24-25高三上?云南?階段練習(xí))某商場為吸引顧客，設(shè)計了一個趣味小游戲，地面上劃有邊長為1的小

正方形網(wǎng)格，游戲參與者從網(wǎng)格的某一個頂點出發(fā)，每一步沿一個小正方形的對角線向右上方或右下方移

動，如圖所示.已知游戲參與者每步選擇向右上方或者右下方行走是等可能的，且每步行走方向的選擇是

相互獨立的.

⑴商場規(guī)定:某顧客從0(0,0)出發(fā)，沿小正方形的對角線向右上方走一步得1分，向右下方走一步得-1分，

當(dāng)他走完第四步后，得分為X,求X的分布列；

(2)商場制定了一個游戲規(guī)則：若顧客和老板都從。(0,0)出發(fā)，走到點4(2〃+3,2〃-1乂〃eN*)的位置.設(shè)

走完第i步后，顧客位于點耳(%?%),老板位于點耳(4乂)，其中1V注2M+3且ieN*;若對任意l<z<2〃+3

且ieN*都有則認(rèn)為顧客方獲勝.記顧客獲勝的概率為匕.

(i)當(dāng)〃=3時，求顧客獲勝的概率A；

(ii)求A，并說明顧客和老板在游戲中哪一方獲勝的概率更大.

參考公式：12+22+32++1=中+1)(2"+1).

6

o-----------題型通關(guān)?沖高考-----------*>

一、解答題

1.(24-25高三上?江蘇南通?開學(xué)考試)某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)

指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖:

八頻率/組距十頻率/組距

利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值C,將該指標(biāo)大于C的人判定為陽性，小于或等于C的人判

定為陰性.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p(c)；誤診率是將未患病者判定為陽性

的概率，記為q(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

⑴當(dāng)c=103時，比較P?與q(c)的大小;

(2)當(dāng)q(c)=0.05時，求p(c)；

⑶函數(shù)/(c)=p(c)+q(c),當(dāng)ce［95,105］時，求/(c)的解析式,并求〃c)在區(qū)間［95,105］上的值域.

2.(2024?浙江?三模)為提高學(xué)生的思想政治覺悟，激發(fā)愛國熱情，增強(qiáng)國防觀念和國家安全意識，某校進(jìn)

行軍訓(xùn)打靶競賽.規(guī)則如下：每人共有3次機(jī)會，擊中靶心得1分，否則得0分、已知甲選手第一槍擊中

2

靶心的概率為I,且滿足：如果第〃次射擊擊中靶心概率為p,那么當(dāng)?shù)凇ù螕糁邪行臅r，第〃+1次擊中靶

心的概率也為P，否則第〃+1次擊中靶心的概率為

(1)求甲選手得分X的分布列及其數(shù)學(xué)期望；

⑵有如下定義：設(shè)X是一個隨機(jī)變量，x是任意實數(shù)，函數(shù)產(chǎn)(x)=P(XVx),xeR稱為X的分布函數(shù)，

對于任意實數(shù)4，X2(^<X2),wP(X1<X<X2)=P(X<X2)-P(X<X1)=F(X2)-F(J:1).因此，若已知X

的分布函數(shù)，我們就知道X落在任一區(qū)間國％］上的概率.

(i)寫出(1)中甲選手得分X的分布函數(shù)(分段函數(shù)形式)；

(ii)靶子是半徑為2的一個圓盤，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比，假如選

手射擊都能中靶，以y表示彈著點與圓心的距離.試求隨機(jī)變量y的分布函數(shù).

3.(23-24高三下?山西長治?期中)蝗蟲能對農(nóng)作物造成嚴(yán)重傷害，每只蝗蟲的平均產(chǎn)卵數(shù)y(單位：個)

和平均溫度X(單位：C)有關(guān)，根據(jù)以往在某地收集到的7組數(shù)據(jù)作出散點圖，發(fā)現(xiàn)兩個變量并不呈現(xiàn)

線性相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)分別用模型①y=C,X2+G與模型②y=e。#。,作為平均產(chǎn)卵數(shù)y和平均溫度X的回歸方程

來建立兩個變量之間的關(guān)系.

350-

300-

250-

200-

20,2224262830323436x

平均溫度x/℃21232527293235

平均產(chǎn)卵數(shù)y/個59222565118324

t=X244152962572984110241225

z=]ny1.612.203.093.224.174.775.78

Xtyz

27.43773.4381.143.55

7777

￡(%-?。?/p>

)(-9)刃^(z;-z)(x;-x)

Z=11=1i=li=l

￡7(玉-寸777

E(—)2E(—)2

i=li=lZ=1Z=1

20.030.370.290.0052

,17.17

其中4=x；,t=1t"Zj=Iny”z=三，￡.

'/=i/M

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得出模型①y=0.37/-205.03,請建立模型②下〉關(guān)于X的回歸方程；并在兩個

模型下分別估計溫度為30c時的產(chǎn)卵數(shù)；（C3，C,與估計值均精確到小數(shù)點后兩位）（參考數(shù)據(jù)：

e4-25?7O.ll,e430x73.70,e435?77.48）

⑵模型①，②的決定系數(shù)分別為R；=0.8124,R；=0.988,請根據(jù)決定系數(shù)判斷哪個模型的擬合效果更好；

（3）根據(jù)以往統(tǒng)計，該地每年平均溫度達(dá)到30c以上時蝗蟲會對農(nóng)作物造成嚴(yán)重傷害，需要人工防治，其他

情況均不需要人工防治.設(shè)該地每年平均溫度達(dá)到30C以上的概率為。（0<p<1）,該地今后n（n>3,?eN*）

年恰好需要2次人工防治的概率為“P）.

①求取得最大值時對應(yīng)的概率Po;

②當(dāng)〃p）取最大值時，設(shè)該地今后5年需要人工防治的次數(shù)為X,求X的均值和方差.

附：對于一組數(shù)據(jù)（%,匕）,（％，%），（%匕），其回歸直線丫=例+夕的斜率和截距的最小二乘估計分別為：

B=且-------------------,a=v-Bu.

茨if

i=l

4.(24-25高三上?貴州貴陽?階段練習(xí))為了檢測某種抗病毒疫苗的免疫效果，需要進(jìn)行動物與人體試驗.研

究人員將疫苗注射到200只小白鼠體內(nèi)，一段時間后測量小白鼠的某項指標(biāo)值，按

[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分組，繪制頻率分布直方圖如圖所示.試驗發(fā)現(xiàn)小白鼠體內(nèi)產(chǎn)生抗體

的共有160只，其中該項指標(biāo)值不小于60的有110只.假設(shè)小白鼠注射疫苗后是否產(chǎn)生抗體相互獨立.

(1)填寫下面的2x2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表及a=0.01的獨立性檢驗，判斷能否認(rèn)為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生

抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān)；

單位：只

指標(biāo)值

抗體合計

小于60不小于60

有抗體

沒有抗體

合計

(2)為檢驗疫苗二次接種的免疫抗體性，對第一次注射疫苗后沒有產(chǎn)生抗體的40只小白鼠進(jìn)行第二次注射疫

苗，結(jié)果又有20只小白鼠產(chǎn)生抗體.

(i)用頻率估計概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率P；

(ii)以(i)中確定的概率尸作為人體注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，進(jìn)行人體接種試驗，記100個人注

射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的數(shù)量為隨機(jī)變量X.求E(X)及尸(X=%)取最大值時的左值.

n(ad-bc)2

參考公式：z2=(其中幾=為樣本容量)

(i+Z?)(c+d)(4+c)(Z?+d)

參考數(shù)據(jù):

a0.1000.0500.0100.005

Xa2.7063.8416.6357.879

5.(2024?吉林?模擬預(yù)測)籃球運(yùn)動是在1891年由美國馬薩諸塞州斯普林爾德市基督教青年會訓(xùn)練學(xué)校體

育教師詹姆士?奈史密斯博士，借鑒其他球類運(yùn)動項目設(shè)計發(fā)明的.起初，他將兩只桃籃釘在健身房內(nèi)看臺

的欄桿上，桃籃上沿離地面約3.05米，用足球作為比賽工具，任何一方在獲球后，利用傳遞、運(yùn)拍，將球

向籃內(nèi)投擲，投球入籃得一分，按得分多少決定比賽勝負(fù).在1891年的12月21日，舉行了首次世界籃球

比賽，后來籃球界就將此日定為國際籃球日.甲、乙兩人進(jìn)行投籃，比賽規(guī)則是：甲、乙每人投3球，進(jìn)

球多的一方獲得勝利，勝利1次，則獲得一個積分，平局或者輸方不得分.已知甲和乙每次進(jìn)球的概率分

別是|■和P，且每人進(jìn)球與否互不影響.

(1)若p=(,求乙在一輪比賽中獲得一個積分的概率；

1?

(2)若'WpW],且每輪比賽互不影響，乙要想至少獲得3個積分且每輪比賽至少要超甲2個球，從數(shù)學(xué)期

望的角度分析，理論上至少要進(jìn)行多少輪比賽？

6.(24-25高三上?吉林白城?階段練習(xí))傳球是排球運(yùn)動中最基本、最重要的一項技術(shù).傳球是由準(zhǔn)備姿勢、

迎球、擊球、手型、用力5個動作部分組成.其中較難掌握的是觸球時的手型，因為觸球時手型正確與否直接

影響手控制球的能力和傳球的準(zhǔn)確性，對初學(xué)者來說掌握了正確手型才能保證正確擊球點和較好的運(yùn)用手

指，手腕的彈力.從小張、小胡、小郭、小李、小陳這5人中隨機(jī)地抽取三個人去做傳球訓(xùn)練.訓(xùn)練規(guī)則是確

定一人第一次將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，每次必須將

球傳出.

⑴記小胡、小李、小陳這三人中被抽到的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列；

(2)若剛好抽到小胡、小李、小陳三個人相互做傳球訓(xùn)練，且第1次由小胡將球傳出，記〃次傳球后球在小胡

手中的概率為P”〃=l，2,3,.

①直接寫出P”P2，P3的值；

②求P"+I與P?的關(guān)系式(〃eN*),并求P?(MGN*).

7.(2024福建.模擬預(yù)測)為慶祝祖國75周年華誕，某商場決定在國慶期間舉行抽獎活動.盒中裝有5個除

顏色外均相同的小球，其中2個是紅球，3個是黃球.每位顧客均有一次抽獎機(jī)會，抽獎時從盒中隨機(jī)取出

1球，若取出的是紅球，則可領(lǐng)取“特等獎”，該小球不再放回；若取出的是黃球，則可領(lǐng)取“參與獎”，并將

該球放回盒中.

⑴在第2位顧客中“參與獎”的條件下，第1位顧客中“特等獎”的概率；

⑵記匕―為第?個顧客參與后后來參與的顧客不再有機(jī)會中“特等獎”的概率，求數(shù)列仍,｝的通項公式；

（3）設(shè)事件X為第七個顧客參與時獲得最后一個“特等獎”，要使X發(fā)生概率最大，求上的值.

8.（24-25高三上?貴州貴陽?階段練習(xí)）某校組織了投籃活動幫助高三學(xué)生緩解壓力，該活動的規(guī)則如下：

①每個投籃人一次投一球，連續(xù)投多次；②當(dāng)投中2次時，這個投籃人的投籃活動結(jié)束.已知某同學(xué)一次投

籃命中率為:，每次投籃之間相互獨立.記該同學(xué)投籃次數(shù)為隨機(jī)變量X.

（1）求該同學(xué)投籃次數(shù)為4次時結(jié)束比賽的概率；

⑵求該同學(xué)投籃次數(shù)X（不超過〃）的分布列；

⑶在（2）的前提下，若尸（X=2）+P（X=3）++P（X=?）＞|,求〃的最小值.

9.（24-25高三上?廣西?階段練習(xí)）甲、乙兩個口袋都裝有3個小球（1個黑球和2個白球）.現(xiàn)從甲、乙口

袋中各取1個小球交換放入另外一個口袋（即甲口袋中的小球放入乙口袋，乙口袋中的小球放入甲口袋）,

交換小球”次后，甲口袋中恰有2個黑球的概率為幺，恰有1個黑球的概率為4“.

（1）求P1,%;

⑵求P2,%；

n31

⑶求數(shù)列｛為｝的通項公式，并證明￡/-三＜—.

10.（23-24高三下?浙江?期中）一個航空航天的興趣小組，隨機(jī)對學(xué)校100名學(xué)生關(guān)于航空航天是否感興趣

的話題進(jìn)行統(tǒng)計，其中被選取的男女生的人數(shù)之比為11：9.

（1）請補(bǔ)充完整列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值，判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為對航空航天感興趣的情況與性別相

關(guān)聯(lián).

感興趣不感興趣合計

男生

女生15

合計50100

（2）一名興趣小組成員在試驗桌上進(jìn)行兩艘飛行器模型間的“交會對接”游戲，已知左右兩邊均有2艘“02運(yùn)

輸船”和1艘“Ml轉(zhuǎn)移塔”.游戲規(guī)則是每次在左右兩邊各任取一艘飛行器交換,假設(shè)“交會對接”重復(fù)了n次，

記左邊剩余“Ml轉(zhuǎn)移塔”的艘數(shù)為X“，左邊恰有1艘“Ml轉(zhuǎn)移塔”的概率為%，恰有2艘“Ml轉(zhuǎn)移塔”的概

率為人“,求

①求X的分布列；

②求凡;

③試判斷E（x“）是否為定值，并加以證明.

附：_______%_______

n=a+b+c+d.

(Q+Z?)(c+d)(Q+c)(b+d)

a0.1000.0500.0100.001

%2.7063.8416.63510,828

11.（23-24高三下.山東青島.階段練習(xí)）某制藥公司研制了一款針對某種病毒的新疫苗，該病毒一般通過病

鼠與白鼠之間的接觸傳染.現(xiàn)有〃只白鼠，已知每只白鼠在未接種疫苗時，接觸病鼠后被感染的概率為

設(shè)隨機(jī)變量X表示n只白鼠在未接種疫苗時接觸病鼠后被感染的白鼠數(shù)，假設(shè)每只白鼠是否被感染之間相

互獨立.

⑴若尸（X=5）=P（X=95）,求數(shù)學(xué)期望E（X）；

（2）設(shè)接種疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率為p,將接種疫苗后的白鼠分成10組，每組10只，進(jìn)行實驗,

隨機(jī)變量，X,Q=1,2,.,10）表示第i組被感染的白鼠數(shù).現(xiàn)將隨機(jī)變量X,1=1,2,,,10））的實驗結(jié)果

=,10）繪制成頻數(shù)分布圖，如圖所示.

不感染只數(shù)

①試寫出事件“X1=x"X2=%，，乂。=玉?！卑l(fā)生的概率表達(dá)式（用p表示，組合數(shù)不必計算）；

②現(xiàn)有兩個不同的研究團(tuán)隊理論研究發(fā)現(xiàn)概率P與參數(shù)6（0＜。＜1）的取值有關(guān)，團(tuán)隊A提出函數(shù)模型為

p=ln（l+，）-|4，團(tuán)隊B提出函數(shù)模型為p=；（l-d）.在統(tǒng)計學(xué)中，若參數(shù)。=4時使得概率

P（%=不,X2=%，?，及0=占°）最大，稱為是。的最大似然估計.根據(jù)這一原理和團(tuán)隊A,8提出的函數(shù)模型,

3

判斷哪個團(tuán)隊的函數(shù)模型可以求出〃的最大似然估計,并求出最大似然估計.參考數(shù)據(jù)：皿5°。4。65.

12.(2024?山東濟(jì)南.二模)隨機(jī)游走在空氣中的煙霧擴(kuò)散、股票市場的價格波動等動態(tài)隨機(jī)現(xiàn)象中有重要

應(yīng)用.在平面直角坐標(biāo)系中，粒子從原點出發(fā)，每秒向左、向右、向上或向下移動一個單位，且向四個方向

移動的概率均為例如在1秒末，粒子會等可能地出現(xiàn)在(1,0),(T,0),(0,1),(0,-I)四點處.

(1)設(shè)粒子在第2秒末移動到點(x,y),記x+y的取值為隨機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(x)；

(2)記第n秒末粒子回到原點的概率為P".

⑴己知￡(C)2=G“求P3，”以及0

k=0

(ii)令b“=P2“，記s”為數(shù)列｛2｝的前W項和，若對任意實數(shù)V>0,存在〃eN*,使得s“>”,則稱粒子

￡

是常返的.已知有[]<〃!<qj同，證明：該粒子是常返的.

13.(24-25高三上?湖南郴州?開學(xué)考試)在扔硬幣猜正反游戲中，當(dāng)硬幣出現(xiàn)正面時，猜是正面的概率為

a(O<a<l).猜是反面的概率為1-a；當(dāng)硬幣出現(xiàn)反面時，猜是反面的概率為，(0</<1),猜是正面的概

率為1.假設(shè)每次扔硬幣相互獨立.

(D若兩次扔硬幣分別為“正反”，設(shè)猜測全部正確與猜測全部錯誤的概率分別為匕鳥，試比較6，鳥的大?。?/p>

(2)若不管扔硬幣是正面還是反面猜對的概率都大于猜錯的概率，

(i)從下面①②③④中選出一定錯誤的結(jié)論：

3I1

①a+"=5；②a+￡=l；③a￡=/,@a/3=-

(ii)從(i)中選出一個可能正確的結(jié)論作為條件.用X表示猜測的正反文字串，將X中正面的個數(shù)記為“(x),

如乂="正反正反"，則”(x)=2,若扔四次硬幣分別為“正正反反”，求尸(〃(x)=2)的取值范圍.