2025年高考三輪沖刺訓練：三角函數(shù) 綜合練習（含解析）

2025年高考三輪沖刺專題訓練三角函數(shù)綜合練習

1.已知函數(shù)f(%)=As譏(3%+0)(/〉0,3〉0,0V0V今的部分圖象如圖所示,

(1)求A、0)、年及/(%)的解析式；

(2)寫出其圖象對稱中心坐標；

(3)若XE選,第時,f(x)W3a-1恒成立，求a的取值范圍.

2.已知函數(shù)/'(x)=cos(2久一卷一2cos2久+1.

(1)求函數(shù)/(無)的對稱中心；

(2)求函數(shù)/(x)的單調減區(qū)間；

(3)若不等式，(x)一詞<1對]￡[_金，芻恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

3.已知CD>0,f(x)=sina)x+2y/3cos2

(1)若函數(shù)y=/(x)的最小正周期為IT,求3的值；

(2)當0)=1時，設〃€[0,2nl.若函數(shù)y=/(x)和y=/(x+4)在[0,川上有相同的最

大值，求〃的取值范圍.

4.已知函數(shù)f(%)=2sin(x—.cos(x—^)+2V3cos2(x—芻-V3.

（1）求函數(shù)/（x）的對稱軸方程；

7訂

（2）若函數(shù)g（x）=/（2x）-a在區(qū)間［0,誦］上恰有3個零點x\,xi,X3（xi<x2<x3）?

（力求實數(shù)〃的取值范圍；

（拓）求2%1+%2-%3的值.

5.已知函數(shù)/（、）=3sin2x+y/3cos2x.

（1）求/（x）的單調遞增區(qū)間；

（2）求/（x）在信，符］上的值域；

⑶若函數(shù)g（無）=/（%）-機在［各秒上的零點個數(shù)為2,求機的取值范圍.

6.已知函數(shù)/（久）=2s出（3K+卷）（3>0）在區(qū)間（一號，芻上恰有一個最大值點和一個最小值

點.

（1）求實數(shù)3的取值范圍；

（2）如果求co在（1）的范圍內(nèi)取最小整數(shù).令g（%）=sin?X+看）+cos（3%+1）+

S譏（3%+看）COS?%+看）.求g（X）在［一韻上的值域.

7.已知函數(shù)/（x）=V3sina）x+4zcos（ji）x（a）>0）圖象的一個對稱中心到相鄰對稱軸的距離為

P且/（0）+雇）=3.

(1)求/(x)的解析式；

TT

(2)將函數(shù)/(%)的圖象向左平移石個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到函數(shù)

g(x)的圖象，若g(XI)g(X2)=9,且XI,X2G［-2TI,2TI］,求2xi-12的最大值；

(3)記函數(shù)/(x)在區(qū)間［t,t+勺上的最大值為Mt,最小值為mt,設函數(shù)H⑺=

Mt-mt,求函數(shù)”⑺在區(qū)間［金，粉上的值域.

77*TT1(

8.設函數(shù)/(x)=sin(o)x—石)+sin(u)x—^),其中0Vo)V3,已知/(公)=0.

(1)求/(x)的最小正周期；

(2)將函數(shù)>=/(%)的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，再將整

TCTT3TC

個圖象向左平移：個單位，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求g(x)在區(qū)間［-征，二］上的

最小值.

9.已知函數(shù)/(x)=sin(ou+(p)(a)>0,0<(p<n)的周期為m圖象的一個對稱中心為

4,0),將函數(shù)/G)圖象上的所有點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，再將

71

所得圖象向右平移5個單位長度后得到函數(shù)g(無)的圖象.

(1)求函數(shù)/(X)與g(無)的解析式；

(2)當尤6(0,2it)時，求方程了(尤)g(x)—If(x)+g(無)解的個數(shù)；

(3)求實數(shù)。與正整數(shù)”，使得尸(無)=/(無)+ag(x)在區(qū)間(0,mt)內(nèi)恰有2025

個零點.

10.已知函數(shù)/(X)=(2V3sinx—cosx)cosx+sin2x.

(1)求函數(shù)無)的單調遞減區(qū)間和最小正周期；

(2)若當久e雷，月時，不等式“龍)》加有解，求實數(shù)機的取值范圍.

11.已知函數(shù)/(%)=2cos%?sin(x—冬+2gcos2%—孚，xER.

(1)求/(%)的對稱軸方程；

(2)若關于x的方程3[/(x)?+時(％)+i=o在區(qū)間[_會專上有兩個不相等的實根,

求實數(shù)小的取值范圍.

12.已知/(工)=sin(uu+1)，a)>0.

(1)設3=1,求解：y=f(x),xG[0,TT]的值域；

(2)a>n(〃eR),f(x)的最小正周期為n,若在上恰有3個零點，求〃的取

值范圍.

13.設/(x)=sinxcosx-cos2(x+4).

(I)求/(%)的單調區(qū)間；

(II)在銳角△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若/(])=。，。=1，求

△ABC面積的最大值.

9a2

14.在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知cosB=訖，6=5,-=

(1)求a的值；

(2)求sinA的值；

(3)求cos(B-2A)的值.

71

15.在aBC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知tan(-W=2.

sin2A

(I)求的值;

sin2A+cos2A

(II)若8=%0=3,求△ABC的面積.

參考答案

(0+^兀

—2-3+@=2+2左兀

兀+解得看，

1.【解答】解：(1)由題意可得〈^^3+9=22/CTT,3=2,(P=

0<(p<^

EZ

由圖可知〃O)=Asi碟=2,解得A=4,

所以/(%)=4sin(2x+看)；

(2)因為對稱中心的橫坐標滿足：2KM=kn,k&Z,解得x=—與，k￡Z,

所以圖象對稱中心坐標(—今+竽，0),kez；

,n57r一一，7T71117T

(3)t因為一<%<一,所以一<2%+-<---，

126366

所以當2支+著=今即久舞時，“X)取得最大值4,

因為xe[各將時，f(x)W3a-1恒成立,

所以4W3〃-L解得Q>東

則〃的取值范圍是[|，+00).

2.【解答】解：(1)函數(shù)/(%)=cos(2%——2cos2%+1

=cos(2x—j)-cos2x=sin(2x—看)；

令2%—5=kn,解得久=(kGZ),故/(x)的對稱中心為，0)(/cGZ).

O乙_L.乙乙.乙

(2)令2kli+242.x—石<2/CTT4—(kGZ),

得k?i+可<%〈kuH—(kGZ).

所以函數(shù)的嚴格減區(qū)間為即+引fc7T+^](/cGZ).

(3)因為％E[—金，芻，所以2%一看E[一亨，患]，

所以一字-sin(2x—看)<1,

即當久6[―-^2f引時，f(^)7nin=f(X)max—1.

因為1/(X)~刑VI對%€[—金，芻怛成立，

所以/(%)max-l<m<f(X)加〃+1,

即OVznVl-學即機的取值范圍為(0,1-孚).

3.【解答】解：(1)/(%)=sina)x+2v5cos2等=sina)x+2V3-

(2)當3=1時，/(x)=2sin(x+^)+V3.

一,717T47r

右XG[O,7l]時，-<%+一<--,

333

當久+5=5時，函數(shù)y=/(x)取得最大值2+百，

而函數(shù)>=/(X+。)與>=/(%)存在相同的最大值，

故當久+a+亨=*+2/CTT(/CEZ)時，函數(shù)y=/(x+〃)在[0,n]內(nèi)取得最大值,

因此可得%=3+2/OT—a￡[。TT],

6-a^°兀

①當仁。時，則有已一。三兀，解得ae[0,勺；

VO<a<2TT

“37r

an

\~~-077r

②當上=1時，則有《13兀，解得2TT].

—g---a<nL6

'-O<a<2TT

當心2時，％=1+2/c7T—aZ看+4兀-2〃2」|巴，此時，久=1+2/CTT—aW[0,n],

當上W-1時，％二石+2/CTT-aW石一27r=g—,此時，％=召+2k兀-aW[0,TT].

綜上所述，Q的取值范圍為[0,凱信，2捫.

4.【解答】解：(1)由題意可得：/(%)=2sin(x—^)cos(x—^)+V3cos(2x—

—siTi(2.x—g-)+V5cos(2%—g-)

=2sin(2x—冬+號)

TT

=2sin(2x一3)，

令2,x—W=]+k1Ji(kGZ),2x=&n+~g~,keZ,

解得：X=患+々兀(/￡ez),

「77"

所以/(%)的對稱軸方程為第=^+/C7T(/cEZ);

(2)(z)因為g(x)=f(2x)-a=2sm(4x—^)—a,

令g(%)=2sin(4x—芻—a=0,

可得2sin(4%—^)=a,

當X6[0/時，4x-[—泉2K],

令t=4x—金則IE[―1,2TT],

則g(x)在區(qū)間[0,笥上恰有3個零點等價于y=2sim與尸〃在[-引2汨上恰有3個

不同的交點，

因為當/=—可時，y=2sim=—\/3?

由圖象可知：當一V54a<0時，y=2sin/與y=a恰有3個不同的交點，

所以實數(shù)〃的取值范圍為[-遍，0]；

5)設y=2sim與y=a的3個不同的交點分別為九，⑵￡3(九〈也〈右)，

則Z2+/3=3TT,Z3-n=2ir,

貝!J2t\+ti-￡3=25-2ir)+t2-/3=叁+/3-4R=-n,

即2(4%I-電+(4&-號)一(4的-')=—7r,

整理可得：8/+4x2一強=一1

所以2/+12—%3=一今.

5.【解答】解：(1)因為/(x)=2V^sin(2x+召)，由—々+2ZnrW2x+&<々+2E,蛇Z,

得一亨+AnrWx<n+“口，左EZ,

36

7rTC

所以“無)的單調遞增區(qū)間為[—當+Mr,-+Iai],kez.

s6

7T5TCTC

(2)令￡=2X+，由xE石，—],得怎寫，n],則/(%)—h(/)=2V3sinr,

由正弦函數(shù)的性質知，h(/)在g,勺上單調遞增，在(泉E上單調遞減，

I,加lnl

則/(x)max—h(―)=2V3sin—二2百，

__TC__TT

因為/z(n)=2V3sinn=0</i(—)=2V3sin—=3,所以/(x)min=O.

57r—

所以/(無)在［石，運］上的值域為［0,2V3］.

7T57r

(3)令g(光)=0,得/(%)=m,即〃(力=m,則g(x)在［石，運］上的零點個數(shù)，

即〃(力的圖象與直線y=m在g,IT］上的公共點個數(shù).

TC,I_

由(2)知〃(n)=0<h(-)=3,所以3(機<2百，即能的取值范圍是［3,2V3).

6.【解答】解：⑴由已知函數(shù)=2s譏(3刀+骸3〉0)在區(qū)間(一/芻上恰有一個

最大值點和一個最小值點，

,7171：T7112

可得—一(―一)〉—=—na)>一,

3'4，237

令t=3%+:，

O

由久e(—/芻，可得te(_,3+9梟+()，

則/(x)在區(qū)間(一》野上的最值點個數(shù)等價于g。)=2sim在(一緊+，緊+總上

1"J1U。U

的最值點個數(shù),

.127TIT717T7T

由3>，—彳3+w<0，-3+—〉0,

74636

'37r7171—71

-T-~4&)+6<~28

所以可得一<3<4,

71,7T,71,37r3

2<@3+64區(qū)

所以3的取值范圍是g,4］；

(2)由題知：u)=3,令m=sin(3%+看)+cos(3久+,)二十(3%+罌),

由工€［一,,韻，可得3久+招￡|-亨,強,

解得？71G[―苧,y/2],

由TH=sin(3x+看)+cos(3x+著)，可得?n?=1+2sin(3x+^)cos(3x+1),

所以s譏(3%+看)cos(3%+1)=7nJ1,

一211

所以g(%)=h(rn)=彳+TH-^=々(m+1/-1,

所以g(X)min=h(m)min=h(_1)=-1,

所以g(X)max=h(m)max=%(圾=￡+&，

所以，g(x)的值域為[―1,I+V2],

7T

7.【解答】解：(1)因為/(X)圖象的一個對稱中心到相鄰對稱軸的距離為了，

4

所以/(%)最小正周期為T=4xa=m所以o)=竿=2,f(x)=V3sin2x+ticos2x,

因為/(O)+f(g=〃+gx苧+；3,所以〃=1,

所以/(x)=V3sin2x+cos2x=2sin(2元+卷);

(2)由(1),g(x)—f(x+^^)+1—2sin[2(x+y^)+Q]+l=2sin(2x+g)+1,

貝!Jg(X)min=i1,g(X)max=3,

因為g(XI)g(X2)=9,所以g(XI)=g(X2)=3,

1113TC

因為XI,X2E[-2TI,2TT],所以2X1+3，2x2+^G[----—^―],

則2%i+(,2x2+,為集合｛-竽,一手，p:｝中的一個，

當211+5=苧，2x2+號=—?時，即％1=莖^,X2=一時，2x172最大，

4971

最大值為工-;

⑶因為正信，招],所以2注陽會TT],2(什左)+恥弓，

當怎信,髀,f(x)在上，芻上遞增,在(巴，什勺上遞減,

所以A//=2,m=f(/+.)=2sin[2(什4)+,g]=2cos(2/+小)，

此時H(?)=2-2cos⑵+分，

o

因為2什注g,]),所以HG)在花[各奇上遞增，

H(―)=2-2cos-=1,H(-)=2-0=2,所以H(/)￡[1,2),

1236

當/€1,石■]時，f(x)在e[t,t+$上單調遞減，

所以跖=/■⑺=2sin⑵+強)，mt=f(r+J)=2sin[2(什稱)+1]=2cos⑵+，),

H⑺=Mt-mt=2sm(21看)-2cos⑵+第=2/sin(2f+1-J)=2/sin⑵一白,

,,,TC5TTTT7T37r——,—

因為正[，—],2/一豆6[了—｝,所以〃(力G[2,2A/2],

綜上,向各穎時,H⑺值域為[1,2V2].

8.【解答】解：(1)函數(shù)/(x)=sin(cox—1)+sin(a)x—

717171

=sinooxcos——cosooxsin——sin(——on)

662

V53

=-g-sincox—2coso)x

=V3sin(air-

又于(一)=V3sin(—co—q)=0,

665

.771

.?.-3一方=ZlT,k￡Z,

63

解得co=6H2,

又0V3V3,

.*.0)=2,f(x)的最小正周期T=竽=7T;

(2)由(1)知，f(x)=V3sin(2x—

將函數(shù)y=/(x)的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，得到函數(shù)>=

V3sin(x—的圖象;

再將得到的圖象向左平移巴個單位，得到y(tǒng)=Bsin(x+[-當)的圖象，

443

工函數(shù)y=g(x)=V3sin(x一今)；

,TT37r,TTjr27r

當兀日一.，時，x一變?nèi)找挥?

/.sin(x—金)[一余1],

；?當元=一押，g(%)取得最小值是-亨X百=-|.

9.【解答】解：(1)二?函數(shù)/(X)=sin(a)x+(p)(a)>0,0<(p<n)的周期為n,

?_2TT_

??(i)一1一L、

又曲線y=/(x)的一個對稱中心為4，0),(pe(0/TT),故f?)=s譏(2x百+@)=0,

得5=}

:?于(x)=cos2x.

將函數(shù)/G)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)后可得y=cosx

的圖象，再將尸cosX的圖象向右平移g個單位長度后得到函數(shù)g(%)=cos(%-?)的圖象，

??g(x)=sinx.

(2)當xE(0,2n)時，所求為方程sinxcos2x=sinr+2cos2x在區(qū)間(0,2n)內(nèi)解的個

數(shù).

代入cos2%=l-2sin2x,并記t=siwc,

問題化為I(1-2Z2)=汁2(1-2?),

即2?-4?+2=2(/-I)(？-r-1)=0,解得sin%=1=1,

在在(0,2TI)內(nèi)分別有1個，。個，2個解，即所求解的個數(shù)為3個.

(3)依題意，F(xiàn)(x)=asiiix+cos2x,令/(x)=〃sinx+cos2x=0,

當sinx=0,BPx=lai(蛇Z)時，cos2x=1,

從而％=加(依Z)不是方程/(x)=0的解，

；?方程/(%)=0等價于方程a=—'遍”,x手k7i(kEZ).

coslxl-2sm2x.1i門…、

令無(%)=—：=2Qsinx：，xWkn(kE

sinx-----s-i--n-x------------s--i-n-x'ZJ),

y=sinx的圖象在區(qū)間(0,IT)內(nèi)關于直線％=*對稱，則力(x)的圖象在區(qū)間(0,n)

內(nèi)關于直線1=1對稱，

咐)=1,則時，直線y=a與曲線y=/z(x)在區(qū)間(0,n)內(nèi)總有偶數(shù)個交點；

尸sinx的圖象在區(qū)間(71,2TT)內(nèi)關于直線％=手對稱，則h(x)的圖象在區(qū)間(n,2n)

內(nèi)關于直線》=岑對稱，

"(竽)=一L則"W-1時，直線)=〃與曲線(％)在區(qū)間(IT,2it)內(nèi)總有偶數(shù)個

交占

由函數(shù)%(%)的周期性，可知當aW±l時，直線y=a與曲線y=/z(%)在區(qū)間(0,〃豆)

內(nèi)總有偶數(shù)個交點，

從而不存在正整數(shù)小使得直線>=〃與曲線y=/z(x)在區(qū)間(0,〃TI)內(nèi)恰有2025個

零點；

由單調區(qū)間h(x),當。=1或a=-1時，直線y=a與曲線y=h(%)在(0,n)U(IT,

2n)內(nèi)有3個交點(在兩個區(qū)間內(nèi)為1+2或2+1個)，

由周期性，2025=3X675,??.〃=675X2=1350.

綜上，當a=±1,n=1350時，函數(shù)F(x)=f(x)+ag(%)在區(qū)間(0,內(nèi)恰有

2025個零點.

10.【解答】解：(1)已知函數(shù)/(%)=(2Ds譏第—COS%)COSX+S譏2%,

貝!Jf(%)=2y/3sinxcosx—cos2x+sin2%=y/3sin2x—cos2x=2sin(2x—1),

所以函數(shù)/(%)的最小正周期T=冬=兀，

由2/CTT+7742%—z<2/CTTH—左CZ,

26，

得Jai+可4%〈kuH—百~,左EZ,

即函數(shù)/(x)的單調遞減區(qū)間為即+9kn+~\(依Z),

即函數(shù)/(x)的單調遞減區(qū)間為國兀+與，kn+^](%Z),最小正周期為m

⑵當工€落,舒時,2光一號e泵用,

則1(x)的最大值為2,

又不等式/(%)2根有解，

則mW2,

即實數(shù)機的取值范圍為(-8,2].

11.【解答】解：(1)V/(x)=2cosx?(^sinx-^-cosx)+2y/3cos2x—

=sinxcosx+V3cos2%—字

1.

=sin9zx+cosQ2x

TV

—sin(2x+可)，

令2%+W='+km左CZ,

得x=,kEZ,

所以了(無)的對稱軸方程為％=今+竽，kez；

(2)因為久e[一石，城，貝+可e[0,TT],

又因為/(x)=sin(2久+9的函數(shù)值從0遞增到1,

又從1遞減回0,

令f=/(無)，則怎[0,1],

因為方程3,(x)/+時⑴+i=o在區(qū)間[_京,爭上有兩個不相等的實根,

所以3於+優(yōu)什1=0在?€[0,1)上僅有一個實根,

令HQt)=3於+加什1,

因為X(0)=1>0,

21=m2-12=0

則需以(1)=3+777+1<0或0<-^<1

6

解得：mW-4或m=-2^/3,

所以實數(shù)m的取值范圍為｛列MW-4或m=—2次｝.

12.【解答】解：(1)當3=1時,f(x)=sin(o)x+專)=sin(x+電.

因為xG[0,TC],所以令￡=%+與，t￡，

根據(jù)y=/(￡)=sim在獸，身上單調遞增，在將，爭上單調遞減,

Tt47r7iV3

所以函數(shù)的最大值為sin—=1,最小值為sin—=-sin-=--.

2332

因此函數(shù)的值域為［-苧，1］.

(2)由題知7=紅=兀，所以a)=2,f(x)=sin(2x+5).

COJD

當/(%)=0時，2%+”=/C7T,fcGZ,即x=—六+4，kEZ.

J3OL

,,Air~,4〃47r3r7TT177r

當k=3時，x=r>7i,所以—+T<aV—+-T,即—<a<---.

333236

7TT177r

因此，a的取值范圍為［—，---).

36

13.【解答】解：(I)由題意可知，f(x)=5口2卜_1+COS,2%+2)

l—sin2x

=2sinZx—

2

=sin2x—2

由2kn—W2x《2kn+彳kWZ可解得：ku—4WxWkn+4,左EZ；

由