2025年高考數學押題預測模擬卷4（新高考地區(qū)專用）（解析版）

2025年高考數學押題預測卷04

數學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填

寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

A=<x-------<0log?(x+1)<2}

1.設集合[x-2J則/口5=（

A.[-2,2]B.[-2,2)C.(-1,2]D.(-1,2)

【答案】D

x+2(x+2)(x-2)<0

【解析】不等式等價于《c八，解得—2Wx<2,

x—2x-2/O

A=1x|-2<x<；

不等式1082（、+1）＜2等價于1082（、+1）＜10824,

x+1>0

-1<x<3,，B={止1<x<3},

x+l<4

AoB=^x\-\<x<2^.

故選：D

1

2.已知復數z在復平面內對應的點為是z的共軌復數，則彳)

11.11.11.11.

A.-------F—1B.—+—1C.---------1D.---------1

22222222

【答案】A

_11-1+i-1+i11.

【解析】由題意z=-l+i，則z=-l—i，==——==—=>

z-1-1(-1-1)(-1+1)222

故選：A.

3.下列函數中，是偶函數且在(0,+8)上單調遞增的是()

2

A./(x)=-xB./(x)=|log2x|

C.f(x)=x+sinxD./(x)=|x|-1—|

x

【答案】D

【解析】對于A,函數/(x)=-/在(0,+s)上單調遞減，A不是；

對于B,函數/(x)=|log2〉的定義域為(0,+8),不具奇偶性,B不是;

對于C,函數/(x)=x+sinx定義域為R,/(-%)=-x+sin(-x)=-f(x),不是偶函數，C不是；

對于D,函數/(x)=|x|—|!|定義域為(-a),0)U(0,+s),

/(-x)=|-x1-1—1=/(X),是偶函數;

-X

11

當X>0時，f(x)=x——,函數y=1,歹=——在(0,+。。)上單調遞增，

XX

則/(X)在(0,+8)上單調遞增，D是.

故選：D

4.一組從小到大排列的數據：0,1,3,4,6,7,9,毛11,12,若刪去％前后它們的80百分位數相同，則'=()

A.9B.9.5C.10D.11

【答案】D

【解析】原來有10個數據，10x80%=8,原來第80百分位數為Y三4-11

刪去x后有9個數據，9x80%=7.2,則第80百分位數11,

V+11

依題意可得(一二u,解得％=n.

故選：D

5.已知等差數列｛%｝的前〃項和為S“，且?guī)?120,等比數列出｝的首項為1,若%=&，則bgj的值

為()

1,1

A.-B.—5C.—D.5

55

【答案】B

【解析】由題得Su=5(";45)_15a§=120n%=8，

所以d=網=8,設等比數列｛2｝的公比為4,所以/=￡=8ng=2,

貝|峭4=陷25=-5

22

故選：B

6.已知某圓臺的上、下底面半徑分別為d且&=2〃，若半徑為2的球與圓臺的上、下底面及側面均相切,

則該圓臺的體積為（)

28兀40兀56兀112兀

A.——B.——C.---D.----

3333

【答案】C

【解析】如圖,

設圓臺上、下底面圓心分別為則圓臺內切球的球心方定在。1。2的中點處，

設球。與母線4B切于〃點，所以所以（W=。。=。。2=2，

所以人/。。1與A/O九f全等，所以同理=所以45=6+々=3、，

過力作垂足為則33=6一八=4，AG=0102=4,

mAG2=AB2-BG2，所以16=（3八）2—片=防2,所以a=血，所以々=2a,

所以該圓臺的體積為g（2兀+87i+47i）x4=等.

故選：C

7.已知斜率不為0的直線/與拋物線相交于A,3兩點，與圓/+3—/=6相切于點若M為

線段N3的中點，則直線/的縱截距為()

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【解析】設直線方程為y=Ax+b(kwO),將其代入拋物線方程/=4j,得-=4(日+與，即

x2-4kx-4b=0>

設B(^x2,y2),貝!］再+彳2=4左，xxx2=-4b,

則設線段AB的中點M(%,%),則/=\逡*=2k,

將不代入直線方程得到外=上(2左)+6=2k2+b,

圓的方程為4+(y—4)2=6,圓心為(o為),半徑為后，

因為直線與圓相切于點M,所以圓心到直線的距離等于半徑,

直線方程可以寫成依-y+6=0,

\k-0-4+b\=乖）,化簡得忸―4|=小6(萬+1卜

則圓心到直線的距離4=7F+T

由中點M(2左,2左2+力在圓上，代入圓的方程(2人/+Qk2+6—4)2=6,

化簡得到6=2—2如,

將6=2-2抬代入0—4|=[6價+1),得至“2—2左2—4|=^6(F+lj

化簡得2公+左2一1=0,Bp(2^2-l)(^+l)=0,解得左2=；,

直線方程為歹=履+2-2/，

故選：D.

8.在一個不透明的袋子中裝有4個形狀大小相同，顏色互不相同的小球.某人先后兩次任意摸取小球（每次至

少摸取1個小球），第一次摸取后記下摸到的小球顏色，再將摸到的小球放回袋中；第二次摸取后，也記下摸

到的小球顏色.則“兩次記下的小球顏色能湊齊4種顏色，且恰有一種顏色兩次都被記下”的概率為（）

1628328

A.---B.---C.---D.——

22522522545

【答案】C

【解析】某人先后兩次任意摸取小球，每次至少摸取1個小球，則每次摸球的情況有

C；+C；+C；+C：=4+6+4+1=15種;

所以先后兩次任意摸取小球共有15x15=225種情況;

兩次記下的小球顏色能湊齊4種顏色，且恰有一種顏色兩次都被記下的情況有:

第一次摸取1個球,第二次摸取4個球,情況共有C：xC：=4種;

第一次摸取2個球,第二次摸取3個球,情況共有C"C；=12種;

第一次摸取3個球,第二次摸取2個球,情況共有C%C；=12種;

第一次摸取4個球,第二次摸取1個球,情況共有C：xC；=4種;

所以兩次記下的小球顏色能湊齊4種顏色，且恰有一種顏色兩次都被記下的概率為4+12+12+4=_32

225225

故選：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

/jr7T1

9.函數/（x）=4sin（＜yx+。）0＜①42,-5＜。＜5的部分圖象如圖所示，則下列說法中正確的是（

B./（X）的圖象關于直線x=7l對稱

1271

C./(x)=4cos—X--------

23

26兀

D.若方程/(x)=2在(0,掰)上有且只有5個根，貝We亍

【答案】ACD

【解析】對于A,由/(0)=-2,得4sin0=-2,即sine=—；,又一

JT

(P-――>故A正確;

6

對于C,又/(X)的圖象過點則=°，即sin[g—小=0,

=左兀，即得69=3左H—,kJZ,又0<切42,。=—

36--------------------22

171271)(12兀)u丁〃

所以/(x)=4sin—X---=4sinX----4cos—X——I,故C正確;

263

對于B,因為/(x)=4sin，而/(兀)=4si4sin—=2A/3

3

故直線％=兀不是函數/(%)的對稱軸，故B錯誤;

2

對于D,由/(x)=2,得cos

2

2兀

解得X=2兀+4左兀或7+4E,keZ,

方程/(x)=2在(0,加)上有5個根，從小到大依次為：1,271,(,6兀,子,

。A

而第7個根為10兀，所以"＜加〈10兀，故D正確.

3

故選：ACD.

10.已知函數/'卜)=!犬一/+1,其導函數為/'(x),則()

A.直線少=一28是曲線y=/(x)的切線

B./(x)有三個零點

C.廣(27)=/《)

D.若/(x)在區(qū)間(見。+4)上有最大值，則。的取值范圍為(-4,0)

【答案】BC

1:

【解析】f（x）=-x3-x2+l,貝?？冢?/—2x,

f'（2-x）=（2-x）2-2（2-x）=（2-x）（-x）=x2-2x,所以/'（2—x）=,C正確;

因為廣（幻=/一2彳，令/''（x）=0,得2x=0,解得x=0或x=2,

當x<0或x〉2時，f'（x）>0,當0<x<2時，f'（x）<0,

所以/（x）在（-8,0）和（2,+s）上單調遞增，在（0,2）上單調遞減，

所以/（x）在x=0處取得極大值，在x=2處取得極小值，

Q1

且〃0)=1,〃2)=「+1=三XT-00,T-00,xT+oo,/(X)7+oo,

/（X）圖象如圖所示:

故/（X）有兩個極值點，三個零點，故B正確;

設切點的坐標為,g片-x：+1],則切線斜率為x；-2%=-2,

則癮-2/+2=（%-r+1w0,所以不存在斜率為-2的切線，

直線）=-2x不是曲線y=/（x）的切線，故A錯誤；

因為/（0）=1=/（3）,所以若“X）在區(qū)間（。,。+4）上有最大值,

a<Q

貝葉c”、，所以—4<。<一1,故D錯誤.

0<a+4<3

故選：BC.

11.已知正四面體Z-BCD的棱長為6,點分別是的中點，則下列幾何體能夠整體放入正四面

體/—BCD的有（）

A.底面在平面3cZ）上，且底面半徑為近,高為1的圓柱

B.底面在平面上，且底面半徑為④，高為2c的圓錐C.軸為直線且底面半徑為血，高為2

的圓錐

D.軸為直線且底面半徑為血，高為0.2的圓柱

【答案】BCD

【解析】對于A,

如圖所示，平面所G〃平面BCD,當=1時，設AE/G內切圓半徑為/,

rAH276-1n,,276-1

則~r=——=———，則/=———<V2,

V3AO2V62V2

故底面半徑為高為1的圓柱，無法放到正四面體內，故A錯誤;

對于B,

正四面體45c。，作4。_L平面BCD,交平面BCD于。，

連接且。為正三角形3c。的中心，又棱長為6,則△BCD的內切圓半徑為百，|0必=26,

正四面體的高=^AD2-OD2=J—(2可=26，

則底面半徑為血，且也＜6，且高2指，則可以放到正四面體內，故B正確；

對于C,軸為直線九W,且底面半徑為血，高為2的圓錐，

A

因|河=y/NC2-MC2=小6『_32=372，

在線段MN上取點K使得|NK|=2,KL1MN,

則陷=340|=八，

\KL\_\MK\?M..3V2-2

M=WH則|KL|=羽學＞VL

\ND\'\MN\'囚『WF'

則軸為直線九W,且底面半徑為0,高為2的圓錐，可以放到正四面體內，故C正確;

對于D,采用選項C中的圖，此時條件變?yōu)?，在線段兒W上取點K使得|也|=0,

則壯需即也=口^得|MC|=2

，若圓柱可以放入則其軸中點必然為線段MN的中點,

3312

而2|MK|=4<3jI-0.2,故軸為直線跖V,且底面半徑為近,高為0.2的圓柱，可以放到正四面體內，故

D正確.

故選：BCD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量B滿足G+2B=(3,1),25-3^=(-1,2),則1與B的夾角為

7T

【答案】-

4

【解析】設］=(再,必)，b=(x2,y2),

因為3+2后=(3,1),25-36=(-1,2),

玉+2X2=3玉—1

必+2y=1乂=1

所以《//2/解得

2項—3%2=—1“2=1

:乂一3/=2=0

a-b1也

所以@=(1,1),6=(1,0),a-b=l>則cos?b)=

^\\bI亞X「2'

因為w[o,兀],則他3)=巴.

14

77

故答案為T

13.已知。是銳角，若tan2a二一—一,貝ijtana=

cosa+sina

【答案】|

mV、,八3sina,口2tana3tana

【解析】由tan2a=------；—得，------------------

cosa+sina1-tana1+tana

23

因為a是銳角，所以tana〉O,所以

1-tan2?1+tana

整理得3tan2a+2tana-1=0，解得tana=^或13!1。=—1(舍).

故答案為：

3

2

14.已知片，瑪是橢圓C：二+必=1的左、右焦點，尸是C上一點.過點與作直線尸耳的垂線4,過點工

a

若4,的交點。在c上(尸,。均在x軸上方)，且|尸。|=空，則c的離心率為

作直線尸耳的垂線4?

【解析】設尸(加,〃)，耳(-c,O),g(c,O)，由題意可知：m^+c,n>0,

同理可得：，2的方程為〉=-，^(%-0),

n

加+。/

y=-----1%+cX=~m（22\

聯立方程I〃m-r

解得m2-c2，即。Tn,---------

y=In）

ln

因為。在。上，可知尸，。關于x軸對稱，

且|尸。|=竽，則2同=半，可得加=g,

又因為22一1=",即3-。2=島

n5

16

由題意可得：《烏+〃2=1,整理得5/-16/-16=0,

,4

解得/=4或/=—彳(舍去)，則。2=/一1=3,

所以C的離心率為e=§

a

故答案為：見.

2

四、解答題：本題共5小題，共77分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在V/3C中，角4瓦。所對的邊分別為a,b,c,且滿足Gccos^+GbcosC=2acos/.

(1)求角A的大??；

(2)若°=2百，且V4BC的面積為3月，求sin5+sinC的值.

【答案】(1)A=-(2)盧+1

62

【解析】(1)由J^ccosB+JJbcosC=2acos4，根據正弦定理可得

A/3sinCcosB+6sinScosC=2sinAcosA，

由于sinCcosB+sinBcosC=sin(5+C)=sin(兀-A)=siivl,

故V3sin4=2sinAcosA，

由于sin/*0,所以cos/=也，

2

JT

由于/e(0,7i),故Z=一

6

(2)因為S"c=gbcsin/=36，可得Z?c=12百，

由余弦定理得/=尸+02—2bccosZ，即(2月『=/+/一2x12百義等，故/+。2=48,

b+c=揚+『+?。="8+246=J12(4+26)=^12(1+￡『=6+2萬

由正弦定理可得a=.人_￡=473,

sinAsinBsmC

bc

所以sinB=—-j=,sinC=—廣,

4V34V3

b+c6+2-\/3y/3+1

故sinB+sinC=

4省一46一2

16.如圖，三棱錐Z—3CD中，48,平面BCD,E是空間中一點，且平面4BC.

（1）證明：ZE//平面BCD；

⑵若BD：LCD,AB=BD=CD,求平面C4E與平面D/E的夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）迪

3

【解析】（1）過。點作。尸1BC,垂足為尸，

因為48J_平面9u平面8cD,所以48D,

因為48,5Cu平面48C,ABcBC=B,所以。尸工平面48C,

因為4EJ_平面48C,所以4E//DF,

因為Z）尸u平面BCD,AE<Z平面BCD,所以4E//平面BCD.

（2）設AB=BD=CD=2,且5DJ.C。，

以B為坐標原點，物為碎由，物為z軸，過踵直劭（與切平行）的線為x軸,

如圖建立空間直角坐標系，

則」(O,0,2),3(0,0,0),Z>(0,2,0),C(2,2,0),下(1,1,0),

又就=(2,2-2),AD=(0,2,—2),麗=(-1,1,0),

由(1)設通=4麗=(—%,%,0),2/0,

設平面C4E的一個法向量比=(x,y,z),

m?AE=-Ax+=0

則《一.，令x=l,則y=l,z=2,所以而二(z1,1,2)x,

m-AC=2x+2y-2z=0

設平面的一個法向量萬=(凡仇c)，

m-AE=-Aa+2Z)=0

則〈__.，令。=1則b=l,c=l,所以力=(1,1,1),

m-AD=2b—2c=0

設平面C4E與平面ZME的夾角為a,

I.玩?萬1+1+2_2亞

則cosa=coscm.n)=T---1

1'71\m\]n76x73-3

所平面CAE與平面DAE的夾角的余弦值為謔.

3

17.甲、乙兩人組隊準備參加一項挑戰(zhàn)比賽，該挑戰(zhàn)比賽共分力(“GN*,〃22)關，規(guī)則如下：首先某隊員先上

場從第一關開始挑戰(zhàn)，若挑戰(zhàn)成功，則該隊員繼續(xù)挑戰(zhàn)下一關，否則該隊員被淘汰，并由第二名隊員接力，從

上一名隊員失敗的關卡開始繼續(xù)挑戰(zhàn)，當兩名隊員均被淘汰或者〃關都挑戰(zhàn)成功，挑戰(zhàn)比賽結束.若甲每一關

挑戰(zhàn)成功的概率均為0(0<o<1),乙每一關挑戰(zhàn)成功的概率均為g(0<g<l),且甲、乙兩人每關挑戰(zhàn)成功與否

互不影響，每關成功與否也互不影響.

(1)已知甲先上場，p=l,g=,，n=2,

23

①求挑戰(zhàn)沒有一關成功的概率；

②設防挑戰(zhàn)比賽結束時挑戰(zhàn)成功的關卡數，求庾給;

(2)如果〃關都挑戰(zhàn)成功，那么比賽挑戰(zhàn)成功.試判斷甲先出場與乙先出場比賽挑戰(zhàn)成功的概率是否相同，并

說明理由.

【答案】(1)①31②1-Q(2)答案見解析

318

【解析】(1)①記甲先上場且挑戰(zhàn)沒有一關成功的概率為R

則P=(1—=(1—Q)=-.

3

②依題可知，/的可能取值為0,1,2,則

P(X=0)=-；

3

產(1=1)=夕(1一0)(1—Q)+(1—p)q(l—Q)=-X-X(1—-)+-X-X(1--)=旦；

22323318

15715719

P(X=2)=i—所以￡(A)—0X—F1X\-2X=.

318183181818

(2)設甲先出場比賽挑戰(zhàn)成功的概率為片，乙先出場比賽挑戰(zhàn)成功的概率為巴，

則片=夕"+夕1(1一0)q+p~\l—p)qH---F(1一夕)q

=0+廣％+加一2成+…十力-(0々+加-12+d-2成+…十夕力；

Xn2

P2=q+q~(1—Q)p+q~(l—q)p-\---q)p

_/nIIiii2i3i■

一(q+qn~\p~\-qn_2p2\-pn\)—/\qnp~\'qn—\p-vqn~2prqpn)\

,I,nIn~\In~22iin_ni/?—1in~22iin

由夕十夕。十PQ?--十。。十qp-----------rp,

nIn-12In—23iin_nin-12in-23iin

pq-rpq-rpq…十pq=qp~\~qp-rqp---rqp,

得々

因此，甲先出場與乙先出場比賽挑戰(zhàn)成功的概率相同.

22/7

18.已知雙曲線C：.—3=1(°>0,6>0)的一條漸近線方程為了=—券彳，實軸長為4,￡為其左焦點.

(1)求陰)方程；

(2)設過點尸(4,0),且斜率為A的直線/與皎于4曬點.

①若點48分別在渤左、右兩支上，求A的取值范圍；

②若君由上存在一點〃使得點碗AE48的外心，求點嫡坐標.

22⑵①—

【答案】⑴土-匕=1;

45122J

2a=4

b_y/5_

【解析】（1）由題意可得＜

a2

a1+b2=c2

a=2

解得6=石，則密方程為上一匕=1;

、45

c=3

⑵①設直線/方程為：y=k（x-4）,設/（石,必），5（X2,J2）,

y=k（x-4）

聯立《

■-x2y2，消去y可得（5-4左2）/+32左2彳一64左2-20=0.

145

由點48分別在郎左、右兩支上,

A=（32比2丫+4x（5—4左2）（64k2+20）>0

—64左2_20八

可得《

x.x9=-------彳—<0

1-5-4k2

2

解得一1〈左＜Y1

（V5V5

即A的取值范圍為—-

22J

22

②設〃（加,0）,AFAB的外接圓的方程為（x-加）2+y=（m+3）.

由+：）=（加+3），消y得（1+k2）*2_（2m+8?2）x+16左2

-6m-9=0.

由｛45消y得（5-4左2）/+32k2彳一64k2-20=0.

y=k（x-^,

1+左2-2m-8k216k2-6m-9

上面兩個方程的實數根均為A，/，故為同解二次方程，所以

5-"232k2—--64/—20

由一^二=匚叱孚二可得(1+F)x32左2=(5-4F)x(_2m—8^).

5-4左32k

2

即32左2+32左4=_10加_40左2+8加左2+32左，-36A:-5m=0①.

12

由-2m-8H=16"-6*9可得加_8^)x(_64^2_20)=32kx(16^-6m-9).

32k2—64左2_20

2

即128m上2+40加+512左4+1601=512^-192mk-288r.

整理得40mA;2+5m+56k2=0②.

由①+②，整理得左之(11加+5)=0,故左=0或冽=一.

當左=0時，代入②，可得加=0,以上兩方程不同解，應舍去;

525

當初二---時，代入①，可得上2=------

11416

5

m=-----

11

即《滿足條件，所以點嫡坐標為

k二空

416

19.我們把d=b-。(。<6)稱為區(qū)間的長度.若函數/(x)是定義在區(qū)間/上的函數，且存在

［a,b］cI,使得｛/⑺,目生可卜心例，則稱［凡句為/(x)的自映射區(qū)間.已知函數

/(X)=x—sinx(xe/),g(x)=zwlnx(加>0).

⑴若/=［-10,l。］,任取/(x)的一個自映射區(qū)間，求其區(qū)間的長度】>兀的概率；

(2)若g(x)存在自映射區(qū)間［凡可,

①求俏的取值范圍；

②求證：ab>e2>且［凡句的長度d>2yjm2-em-

【答案】(1)|(2)①(e,+s)；②證明見解析

【解析】⑴因為/'(x)=l—cosxNO恒成立，則/(x)在/上單調遞增，

若/(X)存在自映射區(qū)間6],則/(a)=a,/(6)=b,

即方程/(x)=x,即sinx=0(xe[-10,10])至少