2025年高考數(shù)學(xué)押題預(yù)測模擬卷3（新高考地區(qū)專用）（解析版）

2025年高考數(shù)學(xué)押題預(yù)測卷03

數(shù)學(xué)

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填

寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合/={x|0<x<3},B={x\log3x<1},則/UB=（）

A.[0,3]B.[0,3）C.（0,3）D.（0,3]

【答案】A

【解析】因為8=任|10838<1}=*:|0<%<3},

又/={x|0<x<3},所以NUB={x|0<x<3}=[0,3].

故選：A

2.甲同學(xué)自進入高三以來，前四次數(shù)學(xué)考試的分數(shù)逐次遞增，第一次的分數(shù)為116,第四次的分數(shù)為132,且

中位數(shù)為120,則甲同學(xué)這四次數(shù)學(xué)考試的平均分為（）

A.119B.120C.121D.122

【答案】D

【解析】設(shè)甲第二、第三次的分數(shù)分別為由中位數(shù)為120,得言=120,即x+y=240,

所以甲同學(xué)這四次數(shù)學(xué)考試的平均分為"6+“：了+132=n2.

故選：D

3.已知a,/3是兩個不重合的平面，直線/_La,則“〃/4”是“a，4”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】因為44是兩個不重合的平面，直線若〃/P，則存在直線au4，滿足〃/4,因為/La,

所以aJLa,所以a，/5,故充分性成立；

若a，4，/J_a,則/<=4，或〃故必要性不成立；

所以“〃/￡”是“a，4”的充分不必要條件；

故選：A

4.已知向量1=(x,2),B=(lj)，則下列等式中，有且僅有一組實數(shù)x,y使其成立的是()

A.a//(a+b)B.albC,團+臼=3D.\a+2b|=1

【答案】C

【解析】對于A,a+b=(x+l,2+y),若3〃m+B),則2(x+l)=x(2+y),解得孫=2,此時有無數(shù)組

解，不符合題意，舍去，

對于B,若己",則x+2y=0,此時有無數(shù)組解，不符合題意舍去，

對于C,若@+區(qū)|=3，則&+4+,1+/=3,此時x=Oj=O,只有一組解，滿足題意，

對于D,a+2b=(x+2,2+2y),則5+2+必+2)2+(2+24=1,此時有無數(shù)組解，不符合題意，

舍去.

故選：C

5.已知角a,夕的頂點與坐標原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，角a的終邊與圓。交于點/(1,2夜).

37r

動點尸以A為起點，沿圓周按逆時針方向運動到點3,點月運動的軌跡長為一，當(dāng)角尸的終邊為射線05時,

4

tan。=()

,4血-7n7-472,9+4/八9+4夜

7777

【答案】C

【解析】由題得tana=半=2后，且圓加勺半徑為r=,仔+(2忘了=3，

371

所以240§=工-=巴，

34

71tana+12-72+19+4行

所以tan°=tana+a

1-tana1—2收（272-1）（272+1）

故選：C

6.已知隨機變量J?N（2Q2）,且P=尸（J2a）,則—+^（0<x<a）的最小值為（）

\/xyran—-xv

【答案】D

【解析】根據(jù)正態(tài)分布的知識得a+l=2x2=4na=3,則0<x（3,3—x）0,

191￡+_9（3-X+X）=M10+3—x9x

—-----I1----------------二———

xa-x3x3-x

3-x9x

10+2

x3-x

當(dāng)且僅當(dāng)立3—」xQT即％=3巳時取等.

x3-x4

故選：D

22

7.已知雙曲線C：二—==1（a>0/>0）的左、右焦點分別為瑪，瑪，點M是雙曲線C右支上一點,

直線片〃交雙曲線C的左支于N點.若閨川=2,RM=3,pw|=4,且巴的外接圓交雙曲線

C的一條漸近線于點尸（飛,%），則|為|的值為（）

3^2375

A-G

【答案】D

【解析】因為點四八分別在雙曲線曲）右支和左支上，

所以|阿|-|5|=|”|-|明|=2°.

又閨N|=2,|巴拉|=3,|7W|=4,所以2a=2+4—3=3,

解得°=小朋|=2。+%|=3+2=5,

所以|N工「=|"乂『+|"工「，所以/NN工是直角.

在Rt△〃耳鳥中，閨聞2=因明2+匝引2,所以(2c,=62+32,

,45

解得。2=:，

4

45Q

所以/=02一。2二=9,即6=3.

44

又△即6的外接圓交雙曲線。的一條漸近線于點尸(曲,%),

忖+/=/C2=a2

所以|OP|=c,所以點P(&,y°)的坐標滿足〈/v2，解得〈°2

_2__久=0y(s=b

[a2b2l°

所以=：，故尻|=3.

\y0=b

8.已知y=/(x)—3x是定義域為R的偶函數(shù)，/(X)的導(dǎo)函數(shù)/'(X)滿足義(1+X)=/'(1—x),則

/(2026)=()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】因為y=/(x)-3x是定義域為R的偶函數(shù)，所以/(—x)—3(—x)=/(x)—3x,即

f(-%)+3x=f(x)-3x.

/(—x)+3x=/(x)-3x兩邊求導(dǎo)，可得：-1/'(-x)+3=f\x)-3,可得f'(x)+f\-x)=6.

因為/'(l+x)=/'(l—x),所以/V)的圖象關(guān)于直線x=l對稱,則/'(x)=/'(2—x).

用r代替x可得/'(f)=f'(2+x).

將/'(f)=r(2+x)代入八x)+/(—x)=6中，可得/口)+八2+%)=6①.

用x+2代替x可得/''(x+2)+r(x+4)=6②.

由②-①可得：f'(x+4)=f\x).

所以/'(X)是周期為4的周期函數(shù).

所以八2026)=/，(4x506+2)=/(2).

在八x)+/'(f)=6中,令x=2,可得/'(2)+/(-2)=6.

又因為/'(x)的圖象關(guān)于直線》=1對稱,所以為⑵=/'(0).

在/'(x)+r(—x)=6中，令x=0,可得"'(0)=6,解得/(0)=3,

所以/'(2)=3,即/'(2026)=3.

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z],Z2對應(yīng)的向量分別為Z，貝I()

A.卜仔2由司

B.卜1—22雨一生|

C.若21-ZzHz+Zz|,則2/2=0

D.若一出H01+%|，則(7/。2=0

【答案】BD

【解析】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z]、Z?對應(yīng)的向量分別為)、%,

設(shè)Z[=c+di,z2=e+ji(c,d,e,fe7?),則q=(c,"),a2=(e,/).

對于A、當(dāng)4=l+i,Z2=l-i時，ax=(l,l),a2=(1,-1)，

則上「22|=2,,「出|=0，故A錯誤；

對于B,pi-z2H(c-e)+(d-/)i卜"(c-e)2+(d-/)2,

a22

\i-a2\=\(c-e,d-/)|=7(c-e)+(<5?-/)，

.,.卜]一22卜|q-。2|，故B正確；

對于C,當(dāng)Z1=l,z2=iHt,1^-z2|=|l-i|=V2,Jz；+z2|=|l+i|=72,

滿足,-ZzHzi+Zz],但z/Z2=i/0,故C錯誤；

對于D,|由q-。2卜|。1+。2I，得1%-。2F=|%+。2F，得。1?。2=0，故D正確.

故選：BD

10.把函數(shù)/(x)=Ksinox+cosox(O<0<3)的圖象向左平移言個單位長度，得到的函數(shù)圖象關(guān)于原點

對稱，則下列說法正確的是()

A./(x)的最小正周期為兀

B./(x)的圖象關(guān)于直線彳=J'r對稱

6

c./(x)在(-工,二)上單調(diào)遞增

124

TT2冗

D.若/(X)在區(qū)間［-五,。)上存在極大值點和極小值點，則實數(shù)。的取值范圍為(5-，+8)

【答案】ABD

【解析】/(x)=2sin((yx+/(x+=2sin［①(x+［兀)+￡］=2sin((yx+］兀①+1),

SjrSjT7T12

由/(x+—)關(guān)于原點對稱，得一。+—=兀+左兀，左￡Z,。=2+—k,keZ,

121265

jr

而0<G<3,則G=2,/(x)=2sin(2x+一),

6

2兀

對于A,y(x)的最小正周期7=萬=兀，A正確；

,7TJTJTKTVTT

對于BC,由2XH—=—卜kit,keZ,得％=—I---，左EZ,直線了=—是/(x)的圖象一■條對稱軸，B正確，C

62626

錯誤；

TTTTTT7T

對于D,由—-<x<a,M0<2x+-<2a+-,而/(x)在［―一,0上有極大值點又有極小值點，

126612

兀32

則2°+—>一71,解得a>—7t,D正確

623

故選：ABD

11.如圖，正方體451G3的棱長為4,點M是其側(cè)面上的一個動點(含邊界)，點尸是

線段cq上的動點，則下列結(jié)論正確的是()

DiG

「

5兀

A.存在點P,M,使得二面角DC—尸大小為

6

B.存在點P,",使得平面用2M與平面尸平行

C.當(dāng)尸為棱CG的中點且尸河=2a時，則點M的軌跡長度為Ji兀

32兀

D.當(dāng)M為4。的中點時，四棱錐M-Z5CD外接球的表面積為亍

【答案】BC

【解析】對于A,在正方體/5CD—48CQ]中，可得平面

因為"Du平面平面40。/，

71

所以二面角M—DC—尸的平面角為NML>2,其中e0,-,所以A錯誤;

對于B,如圖所示，當(dāng)媯中點，尸為CG中點時，

在正方體ABCD-431Gz)i中，可得BQi//BD,

因為用。</平面5。尸，且ADu平面AD尸，所以與鼻〃平面AD尸，

又因為尸，且"耳二平面5QP,且。尸u平面5。尸，所以MS"/平面尸，

因為=BX,且BA,MB[u平面MBR,所以平面BDP//平面MBQ、,所以B正確;

對于C,如圖所示，取。A中點￡,連接尸E,ME，PM,

在正方體48cz）-45012中，CDJ_平面旦CD/IPE,

所以尸平面4DA4，因為"Eu平面可得尸

則班=^PM2-PE2=7（2A/6）2-42=2V2，

則點M在側(cè)面ADD,4內(nèi)運動軌跡是以E為圓心、半徑為2的劣弧，

分別交40,4。于〃2，〃\，如圖所示，則M2=H4=2=A￡，

7?

結(jié)合對稱性可知，ZM[EDi=ZM2ED=-,

則劣弧MM的長為]x2j5=后兀，所以C正確;

對于D,當(dāng)河為4。中點時，可得為等腰直角三角形，且平面Z3CD人平面

連接AC與BD交于點。，可得（W=0/=08=0C=0。=272，

所以四棱錐M—Z8CD外接球的球心即為AC與BD的交點。，

所以四棱錐4BCD外接球的半徑為2后，其外接球的體積為47rx僅收『=32兀，所以D錯誤.

故選：BC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.（1+x）（l-久）8的展開式中/的系數(shù)為.

【答案】20

【解析】解：設(shè)（1-%）8展開式的通項為Tr+1，則Tr+1=（-l）『Ck",

（1-x）8中/項的系數(shù)為代=28,x項的系數(shù)為一=-8,

（1+x）（l-x）8的展開式中好的系數(shù)是28-8=20

故答案為：20

13.已知點尸為拋物線「式=2px（P〉0）的焦點，過戶的直線/（傾斜角為銳角）與「交于43兩點（點

A在第一象限），交其準線于點C,過點A作準線的垂線，垂足為。，若衣=4麗，則

ianAAFD=.

【答案】2

【解析】設(shè)48所在直線方程為了=左。-光），

y—k（X一,），得公犬—&p2p）X+=0.

聯(lián)立《+

/=2px4

2

設(shè)/（%],%）,5（%2,%）,準線交行由于點四則占彳2=（

又Q=4而，二^■一看=4卜2一，即再=-4%+:,

2

_P

X\X2=~

聯(lián)立《，過尸的直線/（傾斜角為銳角），解得馬=￡（舍）或％=￡，

項二一鉆+?28

貝|]項=2p,必=2。，即4（2〃,2夕），

2P

一二tanO

設(shè)E4的傾斜角為e,則2Pqp3

由。(T〃，2p),尸(§0),tanZDFM=-=2,

2+-

可得tanZAFD=-tan^ZDFM+9)=-3-=2.

4

l-2x-

3

14.數(shù)列｛%｝中,若存在ak,使得“ak>ak_x且ak>%+】"成立，（k"左eN*）則稱為為｛4｝的一個

峰值.若%=-3〃2+11〃，則｛4｝的峰值為；若%且｛4｝不存在峰值，則實數(shù)，的取

值范圍為.

【答案】①.10②.［一8，+］

【解析】由=-3〃2+11〃，

函數(shù)y=-3x2+Ux的對稱軸為X=U,

又4=8,4=10,

所以q<%>%>。4>，

所以｛4｝的峰值為%=10；

若%貝ijq=-1,g=%1口2-2,

令則/r(x)=--1=---,(%>1),

當(dāng),《I時，r（x）<o,所以函數(shù)/（%）在［1,+8）上單調(diào)遞減,

則數(shù)列｛%｝是遞減數(shù)列，符合題意；

當(dāng)方>1時,令廣(x)>0,則14x</,令/(x)<0,則x>f,

所以函數(shù)/(x)在［1，0上單調(diào)遞增，在&+⑹上單調(diào)遞減，

要使數(shù)列｛%｝不存在峰值,

t>lt>1

則《，即《，解得1</<-----，

ax>出-l>/ln2-2ln2

綜上所述，實數(shù)?的取值范圍為

(In2

1

故答案為：10；—00,--------

ln2

四、解答題：本題共5小題，共77分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在四棱錐P-48c。中，底面4BCD是等腰梯形，AD//BC,面尸底面

(1)證明：AB1AP；

(2)求平面ZCP與平面CDP夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析(2)2叵

19

【解析】(1)?.?平面尸ZC_L底面4BCD，

平面尸/CA平面48co=ZC

PA<z平面P4C,P41AC,PA1平面ABCD,

又因為4Bu平面48C。，PALAB.

(2)因為底面48CD是等腰梯形，AD//BC,

AB=2,BC=4,ZABC=60°,

.-.^C=^4+16-2x2x4x|=273，

AB'+AC2=16=BC1,:.BAIAC,

由⑴PAmABCD,

以A為原點，以尸分別為x,、z軸，建立如圖所示的坐標系.

C(0,2V3,0),D(-l,A0),P(0,0,4),

.?.DC=(l,V3,0),C?=(0,-2^,4)

設(shè)平面CD尸的一個法向量耳=(x,y,z),

4.DCfx+y/3y=0

,nx-CP1—2島+4z=0，

令x=2百可得nx=(2V3,-2,-V3),

而平面/CP的一個法向量元=(1,0,0),

設(shè)平面NCP與平面CDP的夾角為。

16.已知函數(shù)/(x)=ox+4■-2如x,g(x)=x3,其中/'(x)為/'(x)的導(dǎo)函數(shù).

X"

(1)討論g(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)2e-Q恒成立，求a的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析(2)|,+8)

【解析】⑴

由題意可知：/(X)的定義域為(0,+8),且廣⑺二八之二二分一2廠2,

XXX

則g(x)=^3-2x2-2,x>0，可得g〈x)=3"2-4x=x(3ax-4),x>0,

①當(dāng)aVO時，g'(x)K0恒成立，可知g(x)在(0,+cQ)上單調(diào)遞減；

44

②當(dāng)?！?時，令g'(x)>o,解得%>一；令g'(x)<0,解得0<x<一；

3a3a

可知g(x)在1°，()上單調(diào)遞減，在，+8]上單調(diào)遞增；

綜上所述，當(dāng)aWO時，g(x)在(0,+s)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a〉0時，g(x)在[(),(■]上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

(2)由/(x)2片"可得?+3—2111x2片口，

X

整理得二一21nx2-ax,即\+ln二2?一"一公，

XXX

1nJ_]

可得e%2+ln—>e~ax+(-tzx)，

因為y=e，+x在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，可得1口42-ax,

x

2]nx

即一21nx2一辦，可得。2——,

x

9InV

令h(x)=——,x>0,則心力(x).

X1mx

因為〃(幻=2一季、

X

令〃(x)〉0,解得0<x<e；令〃(x)<0,解得X〉e；

2]2

可知力(x)=—n—y在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+8)上單調(diào)遞減,則，7(x)<6(e)=—,

xe

2「2、

可得。2—,所以。的取值范圍為一,+”.

eLeJ

17.記銳角V/BC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知+/一，)=4就.豆Q.

(1)求助;

(2)若sinNZ+si/B+sin2c=2+cos，cos5,求V48。的面積.

同

【答案】(1)2(2)口

2

【解析】⑴由皿/+〃_。2)=4%?就可得辦2abeosc=4k?反^dAacosC,故

labcosC=4cosC，

由于V48C為銳角三角形，所以cosCwO,

故2ab=4,故ab=2

(2)由/+/一。2=2abcosC可得sin?A+sin2B-sin2C=2sin^4sinBcosC,

所以

sin2A+sin2B+sin2C=2sinAsinBcosC+2sin2c=2sin4sin5cosC+2-2cos2C

=2cosC(sinAsinB-cosC)+2=2cosC(sin4sin+cos(4+5))+2=2cosCcosAcos5+2,結(jié)合

sin2A+sin2B+sin2C=2+cosAcosB，

故2cosc=1,

71

由于V4BC為銳角三角形，故C=—

3

所以SABC=—absmC=—x2x^-=

“BC2222

18.繼2023年電子競技首次作為正式競賽項目登上杭州亞運會舞臺后，2024年國際奧委會宣布首屆奧林匹

克電子競技運動會將于2025年在沙特阿拉伯王國舉辦.這意味著電子競技作為虛擬體育正式成為奧運會項目

的一部分.為迎接電子競技行業(yè)這一里程碑式的時刻，甲、乙兩俱樂部計劃按照現(xiàn)今體育比賽中的賽制舉辦

友誼賽.在體育比賽中有兩種常見賽制：一種是(2〃-1)局〃勝制，例如一場比賽有5局，率先勝3局一方獲

勝，本場比賽結(jié)束；另一種是(2〃+1)局〃+1勝制，例如一場比賽有7局，率先勝4局一方獲勝，本場比賽結(jié)

束.

(1)若采用5局3勝制，甲俱樂部每場比賽獲勝的概率為0.8；若采用7局4勝制，甲俱樂部每場比賽獲勝的概率

為0.9.已知甲、乙俱樂部采用這兩種賽制各進行了機(meN*)場比賽，試自行繪制2x2列聯(lián)表，并根據(jù)小

概率值a=0.010的獨立性檢驗，來推斷賽制是否對甲隊獲勝的場數(shù)有影響；

(2)設(shè)甲俱樂部每局比賽獲勝的概率均為0(0<?<,)，且每局比賽都能決出勝負，沒有平同：①若兩俱

樂部采用5局3勝制比賽，記事件A：“甲俱樂部只要取得3局比賽的勝利比賽結(jié)束且甲獲勝”，事件6：

“兩俱樂部賽滿5局，甲俱樂部至少取得3局比賽勝利且甲獲勝”，試證明：P(A)=P(By,

②若甲、乙兩俱樂部創(chuàng)造一種全新的賽制，約定比賽規(guī)則為：共進行2〃局，贏得局數(shù)大于n局的俱樂部獲

3

勝.若甲俱樂部每局比賽獲勝的概率〃=三，試判斷進行幾局比賽時，甲俱樂部獲勝的概率最大，并說明理由.

O

a0.100.050.0250.010

Za2.7063.8415.0246.635

附：Z2=7----~~77——^-77--------7，其中〃=Q+b+C+d?

(a+9(c+d)(a+c)(b+d)

【答案】(1)列聯(lián)表見解析，答案見解析；(2)①證明見解析；②4局.

【解析】(1)依題意，2x2列聯(lián)表如下：

5局3勝7局4勝合計

甲勝0.8m0.9m1.7m

乙勝0.2m0.1m0.3m

合計mm2m

力2=2〃7(0.0877廠一0.18〃廠匚=也，依據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗,

mxmxl.7mx0.3m51

當(dāng)m2170時，力2>6.635,賽制對甲勝場數(shù)有影響；

當(dāng)根W169時，力2<6.635,賽制對甲勝場數(shù)沒有影響.

(2)?P(A)=p3+Clp2(l-p)p+C^p2(l-p)2p=p3(6p2-15p+10),

P(B)=C初3(1-p)2+C^p4(l-p)+Clp5=p\6p2-15p+10),

所以尸(，)=尸(3).

②設(shè)甲贏得比賽的概率為舄"，設(shè)4="進行2〃局比賽甲最終獲勝”，B="第一局甲贏”，C="第二局

甲贏”，

則有&=P(A)=P(BC)P(A|BC)+P(BQP(A\BC)+P(BC)P(A\BC)+P(BC)P(A|BC),

而萬C發(fā)生及8乙發(fā)生意味著前2局比賽甲恰好贏一局，則甲在2〃局比賽最終獲勝當(dāng)且僅當(dāng)

甲在后續(xù)的2〃—2局比賽中贏的局數(shù)要大于〃—1,因此P(小8心)=尸(川為。)=鳥“_2，

在3c發(fā)生的條件下，甲已經(jīng)贏了前2局，

則甲最終獲勝當(dāng)且僅當(dāng)甲在后續(xù)的2〃-2局比賽中贏的局數(shù)要大于或等于〃-1,

則P｛A\BC）=Pg+C：二（1-p）i；

在齊不發(fā)生的條件下，甲輸?shù)羟?局，則甲最終獲勝當(dāng)且僅當(dāng)甲在后續(xù)的2〃-2局

比賽中贏的局數(shù)要大于〃，而這個事件可視為“甲在后續(xù)的2〃-2局比賽中贏的局數(shù)大于“-1”

與事件“甲在后續(xù)的2〃-2局比賽中恰好贏〃局”的差事件，

故P（川部）=馬_2-C.2P"（1-PL，

因此a=2X1-0段一2+P2[&一2+C"1（1-。產(chǎn)]+（1-。）2[&一「（1-PT2.

=[2p（l-p）+/+（1—p）2]2+C二夕前（1-PY-l-C-（1-PY

=鳥t（J。廣口一。一（1一2p）〃]

i_2

令鳥得〃<I3—p,則當(dāng)p=23時，〃<一Q\=;5，

l-2p8pg2

8

所以當(dāng)〃=2,即2〃=4時，舄篦最大