2025屆湖南省郴州市高三三模數(shù)學(xué)試題及答案

郴州市2025屆高三第三次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測

數(shù)學(xué)

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.)

1.已知集合A={#|W3”N},5={-1,0,1,2,3,4},則中所有元素和為()

A.3B.5C.6D.9

【答案】C

先求出集合A,再求出即可求出中所有元素之和.

解析因為集合4=卜|國＜3,%6用，得4={0,1,2,3},

又集合5={-1,0,1,2,3,4},所以Ac6={0,1,2,3},

所以中所有元素之和為0+l+2+3=6.

故選：C.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z(l+2i)=2—i,則同=()

l5

A.73B.-C.3D.1

【答案】D

先化簡，求出復(fù)數(shù)，得到共軌復(fù)數(shù)，最后根據(jù)模長公式計算即可.

2-i(2-i)(l-2i)2-5i+2i2,,

解析z滿足z(l+2i)=2-i,則z=——=-~~內(nèi)=---------=-i,則5=i.則同=1.

1+21(1+21)(1-21)511

故選：D.

3.在平面直角坐標系xOy中，已知A(2,—1),2(1,1),OP=2OA+(2-A)OB,若0PLQ8，則2的

值為()

A4B.2-2D.-3

【答案】A

根據(jù)向量的坐標運算，可求出。4=(2,-1),OB=(1.1),OP=(2+2,2-22),再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運

算，即可求解.

解析因為AQ,T),BQ』)，所以。4=(2,-1),08=(1,1),

XOP=2OA+（2-2）OB,WOP=2（2,-l）+（2-2）（l,l）=（2+2,2-22）,

又OPLOB，所以O(shè)P-OB=0，即（2+/l）xl+（2—2/l）xl=4—/l=0，解得％=4.

故選A.

22

4.已知橢圓C：土』=1（）左、右焦點分別為月，尸2,點P在橢圓。上，若

/b2

|尸制+|尸耳|=4,橢圓C的離心率為：，則橢圓C的焦距為()

A.1B.2C.后D.26

【答案】B

根據(jù)橢圓的定義、離心率等知識列方程，求得。，進而求得橢圓的焦距.

]PFl\+\PF2\=2a=4

解析依題意c_l，解得a=2,c=l,

M2

所以焦距2c=2.

故選：B

5.已知cosa+sin[a—=-^,則cos12a+的值是（

53百5

B.-D.

8~8~8

【答案】B

根據(jù)三角恒等變換的知識求得正確答案.

解析依題意，cosa+sina--=6

I6一丁

走sina」c°sa且sina+'osaV3

COS6Z+

2222V

所以cos^2a+=l-2sin2[a+聿)=1-2義=g.

故選：B

6.在VABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若A=三，a=4,BC邊上的高

則》+c=()

A.2A/10B.4百C.8D,472

【答案】A

根據(jù)三角形面積公式求出be的值，再利用余弦定理求出(6+c)2的值，進而求出A+c的值.

解析已知8c邊上的高A￡>=6，a=4,根據(jù)三角形面積公式S^BC=；a，A￡>=；bcsinA.

將4=/，a=4,代入可得：—x4x^=-/?csin—,273=-Z?cx—,be=8.

322322

由余弦定理a?=Z?2+c?—2Z?ccosA，可得：4"=b^+c^—2bccos—,BP16-b2+c2—be>

可得：16=(b+c，—2bc—bc,即16=3+。)？—3bc,把be=8代入上式可得：

16=(b+c)2-3x8,即(6+cP=16+24=40.

因為。、C為三角形的邊，可得：6+c=J48=2ji不.

故選：A.

7.已知函數(shù)/(為=/+2。1皿，若函數(shù)/(%)在區(qū)間(1,2)的圖象上存在兩條斜率之積為y的切線，則實

數(shù)。的取值范圍為()

A.(—2,1)B.(—2,—1)C.(—2,0)D.(—3,—2)

【答案】D

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性計算即可.

°

解析由/(x)=X2+2cAnx/'(%)=2x+—(x>0),

x

不妨設(shè)這兩條相互垂直的切線的切點為(石,/(石)),(尤2,7(七))，且/'(不)?/'(%)=T

若。之0,則/'(%)〉0恒成立，不符合題意，可排除A項.

所以a<0,此時y=/'(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

/⑴=2+2a＜0

依題意需使〈/⑵=4+a〉0,解得3,-2）.

C2）=（2+2a）（4+a）＜—4

故選：D

8.定義：在空間直角坐標系中？（6,4，/）、。（白,白,2）兩點的“網(wǎng)線距離”為

d（P,Q）=k-引+同一力21+k-勾.設(shè)A（0,0,0）、5（4,4,4）、P（x,y,z）,其中無、＞、z均為整

數(shù)，若滿足d（A,P）+d（尸,5）=d（A5）的點尸的個數(shù)為〃，則〃的值為（）

A.27B.64C.125D.216

【答案】C

利用三角不等式可得出當d（A尸）+d（P,3）=d（A3）時，彳、八ze{0,1,2,3,4},結(jié)合分步乘法計數(shù)

原理可得結(jié)果.

解析因為4（0,0,0）、5（4,4,4）、P（x,y,z）,則d（A5）=12,

由三角不等式可得|乂+|%—4|?上一（尤—4）|=4,當且僅當x（x—4）W0時，即當0W%W4時，等號成

立，

同理可得|y|+|y—4住4,|z|+|z—4]?4,當且僅當八ze[0,4]時，等號成立，

又因為d（A,P）+d（P,5）=d（A5）=12,

即國+儀|+|z|+歸一4+僅一4|+|z—4|=12,可得x、y、ze[0,4],

又因為X、y、Z都是整數(shù)，則X、y、ze{0,1,2,3,4},

故滿足條件的點尸的個數(shù)為53=125個.

故選：C.

二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）

9.某市為豐富市民的業(yè)余生活，春節(jié)前舉辦“迎春杯”歌手大獎賽，比賽分青年組、中年組和老年組.每

組由6位專業(yè)評委對演唱評分（滿分10分），老年組的甲和乙參加比賽得分的折線統(tǒng)計圖如下圖所示，則

下列結(jié)論正確的是（）

個分數(shù)

。123456評委編號

一甲--乙

A.甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)

B.甲得分的極差大于乙得分的極差

C.甲得分的上四分位數(shù)小于乙得分的上四分位數(shù)

D.甲得分的方差大于乙得分的方差

【答案】ABD

根據(jù)中位數(shù)、極差、上四分位數(shù)和方差的定義及計算公式，分別計算甲、乙得分的相應(yīng)統(tǒng)計量，再對各選

項進行判斷.

解析將甲的得分從小到大排列為：7.0,8.3,8.9,8.9,9.2,9.3.

89+89

因為數(shù)據(jù)個數(shù)〃=6為偶數(shù)，所以甲得分的中位數(shù)為-——-=8.9.

2

將乙的得分從小到大排列為：8.1,8.5,8.6,8.6,8.7,9.1.

同理，乙得分的中位數(shù)為&6+8.6=86.

2

由于8.9〉8.6,所以甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)，A選項正確.

甲得分的最大值是9.3,最小值是7.0,則甲得分的極差為9.3—70=2.3.

乙得分的最大值是9.1,最小值是8.1,則乙得分的極差為9.1—8.1=1.

因為2.3>1,所以甲得分的極差大于乙得分的極差，B選項正確.

〃=6,6x75%=4.5,向上取整為5.

所以甲得分的上四分位數(shù)是9.2,乙得分的上四分位數(shù)是8.7,

由于9.2〉8.7,所以甲得分的上四分位數(shù)大于乙得分的上四分位數(shù)，C選項錯誤.

n=6,6x75%=4.5,向上取整為5.

所以甲得分的上四分位數(shù)是9.2,乙得分的上四分位數(shù)是8.7,

由于9.2>8.7,所以甲得分的上四分位數(shù)大于乙得分的上四分位數(shù)，C選項錯誤.

計算甲得分的平均數(shù)年:

—7.0+9.3+8.3+9.2+8.9+8.951.6

Xffl=--------------------------------------=------=8.6,

甲66

甲得分的方差:

s。=匕(7.0—8.6)2+(9.3—8.6f+(8.3—8.6戶+(9.2—8.6尸+(8.9—8.6)2+(8.9—8.6溝

6

=-[(-1.6)2+0.72+(-0.3)2+0.62+0.32+0.32]

6

=1(2.56+0.49+0.09+0.36+0.09+0.09)

3.68”，

=----x0.61.

6

計算乙得分的平均數(shù)五:

8.1+9.1+8.5+8.6+8.7+8.6_51.6

x乙==8.6,

66

乙得分的方差:

式—8.6>+(9.1—8.6『+(8.5—8.6>+(8.6—8.6f+(8.7—8.6f+(8.6—8.6)2]

6

=-[(-0.5)2+0.52+(-0.1)2+02+0.12+02]

6

=1(0.25+0.25+0,01+0+0,01+0)

0.52八八八

=-----?0.09.

6

因為0.61>0.09,所以甲得分的方差大于乙得分的方差，D選項正確.

故選：ABD

io.己知定義在(0,+“)上的函數(shù)〃尤)的導(dǎo)數(shù)為了'(尤)，若/⑴=i,且r(x)+J>o,則下列式子中

一定成立的是()

A.B./1［〉兀C./(log2e)>ln2D./(ln3)<log3e

【答案】AC

因為當x>0時，r(x)+!>0,可構(gòu)造g(x)=/(x)—L進而可得g'(x)>0,所以g(x)在

(0,+8)上單調(diào)遞增，結(jié)合g(x)單調(diào)性，逐項判斷即可.

解析因為當尤>0時，/(力+4>0,

令g(x)=/(x)—L可得g，(x)=r(x)+±>0,所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

因為=可得==

對于A,因為g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以g[J<g(l),即=—化簡可得

故A正確；

對于B,因為g(x)在(0,+“)上單調(diào)遞增，所以g[:]<g(l),即化簡可得

71

/]:]<?，故B錯誤；

對于C,因為g(x)在(0,+巧上單調(diào)遞增，所以g(log2e)>g(l),即

g(log2e)=/(log2e)一7L>0,化簡可得/0og2e)>ln2,故C正確；

log?e

對于D,因為g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以g(ln3)>g(l),即g(ln3)=〃ln3)—+>0,化簡

可得/(In3)>log3e,故D錯誤;

故選：AC.

11.已知正方體ABC。-AgGA的表面積與體積的數(shù)值之比為3,P,。分別是棱BC,8瓦的中點,

G是線段A2上一個動點，則下列結(jié)論正確的是()

A.=3

23

B.多面體PQ4CQ的體積為丁

C.存在一點G,使得GCJ/AP

D.若AC1，平面PQG,則平面PQG截正方體A3C。-4旦&01的截面面積是3石

【答案】BD

由正方體的表面積、體積公式，棱錐的體積公式、異面直線的判斷、及正方體截面的結(jié)構(gòu)逐項判斷即可.

對于A,因為正方體的表面積與體積之比為3,

6|AA|2,,

所以「^=3,解得M=2,故A錯誤;

1M|

對于B,因為四面體ABPQ的體積為丫=158？。?筋=1*L*1*1*2=,，

3°323

i23

所以多面體ADAA—PQ與GC的體積為％8MBiGD—匕-%°=8—§=正確；

對于C,設(shè)CG的中點為尺，連接球，則PR//AD],因為AP在平面APR。內(nèi)，而G是線段A。1上一

個動點，即點G在平面APR"內(nèi)，點4在平面APR。外，所以GG，AP為異面直線，故C錯誤；

對于D,在正方體中，連接BG，易得BGJLBC，

又結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特點易證AB±BXC,

AB,BQ是平面ABC1內(nèi)的兩條相交直線，

所以瓦C,平面ABC-又AC]在平面ABC1內(nèi)，

所以AC[，B]C,同理可證AG±DtC,

4。,。0是平面4cA內(nèi)兩條相交直線，

所以AC1，平面BCR,又AC1，平面PQG,

所以平面4CR〃平面PQG,

又P,Q分別是棱8C,8月的中點,

所以平面PQG截正方體的截面分別交棱CD,DDX,AA，4片的中點工/J,

所以截面為正六邊形PFHUQ,又PQ=6,所以截面面積為6x-------X=3石，故D正確,

4

故選：BD

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分.)

12.已知(1-2幻5=%++%:+4。+9/,則。4=.

【答案】80

根據(jù)二項式展開式的通項公式求得正確答案.

解析依題意，%=C"-2)4=80.

故答案為：80

13.己知函數(shù)/(x)=sin[2x-若/(x)在區(qū)間(0,機)上單調(diào)遞增，則實數(shù)加的取值范圍為.

【答案】

求得/(力的單調(diào)遞增區(qū)間，根據(jù)題目要求求得加的取值范圍.

JIJIJIJIjJi

解析由2左?！?lt;2x——V2E+—解得防i——<x<k7i-\,keZ,

24288

令左=0,得—工VxV型，

88

依題意，/(%)在區(qū)間(0,加)上單調(diào)遞增，

(3/

則實數(shù)機的取值范圍為0,9.

(3/

故答案為：O.y

14.已知拋物線C：/=2py(p〉0)的焦點為/，點”(％,2)在拋物線C上，且|吠|=3,點尸在直

線I：y=-2(xw0)上，過尸向拋物線C引兩條切線尸。，PR,切點分別為Q,R,過點40,4)引直線

QR的垂線，垂足為點”，則直線切的斜率的取值范圍是.

【答案】(-。，-

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，進而得到直線RQ的方程為如=2(y-2),進而得到點”的軌跡為以

A3為直徑的圓，得到方程C〃：爐+⑶-3)2=1,過點尸與圓；H相切的直線的斜率為左，結(jié)合直線與

圓的位置關(guān)系，列出方程，即可求解.

解析因為照目=2+々=3,所以p=2,所以拋物線C：d=4y；

設(shè)尸(私一2),。(七,x),我(々,為),不妨設(shè)%<。,“2>°，

由父=4y，可得丁=；f，可得/=；x,則y'l個=；Xi，

可得切線PQ的方程為y-%=(%(尤-%)

因為點？(相,一2)在直線PQ上，可得=2(%-2),

同理可得：mx2=2(y2-2),

所以直線RQ的方程為如=2(y-2),可得直線RQ過定點6(0,2),

又因為4(0,4)在直線RQ上的射影為H,可得|A卻=4且W,

所以點〃的軌跡為以為直徑的圓，其方程為H:/+(y—3)2=1,

當FH與〃相切時，

由拋物線爐=4丁，可得尸(0,1),設(shè)過點尸與圓相切的直線的斜率為3

1-3+11

可得切線方程為丁=丘+1,則八+(；)2=1,解得左=6或左=-6，

所以實數(shù)人的范圍為(-。，-6］36,+力).

故答案為：6］。［百,+。)?

四、解答題(本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

15.已知編號為甲、乙、丙的三個袋子中裝有除標號外完全相同的小球，其中甲袋內(nèi)裝有兩個1號球，一

個2號球和一個3號球；乙袋內(nèi)裝有兩個1號球，一個3號球；丙袋內(nèi)裝有三個1號球，兩個2號球和一

個3號球.

(1)從甲袋中一次性摸出2個小球，記隨機變量X為1號球的個數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期

望；

(2)現(xiàn)按照如下規(guī)則摸球：連續(xù)摸球兩次，第一次先從甲袋中隨機摸出1個球，若摸出的是1號球放入甲

袋，摸出的是2號球放入乙袋，摸出的是3號球放入丙袋；第二次從放入球的袋子中再隨機摸出1個球.求

第二次摸到的是3號球的概率.

【答案】(1)分布列見詳解；E(X)=1

29

(2)

112

(1)分析可知隨機變量X的可能取值為0,1,2,結(jié)合超幾何分布求分布列和期望;

(2)設(shè)相應(yīng)事件，根據(jù)題意可得相應(yīng)概率，利用全概率公式圓求解.

【小問1詳解】

由題意可知：隨機變量X的可能取值為0，1，2,則有：

22

p(X=0)=^C°C=-1,P(X=l)=^=-4=-?,P(X=2)=^cC°1

'，戲6'，C63'，C：6

可得隨機變量X的分布列為

X012

￡2]_

P

66

121

所以隨機變量X的期望石(X)=0x5+lx§+2><w=L

【小問2詳解】

記第一次從甲袋中隨機摸出1個球，摸出的是1、2、3號球分別為事件人,

第二次摸到的是3號球為事件B,

2ill?

則尸(A)="尸(4)=尸(4)=了尸(引4)=了尸⑷4)=了尸⑷4)=5,

21111229

所以尸(8)=尸⑷尸(例4)+尸(4)尸(例4)+尸(4)尸⑻4)=/公+/1+75=4.

16.已知數(shù)列｛a“｝為等差數(shù)列，且出=3,。4+&+。6=27.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)已知數(shù)列也｝的前〃項和為S“，且S"=24-2,求數(shù)列也｝的通項公式；

(3)已知數(shù)列｛c,｝滿足：c”=a”-b2求數(shù)列｛c,｝的前〃項和

【答案】（1）??=2/7-1

(2)4=2"

(3)M=(2n-3)-2"+6

(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可求出生，進而可求得數(shù)列｛4｝的公差，進而可求得數(shù)列｛?｝的通項公式；

(2)當〃=1時，可求出偽的值，當“之2時，由S0=2勿—2得=22_1—2,兩式作差可推導(dǎo)出數(shù)

列也｝為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，可得出數(shù)列也｝的通項公式；

(3)利用錯位相減法可求出

【小問1詳解】

因為數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，貝。4+%+4=3%=27,可得%=9,

所以，數(shù)列｛4｝的公差為1=與節(jié)=29=2,

故a”=a2+(〃—2)d=3+2?z—2)=2〃—1.

【小問2詳解】

當〃=1時，4=Si=24-2,解得4=2,

當〃22且〃eN*時，由S“=2勿—2得5,一=2bn_}-2,

上述兩個等式作差可得2=22—2b“_[,可得a=2%,

所以，數(shù)列出｝是首項和公比均為2的等比數(shù)列，故勿=2X2"T=2".

【小問3詳解】

由⑴(2)可得%=%優(yōu)=(2〃—1卜2”,

所以，=1-2'+3-22+5-23++(277—1)2,

sn+1

則2Ml=L22+3"++（2n-3）-2+（2n-l）-2,

上述兩個等式作差得—此=2+2?2?+2?23++2?2”—（2〃—1）?2.

=2+-（2n-l）-2,!+1=-6+（3-2n）-2"+1

1-2

整理得“0=（2〃—3>2"+1+6.

17.已知函數(shù)/(%)=lnx-ox-2.

(1)當。=1時，求函數(shù)/(幻的最值；

(2)若函數(shù)g(x)=r/(x)有兩個不同極值點，證明：>e3.

【答案】(1)/(%)的最大值為—3,無最小值.

(2)證明見解析

(1)對函數(shù)/(%)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系判斷即可求出最值；

(2)利用極值點條件，結(jié)合對數(shù)運算和不等式證明乘積下限.

【小問1詳解】

當。=1時，/(%)=111%-％-2,對函數(shù)/(%)求導(dǎo)可得/'(工)=!—1.

x

令/'(x)=0,解得x=l.

當0<%<1時，/'(%)>0,函數(shù)/(%)單調(diào)遞增；

當x>l時，/'(x)<。，函數(shù)/(x)單調(diào)遞減；

因此，/(x)在x=l處取得最大值，最大值為/(1)=In1—1—2=—3,無最小值.

【小問2詳解】

函數(shù)g(x)=%-/(%)=x(lnx-ax-T)-xlnx-ax2-2x,對g(x)求導(dǎo)可得

g'(x)—\nx-2ax-\,

令g'(x)=0,得到lnx-2ar-l=0.

設(shè)和々是g'(x)=0的兩個根，貝ijln%-2。石-1=0①，lnx2-2ax2-1=0(2)

①-②得In%-In々=2a(X]-々)③；①+②得Inx,+In%2-2=2a(x1+%)④.

In+In%2-2%,+x2

③十④得

In%-Inx2X]-x2

+%1

即In%+ln%2-2="1+%(in%-In%)=In—,

x2-X[X]

不妨設(shè)o<X[<x,,令一=f〉1,則In%+lnx,-2=」~-In?,

X]txl-%

即InXj+In%2—2=---Int.

t—1

要證再入2>e，，即證In玉%2=In玉+In々>Ine3=3,

1+1t—1t—1

即證In玉+In%—2>1,即證---In%>1(%>1),即證In/〉----，即證In，----->0(%>1).

t—11+1%+1

設(shè)/z?)=ln1—X(/>l),對〃?)求導(dǎo)可得

t+1

12(t~\~])2_2,產(chǎn)+]

〃?)=------W=-—=-----T>0恒成立，故h⑴在/〉1上單調(diào)遞增，

t(7+1)2/?+1)2/(7+1)2

即丸(/)>丸(1)=0,故ln/-^—>0?>1)成立，即再為2>d成立.

t+1

18.如圖所示，在圓柱OO]中，矩形43用4為圓柱。。]的軸截面，圓柱過點C的母線為CG，點C,E

為圓。上異于點A,8且在線段A8同側(cè)的兩點，魚OEIIBC,點產(chǎn)為線段4。的中點，AB=BB]=4.

(1)求證：EF/mBCBx.

⑵若平面5cBi與平面4四C所成夾角的余弦值為2叵，求N8AC的大小;

19

（3）若人。=26，平面a經(jīng)過點C,且直線CG與平面a所成的角為30。，過Q點作平面。的垂線

GQ（垂足為。），求直線AQ與直線CG所成角的范圍?

【答案】（1）證明見解析

7T

（2）/B4C的大小為一

6

717[

（3）線AQ與直線所成角的范圍為

63

（1）在平面內(nèi)找到一條與所平行的直線，由線線平行去證明線面平行即可;

（2）建立坐標系，將A3坐標分別用。表示出來，再根據(jù)平面與平面AB。所成夾角的余弦值為

馬叵列出方程求解。；

19

(3)由所給的條件分析出Q點的軌跡，再去利用向量數(shù)量積公式去求解夾角余弦值的取值范圍，從而得

到夾角的取值范圍.

【小問1詳解】

證明：

延長AE,BC交于點。，連接AC】,QG，

因為OEHBC,。是A3中點，所以0E是一A5Q的中位線，則點E是AQ中點，

又因為A4,,85]是圓柱的母線，所以A4],CC,5與平行且相等，

所以易得A￡,CA相交與點尸，尸是AG的中點，則在.AQG中，EFQQ,

又因因為CG|18四，。在8。延長線上，所以可得CjQu平面3。瓦，而所不在平面與內(nèi),

所以EF〃平面3C用.

【小問2詳解】

由題意可知CGLA3C面，且因為A3直徑，所以AC_L5c則，CA,C5,CG三線兩兩垂直，則建立如

圖所示空間直角坐標系C-孫z,

又因為45=5與=4,所以設(shè)NB4c=6,則AC=4cose,5C=4sin。,

可得點坐標為c(o,0,0),B(0,4sin6>,0),4(4cosa0,4),4(0,4sin6?,4),

則不=(4cos仇0,4)，函=(0,4sin6,4),

由題意平面3C用在yCz平面內(nèi)，所以平面的法向量為勺=（1,0,0）,

設(shè)平面的法向量為巧=（%,y,z）,

n^-CA.=0[4xcos6+4z=0

則〈~，即《

nyCB^=0[4ysm6+4z=0

——，^―,-1

令z=—1,貝ij解得x所以%=

cosf)sinecosO'svaO'

又因為平面BCB［與平面ABQ所成夾角的余弦值

2M3

下一，解得cos2e=z或5（舍）,

且因為6</，貝hos，=遮，即NB4C=9=巴.

226

【小問3詳解】

因為過點C的平面a與直線CC］所成的角為30。，又因為過G點作平面1的垂線GQ（垂足為。）

JT1JT

所以CCQ為直角三角形，且CQ=CC「sin'=4x—=2,NCGQ='，

623

所以點Q是繞CCi旋轉(zhuǎn)的圓，且半徑r=2sing=JL圓心距離點C1的長度為

所以設(shè)點Q（x,y,3）且必+丁2=3,又因為點A為（26,0,0）,所以AQ=（x—24,"3）,

而CC1=（0,0,1）,所以8s（A0CC）L-273）2+y2+32&—4氐+12+,+9，

33

又因為必+了2=3,所以cos（AQ,ccj=/,,=/尸,

'/次-4氐+12+/+9，24-4岳

且因為xe［―,所以cos（AQ,CC）e-,

兀兀

所以直線A。與直線所成角的范圍為

o3

19.已知雙曲線E：二—與=1(。＞0,b＞0)的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,離心率為2,過歹2的直

ab

線/與雙曲線E交于P,。兩點，當直線/垂直于x軸時，△尸。月的周長為16.

(1)求雙曲線E的標準方程；

(2)與無軸不重合的直線。過點N(i，0)(%W0),雙曲線E上存在兩點A,B關(guān)于/'對稱，且48的中

點、M的橫坐標為與，

f

(i)若X。=2xo＞求實數(shù)九的值；

(ii)若A,B為雙曲線E右支上兩個不同點，過點C(0,4),求/ACB的取值范圍.

2

【答案】(1)x2-^=l

3

(2)(i)4；(ii)0,1

(1)根據(jù)已知條件求得"c,從而求得雙曲線E的標準方程.

(2)(i)利用點差法列方程，化簡求得正確答案.

(ii)設(shè)出直線A3的方程并與雙曲線方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，由⑥c?心B=T，結(jié)合弦長公

\AM\

式以及tan^ACM=來求得正確答案.

\CM\

【小問1詳解】

2212

因為當直線/垂直X軸時，將x=c代入］〉0),得y=土幺，

所以|P用=|Q￡|=1,所以|PG|=|QK|=1+2a,

因為雙曲線E的離心率為2,一PQ4的周長為16,

e=-=2a—\

a

所以由題得《a2+b2=c2,解得＜b=6，

4b2c=2

——+4a=16

、a

所以雙曲線E的標準方程為爐一21=1；

3

【小問2詳解】

設(shè)A(石,％),3(