2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)技巧：函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解（五大題型）含答案解析

函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解

CCC

【解密高考】總結(jié)常考點(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略(含押題型)

【題型一】函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定

【題型二】函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定

【題型三】根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參

【題型四】二分法

【題型五】等高線

【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見的易錯(cuò)點(diǎn)

易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理理解混亂

解密高考

考情分析:1.理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的聯(lián)系.

2.理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用

3.高考以選擇填空最后一題為主，難度較大

備考策略|

：深刻理解如下幾個(gè)概念

1.函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解

(1)函數(shù)零點(diǎn)的概念

對(duì)于一般函數(shù)y=#x),我們把使")=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn).

(2)函數(shù)零點(diǎn)與方程實(shí)數(shù)解的關(guān)系

方程/(x)=0有實(shí)數(shù)解=函數(shù)y=/(x)有雯直=函數(shù)y=K尤)的圖象與x軸有公共點(diǎn).

(3)函數(shù)零點(diǎn)存在定理

如果函數(shù)>=/0)在區(qū)間團(tuán)，田上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有標(biāo))也)<0,那么，函數(shù)y=Ax)在區(qū)間

(①6)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn),即存在ce(a,b),使得在)=0,這個(gè)c也就是方程八尤)=0的解.

2.二分法

對(duì)于在區(qū)間團(tuán)，句上圖象連續(xù)不斷且勺函數(shù)y=#x),通過不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二,

使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近雯點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.

?題型特訓(xùn)提分----------------

【題型一】函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定

【例1】函數(shù)/(x)=2x+lnx-6的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

【答案】B

【分析】分析函數(shù)/'(x)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得出結(jié)論.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=2x-6、y=lnx在(0,+8)上均為增函數(shù)，故函數(shù)/(x)在(0,+。)上為增函數(shù),

因?yàn)?(1)=T<。，/(2)=ln2-2<0,〃3)=ln3>0,則〃2)〃3)<0,

由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)/'(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(2,3).

故選：B.

【例2】函數(shù)區(qū)-4+xlog2尤在區(qū)間[1,4)內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)左的取值范圍為()

A.[-4,1)B.(T/[C.[-1,4)D.(-1,4]

【答案】D

44

【分析】^g(x)=k+\^2x--,分析可知函數(shù)8(司=左+題2工-1在[1,4)上為增函數(shù)，且該函數(shù)在區(qū)間

、fg(l)<0

[r1,4)內(nèi)有零點(diǎn)，可得出'A〉。，即可解得實(shí)數(shù)左的取值范圍.

4

【詳解】當(dāng)xe[l,4)時(shí)，由/(x)=Ax-4+xlog2_x=0可得上+log,x--=0,

一x

4

^g(x)=A:+log2x--,

因?yàn)楹瘮?shù)y=iogz無、>=左-]在[1,4)上均為增函數(shù)，

故函數(shù)g(x)=A+log2X-3在[1,4)上為增函數(shù),

因?yàn)楹瘮?shù)“X)在區(qū)間[1,4)內(nèi)有零點(diǎn)，則函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,4)內(nèi)有零點(diǎn)，

g(l)=^-4<0

所以,g(4)=k+1>0解得一1〈人V4,

因此，實(shí)數(shù)左的取值范圍是(T4]

故選：D.

【例3】(多選)下列函數(shù)圖象與x軸均有公共點(diǎn)，其中不能用二分法求零點(diǎn)的是()

【答案】ABD

【分析】利用二分法的使用條件，結(jié)合圖象即可得解.

【詳解】能用二分法求零點(diǎn)的函數(shù)必須在給定區(qū)間上連續(xù)不斷,

并且有A、B中不存在/(x)<0,D中函數(shù)不連續(xù).

故選：ABD.

(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：首先看函數(shù)y=/(x)在區(qū)間[a,切上的圖象是否連續(xù)；再看是否有八砂/3)<0,

若有，則函數(shù)>=其尤)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點(diǎn).

(2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷.

【變式1】已知定義在R上的函數(shù)了。)滿足43到—2)-/(x)=/(x)〃y)+3y-7,且

/(0)+/(-2)=-8,設(shè)函數(shù)8⑴=/(x)+弓「\則()

A.g(x)只有1個(gè)零點(diǎn)，且該零點(diǎn)在(-2,-1)內(nèi)

B.g(x)有2個(gè)零點(diǎn)，且2個(gè)零點(diǎn)分別在(-1,0)和(0,1)內(nèi)

C.g。)只有1個(gè)零點(diǎn)，且該零點(diǎn)在(0,1)內(nèi)

D.g(x)有2個(gè)零點(diǎn)，且2個(gè)零點(diǎn)分別在(0,1)和(L2)內(nèi)

【答案】C

【分析】根據(jù)已知求得了(x)=3x-l,進(jìn)而由解析式判斷g(x)的單調(diào)性，應(yīng)用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在

區(qū)間，即可得答案.

【詳解】令尤=y=O,得/(一2)-/(0)="(0)]2一7,又/(0)+/(-2)=-8,

所以"(0)f+2/(0)+I=0,解得/(0)=-1,所以/(-2)=-7,

令x=0,#/(-2)-/(0)=/(y)/(0)+3y-7,所以/(y)=3y-l,即/㈤=3%-1.

函數(shù)g(x)=/(x)+]￡|=3x-l+2i在R上單調(diào)遞增，且g(O)=-；<O<g⑴=3.

故選：C

【變式2】已知函數(shù)仆)=tan"/卜山，則在下列區(qū)間中，函數(shù)/⑴一定有零點(diǎn)的是()

八兀一兀?！肛?兀]一「3兀

A.0,-B.C.D.—,?r

4j142」124」L4

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象及零點(diǎn)存在定理判斷即可.

【詳解】在同一坐標(biāo)系內(nèi)，作y=tan(x+/),y=sinx圖象，如圖，

7T7T/TLx

由圖象可排除AB選項(xiàng),

tan--sin—=-1<0,

623

3兀.3兀71

—sin——=tan——

f(7i)-tan(7i+―)-sin7i=tan—=73>0,

所以由零點(diǎn)存在定理及圖象可知，函數(shù)/(“在py上無零點(diǎn)，在手，兀上有零點(diǎn)，

所以C錯(cuò)誤，D正確.

故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：結(jié)合函數(shù)圖象可判斷函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，再由零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間.

【題型二】函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定

【例1】若函數(shù)y="x)(xeR)滿足/(x+2)=〃x),且時(shí),f(x)=l-x2,已知函數(shù)

g(x)=1'則函數(shù)心戶/⑴一g⑺在區(qū)間口內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.14B.13C.12D.11

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性畫出/(*)的圖象，結(jié)合指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)圖象畫出圖象數(shù)形結(jié)合得出交點(diǎn)個(gè)

數(shù)即可得出零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】V/(x+2)=/(%),

V=/(x)(xeR)是周期為2函數(shù),

?：時(shí)/(工)=1--，則y=/(x),g⑺=。的圖象如下：

X<0時(shí)g(%)￡(0,1)且遞增，0<%V1時(shí)g(x)￡(0,+oo)且遞減，

X>1時(shí)g(%)￡(0,+8)且遞增，

又/(—6)=l〉g(—6),/(l)=g(l)=0,〃6)=l〉g⑹，

%

y=J[x)1片g(x)

-6-5^3-1o\135~

由圖知：區(qū)間[-6,6]上函數(shù)交點(diǎn)共有12個(gè).

故選：C.

【例2】若函數(shù)/(彳)=彳3+?2+桁+。有極值點(diǎn)X],X2,且％<%，/(%)=%，則關(guān)于X的方程

3(〃尤)y+24(x)+6=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】求導(dǎo)數(shù)/'(X),由題意知4，%是方程3d+2G+b=0的兩根，從而關(guān)于/(x)的方程

3(/(x))2+2"(x)+6=0有兩個(gè)根，作出草圖，由圖象可得答案.

【詳解】f(x)=3x2+2ax+b,2是方程3爐+2?+b=0的兩根，

由3(/(元)丫+2^/■(元)+6=0,得/(%)=玉或/(彳)=々，

即3(/(元))2+2/(尤)+。=0的根為/("=玉或/(3)=%的解.

%<芝,/(藥)=%，根據(jù)題意畫圖：

由圖象可知/⑺“有2個(gè)解，“X)氣有1個(gè)解，因此3(〃x)y+2少(x)+6=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為3.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的概念、以及對(duì)嵌套型函數(shù)的理解，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

【例3】已知“X)是定義在R上的函數(shù)，且有〃x+l)=/(x)+l,當(dāng)0<xgl時(shí)，/(x)=3x+l,則方程

〃力=4的根的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】由已知，討論》的范圍，求出函數(shù)的解析式，畫出函數(shù)的圖象，然后判斷方程根的個(gè)數(shù)即可.

【詳解】f(x)是定義在R上的函數(shù)，且有〃x+l)=/(x)+l,

當(dāng)0<xVl時(shí)，/(x)=3x+l,

貝！時(shí)，0<x+lWl,貝!]/(x)=/(x+l)-l=3x+3,

1<%?2時(shí)，。<%—141,/(力=/"-1)+1=3尤一1,

2<xW3時(shí)，0<x-2Vl,/(x)=/(x-2)+2=3x-3,

3<xW4時(shí)，0<x-3<l,/(x)=/(x-3)+3=3x-5,

由圖象可知方程/(x)=4的根的個(gè)數(shù)為3.

故選：C.

（1）直接法：令式尤）=0,方程有多少個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則/（X）有多少個(gè)零點(diǎn).

（2）定理法：利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理時(shí)往往還要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等.

（3）圖象法：一般是把函數(shù)拆分為兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，依據(jù)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【變式1］（多選）函數(shù)/（x）=lnx+加-4依的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】BC

【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題等價(jià)于兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，將/（力=?；?jiǎn)得到兩個(gè)函數(shù).討論兩

個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，并作出兩個(gè)函數(shù)圖像，即可得解.

【詳解】由/'（x）=lnx+or2—4or=。，xe（0,+co）,得山=-a（龍一4）,

求函數(shù)/（x）=li?+&-4依的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于求函數(shù)y=?和y=4）的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

:皿Inx山口十皿,1-lnx

函數(shù)y二—的導(dǎo)函數(shù)y=一廠當(dāng)X￡（o,e）時(shí)y〉0；當(dāng)X￡（e,+e）時(shí)y<0.

XX

所以函數(shù)y=坐在（o,e）上單調(diào)遞增，在（e,+動(dòng)單調(diào)遞減.

X

x=e時(shí)有最大值Lx=l時(shí)y=o,

e

x>l時(shí)y>0,工—+8,y—0.

Iny

過定點(diǎn)（4,0）的直線y=-fl（x-4）,與函數(shù)y=吧的圖像的交點(diǎn)數(shù)為1個(gè)或2個(gè)，如圖所示.

X

所以函數(shù)“X）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)或2個(gè).

故選：BC.

【變式2】已知函數(shù)?,g（%）=/a）-加，若加e（o,i）,則g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

1-3%,%<0

【分析】根據(jù)已知有/。)=3'-1,0<X<1并畫出函數(shù)大致圖象，數(shù)形結(jié)合確定g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

判斷y=f(x)的圖象與直線、=機(jī)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：

由圖知，me(0,1)時(shí)它們有3個(gè)不同的交點(diǎn)，

所以函數(shù)g(x)=〃x)-機(jī)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.

故選：B

【變式3】函數(shù)/(X)=區(qū)的函數(shù)值表示不超過尤的最大整數(shù)，例如，[-3.5]=T,[2.1]=2,則方程[x]-sinx=0

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】利用〃x)=[x]的定義，進(jìn)行分段討論，找出與y=sinx圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

【詳解】由題，[x]=sinx,故一l<x<。時(shí)，W=-1,與〉=5抽了沒有交點(diǎn)，

當(dāng)尤<-1時(shí)，[x]W-2,Vy=sinx沒有交點(diǎn)，

當(dāng)OVx<l時(shí)，⑶=。，與》=$也》有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)l《x<2時(shí)，田=1,與》=5抽工有1個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)2Vx時(shí)，印22,與〉=5畝》沒有交點(diǎn)，

故共有2個(gè)交點(diǎn)，

故選：C.

【題型三】根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參

【例1】已知函數(shù)/（xhsin,券+gsin（y尤-J（o＞0）,xeR.若/（x）在區(qū)間（n,2支）內(nèi)沒有零點(diǎn)，則。的取

值范圍是.

【_答__案_】[七與1]卜「F1七51

【分析】先把“X）化成/（x）=^sin（0x-f1,求出〃x）的零點(diǎn)的一般形式為+：根據(jù)/（x）

QI4/%一,Ke乙

''CD

在區(qū)間（兀,2兀）內(nèi)沒有零點(diǎn)可得關(guān)于左的不等式組，結(jié)合左為整數(shù)可得其相應(yīng)的取值，從而得到所求的取值范

圍.

【詳解】由題設(shè)有/（尤）吆竺+

=3|gsins-;=----sm

2

,71

令/⑺=0,則有3——=E,ksZ,即_^+Zz7,

4%-，/C￡Z-i

①

因?yàn)?（x）在區(qū)間（兀2兀）內(nèi)沒有零點(diǎn),

,71心5兀

故存在整數(shù)左，使得上4＜兀＜2兀＜竺五，

CDCO

,1

co＞k+—

即《j-,因?yàn)??！?,所以上2—1且左+：V二■+二，故左=—1或左=。,

八八5428

COS---1—

28

所以或

848

故答案為：（ol]u[1,|_.

%+2xv0

【例2】（多選）已知函數(shù)”力=1旭J，。，若方程/⑺-何'（x）-1=0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則下列選

項(xiàng)正確的為（）

A.方程〃力=0有2個(gè)不相等實(shí)數(shù)根

B.函數(shù)/（無）在（0,+動(dòng)上單調(diào)遞增

C.函數(shù)/（x）無最值

D.實(shí)數(shù)加的取值范圍為g1

【答案】AC

【分析】畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象可以判斷ABC是否正確，對(duì)于D選項(xiàng)，將方程/2（可—時(shí)（耳—1=。是為

一元二次方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合分段函數(shù)的圖象性質(zhì)，得到根的分布，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍.

x+2,%<0

【詳解】由函數(shù)〃X）=四心>。解析式,可得函數(shù)圖象如圖:

由圖知方程/（力=0有2個(gè)的不相等實(shí)數(shù)根，函數(shù)/（X）沒有最值，故A、C正確；

函數(shù)“X）在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1,+e）上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；

由于方程/（x）-時(shí)（力-1=0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，令f=〃x）,

則產(chǎn)一7加-1=0有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以恒成立，

設(shè)產(chǎn)-7加-1=0兩個(gè)不等的實(shí)根為卬％，01</2），由韋達(dá)定理知：ti+t2=rn,txt2=-1,

則4,弓異號(hào)，由圖可知：?!<0,0<z2<2,

即函數(shù)y=產(chǎn)一-1有兩零點(diǎn)6e（-w,0）,?2e（O,2]

3

22-2m-l>0，解得〃、于故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

?⑵國(guó)國(guó)蠟

（活動(dòng)性欄目）

（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式確定參數(shù)（范圍）.

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域確定參數(shù)范圍.

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后利用數(shù)形結(jié)合法求解.

【變式1]（多選）設(shè)函數(shù)/（x）=2/_3依?+1,則（）

A.當(dāng)口=1時(shí)，/⑺有兩個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)a<0時(shí)，彳=0是〃*）的極大值點(diǎn)

C.當(dāng)a=2時(shí)，點(diǎn)（1,/⑴）為曲線y=的對(duì)稱中心

D.當(dāng)a>0時(shí)，>=/（%）在區(qū)間（-（?,-。）上單調(diào)遞增

【答案】ACD

【分析】根據(jù)因式分解可得函數(shù)的零點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖像去研究函數(shù)的極大值、對(duì)稱中心與單調(diào)性.

【詳解】已知/(x)=2/-3加+1,所以/1'(x)=6f-6ox=6x(x-a),

當(dāng)a=l時(shí)，2尤3-3/+1=(無一1)(2/一尤一1)=(X-1)2(2X+1)=0,方程有兩個(gè)根，所以A正確，

當(dāng)a<0時(shí)，『(x)=6X(JC-a)>0的解集為(HO,a)u(0,-H?),尸(x)=6x(x-a)<0的解集為(a,0),

所以在(a,0)上單調(diào)減，在(0,+w)上單調(diào)增，所以/(x)在0處取極小值，所以B錯(cuò)誤，

當(dāng)a=2時(shí)，/(%)+/(2-X)=2X3-6X2+1+2(2-X)3-6(2-X)2+1=-6=2/(1),

所以〃x)關(guān)于中心對(duì)稱，所以C正確，

當(dāng)a>0時(shí)，/'(x)=6x(x-a)>0的解集為(-oo,0)"a,+<?),而(-co,-6?)c(TO,0),所以/(x)在(-<?,—a)上單

調(diào)遞增，所以D正確.

故選：ACD

【題型四】二分法

【例1】已知函數(shù)y(x)=V-2x-l,現(xiàn)用二分法求函數(shù)〃X)在(1,3)內(nèi)的零點(diǎn)的近似值，則使用兩次二分法

后，零點(diǎn)所在區(qū)間為()

【答案】A

【分析】應(yīng)用零點(diǎn)存在定理結(jié)合二分法，不斷把區(qū)間一分為二計(jì)算求解.

【詳解】由二分法可知，第一次計(jì)算〃2)=3>0,X/(l)=-2<0,〃3)=20>0,

由零點(diǎn)存在性定理知零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)上，

所以第二次應(yīng)該計(jì)算H|<0,又〃2)>0,

所以零點(diǎn)在區(qū)間［|，2］上.

故選：A.

【例2］已知函數(shù)的部分函數(shù)值如表所示：

X10.50.750.6250.5625

小)0.6321-0.10650.277600897-0.0007

那么函數(shù)“X)的一個(gè)零點(diǎn)的近似值(精確度為0.1)為()

A.0.55B.0.57C.0.65D.0.7

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理分析零點(diǎn)所在區(qū)間，再根據(jù)二分法可得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題干所給數(shù)據(jù)可知，/(0.625)>0,/(0.5625)<0,且函數(shù)/(司=%-?一，在R上為增函數(shù)，

由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)/(x)的唯一零點(diǎn)在區(qū)間(0.5625,0.625)內(nèi)，

區(qū)間長(zhǎng)度為0.625-0.5625=0.0625<0.1,結(jié)合選項(xiàng)可知，其近似值為0.57.

故選：B.

【變式1】用二分法求方程3工=8-3%在。,2)內(nèi)的近似解時(shí)，記/(x)=3*+3x-8,若

/(1)<0,/(1.25)<0,/(1.5)>0,/(1.75)>0,據(jù)此判斷，方程的根應(yīng)落在區(qū)間內(nèi).

【答案】(1.25,1.5)

【分析】由題意可得了(1.25)/(1.5)<0,根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理以及單調(diào)性求得函數(shù)的零點(diǎn)所在的

區(qū)間.

【詳解】根據(jù)題意可得“X)在R上單調(diào)遞增，且/(1.25)/(1.5)<0,

所以函數(shù)〃x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1.25,1.5).

故答案為：(1.25,1.5).

【題型五】等高線

2-|x|,x<1

【例1】已知函數(shù)/(x)=,og(1x>],且關(guān)于X的方程“x)=a恰有四個(gè)不同的根，從小到大依次

為不,冗2，入3，14，貝(1()

A.?e[l,2)B.M+尤2+4/+%4最小值為9

c./(/(X))—/(x)=o恰有6個(gè)不同的根D.3k,使得/(〃x))=z恰有8個(gè)不同的根

【答案】ABD

【分析】畫出函數(shù)的圖象后可判斷A的正誤，由圖象的局部對(duì)稱性可判斷B的正誤，利用換元法可判斷CD

的正誤.

【詳解】圖像如下，

可知ae[l,2)時(shí)，與恰有四個(gè)不同交點(diǎn)，所以A正確:

由對(duì)稱性可知玉+W=0,而log2(&T)=-log2(%T),所以(七一。(％-1)=1，

貝1|工+工=1,所以4泡+龍4=(4%+龍4)1'+工［=4+1+聚+929,

43^41入3)“3蘢I

3

當(dāng)且僅當(dāng)鼻=5，匕=3,。=1時(shí)等號(hào)成立，B成立：

對(duì)于■/■(?/'(x))-/(x)=o,令r=〃x),

則/⑺"有兩個(gè)不同根，％=1,”。,2),

/(尤)=%,/?(尤)=/?各有四個(gè)不同根，共有八個(gè)不同根，所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,令r=/(x),/(r)=%在％=2時(shí)有三個(gè)根：^0,/2￡(1,2),r3>2,

而/(x)=0有2個(gè)不同根，有4個(gè)不同根，/(力=，3有2個(gè)不同根，

共8個(gè)，所以D正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：嵌套方程的零點(diǎn)問題，一般刻畫出內(nèi)外兩個(gè)方程對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象，再根據(jù)外方程的解

判斷內(nèi)方程的解，從而得到原方程的解的個(gè)數(shù).

f2兇+1x<1

【例2】已知函數(shù)2'，若〃力=機(jī)有四個(gè)不等的實(shí)數(shù)解%%2,%，Z，下列說法正

x-4x+6,x>l

確的是()

A./(%)有最小值2B.加的取值范圍是2〈加W3

C.玉+%+%+無4=4D.方程/(/(x))=：有4個(gè)不同的解

【答案】ACD

【分析】由題意作出函數(shù)/(%)的圖像，由圖像即可判斷AB；根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的對(duì)稱性，結(jié)

合圖象即可判斷C；令/(尤)=/,數(shù)形結(jié)合即可判斷D.

【詳解】解：由題意作出函數(shù)/(x)的圖像，如圖所示：

可得4(0,2),B(l,3),C(2,2),D(3,3),

所以〃x)有最小值2,故A正確；

〃x)="有四個(gè)不等的實(shí)數(shù)解4，多,%,x4,可得2<加<3,故B錯(cuò)誤；

因?yàn)閥=/+l為偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于V軸對(duì)稱，

又y=Y-4x+6的對(duì)稱軸為直線x=2,

所以由對(duì)稱性可知玉+無2=。，%+無4=4,可得%+%+尤3+匕=4,故C正確；

令〃尤)=t,則方程/(〃尤))=|可化為方程/(/)=|,

結(jié)合圖像得/(。=|■有4個(gè)解14名,，4，且T<4<。，0<?2<1,l<f3<2,2<r4<3,

因?yàn)橛凶钚≈?,所以只有當(dāng)2々<3時(shí)，〃x)=f有4個(gè)不同的尤與之對(duì)應(yīng)，

故方程/(/(x))=g有4個(gè)不同的解，故D正確，

故選：ACD.

【變式1】(多選)已知函數(shù)〃尤)=、，'二，令h(x)=f(x)-k,則下列說法正確的是()

[-2+Inx,x>0

A.函數(shù)/(尢)的增區(qū)間為(0,+8)B.當(dāng)人(%)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，左￡(-4,-3]

C.當(dāng)％=-2時(shí)，/?(%)的所有零點(diǎn)之和為-1D.當(dāng)后e(-8,-4)時(shí)，/?(%)有1個(gè)零點(diǎn)

【答案】BD

【分析】函數(shù)=一結(jié)合二次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，作函數(shù)/(x)的圖象，根據(jù)

[-2+Inx,x>0

圖象找出單調(diào)增區(qū)間即可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)圖象觀察函數(shù)y=/(%)和y=左圖象有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)左的取值范圍

即可判斷選項(xiàng)B；解方程“?=-2即可判斷選項(xiàng)c；當(dāng)左€(-8,-4)時(shí)，觀察函數(shù)>=/。)和>=々的圖象的

交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】作出函數(shù)/(》)=卜的圖象如圖所示，/(-1)=-4,/(0)=-3,

-2+Inx,x>0

對(duì)于A選項(xiàng)，由圖象可知，函數(shù)了。)的增區(qū)間為(-1,0]和(0,+co),故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

"(X)的零點(diǎn)是函數(shù)y=/(x)和，=及圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

對(duì)于B選項(xiàng)，由圖象可知，當(dāng)/?(%)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，Z:e(-4,-3],故B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，由卜c和I1,0,°c得X=1或X=-1-VL即當(dāng)上=—2時(shí)，/?w有兩個(gè)零點(diǎn)，

-1-④和1,所有零點(diǎn)之和為-加，故c選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)上et-co,-4)時(shí)，函數(shù)曠=/(%)和丫=々的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，即以勸有1個(gè)零點(diǎn)，故D選項(xiàng)正

確.

故選：BD.

'\2x-]\,x<2

【變式2】已知函數(shù)/'(無)=3，若方程/(%)="有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

-----,x>2

.x-1

A.(1,3)B.(0,1)C.(0,2)D.[0,1]

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，作出函數(shù)》=/(x)的圖象，將方程實(shí)根問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)問題求解.

【詳解】方程/(%)=。有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)>=/(x)的圖象與直線V=a有三個(gè)不同交點(diǎn),

觀察圖象，得當(dāng)0<。<1時(shí)，函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)交點(diǎn),

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(0,1).

故選：B

CCC

誤區(qū)點(diǎn)撥

易錯(cuò)點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合以及作圖的規(guī)范

例1已知%是函數(shù)/(XHfe'+lnx的零點(diǎn)，則e&」nxo=.

【解析】由題可知，/(xo)=^+ln^=O,

所以無;e領(lǐng)=-lnx()nXge3^--""=-In—>0,

令/(x)=xe*,(x>0),則〃x)單調(diào)遞增，且〃%)=/In-,

X07

.1弘「

所以％=ln一,所以e。=—,ln%=To

xoxo

所以寸.111%=1(-廝)=-1.故答案為：-i

%

例2、函數(shù)/(%)=25足X5皿0+5)-/的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_.

7T

【解析】函數(shù)/(X)=2sinxsin(x+-)-x2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于方程

710

2sinxsm(x+-)-%=0的根的個(gè)數(shù)，即函數(shù)y=sin2x

TT

g(x)=2sinxsin(x+—)=2sinxcosx=sin2x與h(x)=x2的圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù).于是，分別畫出其函數(shù)圖像如下圖

所示，由圖可知，函數(shù)g(%)與h(x)的圖像有2個(gè)交點(diǎn).

[|X2+5X+4|,把0,

變式1、已知函數(shù)/(%)={若函數(shù)y=/(x)-a|x|恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

⑵力一2|,x＞0.

【解析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出y=/(x)與y=〃|x|的圖像，如圖所示，

當(dāng)y=〃|x|與'=於)的圖像

\~ax——X2_5x-4,

相切時(shí)，聯(lián)立整理得f+(5—〃)x+4=0,貝ij

[a＞0,

J=(5—?)2—4x1x4=0,解得4=1或〃=9(舍去)，???當(dāng)與y=fix)

的圖像有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)，有1＜。＜2.

變式2、設(shè)aeR,對(duì)任意實(shí)數(shù)x,記/(x)=min{W-2,/一依+3＜2-5}.若

/(X)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

【解析】設(shè)g(x)=爐-5+3。-5,/?(x)=|x|-2,由慟_2=0可得x=±2.

1JM

要使得函數(shù)/(X)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)g(x)至少有一個(gè)零\'叫,點(diǎn)，貝必=/-12a+2020,

\N//

角軍得2或〃210.“?一々：

①當(dāng)4=2時(shí)，g(x)=xJ2x+l,作出函數(shù)g(x)、〃(尤)的圖,一'…象如下圖所示：

此時(shí)函數(shù)/(x)只有兩個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意；

②當(dāng)。＜2時(shí)，設(shè)函數(shù)g(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為X]、＜x2),

要使得函數(shù)/(X)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)4-2,

-<-2

所以,‘2,解得ae0；

g(-2)=4+5a-5>0

③當(dāng)a=10時(shí)，g(x)=x2-10x+25,作出函數(shù)g(x)、/?(x)的圖象如下圖所示:

由圖可知，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3,合乎題意;

④當(dāng)。>10時(shí)，設(shè)函數(shù)g(龍)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為三、

要使得函數(shù)/(x)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則馬上2,

a人

一>2

可得彳2,解得々>4,此時(shí)〃>10.

g⑵=4+a-5N0

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是［1。,心).

故答案為：

函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解

CCC

【解密高考】總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）

【題型一】函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定

【題型二】函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定

【題型三】根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參

【題型四】二分法

【題型五】等高線

【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見的易錯(cuò)點(diǎn)

易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理理解混亂

解密高考

考情分析:1.理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的聯(lián)系.

2.理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用

3.高考以選擇填空最后一題為主，難度較大

備考策略|

：深刻理解如下幾個(gè)概念

1.函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解

（1）函數(shù)零點(diǎn)的概念

對(duì)于一般函數(shù)y=#x）,我們把使"）=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)的零點(diǎn).

（2）函數(shù)零點(diǎn)與方程實(shí)數(shù)解的關(guān)系

方程於）=0有實(shí)數(shù)解㈡函數(shù)y=*x）有零點(diǎn)㈡函數(shù)y=段）的圖象與x軸有公共點(diǎn).

（3）函數(shù)零點(diǎn)存在定理

如果函數(shù)y=/（x）在區(qū)間［。，切上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有腦）也）＜0,那么，函數(shù)＞=/（尤）在區(qū)間

3,6）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn),即存在cG（a,b）,使得3）=0,這個(gè)c也就是方程大尤）=0的解.

2.二分法

對(duì)于在區(qū)間m，6］上圖象連續(xù)不斷且血）他）＜0的函數(shù)丫=版）,通過不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二,

使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近雯點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.

6題型特訓(xùn)提分--------------------------------------

【題型一】函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定

【例1】函數(shù)/(x)=2x+lnx-6的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

【例2】函數(shù)/(力=區(qū)-4+燈(煌2%在區(qū)間[1,4)內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)左的取值范圍為()

A.[-4,1)B.(-4,1]C.[-1,4)D.(—1,4]

【例3】(多選)下列函數(shù)圖象與x軸均有公共點(diǎn)，其中不能用二分法求零點(diǎn)的是()

技I巧

(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：首先看函數(shù)y=/Q)在區(qū)間[。，切上的圖象是否連續(xù)；再看是否有八。)五加＜0,

若有，則函數(shù)y=/U)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點(diǎn).

(2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷.

【變式1】已知定義在R上的函數(shù)了⑴滿足/(3xy-2)-/(x)=/(x)/(y)+3y-7,且

/(O)+/(-2)=-8,設(shè)函數(shù)g(x)=〃尤)+則(

A.g(x)只有1個(gè)零點(diǎn)，且該零點(diǎn)在(-2,-1)內(nèi)

B.g(x)有2個(gè)零點(diǎn)，且2個(gè)零點(diǎn)分別在(-1,0)和(0,1)內(nèi)

c.g(x)只有1個(gè)零點(diǎn)，且該零點(diǎn)在(0,1)內(nèi)

D.g(x)有2個(gè)零點(diǎn)，且2個(gè)零點(diǎn)分別在(0,1)和。,2)內(nèi)

【變式2】已知函數(shù)"x)=tan(x+]J-sinx則在下列區(qū)間中，函數(shù)/(X)一定有零點(diǎn)的是(

7171713兀3兀

A.B.C.D.,7t

4?257T

【題型二】函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定

【例1】若函數(shù)y=/(x)(xeR)滿足〃x+2)=/(x),且時(shí)，/(x)=l-x2,己知函數(shù)

|lgr|,x>0,

g(x)=則函數(shù)/z(x)=/(X)-g(x)在區(qū)間[-6,6]內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為)

ex,x<0,

A.14B.13C.12D.11

【例2】若函數(shù)有極值點(diǎn)X],x2,且占<々，/(占)=%,則關(guān)于x的方程

3(〃元))2+2叭力+6=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是()

A.3B.4C.5D.6

【例3】已知/⑺是定義在R上的函數(shù)，且有〃x+l)=〃x)+l,當(dāng)0<x?l時(shí)，/(x)=3x+l,則方程

〃x)=4的根的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

(1)直接法：令/U)=o,方程有多少個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則本)有多少個(gè)零點(diǎn).

(2)定理法：利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理時(shí)往往還要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等.

(3)圖象法：一般是把函數(shù)拆分為兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，依據(jù)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【變式1]（多選）函數(shù)/（x）=lnx+加-4ox的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能是（）

A.0B.1C.2D.3

【變式2】已知函數(shù)〃X=I,g（x）=/a）-加，若加￡（0,1）,則g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

2x-\x>l

A.4B.3C.2D.1

【變式3】函數(shù)/（x）=印的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，例如,[-3.5]=-4,[2.1]=2,則方程[x]-sinx=O

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【題型三】根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參

【例1】已知函數(shù)/（x）=sin節(jié)+：sins-g3>0）,xeR.若_/（x）在區(qū)間（私2加）內(nèi)沒有零點(diǎn)，則。的取

值范圍是.

/、|x+2,x<0”、/、

【例2】（多選）已知函數(shù)〃x）=1[gx|尤>0，若方程/⑺一時(shí)（力-1=0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則下列選

項(xiàng)正確的為（）

A.方程〃x）=0有2個(gè)不相等實(shí)數(shù)根

B.函數(shù)/'（*）在（0,+少）上單調(diào)遞增

C.函數(shù)無最值

D.實(shí)數(shù)加的取值范圍為'

技I巧

（活動(dòng)性欄目）

（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式確定參數(shù)（范圍）.

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域確定參數(shù)范圍.

(3)數(shù)形結(jié)合