《空間幾何體的表面積與體積》導(dǎo)學(xué)案

第4課時空間幾何體的表面積與體積1.通過對柱、錐、臺、球的研究,了解球的表面積和體積的計(jì)算公式(不要求記憶公式),掌握柱、錐、臺、球的表面積與體積的求法,能運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算并解決有關(guān)的實(shí)際問題.2.經(jīng)歷幾何體的側(cè)面展開過程,感知幾何體的形狀,通過對照比較柱體、錐體、臺體,掌握三者之間的表面積與體積的轉(zhuǎn)化.3.感受幾何體體積和表面積公式的推導(dǎo)過程,提高空間思維能力和空間想象能力,增強(qiáng)探索問題和解決問題的能力.20XX年6月11號,神州十號發(fā)射成功并在太空與天宮一號對接成功,女航天員王亞平在天宮倉內(nèi)上了一堂生動的太空課,其中水球演示實(shí)驗(yàn)非常神奇,即水在太空中的形狀是球狀的形式.其原理就是在失重的狀態(tài)下,影響水的形狀的主要因素就是水的表面張力,而表面張力的作用就是壓縮水的表面積,而在相同體積下的幾何體中,球的表面積最小,這就是為什么在太空中水的形狀是球狀的原因.問題1:直棱柱、棱錐、棱臺表面積展開圖是什么,該如何計(jì)算?直棱柱、棱錐、棱臺的表面積的計(jì)算,可以先計(jì)算其側(cè)面積,然后加上它們的底面積.(1)從側(cè)面展開圖可知:直棱柱側(cè)面積S側(cè)=,底面周長為c,側(cè)棱為h.

(2)棱錐側(cè)面積S側(cè)=,底面周長為c,斜高為h'.

(3)棱臺側(cè)面積S側(cè)=,上、下底面的周長分別為c'、c,斜高為h'.

問題2:圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖分別是什么?側(cè)面積及表面積公式呢?圓柱:側(cè)面展開圖是,長是圓柱底面圓的,寬是圓柱的高(母線),S圓柱側(cè)=2πrl,S圓柱表=2πr(r+l),其中r為圓柱底面半徑,l為母線長.

圓錐:側(cè)面展開圖為一個,扇形的半徑是圓錐的,弧長等于圓錐底面周長,側(cè)面展開圖的扇形圓心角為θ=×360°,S圓錐側(cè)=πrl,S圓錐表=πr(r+l),其中r為圓錐底面半徑,l為母線長.

圓臺:側(cè)面展開圖是,內(nèi)弧長等于圓臺的,外弧長等于圓臺的,側(cè)面展開圖的扇環(huán)圓心角為θ=×360°,S圓臺側(cè)=π(r+r')l,S圓臺表=π(r2+rl+r'l+r'2).

問題3:寫出柱體、錐體、臺體、球的體積計(jì)算公式.(1)V柱=,其中S和h分別是柱體的底面積和高.

特別地,V圓柱=,其中r和h分別是圓柱的底面半徑和高.

(2)V錐=,其中S和h分別是錐體的底面積和高.

特別地,V圓錐=,其中r和h分別是圓錐的底面半徑和高.

(3)V臺=(S++S')h,其中S、S'和h分別是臺體的上底面面積、下底面面積和高.特別地,V圓臺=π(r2+rr'+r'2)h,其中r、r'和h分別是圓臺的上底面半徑、下底面半徑和高.(4)V球=πR3.問題4:柱、錐、臺的體積計(jì)算公式有何關(guān)系?從錐、臺、柱的形狀可以看出,當(dāng)臺體上底縮為一點(diǎn)時,臺成為;當(dāng)臺體上底放大為與下底相同時,臺成為.因此只要分別令和便可以從臺體的體積公式得到柱、錐的相應(yīng)公式.從而錐、柱的公式可以統(tǒng)一為臺體的體積公式.

柱體、錐體、臺體的體積公式之間存在的關(guān)系.(S'、S分別為上、下底面面積,h為柱、錐、臺的高)1.圓錐的底面半徑為1,高為,則圓錐的表面積為().A.π B.2π C.3π D.4π2.長方體的高為1,底面積為2,垂直于底的對角面的面積是,則長方體的側(cè)面積等于().A.2 B.4 C.6 D.33.半徑為R的半圓卷成一個圓錐,這個圓錐的體積為.

4.一個底面直徑為32厘米的圓柱形水桶中放入一個鐵球,球全部沒入水中后,水面升高9厘米,求此球的表面積.棱柱、棱錐、棱臺的體積與表面積已知棱長為5,底面為正方形,各側(cè)面均為正三角形的四棱錐,求它的表面積與體積.球的表面積與體積已知過球面上三點(diǎn)A、B、C的截面到球心的距離等于球半徑的一半且AC=BC=6,AB=4,求球的表面積與球的體積.簡單組合體的表面積和體積如圖,在四邊形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2,AD=2.求四邊形ABCD繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積和體積.如圖所示,在長方體ABCD-A'B'C'D'中,用截面截下一個三棱錐C-A'DD',求三棱錐C-A'DD'的體積與剩余部分的體積之比.已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為4的球O的球面上,且AB=6,BC=2,求棱錐O-ABCD的體積.牧民居住的蒙古包的形狀是一個圓柱與圓錐的組合體,尺寸如圖所示,請你幫忙算出要搭建這樣的一個蒙古包至少需要多少m2的篷布,這個蒙古包占多大的體積?(精確到0.01)1.一個球的大圓面積為9π,則球的表面積和體積分別為().A.9π,27π B.9π,36π C.36π,36π D.36π,48π2.若一個圓錐的軸截面是等邊三角形,其面積為,則這個圓錐的表面積是().A.3π B.3π C.6π D.9π3.長方體的三個面的面積分別為2、6和9,則長方體的體積為.

4.如圖是一個圓臺的側(cè)面展開圖,根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求這個圓臺的表面積和體積.(20XX年·江蘇卷)如圖,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分別是AB,AC,AA1的中點(diǎn),設(shè)三棱錐F-ADE的體積為V1,三棱柱A1B1C1-ABC的體積為V2,則V1∶V2=.

考題變式(我來改編):答案第4課時空間幾何體的表面積與體積知識體系梳理問題1:(1)ch(2)ch'(3)(c+c')h'問題2:矩形周長扇形母線扇環(huán)上底周長下底周長問題3:(1)Shπr2h(2)Shπr2h問題4:錐柱S'=SS'=0基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流1.C∵l==2,=πr(r+l)=π(1+2)=3π.2.C設(shè)長方體的長、寬、高分別為a、b、c,則c=1,ab=2,·c=,∴a=2,b=1,故S側(cè)=2(ac+bc)=6.3.R3設(shè)圓錐的底面半徑為r,則有πR=2πr,所以r=,所以圓錐高為R,所以V圓錐=π()2·R=R3.4.解:水面上升的體積就等于球的體積,設(shè)球的半徑為R,圓柱底面半徑為r.則V=πr2h=πR3,R==12.所以球的表面積S=4πR2=4π×144=576π(平方厘米).重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】如圖,四棱錐S-ABCD的各棱長均為5,各側(cè)面都是全等的正三角形.設(shè)E為AB的中點(diǎn),則SE⊥AB.SE===,∴S側(cè)=4S△SAB=4××AB×SE=2×5×=25,∴S表=S側(cè)+S底=25+25.易知四棱錐的高SO===.∴V=S底h=×25×=.【小結(jié)】解決棱柱、棱錐、棱臺的體積與表面積問題的關(guān)鍵是找到高,這需要在常見的幾何體中構(gòu)造特殊圖形:一般地,在棱柱中構(gòu)造矩形、在棱錐中構(gòu)造直角三角形、在棱臺中構(gòu)造直角梯形,將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決.探究二:【解析】設(shè)球心為O,球半徑為R,作OO1⊥平面ABC于O1,如圖.由于OA=OB=OC=R,則O1是△ABC的外心,設(shè)M是AB的中點(diǎn),由于AC=BC,則O1∈CM,連接O1A.設(shè)O1M=x,易知O1M⊥AB,則O1A=,O1C=CM-O1M=-x.又O1A=O1C,∴=-x,解得x=,則O1A=O1B=O1C=.在Rt△OO1A中,O1O=,∠OO1A=90°,OA=R,由勾股定理得()2+()2=R2,解得R=.故S球=4πR2=54π,V球=πR3=27π.【小結(jié)】球的截面問題主要考查球的半徑、截面圓的半徑、球心到截面的距離構(gòu)成直角三角形的計(jì)算問題,注意大圓半徑與小圓半徑之間的轉(zhuǎn)化.探究三:【解析】過點(diǎn)C作CE⊥AB交AB于點(diǎn)E,將四邊形ABCD繞AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是由直角梯形ADCE旋轉(zhuǎn)出的圓臺與△CBE旋轉(zhuǎn)出的圓錐拼接而成的組合體.由圖計(jì)算可得CE=4,AE=2,CD=2,BE=3,BC=5,∴S表=π·AD2+π(CE+AD)·CD+π·CE·BC=24π+12π;∴V=π(CE2+CE·AD+AD2)AE+πCE2·BE=π.【小結(jié)】首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的圖象,確定形成的旋轉(zhuǎn)體由哪些簡單幾何體組成,再套用公式求表面積和體積.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:已知長方體可以看成直四棱柱ADD'A'-BCC'B',設(shè)它的底面ADD'A'的面積為S,高為h,則它的體積為V=Sh.而三棱錐C-A'DD'的底面面積為S,高是h,因此,三棱錐C-A'DD'的體積VC-A'DD'=×Sh=Sh.剩余部分的體積是Sh-Sh=Sh.所以三棱錐C-A'DD'的體積與剩余部分的體積之比為Sh∶Sh=1∶5.應(yīng)用二:如圖,連接AC,BD交于點(diǎn)O1,則O1為矩形ABCD所在小圓的圓心,連接OO1,則OO1⊥面ABCD,易求得O1C=2,又OC=4,∴OO1==2,∴棱錐體積V=×6×2×2=8.應(yīng)用三:上部分圓錐體的母線長為,其側(cè)面積為S1=π××,下部分圓柱體的側(cè)面積為S2=π×5×1.8.S=S1+S2=π××+π×5×1.8≈50.03(m2).所以,要搭建這樣的一個蒙古包至少需要約50.03m2的篷布.V=π×()2×1.8+×π×()2×1.2=35.325+7.85≈43.18(m3).這個蒙古包占的體積約為43.18(m3).基礎(chǔ)智能檢測1.C由球的大圓面積為9π,得到球的半徑R=3,∴S表=4πR2=36π,V=πR3=36π.2.A設(shè)底面圓半徑為r,則(2r)2=,∴r=1,母線l=2,∴S底=πr2=π,S側(cè)=πrl=2π,∴S表=3π.故選A.3.6設(shè)長方體的三邊長為a,b,c,則則V=abc==6.4.解:設(shè)圓臺的上底半徑為r,下底半徑為R.由圖知母線l=8,2πr=×16,2πR=×2