2025北師版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)培優(yōu)專練：全等三角形的綜合

專題4.3全等三角形的綜合

?思維方法

正向思維：是一類常規(guī)性的、傳統(tǒng)的思維形式，指的是大家按照自上而下，由近及遠(yuǎn)、從左到右、從

可知到未知等一般而言的線性方向做出探究問題的思維途徑。

逆向思維：是指在剖析、破解數(shù)學(xué)難題進(jìn)程中，可以靈活轉(zhuǎn)換思維方向，從常規(guī)思維的相反方向出發(fā)

進(jìn)行探索的思維方式，比如正向思維無法解決問題時(shí)可反其道而行采取逆向思維，直接證明有困難時(shí)可采

用間接證明。

?知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、全等圖形的判定

判定方法解釋圖形

邊邊邊

三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

(SSS)—不

邊角邊兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)

(SAS)三角形全等

角邊角兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)

(ASA)三角形全等

角角邊兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相

(AAS)等的兩個(gè)三角形全等ZX.

二、全等三角形的性質(zhì)

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.(另外全等三角形的周長、面積相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線、角平

分線、高線均相等)

?典例分析

【典例1】【初步探索】

(1)如圖1：在四邊形4BCD中，4B=AD,^B=N/WC=90。,E、尸分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD,

探究圖中AB2E、NFAD、乙瓦4尸之間的數(shù)量關(guān)系.

小王同學(xué)探究此問題的方法是:延長FD到點(diǎn)G,使DG=BE,連接2G,先證明A/IBE三△ADG,再證明△4EF三

AAGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是.

【靈活運(yùn)用】

(2)如圖2,若在四邊形4BCD中，SB=XD,ZB+ZD=180。,E、f分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD,

上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由.

【拓展延伸】

(3)己知在四邊形ABC。中，/.ABC+/.ADC=180°,AB^AD,若點(diǎn)E在C8的延長線上，點(diǎn)P在CD的延

長線上，如圖3所示，仍然滿足EF=BE+FD,若NC=70。，請(qǐng)直接寫出NE4F的度數(shù).

(1)延長FD到點(diǎn)G,使DG=BE,連接4G,可判定△ABE0△4DG,進(jìn)而得出NB4E=N￡MG,AE=AG,

再判定△力EFgZkAGF,可得出NE4F=NGAF=N￡MG+N￡MF=NB4E+N￡MF,據(jù)此得出結(jié)論；

(2)延長FD至1點(diǎn)G,使DG=BE,連接4G,先學(xué)J定△48E0△4DG,進(jìn)而得出NB力E=ZZMG,AEAG,

再判定△力EF絲AAGF,可得出NEAF=^GAF=^DAG+^DAF=/.BAE+ADAF■,

(3)在DC延長線上取一點(diǎn)G,MDG=BE,連接4G,先判定△ADGgAABE,再判定△AEF四△4GF,

得出NB4E=^FAG,最后根據(jù)NR4E+ZFXG+乙GAE=360°,推導(dǎo)得到2NF2E+4DAB=360°,利用

AABC+^ADC=180°,NC=70。推導(dǎo)出的度數(shù)，即可得出結(jié)論.

【解題過程】

解：(1)NB4E+N凡4。=NR4F,理由如下：

如圖1,延長FD到點(diǎn)G,使DG=BE,連接4G,

圖I

在△ABE和AADG中,

AB=AD

Z.B=AADG=90°,

、BE=DG

???△/BE也△ADG(SAS),

???Z-BAE=Z.DAG,AE=AG,

vEF=BE+DF,DG=BE,

??.EF=BE+DF=DG+DF=GF,

在△AEE和△AGF中，

AE=AG

AF=AF,

、EF=GF

???△/EF也△AGF(SSS),

???Z-EAF=Z,GAF=/-DAG+/-DAF=/-BAE+Z.DAF.

故答案為：^BAE+/.FAD=AEAF；

(2)上述結(jié)論仍然成立，理由如下：

如圖2,延長FO到點(diǎn)G,使DG=BE,連接4G,

???(B+^ADF=180°,^ADG+Z.ADF=180°,

???Z.B=Z.ADG,

在△ABE和△ADG中，

'AB=AD

乙B=AADG,

、BE=DG

???△/BE也△ADG(SAS),

???Z-BAE=Z.DAG,AE=AG,

在和△AGF中，

AE=AG

AF=AF,

、EF=GF

???△/EF四△AGF(SSS),

???Z.EAF=Z.GAF=/-DAG+Z-DAF=Z.BAE+Z-DAF^

(3)如圖3,在。C延長線上取一點(diǎn)G,使得。G=BE,連接AG,

???^ABC+乙ADC=180°,L.ABC+^ABE=180°,

???Z-ADC=乙ABE,

在△ABE和△ADG中，

AB=AD

Z.ABE=乙ADC，

、BE=DG

???△/BE^ZkADG(SAS),

AG=AE,Z.DAG=Z.BAE,

???EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,

在△AEF和△AGF中，

AE=AG

AF=AF,

、EF=GF

???△/EF也△AGF(SSS),

Z.FAE=Z.FAG,

???Z.FAE+Z.FAG+AGAE=360°,

???2(FAE+{/.GAB+Z.BAE)=360°,

???2/.FAE+{/.GAB+/-DAG')=360°,

^2^FAE+Z.DAB=360°,

1

???^EAF=180°--Z.DAB.

2

???/,ABC+乙ADC=180°,乙BCD=70°,

???乙DAB=180°-70°=110°,

^LEAF=180°--x110°=125°.

2

?學(xué)霸必刷

1.（22-23七年級(jí)下?陜西西安?期末）如圖，在△ABC中，Z.BAC=90°,AB=24C,點(diǎn)。是線段4B的中點(diǎn)，

將一塊銳角為45。的直角三角板按如圖S4DE）放置，使直角三角板斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別與4D重合，連接

BE、CE,CE與48交于點(diǎn)足下列判斷正確的有（）

?AACE=^DBE；②BEICE；③DE=DF；?S^DEF=SAACF

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

【思路點(diǎn)撥】

利用△ADE為等腰直角三角形得到NE4D=Z.EDA=45°,EA=ED,則NEAC=Z.EDB=135°,則可根據(jù)

“SAS”判斷△力CEZADBE(S4S),從而對(duì)①進(jìn)行判斷；再禾！J用N4EC=NDEB證明N8EC=NDE4=90。,

貝1|可對(duì)②進(jìn)行判斷；由于NDEF=90°-乙BED=90°-/.AEC,乙DFE=^AFC=90°-^ACE,而AC=

AD>4E得至！U4EC>N4CE,所以NDEFC/DFE,于是可對(duì)③進(jìn)行判斷；由△4CE<△DBE得至!ISA.E=

s4DBE，由=4。得到SADAE=S^DBE,所以S&4CE=SAD4E，從而可對(duì)④進(jìn)行判斷?

【解題過程】

解：?.?48=24C,點(diǎn)。是線段2B的中點(diǎn)，

BD=AD=AC,

???△ZOE為等腰直角三角形，

???/LEAD=￡.EDA=45°,EA=ED,

??.AEAC=/-EAD+ABAC=45°+90°=135°,乙EDB=180°-Z-EDA=180°-45°=135°,

???Z-EAC=乙EDB,

在△4CE和△DRE中，

'EA=ED

Z-EAC=Z-EDB,

、AC=DB

:AACE沿XDBE(SAS),所以①正確;

???Z-AEC=乙DEB,

???乙BEC=乙BED+乙DEC=^AEC+乙DEC=LDEA=90°,

??.BEJ.EC,所以②正確；

???乙DEF=90。—乙BED.

而ZTIEC=乙DEB,

???乙DEF=90°-4EC,

???乙DFE=/.AFC=90°一/.ACE,

而ZC=AD>AE,

??.Z.AEC>Z.ACE,

乙DEF<乙DFE,

DE>DFf所以③錯(cuò)誤；

-AACEADBE,

9

S〉A(chǔ)CE=S^DBE

BD=AD,

SADAE=SADBE，

S“ACE=SADAE，

S.DEF=SMCF，所以④正確?

故選：C.

2.（23-24八年級(jí)上?江蘇宿遷?階段練習(xí)）如圖，在銳角三角形2BC中，4”是BC邊上的高，分別以AB,4C為

一邊，向外作正方形ABDE和2CFG（正方形四條邊都相等，四個(gè)角都是直角），連接CE,BG和EG,EG與

的延長線交于點(diǎn)M,下列結(jié)論：①BG=CE；②BG1CE；③2M是△AEG的中線；④NE4M=41BC.其中

正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【思路點(diǎn)撥】

本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，在解答時(shí)作輔助線的延長線于

P,過點(diǎn)G作GQ于。構(gòu)造出全等三角形是難點(diǎn)，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵，分析題意，根據(jù)正

方形的性質(zhì)可得可求出NC4E=NB4G,由“邊角邊”可得△力BG三△AEC,可判斷①是否正確；設(shè)BG、CE相

交于點(diǎn)N,由ATlBG三A4EC可得乙4CE=NHG8,即可判斷②的正確性；根據(jù)同角的余角相等求出乙4BH=

^EAP,再證明△ABH三AEAP,根據(jù)全等三角形性質(zhì)即可判斷④是否正確；證明AEPMmAGQM,根據(jù)全

等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可判斷③是否正確，從而完成解答.

【解題過程】

解：在正方形4BDE和4CFG中，AC=AG,AB=AE,^BAE=^CAG=90°,

.-./.CAG+/-BAC=/-BAE+/.BAC,即NC4E=/.BAG,

^^ABG^^AEC^,AB^AE,/.CAE=^BAG,AC=AG,

:.4ABG三SBC(SAS),

BG=CE,故①正確；

設(shè)BG、CE相交于點(diǎn)N,

ABG=△AEC,

???Z-AGB=Z-ACE,

???乙NCF+乙NGF=乙ACF+^AGF=90°+90°=180°,

???乙CNG=360°-(乙NCF+Z.NGF+乙F)=360°-(180°+90°)=90°,

BGtCE,故②正確；

過點(diǎn)G作GQ于。，過點(diǎn)E作EP,從4的延長線于尸，如圖所示：

???4ABH+ABAH=90°,

???4BAE=90°,

???^EAP+乙BAH=180°-90°=90°,

??.LEAP=乙ABH,

在和中，

乙ABH=Z.EAP,乙AHB=^P=90°,AB=AE9

.*.△ABH三△瓦4P(AAS),

Z.EAM=7.ABC,EP=AH,故④正確；

同理可得GQ=AH,

???EP=GQ,

?在GQM中，

ZP=AMQG=90°,Z.EMP=AGMQ,EP=GQ,

???△EPMGQM(AAS),

EM=GM,

AM是A4EG的中線，故③正確.

綜上所述，①②③④結(jié)論都正確，共4個(gè).

故選：D.

3.(23-24八年級(jí)上?內(nèi)蒙古呼和浩特?期中)如圖，在△ABC中，乙4=90。，△ABC的外角平分線C。與內(nèi)

角平分線BE的延長線交于點(diǎn)。，過點(diǎn)D作。F1BC交BC的延長線于點(diǎn)R連接A。，點(diǎn)E為3。中點(diǎn)，

下列結(jié)論：①4BDC=45°；②：BD+CE=BC；③AB=DF；@S^ADE+S^CDF=S“其中正確的個(gè)數(shù)

有()

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【思路點(diǎn)撥】

在直角三角形48C中，由內(nèi)角平分線和外角平分線可得NDCF=45。+/。8。，由此可證NBDC=45。；根據(jù)

三角形BCE的三邊關(guān)系可知坪。+CE=BC錯(cuò)誤；如圖所示(見詳解)，過點(diǎn)。作DH14C于H,可證△ABE=

△HDE(AAS),△DHC=△DFC(AAS),由此可知48=DF,^AADE+^ACDF=^ADCE-

【解題過程】

解：平分N4BC,CD平分N4CF,

AZ.ABD=4DBC=-7.ABC,/.ACD=/.DCF=-Z.ACF,

22

'：Z.ACF=^LBAC+Z.ABC,

11

???Z.ACD=乙DCF=^BAC+L.ABC)=45°+|乙ABC,

又,：乙DCF是△BDC的外角,

"DCF=LBC+乙BDC,

2

：.Z.DCF=-Z.ABC+乙BDC=45°+-zXBC,

22

：.ABDC=45°,故①正確；

?.?點(diǎn)E為BD中點(diǎn)，

J.-BD=BE=DE,

2

在△BCE中，BE+CE>BC,三角形中，兩邊之和大于第三邊,

：.BE+CE=1BD+CE>BC,故②錯(cuò)誤；

如圖所示，過點(diǎn)。作DH14C于H,

'：DH1AC,

：./-DHE=^BAE=90°,

點(diǎn)E是BD中點(diǎn)，

：.BE=DE,/.AEB=/.DEH,

：.AABE三△HDE(AAS),

：.AB=DH,

又,：乙DCH=LDCF,/.DHC=/-DFC=90°,DC為公共邊,

△DHC34DFC[A9,

：.DH=DF,

：.AB=DH=DF,即4B=DF,故③正確；

如圖所示，過點(diǎn)。作于H,

BCF

由結(jié)論④可知，△ABESA”DE(AAS),△DHCSADFC(AAS),

??S44BE=S&HDE，S^DHC=^ADFC,^ADCE=^t^DHE+SADHC，

在△力BD中，點(diǎn)E是BD中點(diǎn)，

,,SAABE=SFDE'

??SADCE=SAADE+S^DCF，故④正確.

綜上所述，正確的有①③④，共3個(gè)

故選：B.

4.（23-24八年級(jí)上?河北石家莊?期中）已知力8=10,AC=6,BD=8,其中Z.C4B=4DBA=a,點(diǎn)P以

每秒2個(gè)單位長度的速度，沿著C-4-B路徑運(yùn)動(dòng).同時(shí)，點(diǎn)Q以每秒X個(gè)單位長度的速度，沿著D-B-4

路徑運(yùn)動(dòng)，一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后另一個(gè)點(diǎn)隨即停止運(yùn)動(dòng).它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

①若x=1.則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路程始終是點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路程的2倍；

②當(dāng)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)到達(dá)4點(diǎn)時(shí)，%=6：

③若a=90°,t=5,x=1時(shí)，4ACPmABPQ；

④若△力CP與ABPQ全等，貝l|x=0.8或高.

A.①③B.①②③C.①②④D.①②③④

【思路點(diǎn)撥】

此題考查了動(dòng)點(diǎn)問題，全等三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是弄清運(yùn)動(dòng)過程，找出符合條件的點(diǎn)的位置.本

題根據(jù)路程等于時(shí)間乘以速度求出點(diǎn)尸和點(diǎn)。的路程，即可判斷①；首先求出點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)的時(shí)間，然

后根據(jù)題意列出算式求解即可判斷②；首先畫出圖形，根據(jù)題意求出4C=6,4P=10-6=4,8Q=80-

DQ=3,PB=AB-AP=6,然后得到4CAP^APBQ不全等，可判斷③，分2種情況求出x的值可判斷

【解題過程】

解：①：點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長度的速度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒，

.,.點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)路程為23

若第=1,則點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)路程為3

?,?點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)路程始終是點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)路程的2倍，故①正確;

②當(dāng)尸點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，y6+2=3秒，

TP、。兩點(diǎn)同時(shí)到達(dá)A點(diǎn)，

.*.x=(10+8)+3=6,故②正確；

當(dāng)t=5,x=1時(shí)，

點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為2x5=10,點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的路程為5x1=5,

\9AC=6,DQ=5,

：.AP=10-6=4,BQ=BD-DQ=8—5=3,

'.'AB=10,

=AB-AP=10-4=6f

：.APWBQ,

???△CAP^WLPBQ不全等，故③錯(cuò)誤；

④當(dāng)△/CP時(shí)，則4P=BQ,AC=BP.

U：AC=BP,

A10-(2t-6)=6,

t=5,

'：AP=BQ,

10—6=8-5%,

??x=0.8；

當(dāng)△ZCP三ZkBQP時(shí)，貝lj/尸=BP,AC=BQ.

9CAP=BP,

2t—6—10—(21—6)f

9：AC=BQ,

.*.6=8——%,

2

?4

??X—.

11

:.若XACP與XBPQ全等,貝卜=0.8或高，故④正確.

綜上所述，正確的選項(xiàng)為①②④.

故選：C.

5.(23-24八年級(jí)上?北京海淀?期中)如圖，銳角△4BC中，4BAC=60。,BD平分乙4BC,CE平分NACB,BD與

CE相交于點(diǎn)。則下列結(jié)論①NBOC=120。；②連接ED,則EO||BC；?BC=BE+CD；④若B。=4C,則

AABC=40°.其中正確的結(jié)論是()

【思路點(diǎn)撥】

本題考查了角平分線的定義、全等三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的常見輔助線-截長補(bǔ)短等知識(shí)點(diǎn)，解

題關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形.①根據(jù)NBOC=180。-(NOBC+NOCB)即可判斷；②假設(shè)

EDWBC,可推出EB=ED=CD得到4B=AC,即可判斷；③在BC上取一點(diǎn)/使得BF=BE,證4EBO=

△FB。、△COF三ADOF即可判斷；④作BG1CG,CH1AB,證△BG。SACHA△BEGmACEH,設(shè)NEBG=

Z.ECH=x,根據(jù)/E8C=NECB即可判斷.

【解題過程】

解："：ABAC=60°,

J./.ABC+/.ACB=120°

BD平分N4BC,CE平分N4CB,

，乙OBC+AOCB=|(N4BC+ZXCB)=60°

：ZBOC=180°-(zOBC+Z.OCB)=120°,故①正確;

A

???B0平分乙4BC,CE平分乙4俎

，乙EBD=乙CBD,乙ECD=乙BCE

若EDIIBC,

貝UzlEDB=乙CBD,乙DEC=乙BCD

：.Z-EBD=乙CBD=乙EDB,乙ECD=乙BCE=乙DEC

：.EB=ED=CD

VEDIIBC,

：.AB=AC,與題目條件不符，故②錯(cuò)誤；

在上取一點(diǎn)F,使得=BE,如圖1所示：

■:乙EBD=乙CBD,BO=BO

：.△EBO=AFBO

:,乙EOB=(FOB=180°-Z-BOC=60°

:ZFOC=乙BOC-Z-FOB=60°

V/-DOC=180°-乙BOC=60°

：.Z-FOC=乙DOC

.:乙ECD=(BCE,CO=CO

：.△COF=^DOF

：.CD=CF

?；BC=BF+CF

：.BC=BE+CD,故③正確；

作BG_LCG,CH14B,如圖2所示:

A

?；B0=AC,乙BOG=^CAH=60°,Z.BGO="HA=90°,

A△BGO=△CHA

：.BG=CH/OBG="CH=90°-60°=30°

?；BG=CH,乙BEG=乙CEH,乙BGE=（CHE=90°,

A△BEG=LCEH

:?EB=EC,乙EBG=CECH

即：Z.EBG+Z.EBO=30°

C.Z.EBC=乙ECB=-/.ACB

2

設(shè)NEBG=Z.ECH=x,則％+乙EBO=30°

■:（EBO=-￡.EBC

2

：.x+-乙EBC=30°,Z.EBC=60°-2x

2

?:乙ECB=Z.ACE=^ECH+"CH=x+30°

.,.60°-2x=x+30°

解得：x=10°

：.￡.EBC=60°-2x=40°,故④正確；

故選：C

6.（22-23八年級(jí)上?河南南陽?階段練習(xí)）如圖，NE=NF=90。,NB=^C,AE=AF,給出下列結(jié)論：①41=

Z2；②BE=CF；③AACNmAABM；@CN=MB,其中正確的結(jié)論是.（將你認(rèn)為正確的結(jié)論序

號(hào)都填上）

EC

F

【思路點(diǎn)撥】

本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，利用全等三角形的

判定和性質(zhì)，可以證明△4EB三△AFCAAEM=△AFN,AACN=AABM,由此即可---判斷.

【解題過程】

解：在AAEB和中，

2E=乙F

Z-B—Z.C,

AE=AF

：.△AEB三△ZFC(AAS),

：.Z.EAB=^LCAF,

■:z.1+Z-CAB=z.2+乙CAB,

Azi=A2fBE=CFfAB=AC,故①②正確，

在aAEM和△4FN中，

z2=zl

AE=AF,

/E=Z-F

：.△AEM且AFN(ASA),

：.EM=NF,

VCF=BE,

：.CN=MB,故④正確，

在AACN和AABM中，

,ZC=4B

/.CAN=/.BAM,

CN=MB

：.^ACNSAXBM(AAS),故③正確，

故答案為：①②③④.

7.(23-24八年級(jí)上?廣東中山?期中)如圖，點(diǎn)C在線段48上，DA1AB,EB1AB,FC1AB,S.DA=BC,

EB=AC,FC=AB,AAFB=51°,連接DF,EF,則NDFE=

【思路點(diǎn)撥】

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出乙8。F=4BFD,求出乙4FE=/.BFD=45。即可求出答案.

【解題過程】

解：連接肛AE,

VDA1AB,FC1AB,

A.DAB=/-BCF=90°,

在△D4B和ABCF中，

'DA=BC

Z.DAB=乙BCF,

.AB=FC

：.ADAB三△BCF(SAS),

：.BD=BF,AADB=/.ABF,

：.ABDF=乙BFD,

:4DAB=90°,

：.^ADB+^DBA=90°,

:.乙DBF=2LABD+乙ABF=90°,

:.乙BFD=乙BDF=45°,

同理N4FE=45°,

:.乙DFE=45°+45°-51°=39°,

故答案為：39。.

8.（23-24八年級(jí)上?浙江寧波?期末）如圖，等腰△力BC中，AB=AC,^BAC=70°,。為AABC內(nèi)一點(diǎn),

且NOCB=5°,^ABO=25°,貝此。"=.

【思路點(diǎn)撥】

此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，延長B。交NB4C的角平分線于點(diǎn)P,連結(jié)CP,

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及角平分線定義求出乙4BC=乙ACB=55°,Z.BAP=4cAp=35°,進(jìn)而得出NOBC=

30°,利用SAS證明AAPB三Aacp,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出"IBP=N力CP=25。，^APB-^APC,根

據(jù)角的和差及三角形內(nèi)角和定理求出N8PC=120。，結(jié)合平角定義求出/4PC=120。=NBPC,利用ASA證

明△力PCOPC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出4P=OP,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及角的和差求解即可.

【解題過程】

解：如圖，延長B。交NBAC的角平分線于點(diǎn)P,連接CP.

??,4P平分NB4C,ABAC=70°,

???乙BAP=^CAP=35°,

VAB=AC,/-BAC=70°,

???/.ABC=乙ACB=55°,

???(ABO=25°,

???Z,OBC=^ABC-乙ABO=30°,

在aaPB和△4CP中，

AB=AC

Z-BAP=Z.CAP,

AP=AP

/.△APB三△ACP(SAS),

???Z.ABP=Z.ACP=25°,乙APB=44PC,

???乙BCP=Z.ACB-乙4cp=30°,

???乙BPC=180°-乙PBC-Z-BCP=120°,

???Z-APB+Z.APC=360°-120°=240°,

???乙4PB=乙APC=120°=乙BPC,

???Z-OCB=5°,

???ZOCP=乙BCP-Z-OCB=25°=4ACP,

在△4PC和△OPC中，

/-ACP=乙OCP

CP=CP,

AAPC=〃)PC

/.△APCOPC(ASA),

???AP=OP,

???L.OAP=BOP=|x(180°-Z.APO)=30°,

???^OAC=￡.OAP+Z.CAP=65°,

故答案為：65°.

9.(22?23八年級(jí)上?湖北武漢?期中)如圖，在直角三角形中，乙4cB=90。，的角平分線/0、BE

相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作OF14。交BC的延長線于點(diǎn)F,交/C于點(diǎn)G,下列結(jié)論：①=45°；②4。=OE+

OF；③若8。=3,4G=8,則48=11；④S“CD：S“BD=CD:BD.其中正確的結(jié)論是.(只填寫

序號(hào))

A

【思路點(diǎn)撥】

根據(jù)角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)與直角三角形性質(zhì)可以判斷①是否正確；延長F。交48于X,通過

證明△4?！叭鼳AOG,ABODE4BOH,利用全等的性質(zhì)來判斷③是否正確；通過證明ABOA三ABOF,利

用性質(zhì)判斷②是否正確；根據(jù)同高的兩個(gè)三角形的面積比等于它們的底邊長之比，直接判斷④是否正確，

從而得解.

【解題過程】

解：:△ABC的角平分線A。、BE相交于點(diǎn)。，

"0=皿。=2孔，血。=皿C=^BAC,

乙BOD=AAB0+Z.BAO=|("BC+NBAC)=X90°=45°,

故①正確；

延長F。交AB于”，如圖所示：

又..";M。=NG4。，4。=4。,

：.^AOH=AAOGQASA),

：.AG=AH,OG=OH,

:.乙BOH=180°-4BOD-乙DOF=45°,

:.乙BOH=(BOD=45。，

???△BODw△BOH(ASA),

；?BD=BH,OH=OD,

：.AB=AH+BH=AG+BDf

?；BD=3,AG=8,

：.AB=11,

故③正確；

V/.BOA=乙BOH+乙AOH=135°,乙BOF=乙BOD+乙DOF=135°,

J.^LBOA=乙BOF,

：.ABOA=ABOF(ASA)f

：.A0=OF,

*：0H=OD,OG=OH,

：.0D=OG,

：.AD=AO+OD=OF-^OG,

又TNOGE=90。一4F,乙BEC=90。一乙EBC,

,\Z-OGEW乙BEC,

：.0EHOG,

：.AD=OFOGOF+OE,

故②錯(cuò)誤；

:同高的兩個(gè)三角形面積之比等于底邊長之比，

^AABD=CD：BD,

故④正確；

因此正確的有：①③④.

故答案為：①③④.

10.(22-23八年級(jí)上?江西贛州?期末)如圖，△IBC中,乙4cB=90。，AC=8cm,BC=14cm,點(diǎn)尸從A

點(diǎn)出發(fā)沿4-C-B路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為8點(diǎn)，點(diǎn)。從B點(diǎn)出發(fā)沿B-C-2路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)

為A點(diǎn)，點(diǎn)P和。分別以2cm/s和3cm/s的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)

動(dòng)，分別過尸和。作PE11于E,QFl/于凡設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，要使以點(diǎn)P,E,C為頂點(diǎn)的三角形與以

點(diǎn)Q,F,C為頂點(diǎn)的三角形全等，貝1的值為.

B

A

【思路點(diǎn)撥】

先求出點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)到達(dá)點(diǎn)C和點(diǎn)B所需要的時(shí)間，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)到達(dá)點(diǎn)C和4點(diǎn)所需要的時(shí)間，然后根據(jù)P、

Q所在的位置分類討論，分別畫出對(duì)應(yīng)的圖形，找出全等三角形的對(duì)應(yīng)邊并用時(shí)間t表示，然后列出方程即

可得出結(jié)論.

【解題過程】

解:由題意知，點(diǎn)P從2點(diǎn)出發(fā)到達(dá)點(diǎn)C所需要的時(shí)間為：8+2=4s；到達(dá)點(diǎn)B共需要的時(shí)間為：（8+14）+2=

11s

點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)到達(dá)點(diǎn)C所需要的時(shí)間為：14+3=￡S；到達(dá)點(diǎn)4共需要的時(shí)間為：（8+14）+3=￡S

當(dāng)0W1W4,點(diǎn)P在2C上，點(diǎn)Q在BC上，如圖所示：

此時(shí)AP=2t,BQ=3t

CP=8-2t,CQ=14-3t

???APEC=Z.ACB=乙QFC=90°

???LPCE+乙QCF=90。,NCQF+QCF=90°

.-.乙PCE=乙CQF

???要使以點(diǎn)P,E,C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q,F,C為頂點(diǎn)的三角形全等

???CP=CQ

.--8—2t=14—3t

:.t=6（不符合題意，舍去）；

當(dāng)4<twg,點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在上，如圖所示：

B

A

\^P&)/

CE(F)

???要使以點(diǎn)P,E,。為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q,F,C為頂點(diǎn)的三角形全等

??.P和Q重合,E和F重合

:.CP=2t-8,QC=14-3t,CP=QC

2t—8=14—3t

t=Y(符合題意)

當(dāng)拳點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在/c上，如圖所示：

FCE

??.CP=2t-8fCQ=3t-14

???乙PEC=乙ACB=乙QFC=90°

??.Z.PCE+乙QCF=90。，乙CQF+QCF=90°

???乙PCE=Z.CQF

???要使以點(diǎn)P,E,C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q,F,C為頂點(diǎn)的三角形全等

??.CP=CQ

2t—8=3t—14

???t=6（符合題意）；

當(dāng)彳＜1411,點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q與點(diǎn)/重合，如圖所示：

CP=2t-8fCQ=CA=8

???乙PEC=Z.ACB=/.QFC=90°

???(PCE+4QCF=90°,Z.CQF+QCF=90°

???乙PCE=乙CQF

???要使以點(diǎn)P,E,。為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q,F,C為頂點(diǎn)的三角形全等

??.CP=CQ

2t—8=8

???t=8(符合題意)；

.??要使以點(diǎn)P,E,C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q,F,C為頂點(diǎn)的三角形全等，貝亞=8或t=6或t=當(dāng)

故答案為：?或6或8.

11.(23-24八年級(jí)上內(nèi)蒙古鄂爾多斯?階段練習(xí))如圖.在△ABC中，4ABe=60。.AD,CE分別平分NR4C,

/-ACB.

(1)求NE。。的度數(shù)；

(2)求證：OD=OE.

【思路點(diǎn)撥】

本題考查角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分

線的定義、三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì).

(1)先由乙4BC=60。得NBAC+N力CB=120。，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和得到N40C=120。，所以NE。。=

Z.XOC=120°；

(2)在4C上截取CF=CD,連接。尸，先證明ACODSACOF,得。。=OF；再證明AAOE=AAOF,得。E=

OF,所以。D=OE.

【解題過程】

⑴解：???AABC=60°,

???/LBAC+乙4cB=120°,

???AD,CE分另ij平分NB4C,^ACB,

???/.CAD=-ZFXC,/.ACE=-^ACB,

22

1

???乙AOC=180°-{Z.CAD+RACE)=180°--^BAC+乙ACB)

=180°--x120°=120°,

2

???乙EOD=Z.AOC=120°,

的度數(shù)是120。；

(2)在ZC上截取CF=CD,連接。F,

在△COO和△COF中,

CD=CF

"CD=Z.OCF,

OC=OC

.*.△COD=ACOF(SAS),

OD=OF；

???^AOC=120°,Z.AOE=乙COD=180°-Z,EOD=60°,

??.Z,COF=乙COD=60°,

???AAOF=AAOC-乙COF=60°,

??.Z.AOE=Z.AOF,

在A/OE和AZOF中，

^OAE=AOAF

OA=OA,

./LAOE=Z.AOF

???△/OE=A71OF(ASA),

??.OE=OF,

OD=OE.

12.（22-23七年級(jí)下?重慶南岸?期末）在NM4V點(diǎn)D,過點(diǎn)O分別作14M,DC1AN,垂足分別為8,C.且

BD=CD,點(diǎn)E,F分別在邊和AN上.

(1)如圖1,若乙BED=￡CFD,請(qǐng)說明DE=DF

(2)如圖2,若NBDC=120。，AEDF=60°,猜想EF,BE,CF具有的數(shù)量關(guān)系，并說明你的結(jié)論成立的

理由.

【思路點(diǎn)撥】

(1)由。81AM,DC1AN,可得4EBD=4FCD,結(jié)合BD=CD,/.BED=Z.CFD,可證ABED三八

CFD(ASA),即可求解，

(2)在上取點(diǎn)G,使BG=CF,通過證明△GBD三△FCD,AGDE三△EFD,即可求解，

本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是：通過輔助線構(gòu)造全等三角形.

【解題過程】

⑴解：???DB1AM,DCLAN,

Z.EBD=乙FCD,

???BD=CD,乙BED=CCFD,

BEDCFZ)(ASA),

DE=DF,

(2)解：在BM上取點(diǎn)G,使BG=CF,

M

圖2

???DBLAM,DCLAN,

???(GBD=Z-FCD,

???BD=CD,BG=CF,

/.△GBD三△ECO(SAS),

DG=DF,Z,GDB=乙FDC,

???(BDC=120°,Z.EDF=60°,

???乙EDB+乙FDC=120°-60°=60°,

???乙EDB+乙GDB=60°,即4EOG=60°,

??.△GDE=△EFD(SAS),

EF=EG,即：EF=BE+BG=BE+CF,

??.EF=BE+CF.

13.(23-24八年級(jí)上.吉林?期末)(1)如圖1,在ATIBC中，ABAC=90°,AB^AC,直線機(jī)經(jīng)過點(diǎn)A,

BO1直線機(jī).CELS線相，垂足分別為。，E.求證：DE=BD+CE.

(2)如圖2,將(1)中的條件改為在△力BC中，AB=AC,D,A,E三點(diǎn)都在直線m上，且有/BD4=AAEC=

^BAC=a,其中a為任意鈍角，請(qǐng)問結(jié)論DE=BD+CE是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，

請(qǐng)說明理由.

【思路點(diǎn)撥】

此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

(1)由直角三角形的性質(zhì)及平角的定義得出4=可證明△408WZXCEZ(AAS),根據(jù)全等三角

形的性質(zhì)及線段的和差求解即可；

(2)與(1)類似，可證明△4)8三△CEA(AAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及線段的和差求解即可.

【解題過程】

解：(1)?.?8。_1直線相，“，直線機(jī)，

：.Z-BDA=/.CEA=90°.

：.Z.BAC=90°,

：./.BAD+Z.CAE=90°.

,：Z-BAD+/-ABD=90°,

：.Z.CAE=Z.ABD.

在和中，

A.BDA=Z.AEC,

乙ABD=Z.CAE,

AB=CA,

：.△ADB=△CEZ(AAS),

：.AE=BD,AD=CEf

：.DE=AEAD=BD+CE.

(2)成立.證明如下：

VZ-BDA=Z-BAC=a,

：.Z.DBA+/-BAD=匕BAD+Z.CAE=180°-a,

：.Z-CAE=乙ABD.

在和△(7瓦4中，

^LBDA=Z.AEC,

Z-ABD=Z-CAE,

、AB=CA,

：.^ADB三△CE/(AAS),

：.AE=BD,AD=CEf

：.DE=AE+AD=BD+CE.

14.(23-24八年級(jí)上?安徽安慶?期末)(1)如圖①，在△ABC中，若4B=6,AC=4,AD為BC邊上的中

線，求4。的取值范圍;

(2)如圖②，在△ABC中，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，DEIDF,DE交AB于點(diǎn)E,DF交力C于點(diǎn)尸，連接EF,判

斷BE+CF與EF的大小關(guān)系并證明；

(3)如圖③，在四邊形4BCD中，ABWCD,AF與DC的延長線交于點(diǎn)R點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若4E是NB4F的

角平分線.試探究線段力B,AF,CF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

(1)由已知得出4B-BE<4E<4B+BE,即6-4<2E<6+4,AD為4E的一半，即可得出答案；

(2)延長尸。至點(diǎn)M,使DM=DF,連接BM,EM,可得ABMDmACFD,得出BM=CF,由線段垂直平

分線的性質(zhì)得出EM=EF,在A8ME中，由三角形的三邊關(guān)系得出BE+8M>EM即可得出結(jié)論；

(3)延長4E,DF交于點(diǎn)G,根據(jù)平行和角平分線可證4F=FG,也可證得A48ESAGCE,從而可得2B=

CG,即可得到結(jié)論.

【解題過程】

解：(1)如圖①，延長4。到點(diǎn)E,使DE=4D,連接BE,

：￡)是BC的中點(diǎn)，

：.BD=CD,

'：^.ADC=乙BDE,

：.AACDmAEBD(SAS),

：.BE=AC=4,

在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE,

???6-4<ZE<6+4,，

：.2<AE<10,

Al<AD<5,

故答案為：IV40<5；

(2)BE+CF>EF,理由如下：

延長尸。至點(diǎn)“，使。M=DR,連接BM、EM,如圖②所示.

同(1)得：△BMDNZkCED(SAS),

：.BM=CF,

9：DE1DF,DM=DF,

：.EM=EF,

在aBME中，由三角形的三邊關(guān)系得:

BE+BM>EM,

：.BE+CF>EF；

(3)AF+CF=AB,理由如下：

如圖③，延長DF交于點(diǎn)G,

9：AB||CD,

Z.BAG=Z.G,

在△/BE和△GCE中,

CE=BE,

|Z-BAG=Z-G,'

y^AEB=乙GEC

：.△ABE三△GEC(AAS),

ACG=AB,

???/E是乙84戶的平分線，

A/.BAG=Z.GAF,

乙FAG=Z-G,

：.AF=GF,

VFG+CF=CG,

：.AF^-CF=AB.

15.(2023八年級(jí)上?全國?專題練習(xí))(1)如圖1,在四邊形中，AB=AD,乙B=2D=90。,E、F分

別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且NE4F=^ABAD.求證：EF=BE+FD；

(2)如圖2,在四邊形力BCD中，AB=AD,NB+ND=180。，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，S.^EAF=

"BAD,(1)中的結(jié)論是否仍然成立？

(3)如圖3,在四邊形力BCD中，AB=AD,AB+AD=180°,E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且

^EAF=^BAD(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，

本題是三角形綜合題，考查了三角形全等的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造全等三角

形解決問題.

(1)延長EB到G,使BG=DF,連接4G.利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可；

(2)先證明AaBM三△ADF(SAS),由全等三角形的性質(zhì)得出4F=AM,Z2=z3.△4ME三△AFE(SAS),

由全等三角形的性質(zhì)得出EF=ME,即EF=BE+BM,則可得出結(jié)論;

(3)在BE上截取BG,使BG=DF,連接4G.證明ATlBG三△4。工由全等三角形的性質(zhì)得出N84G=

ADAF,AG=AF.證明A/IEGmAAEF,由全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論.

【解題過程】

證明：延長EB到G,使BG=DF,連接4G.

V/.ABG=N4BC=4。=90°,AB=AD,

??△ABG=△ADF.

*.AG=AF,zl=Z2.

.,.Z.1+Z3=Z.2+Z3=Z.EAF=-Z-BAD.

2

：.Z-GAE=Z.EAF.

^：AE=AEf

/.△AEG=△AEF.

：.EG=EF.

9：EG=BE+BG.

：.EF=BE+FD

(2)(1)中的結(jié)論ET=BE+FO仍然成立.

???/.ABC+ZD=180°,z.1+/.ABC=180°,

???z.1=Z.D,

在△ABM與△ZOF中，

AB=AD

z.1=乙D,

、BM=DF

??.△ABM三△AOF(SAS),

AF=AM,z2=z3,

1

Z.EAF=-Z-BAD=Z.EAF,

2

z3+z4=Z.EAF

即4M/E=AEAF

在△河￡?與中

'AM=AF

^LMAE=Z.EAF

、AE=AE

/.△AME=Ai4FE(SAS),

??.EF=ME,

即EF=BE+BM,

EF=BE+DF；

(3)結(jié)論EF=+不成立，應(yīng)當(dāng)是=

證明：在BE上截取BG,使BG=OF,連接AG.

VLB+^ADC=180°,^LADF+^ADC=180°,

:?乙B=^ADF.

\9AB=AD,

/?△ABG=△ADF.

：.^BAG=/-DAF,AG=AF.

i

ALBAG+/-EAD=^DAF+Z.EAD=￡.EAF=-ABAD.

2

：.^GAE=Z.EAF.

'：AE=AE,

/.△AEG=△AEF.

：.EG=EF,

9：EG=BE—BG,

：.EF=BE-FD.

16.(23-24八年級(jí)上?吉林遼源?期末)在△ABC中，^BAC=90°,AB=AC,AABC=45°.MN是經(jīng)過點(diǎn)力的

直線，BD上MN于D,

(1)求證：BD=AE

(2)若將MN繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)，使MN與BC相交于點(diǎn)G(如圖2),其他條件不變，求證：BD=AE.

(3)在(2)的情況下，若CE的延長線過AB的中點(diǎn)F(如圖3),連接GF,求證：zl=Z2.

【思路點(diǎn)撥】

(1)首先證明N1=N3,再證明A/lOB三ACEa,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得80=4E；

(2)首先證明/瓦1。=乙4CE,再證明AaBO三ANCE,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得8。=AE；

(3)首先證明AAC尸三AABP,然后再證明ABFG三A8PG,再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得NBPG=

乙BFG,再根據(jù)等量代換可得結(jié)論41=42.

【解題過程】

???/.BAC=90°,

???zl+Z2=90°,

又43+乙2=90°,

zl—Z,3,

在△ZOB和△CE4中,

2BDA=Z.AEC

Z3=Z1,

、AB=AC

.*.△ADB=△CE/1(AAS),

??.BD=AE；

(2)如圖2,vBD1MN.CE1MN,

??.ABDA=/.CEA=90°,

???/.BAD+ACAE=90°,

Z.ACE+Z.CAE=90°,

Z-BAD=Z-ACE,

在△480和中，

ZBDA=/.CEA

ABAD=/.ACE,

、AB=AC

.*.△ABD三△4CE(AAS),

???BD=AE；

(3)如圖3,過B作BP||/C交MN于P,

???BP||AC,

???乙PBA+Z-BAC=180°,

???乙BAC=90°,

???乙PBA=ABAC=90°,

由(2)得：^BAP=AACF,

???在△4CF和△ABP中，

Z.PBA=4FAC

AB=AC，

ZBAP=^ACF

ACF=AXBP(ASA),

Z1=Z.BPA,AF=BPf

BF=AF,

BF=BP,

???△4BC是等腰直角三角形，

???乙ABC=45°,

又???Z.PBA=90°,

???乙PBG=45°,

???Z-ABC=Z-PBG,

在aBFC和中，

BF=BP

Z.FBG=乙PBG，

、BG=BG

.*.△BF