2024年新高一數(shù)學暑假提升講義（人教B版必修第一冊）：函數(shù)的奇偶性（解析版）

第12講函數(shù)的奇偶性

T模塊導航—素養(yǎng)目標*

模塊一思維導圖串知識1.理解函數(shù)奇偶性定義、奇函數(shù)偶函數(shù)圖象的對稱性，凸顯數(shù)學抽

模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）象、數(shù)學運算、直觀想象的核心素養(yǎng).

模塊三核心考點舉一反三2.能應用奇偶函數(shù)的定義、圖象對稱性及變形，判斷、證明函數(shù)的

模塊四小試牛刀過關(guān)測奇偶性，凸顯邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象的核心素養(yǎng).

3.會應用函數(shù)的基本性質(zhì)比較函數(shù)值大小、求參數(shù)、解簡單函數(shù)不

等式.

模塊一思維導圖串知識

考點一函數(shù)奇偶性的判斷

考點二由函數(shù)的奇偶性求解析式

函

數(shù)考點三抽覆函數(shù)的奇偶性問題

的

函

奇

圖象的對史笆一數(shù)

偶考點四由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)

的

性

奇

考點五由函數(shù)的奇偶性解不等式

偶

性

函數(shù)奇偶性的應用

考點六函數(shù)圖象對稱性的應用

考點七應用函數(shù)的奇偶性比較大小

考點八函數(shù)性質(zhì)的綜合應用

6模塊二基礎(chǔ)知識全梳理

知識點1函數(shù)的奇偶性

.函數(shù)的奇偶性及函數(shù)圖像的對稱性

偶函數(shù)奇函數(shù)

如果對于函數(shù)4）的定義域/內(nèi)任意一個X,都有-

定義

并且八一x）=/（x）,那么函數(shù)火X）是偶函數(shù)并且八一x）=—/（X）,那么函數(shù)/（X）是奇函數(shù)

圖象特征關(guān)于y軸對稱關(guān)于原點對稱

提醒：⑴函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件.

（2）若f（x）WO,則奇（偶）函數(shù)定義的等價形式如下：

/(r)

①f(x)為奇函數(shù)Of(—x)=-f(x)of(—x)+f(x)=Oo/(X)

/(-X)=

②f(x)為偶函數(shù)Of(—X)=f(x)Of(—X)—f(x)=0=/(X)

知識點2函數(shù)奇偶性的應用

奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.即

“奇同偶反”.

提醒：函數(shù)奇偶性的四個重要結(jié)論

(1)如果一個奇函數(shù)於)在x=0處有定義，那么一定有｛0)=0.

(2)如果函數(shù)人X)是偶函數(shù)，那么y(x)=A|x|).

(3)(4)若y=/(x+a)是奇函數(shù)，則八一x+a)=—/(x+a)；若y=/(x+a)是偶函數(shù)，則人一x+a)=/(x+a).

◎模塊三核心考點舉一反三------------------------

考點一：函數(shù)奇偶性的判斷

作]例1.(2024高一?全國?專題練習)判斷下列各函數(shù)是否具有奇偶性

(1)f(%)=x3+2x

(2)f(x)=2x4+3x2

r3_r2

⑶=

X-1

(4)/(x)=x2,XG[-1,2]

(5)/(x)=y/x—2+個2-x

(6)/W=^7p2;

⑺f(x)=Vx2-1+Jl-%2

(8)/(x)=(l-x)J±i

V1-x

【答案】(1)奇函數(shù)

(2)偶函數(shù)

(3)非奇非偶函數(shù)

(4)非奇非偶函數(shù)

(5)非奇非偶函數(shù)

(6)奇函數(shù)

(7)偶函數(shù)

(8)非奇非偶函數(shù)

【分析】利用奇偶函數(shù)的定義逐個判斷即可.

【詳解】(1)/(X)的定義域為R,它關(guān)于原點對稱.

/(-x)=(-X)3+2(-x)=-X3-2x=-f(x),故/(X)為奇函數(shù).

(2)/(%)的定義域為R,它關(guān)于原點對稱.

f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2=/(x),故/(x)為偶函數(shù).

3_2

(3)〃力='二、的定義域為(-咫1)31,+8)不關(guān)于原點對稱，

X—1

故"X)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

(4)/(x)=x2,xe[T2]的定義域為-1,2],不關(guān)于原點對稱，

故/(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

(%—220x

(5)因為2_》>0,所以丈=2,即函數(shù)"X)的定義域為f{2},不關(guān)于原點對稱,

故/(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

[l-x2>0,口

(6)由17.八，得一且"0,

|x+2|—2W0

所以/(X)的定義域為[T,0)”0,l]，關(guān)于原點對稱,

所以/(可="[=益;

X

又〃7)=止土[=_4三=_/,)，所以“X)是奇函數(shù).

(7)對于函數(shù)y(x)=VD+4r因為所以X=±l,

其定義域為{-1,1},關(guān)于原點對稱.因為對定義域內(nèi)的每一個X,都有/(x)=o,

所以/(-x)=/(x),f(-x)=-f^x),

所以〃尤)=VT下+?二1既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

(8)因為寧20,所以TVx<l,所以/(x)的定義域為不關(guān)于原點對稱,

1-X

所以/(無)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

1_丫2

【變式1-1](23-24高一下?遼寧?開學考試)設(shè)函數(shù)〃"=修，則有()

A.是奇函數(shù)，=B.〃x)是奇函數(shù)，/[￡|=/(x)

C.〃x)是偶函數(shù)，=D.〃x)是偶函數(shù)，dJ=〃x)

【答案】C

【分析】

利用奇偶性的定義判定函數(shù)的奇偶性，由解析式計算一一判定選項即可.

【詳解】因為函數(shù)表達式為/(x)=二，定義域為R,

所以〃-)=：-(；)=與：=/僅),所以/■(X)為偶函數(shù)；

(-X)+1X+1

又/⑴日=『=x"2=-i一小),所以C正確?

hr1

故選：C

【變式1-2](2024?西藏?模擬預測)若函數(shù)/(無)=》-七，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

A.y(x+1)—2B.y(x—1)—2C./(x-1)+2D./(x+l)+2

【答案】c

【分析】變形得至U/(x)=x+l+/-2,從而得到了(x-l)+2=x+：為奇函數(shù)，其他選項不合要求.

【詳解】因為/(x)=x--—=x+l-^^-l=x+l+---2,

x+1x+1X+1

所以/(x-1)+2=%H—,

由于g(x)=x+：定義域為(-8,0)U(0,+8),

又g(-x)=f-：=-g(x),

故g(x)=x+1為奇函數(shù)，故/(》-1)+2為奇函數(shù)，

其他選項均不合要求.

故選：C.

【變式1-3X23-24高一下?山東淄博?期中)〃x),g(x)是定義在R上的函數(shù)，Mx)=/(x)+g(x),則“/(X),

g(無)均為奇函數(shù)”是“〃(X)為奇函數(shù)”的()條件.

A.充要B.充分而不必要

C.必要而不充分D.既不充分也不必要

【答案】B

【分析】由題意結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)逐一考查充分性和必要性是否成立即可.

【詳解】若/(x),g(x)均為奇函數(shù)，則有/(-》)=-〃?若(7：)=-8(%)，

所以〃(-x)=/(-%)+g(-x)=-[/(X)+g(x)]=-h(x),所以“〃(無)為奇函數(shù)”，故充分性成立，

若％(x)為奇函數(shù),如〃(x)=x,/(x)=x2+x,g(x)=-x2,而y(x),g(x)均不是奇函數(shù),故必要性不成立.

綜上可得：“/⑸，g(x)均為奇函數(shù)”是“乂力為奇函數(shù)”的充分而不必要的條件.

故選：B.

考點二：由函數(shù)的奇偶性求解析式

住]例2.(23-24高一上?吉林延邊?期中)(1)已知二次函數(shù)滿足〃x+l)-/(x)=2x(xeR),

且/(0)=1,求〃x)的解析式；

(2)已知/(x)是R上的奇函數(shù)，當x>0時，/(x)=x2-2x-l,求/(x)的解析式.

-2

x—2x—1x>0

【答案】(1)/(x)=x2-x+l；(2)/(%)=-0x=0

一x"-2尤+1x<0

【分析】(1)設(shè)出二次函數(shù)解析式，代入后根據(jù)對應位置系數(shù)相等，即可求得解析式.

(2)根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)，即可求得當x<0時的解析式，進而得整個定義域內(nèi)的解析式.

【詳解】⑴設(shè)二次函數(shù)/卜)=加+加+。("0),代入/(尤+1)-f(x)=2x和/(0)=1,

a(x+\X+b(x+\\+c-ax2--bx-c=2x,,2ax+a+b=2x(xeR)

得〈、'I'，化簡得

C=1c=1

a=\,b=~1,c=l,/(》)=尤2—尤+1；

(2)設(shè)x<0,貝l]_x>0.?./(_X)=(-X)2_2(_X)_1=X2+2X_I,

又；函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，；.[(-尤)=-/(無)，/(x)=-/(-x)=-V-2x+1,

當x=0時，由/(0)=-/(O),.-./(O)=O.

-2x—1x>0

故/(%)=0、=0.

—x2—2x+1x<0

[x(x-l),x>0

【變式2-1](23-24高一上?廣東韶關(guān)?期中)如果函數(shù)/(%)=)、八是奇函數(shù)，那么g(x)=()

[g(x\x<0

A.-x(x+l)B.x(x+l)

C.x(x-l)D.-x(x-l)

【答案】A

【分析】運用奇函數(shù)定義求解即可.

【詳解】當x<0時，-x>0,

所以/(f)=-x(-x-1)=x(x+1),

又因為，(x)為奇函數(shù)，所以/(-x)=-/a),

所以一〃x)=x(x+l),即〃尤)=一尤(x+1),

所以當x<0時，g(x)=-x(x+l).

故選：A.

【變式2-2](23-24高一上?北京?期中)函數(shù)“X)是R上的偶函數(shù)，且當x>0時，函數(shù)的解析式為

2

,則〃-1)=；當x<0時，函數(shù)的解析式為.

X

【答案】1=

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)計算可得.

【詳解】因為函數(shù)/(x)是R上的偶函數(shù)，且當x>0時，函數(shù)的解析式為/(x)=±2T,

x

所以/(-1)=〃1)=2-1=1,

設(shè)x<0,則-x>0,所以〃-回=一：一1,又/(-x)=/(x),

所以=

即當x<0時，函數(shù)的解析式為=

故答案為：1;/(x)=---l

【變式2-3](2024高一?全國?專題練習)已知/(幻為偶函數(shù)，當OVxWl時，f(x)=l-x,當-lVx<0時,

求/(x)解析式.

【答案】/(x)=l+x

【分析】利用函數(shù)的寄偶性即可求出.

【詳解】設(shè)-1VX<O,貝Ijo<-x41,所以y(-x)=l+x

又因/(X)是定義域上的偶函數(shù)，所以/(r)=f(x),

所以/(x)=l+尤.

考點三：抽象函數(shù)的奇偶性問題

例3.(23-24高一上?廣東珠海?期末)已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足

⑴求/(-1)的值；

(2)判斷/(無)的奇偶性，并證明.

【答案】(1)/(一1)=2

(2"(x)為偶函數(shù)，證明見解析

【分析】(1)利用賦值法結(jié)合已知條件可求解；

(2)令y=-l,結(jié)合條件和函數(shù)奇偶性定義判斷.

【詳解】⑴令x=y=o,得/■(())=[/(O)了一2/(0)+2,

令x=y=l,得/⑴=[/⑴了-2〃1)+2,

因為/⑼<〃1),所以/'(0)=1,/(1)=2,

令x=y=-l,得〃1)=[〃-1)了一2/(-1)+2,即[〃-1)了=2/(-1),

因為/(尤)>0,所以/(一1)>0,所以/(一1)=2.

(2)/(x)為偶函數(shù).

證明如下：令尸T,得〃=-〃一l)-〃x)+2,

由(1)W/H)=2/(X)-2-/(X)+2,

即/'(T)=/(X),又/(x)的定義域為R,所以/(x)為偶函數(shù).

【變式3-11(多選)(23-24高一上?重慶?期末)己知是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且"3)=；,

則下列說法正確的是()

A.若對任意x,yeR,總有/(孫)=W(x)+力廿)，則/'(x)是奇函數(shù)

B.若對任意x,yeR,總有/(x+y)=〃x)+/(y),則是偶函數(shù)

C.若對任意x,yeR；總有/'3)=0(%)+切(了)，則(

D.若對任意x,小R,總有/'(x+y)=〃x)+/'(y),貝1=

【答案】ACD

【分析】利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義即可判斷.

【詳解】對于A,對任意x,yeR,總有/(中)=濟(x)+_^(y),令x=y=0得/(0)=0；令x=y=l得

/(1)=/(1)+/(1),所以/⑴=0；

令x=y=-l得〃1)=一/(一1)一/(一1),所以/■(-1)=0；

令V=T得/■(-》)=-/(尤)+獷(T)=-/(x),所以〃x)是奇函數(shù)，故A正確；

對于B,對任意x,yeR,總有/(刀+了卜/⑺+“y)，令x=y=0得〃0)=0；

令了=f得〃0)=〃可+/(-》)=0,所以“X)是奇函數(shù)，故B錯誤；

對于C,對任意x,yeR,總有/但齊力⑺+M"。)，由A選項分析/'(-1)=0,

令x=—,y=3得=(3)=0,又因為43)=}

所以故C正確；

對于D,對任意x,yeR,總有/(x+力=/(無)+/(了)，由B選項分析“0)=0,

令x=y=l得/(2)=/(1)+/(1)=2/(1),

令x=2,了=1得〃3)=/(2)+/(1)=3/(1)=；,所以/⑴="

令W得/(|卜叫)02佃

令w得/(1)=嗚卜叫卜佝書所以/晶;

令》=；,了=-；得〃0)=7]￡1+，-1=0,所以/m-j，故D正確.

故選：ACD.

【變式3-2](23-24高一上?福建龍巖?期末)已知〃x)是定義在R上且不恒為零的函數(shù)，對于任意實數(shù)

b滿足〃劭)=次6)+好⑷，若"2)=2,貝廳(-1)+/,￡)=.

【答案】1/0.5

2

【分析】利用賦值法求出/(0)、/⑴、/(-I),從而得到〃T)=-/(X),再利用特殊值求出/[￡|、

最后根據(jù)奇偶性求出了[：].

【詳解】因為對于任意實數(shù)。，6滿足/(仍)=/'S)+"(。)，

當a=6=0時，/(0)=0,

當。=6=1時，/(1)=2/(1),可得/⑴=0,則/(0)=」(1)=0；

當a=/,=T時，1(1)=一2/(-1)=0,貝丫(-1)=0.

函數(shù)"X)的定義域為R,令。=-l,6=x時，/(-lxx)=(T)/a)+"l),

得/(T)=-/(X),所以函數(shù)/(x)是奇函數(shù).

令a=2,b=gBP/(l)=/l2x1j=2/l1V/^)=0,得/

令"口則/rl

又函數(shù)〃X)是奇函數(shù)，所以/(1]=-/[：]=；，所以/(T)+/

故答案為：y

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是合理賦值從而得到/(x)為奇函數(shù)，從而求出/的值.

【變式3-3](2024高一?全國?專題練習)定義在R上的函數(shù)/'(x)是單調(diào)函數(shù)，滿足/'(3)=6,且

f(x+y)=f(x)+f(y),(x,yeR).

⑴求/(0)，/⑴;

(2)判斷/(尤)的奇偶性，并證明；

【答案】(1)/(0)=。，/(1)=2；

(2)奇函數(shù)，證明見解析；

【分析】(1)利用賦值法即求；

(2)由題可得/(O)=/(x)+/(-x)=O,即證；

【詳解】⑴取」=0,得〃0+力=/(。)+/(力,即/(?)=/(。)+/(力，

所以"0)=0,因為〃3)=/(1+2)=/⑴+八2)=/⑴+/⑴+41)=3/⑴,

又"3)=6,W3/(1)=6,可得"1)=2；

(2)因為函數(shù)/'(X)是定義在R上的函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱，

取y=f，得〃0)=/卜+(-x)]=〃x)+〃r)=0,移項得〃f)=-/(x),

所以函數(shù)7'(x)是奇函數(shù).

考點四：由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)

?、例4.(23-24高一下吶蒙古?期中)已知6>0,函數(shù)/(月=]匕是奇函數(shù)，則。=

b=.

【答案】-11

【分析】由/(0)=。+1=0,可求。，由/(x)=2儂少-2-，，結(jié)合奇函數(shù)可求6.

【詳解】由/(0)=a+1=0,解得a=T,所以/卜)=(1=2磔/一2一，，

又因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以/(-x)=-〃x),

所以2(2i-1)x-2T=-(2_(2ft-1)x-2J),

所以(2儂-/廣2*_2陽卜-(2'J=2的t>-2A,

所以(2所小.2,-1)(201卜-2')=0,

所以2儂-吐2*-1=0或2僅修卜—2*=0，

所以26-1=1或26-1=-1,解得6=1,6=0(舍去).

故答案為：①-1；②1.

【變式4-1](23-24高一上?吉林延邊?期中)設(shè)八》)=-》3一(-2)，+%是定義在[-仇62一方一3]上的奇函

數(shù)，貝IW)=

【答案】-24

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得-6+62-6-3=0,求出b,利用〃-x)=-/a),求出。，最后代值即可.

【詳解】???/■@)=7-(“-2*+》是定義在[_6萬-/)-3]的奇函數(shù)，

=~f(x),

即一(-x)3一(a—2)(-x)2—x—/+(q-2)廠+x],

??,a-2=0,S.-b+b2-b-3=0,

解得a=2,6=3或6=-1

當6=-1時，定義域為[L-l],不合題意，舍去;

當6=3時，定義域為[T3],合題意，

/(x)=-x3+尤,

“9)=/(3)=-24.

故答案為：-24.

【變式4-2](23-24高一上?四川樂山?期中)己知函數(shù)〃無)=[(a+l)x2+G)(e-eT)為偶函數(shù)，則實數(shù)4

的值為.

【答案】-1

【分析】先判斷函數(shù)〃(x)=e「eT為奇函數(shù)，再由函數(shù)〃x)為偶函數(shù)得函數(shù)y=(a+l)Y+◎為奇函數(shù)即

可.

【詳解】因為函數(shù)/(x)定義域為R,

令//(x)=e工一e-',貝1]0(一無)=e-x-eT,

故〃(-x)=i(x),知〃(x)為奇函數(shù),

由于/(X)為偶函數(shù)，

則函數(shù)歹二（。+1），+辦為奇函數(shù),

即(Q+1)/+ax=_[(Q+1)(-x)2-cix\,

解得a=-l.

故答案為：-1.

X2+Z7YX〉0

72c'一八是奇函數(shù)，則〃+6=______.

(bx-2x,x<0

【答案】-3

【分析】利用奇函數(shù)定義，結(jié)合分段函數(shù)分段探討求解即得.

x2+x>0

【詳解】函數(shù)/1）=是奇函數(shù),/(0)=0,

bx2-2x,x<0

當％<0時，r>0,/(x)=-f(-x)=-(x2-ax)=-x2+ax，

而當x<0時，/(x)=bx2-2x,貝！]6=—1,。=一2,

當%>0時，一x<0,/(x)=-f(-x)=-(bx2+2x)=-bx2-2x,

而當x>0時，f(x)=x2+ax,貝lJ6=T,a=-2,

所以6=-a+b=—3.

故答案為：-3

考點五：由函數(shù)的奇偶性解不等式

例5.（22-23高一下?陜西西安?期末）已知定義在R上的函數(shù)/（X）在（-*1］上單調(diào)遞增，若函數(shù)

〃x+l）為偶函數(shù)，且/⑶=0,則不等式〃力>0的解集為.

【答案】（-1,3）

【分析】分析函數(shù)/（x）的單調(diào)性與對稱性，由已知可得出/（-1）=/（3）=0,然后分xVl、x>l兩種情況

解不等式/'（x）>0,綜合可得出原不等式的解集.

【詳解】因為函數(shù)“X）的定義域為R，且函數(shù)〃x+l）為偶函數(shù)，則/'（1+無）=/（1-尤），

所以，函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于直線x=l對稱，

因為/（3）=0,則/（一1）=/（3）=0,

因為函數(shù)/1力在（-8川上單調(diào)遞增，則函數(shù)/（x）在（1,+8）上單調(diào)遞減，

當xVl時，由〃x）>0=/（-l）可得-1<XW1；

當x>l時,由/（x）>0=/（3）可得l<x<3.

綜上所述，不等式〃力>0的解集為（T3）.

故答案為：(-U).

【變式5-1](20-21高一上?廣東深圳?期中)定義在R上的偶函數(shù)/⑴在[0,+⑹上是增函數(shù)，又/'(一，=。,

則不等式(x-3)/(x)<0的解集為.

【答案】{x|x<-3}

【解析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，分類討論即可求解，也可數(shù)形結(jié)合寫出答案.

【詳解】在R上的偶函數(shù)/(x)在[0,+⑹上是增函數(shù)在(-8,0)遞減，

又/(-3)=/(3)=0,不等式(x-3)〃x)<0討論如下：

當x>3時，〃x)<0=〃3),顯然不成立；

當x<3時，/(x)>0=/(-3),所以》<一3,

綜上，x<-3.

或者圖象法：可得x<-3.

故答案為：{x|x<-3}

【變式5-2](21-22高一上?浙江?期末)已知偶函數(shù)”X)在(0,+◎上是減函數(shù)，且〃-1)=0,則/以<0的

X

解集__________

【答案】(T,0)E(l,+￥)

【分析】分x>0和x<0兩種情況討論x的范圍，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得到答案.

【詳解】因為/(x)是偶函數(shù)，且八-1)=0,所以〃i)=/(-i)=o,

又/⑴在(0,+8)上是減函數(shù)，所以Ax)在(--0)上是增函數(shù)，

①當x>0時，由得〃x)<0,又由于/(x)在(0,+8)上為減函數(shù)，且/⑴=0,所以〃x)</■⑴，得

X

X>1;

②當x<0時，由/①<0得/(x)>0,又〃-1)=0,/⑴在(一甩0)上是增函數(shù)，所以〃x)y(-l),所以

X

-1<x<0.

綜上，原不等式的解集為：(T,0)E(l,+￥).

故答案為：(-1,0)6(1,+￥).

【點睛】方法點睛：本題主要考查函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，利用函數(shù)性質(zhì)解不等式，運用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的

關(guān)系是進行區(qū)間轉(zhuǎn)換的一種有效手段.奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，且-可=-/(可.偶函數(shù)在對稱

區(qū)間上的單調(diào)性相反，且/(X)=/(-x)=/(|x|)?

【變式5-31(21-22高一上?四川眉山?期中)若/⑺是定義在五上的偶函數(shù)，在(-8,0］是減函數(shù)，且"1)=0,

則使得/(x+1)<0成立的x的取值范圍是.

【答案】(-2,0)

【分析】由偶函數(shù)圖像關(guān)于了軸對稱的特點，結(jié)合條件將/(》+1)<0進行等價轉(zhuǎn)化，再求出x的取值范圍.

【詳解】??"(X)是五上的偶函數(shù)，在(-8,0］是減函數(shù)，/(》)在［0，+向是增函數(shù)

?.-/(1)=0.../(-1)=/(1)=0

畫出/(“是定義在R上大致圖像：

???/(x+l)<0.--1<^+1<1.-.-2<x<0，使得/(x+l)<0成立的X的取值范圍是(-2,0)

故答案為：(-2,0)

考點六：函數(shù)圖象對稱性的應用

］例6.(23-24高一上?湖南長沙?期末)在R上定義的函數(shù)是偶函數(shù)，且/(x)=〃2-x),若〃x)

在區(qū)間口，2］上是減函數(shù)，則/(x)().

A.在區(qū)間［05上是增函數(shù)，在區(qū)間［3,4］上是增函數(shù)

B.在區(qū)間［0』上是增函數(shù)，在區(qū)間［3,4］上是減函數(shù)

C.在區(qū)間［0』上是減函數(shù)，在區(qū)間［3,4］上是增函數(shù)

D.在區(qū)間［05上是減函數(shù)，在區(qū)間［3,4］上是減函數(shù)

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)關(guān)于了軸和x=i軸對稱，利用已知區(qū)間的單調(diào)性求解.

【詳解】因為/(x)=1(2-X),所以函數(shù)/(X)關(guān)于尤=1成軸對稱，

所以區(qū)間［0,1］與區(qū)間［1,2］,區(qū)間［-2,T與［3,4］關(guān)于尤=1對稱，

由函數(shù)在區(qū)間［L2］上是減函數(shù)，可知函數(shù)在［0,1］上是增函數(shù)，

又函數(shù)“X)是偶函數(shù)，所以函數(shù)〃x)在［-2,-1］上是增函數(shù)，

所以函數(shù)在［3,4］上是減函數(shù)，

故選：B

【變式6-1］(23-24高一上?遼寧沈陽?期中)以下函數(shù)的圖象不是中心對稱圖形的是()

A.f(x)=x+s/xB.f(x)=2x］

x(l+x),x>0

C./(x)=|x+2tz|+|x-2<7|D./(x)=

<0

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性、對稱性的定義求解即可.

【詳解】選項A,因為=f+g=-1+也)=-〃可，所以〃x)=x+底的圖象關(guān)于原點中心對稱;

2x+12x—4+5=2+^-

選項B,/(x)=

x—2x—2x—2

所以/(》)=生］的圖象可由反比例函數(shù)y=*的圖象向右平移2個單位，向上平移2個單位得到，且反

x—2x

比例函數(shù)了=*的圖象關(guān)于原點對稱，

X

7Y-L1

所以函數(shù)/(x)=2節(jié)的圖象關(guān)于點(2,2)對稱；

選項C,因為/(-x)=r+24+卜X-2司=卜-2。+卜+24=/@),所以/'(X)為偶函數(shù)，

又/(x)不是常函數(shù)，所以〃x)=|x+2d+|x-24不是中心對稱圖形；

/、［x(l+x),x>0/、

選項D,函數(shù)〃x)=,八的定義域為R,且/(0)=0,

x(1—x),x<U

當x>0時，_x<0,/(-x)=_x(l+x)=_/(x),

當x<0時，-x>0,f(-x)--x(l-x)=-f［x),

所以函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱；

故選：C

【變式6-2］(23-24高一上?北京?期中)如果奇函數(shù)/(x)在［2,5］上是減函數(shù)且最小值是4,那么/⑺在

上是()

A.減函數(shù)且最小值是一4B.減函數(shù)且最大值是一4

C.增函數(shù)且最小值是一4D.增函數(shù)且最大值是一4

【答案】B

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的對稱性，在區(qū)間［2,5］上的性質(zhì)，可得到函數(shù)在區(qū)間［-5,-2］上的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】由題意，奇函數(shù)/卜)在區(qū)間［2,5］上是減函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的對稱性，可得函數(shù)/(x)在

區(qū)間［-5,-2］上也是減函數(shù)，又由奇函數(shù)/(x)在區(qū)間［2,5］上的最小值是4,

即〃5)=4,所以/(一5)=-/(5)=-4,所以函數(shù)〃x)在區(qū)間［-5,-2］上的

最大值為1(-5)=-4,

故選：B.

【變式6-3］(20-21高一上?上海?課后作業(yè))若奇函數(shù)“X)在區(qū)間［生闿上是減函數(shù)，則“X)在［也一句上

的單調(diào)性是.

【答案】單調(diào)遞減

【分析】利用奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱即可得解.

【詳解】???奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，，奇函數(shù)的圖象在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同，

又因為“X)在區(qū)間［華口上是減函數(shù)，

所以“X)在［-6,一可上的單調(diào)性是單調(diào)遞減.

故答案為：單調(diào)遞減.

考點七：應用函數(shù)的奇偶性比較大小

例7.(20-21高一上?湖北黃石?階段練習)函數(shù)y=f(x)在［0,2］上單調(diào)遞增，且函數(shù)y=f(x+2)是

偶函數(shù)，則/⑴，/電從小到大的順序是.

【答案】佃<〃1)嗚

【解析】函數(shù)y=/(x+2)是偶函數(shù)判斷出y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，又在［0,2］上單調(diào)遞增，得出

在(2,4］單調(diào)遞減，利用單調(diào)性可得答案.

【詳解】因為函數(shù)了=/(x+2)是偶函數(shù)，所以了=/(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，

所以〃1)=/(3),又因為>=/(x)在［0,2］上單調(diào)遞增，所以在(2,4］單調(diào)遞減，

因為g<3<(,所以/⑴

故答案為：

【變式7-1］(20-21高一上?福建廈門?階段練習)已知偶函數(shù)/(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增，則()

A./(l)>/(2)B./(l)</(2)C./⑴=〃2)D.以上都有可能

【答案】A

【分析】根據(jù)偶函數(shù)定義結(jié)合在(-鞏0)上單調(diào)遞增，可判斷/(x)在(0,+")上單調(diào)遞減，即可判斷結(jié)果.

【詳解】；/(尤)是偶函數(shù)，且在(-刑0)上單調(diào)遞增，

\/(無)在(0,+向上單調(diào)遞減，"(I)〉”？).

故選：A

【變式7-2](22-23高一下?安徽蕪湖?期中)已知函數(shù)y=/(x+l)是偶函數(shù)，且y=/(x)在。,+8)單調(diào)遞

增，貝I()

A./(1)>/(0)B./(2)>/(0)

C./(-2)</(2)D./(-2)>/(0)

【答案】D

【分析】首先確定函數(shù)了=/(尤)關(guān)于x=l對稱，再結(jié)合單調(diào)性，即可判斷選項.

【詳解】y=〃x+i)是偶函數(shù)，則y=/(x)關(guān)于X=1對稱,

又因為y=/(x)在(L+S)單調(diào)遞增，則y=f(x)在(-8,1)上單調(diào)遞減，

所以/(1)</(0),/(-2)>/(0),

根據(jù)函數(shù)了=/(x)關(guān)于x=l對稱，可知，/(2)=/(0),貝廳(-2)>/(2),只有D正確.

故選：D

【變式7-3](19-20高一上?陜西咸陽?階段練習)函數(shù)了=/(力在(0,2)上的單調(diào)遞減的，且函數(shù)了=/(尤+2)

是偶函數(shù)，那么()

A.佃<〃3)〈佃B.佃〈/⑶

C〃3)CD.〃3)<巾</出

【答案】A

【分析】由y=/(x+2)是偶函數(shù)推出函數(shù)y=/(x)的單調(diào)性，結(jié)合(0,2)的單調(diào)性可得y=〃x)在(2,4)上

單調(diào)遞增，即可利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小.

【詳解】因為了=/(x+2)是偶函數(shù)，所以〃x+2)=/(-x+2),

所以函數(shù)>=/(x)圖象的對稱軸是直線x=2,則

因為了=〃x)在(0,2)上是單調(diào)遞減的且其圖象關(guān)于直線x=2對稱，

所以>=/(力在(2,4)上單調(diào)遞增，故/[￡|</(3)</[：)=/心)

故選：A

考點八：函數(shù)性質(zhì)的綜合應用

例8.(23-24高一下?山東淄博?期中)已知函數(shù)/(x)=是定義在［-2,2］上的奇函數(shù),且

⑴求函數(shù)“X)的解析式；

(2)判斷并用定義法證明/(x)在卜2,2］上的單調(diào)性;

⑶解關(guān)于x的不等式/(x-l)+/(x)<0.

【答案】(l)〃x)=￡

(2)/(x)在［-2,2］上單調(diào)遞增，證明見解析

【分析】(1)借助奇函數(shù)的性質(zhì)計算可得。、。，借助可得6,即可得解;

(2)借助單調(diào)性的定義，令-24占<%W2后計算/(%)-/(9)的正負即可得；

(3)結(jié)合函數(shù)定義域，奇函數(shù)的性質(zhì)與函數(shù)的單調(diào)性計算即可得.

ax2+bx+c_?(-x)2+/)(-x)+c

【詳解】(1)由題意可得

X2+43+4

BPax2+bx+c=-ax2+bx-cBPax2+c=0,故a=0,。=0,

又可)=丁故I，即〃*七

(2)/(X)在卜2,2］上單調(diào)遞增，證明如下:

設(shè)—2V國<x2<2,

)=^1______一廠—+4)_々卜；+4)

川/⑺/("；+4—+4-(片+4代+4)

_再考+4再一小2-4%2_(占一%2)(4-再%2)

卜；+4)卜；+4)代+4),+4)'

由一2?石<%2?2,則再_%2<0,4-xxx2>0,(x；+4)(考+4)>0,

故/(再)一/(工2)<°，

故/⑺在卜2,2］上單調(diào)遞增；

(3)由函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，故=

-2<x-l<2

又函數(shù)〃x)在12,2]上單調(diào)遞增，故有卜2VxV2,

x—1<-X

解得xe-1,^.

所以不等式的解集為-1,^.

【變式8-1](23-24高一上?安徽馬鞍山?階段練習)已知函數(shù)/(x)是定義在式上的奇函數(shù)，且當xWO時，

/(x)=-x2+2x.

⑴求x>0時，函數(shù)/'(x)的解析式；

⑵若函數(shù)g(x)=/(x)-2ax+2(xe[l,2])的最小值為2,求實數(shù)。的取值.

【答案】(1)〃X)=X2+2X(X>0)

(2)1

【分析】(1)設(shè)x>0,得到-尤<0,再利用函數(shù)/'(x)是定義在R上的奇函數(shù)求解；

(2)易得g(x)=/(x)-2"+2=/+(2-2。)尤+2,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

【詳解】(1)解：設(shè)x>0,貝！J-x<0,

因為當x40時，/(X)=-X2+2X,

所以/(一力=一一一2x,

又函數(shù)/(可是定義在五上的奇函數(shù)，

所以/(尤)=-/(-X)=X2+2X(X>0)；

(2)函數(shù)g(x)=f^xj—lcix+2—x1+(2-2a)x+2,

其對稱軸方程為x=a-\,

當a—lV]時，[g(x)]m,n=g(l)=5-2a=2,解得q=g,成立；

當a_1N2時，[g(x)]“n=g(2)=10_4a=2,解得a=2,不成立；

當1<0-1<2時，[g(x)]in=g(a-l)=-(a-l)2+2=2,解得a=1,不成立；

3

故°的值為

2

【變式8-2](23-24高一上?廣東中山?階段練習)定義在(-2,2)上的函數(shù)滿足對任意的(-2,2),都有

f(x)+f(y)=f(x+y),且當xe(O,2)時，/(x)>0.

⑴判斷函數(shù)〃x)的奇偶性，并證明；

(2)判斷“X)在(-2,2)上的單調(diào)性，并用定義證明.

【答案】(1"(力為奇函數(shù)，證明見解析；

⑵/⑺在(-2,2)上的單調(diào)遞增，證明見解析.

【分析】(1)利用賦值法先求出/(0)=0,再找到「(X),/'(-%)的關(guān)系，進而可證奇偶性；

(2)借助函數(shù)單調(diào)性的定義，進行賦值證明即可.

【詳解】(1)/(x)在(-2,2)上是奇函數(shù)，證明如下：

結(jié)合題意:令無=了=0,t/(o)+/(o)=/(o),解得/(0)=0,

若xe(-2,2),則-尤e(-2,2),

令y=-x,則/(x)+/(-x)=/(x-x)=/(O)=O,

所以/(-X)=-/(無)，故f(可在(-2,2)上是奇函數(shù).

(2)/(X)在(-2,2)上的單調(diào)遞增，證明如下：

任取玉廣？e(-2,2),且無］</，

令戈=的,〉=-王，則/(工2)+/(-再)=/(《-再),

因為/(可在(-2,2)上是奇函數(shù)，所以/(一占)=一/(占)，

所以/(工2)-/(占)=/(%一再),

因為當xe(0,2)時，/(尤)>0,

由再<無2，所以尤2-無1>。，所以/(無2-尤1)>0，

所以-玉)>0,即/'(%2)>/(王)，

所以/(無)在(-2,2)上的單調(diào)遞增.

【變式8-3］(23-24高一上?安徽馬鞍山?期中)已知"》)=學三的定義域為［T1］,且f(x)+f(-x)=0恒

X+1

成立.

⑴求a的值;

(2)試判斷/(x)的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論.

【答案】(l)a=0

(2)/(x)為［-M］上的增函數(shù)，證明見解析

【分析】(1)根據(jù)題意得"0)=0,求得”=0并檢驗；

(2)根據(jù)單調(diào)性定義判斷并證明結(jié)論.

【詳解】(1)因為〃x)=X滿足/■(尤)+/(-尤)=0,故函數(shù)是定義在［-1,1］上的奇函數(shù)，

X+1

所以〃。）=。，即窘=。,解得"。,

當0=0時，/（x）=士，滿足/■（-x）=-/（x）,符合題意，

X+1

故。=0.

x

（2）由（1）可知，/（x）=——.函數(shù)/（%）在［-1,1］上為增函數(shù).

X+1

證明如下：

任取T￡^<x2￡1,所以再一馬<0,-1<%］%2<1,

所以再迎T<0,（x；+l）（x；+1））0

,/\占超-尤+尤i-dz-x?再馬（馬一%）一優(yōu)一%）（％一網(wǎng)）（否馬一1）

“看尸八馬卜不p6-卜；+*考+1）-（才+川考+1）一（x；+*x；+l）

所以/（再）</（々）.

故/（X）為［-1,1］上的增函數(shù).

<?>模塊四小試牛刀過關(guān)測-----------------

（高一下?云南怒江?階段練習）的大致圖象是

1.23-24y=x+L()

X

A］J

/

X

°"/I

：［一VJ

C.-?D._________1

—J

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，排除A、C,再根據(jù)x>0選出答案

【詳解】/（無）=x+J定義域（-如0）。（0，+8）關(guān)于原點對稱，

由/（-x）=（f）+」-=Jx+'］=-/（x）,所以/（X）是奇函數(shù)，

排除A、C;

一x1XJ

當x>0時，/(x)>0,排除D；

故選：B.

2.(23-24高一下?云南?期中)已知=是奇函數(shù)，貝1］。=()

A.-1B.-2C.2D.3

【答案】A

【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)/(-x)=-/(x)，求得。的值.

【詳解】由題意得/(-x)=-/(x),即e-x—ef=e“.e，，從而a=—l,

故選：A.

3.(19-20高一上?河南駐馬店?階段練習)若奇函數(shù)%)在工3］上為增函數(shù)，且有最小值1,則它在［T-1］

上()

A.是減函數(shù)，有最小