2024年廣東省湛江市霞山區(qū)某校中考數(shù)學(xué)一模試卷（含答案）

2024年霞山區(qū)濱海學(xué)校中考數(shù)學(xué)一模試卷

選擇題（共10小題，滿(mǎn)分30分，每小題3分）

1l

1.（3分）在實(shí)數(shù)0,3.14,點(diǎn)中，屬于無(wú)理數(shù)的是（）

1L

A.0B.--C.3.14D.V5

2.（3分）我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家之一，目前我國(guó)每年可利用的淡水資源總量為27500億立方米,

人均占有淡水量居全世界第110位，因此我們要節(jié)約用水，2乃00億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.275X102B.2.75X104C.2.75X1012D.27.5X1011

3.（3分）下列計(jì)算正確的是（）

A.（02）3=q5B.a3+a2=a67C.a6+a2=a3D.ar>9cr,=a6

4.（3分）不等式組的解集是（）

1

A.B.x<2C.14V2D.x<—

5.（3分）如圖，點(diǎn)4,B,。均在上,Z5OC=100°,則N氏4。的度數(shù)為（

B

A.70°B.60°C.50°D.40°

6.（3分）某氣球內(nèi)充滿(mǎn)了一定質(zhì)量的氣體，在溫度不變的條件下，氣球內(nèi)氣體的壓強(qiáng),（kPa）是氣球體

積/（加3）的反比例函數(shù)，其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)力（如圖）.當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于144〃%時(shí)，氣球?qū)⒈ǎ瑸?/p>

確保氣球不爆炸，該氣球的體積應(yīng)（）

2_

B.不小于鏟i

工.丁3

D.不小于產(chǎn)3

7.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4的坐標(biāo)分別為（-2,4）,以原點(diǎn)O為位似中心，把△力^。

第1頁(yè)（共20頁(yè)）

1

縮小為原來(lái)的5，則點(diǎn)/的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4的坐標(biāo)為（)

(-1,2)

C.(-2,1)或(2,-1)D.(I,-2)

8.（3分）如圖,圓/經(jīng)過(guò)平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O,交x軸于點(diǎn)2(4,0),交v軸于點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)。

是第一象限內(nèi)圓上的一點(diǎn)，則/CDO的正弦值是（)

3

D.

5

9.（3分）如圖，等腰△NBC的周長(zhǎng)為13,底邊2C=3,42的垂直平分線(xiàn)DE交48于點(diǎn)。，交NC于點(diǎn)

E,則△BEC的周長(zhǎng)為（）

A.5B.5.5C.8D.10

10.（3分）用大小一樣的灰色小正方形紙片按如圖所示的規(guī)律擺放,其中第1個(gè)圖用了4個(gè)灰色小正方形,

第2個(gè)圖用了7個(gè)灰色小正方形，第3個(gè)圖用了10個(gè)灰色小正方形，…，按此規(guī)律排列下去，第8個(gè)

圖用的灰色小正方形的個(gè)數(shù)是（）

第2頁(yè)（共20頁(yè)）

第1個(gè)圖第2個(gè)圖第3個(gè)圖

A.22B.25C.28D.31

二.填空題（共5小題，滿(mǎn)分15分，每小題3分）

11.（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸（-2,1）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.

12.（3分）已知。+6=3,ab—2,貝lj（a-6）2=.

13.（3分）不等式組｛建”的正整數(shù)解是.

后k

14.（3分）如圖，已知點(diǎn)/（1,m）點(diǎn)B（n,在反比例函數(shù)＞=一的函數(shù)圖象上，ZAOB=45°,則左

3汽

15.（3分）如圖，在△/BC中，延長(zhǎng)/C至點(diǎn)使CD=C4,過(guò)點(diǎn)。作Z）片〃C5,_aDE=DC,連接4E

交BC于點(diǎn)F.若NCAB=NCFA,CF=1,則5/=.

三.解答題（共8小題，滿(mǎn)分75分）

16.（8分）—1?+11—汝荏60。|一（3+，3）。+（——）.

2

2%2x

17.（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：（1+――7）?萬(wàn)Q，其中x=6.

18.（8分）如圖，矩形45c。中，ZBAC=60°.

（1）用尺規(guī)作/A4c的角平分線(xiàn)NP交8C于點(diǎn)￡（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）;

（2）若BE=2cm,求CE的長(zhǎng).

第3頁(yè)（共20頁(yè)）

19.(9分)湖中小島上碼頭。處一名游客突發(fā)疾病，需要救援.位于湖面2點(diǎn)處的快艇和湖岸工處的救

援船接到通知后立刻同時(shí)出發(fā)前往救援.計(jì)劃由快艇趕到碼頭C接該游客，再沿CN方向行駛，與救援

船相遇后將該游客轉(zhuǎn)運(yùn)到救援船上.已知C在/的北偏東30°方向上，8在4的北偏東60°方向上且

在C的正南方向1200米處.

(1)求湖岸/與碼頭C的距離(結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：隹=1.732)；

(2)救援船的平均速度為180米/分，快艇的平均速度為500米/分，在接到通知后，快艇能否在5分鐘

內(nèi)將該游客送上救援船？請(qǐng)說(shuō)明理由.(接送游客上下船的時(shí)間忽略不計(jì))

北c

20.(9分)中秋節(jié)是我國(guó)的傳統(tǒng)節(jié)日.月餅是中秋節(jié)的一種美食之一，月餅寓意著團(tuán)圓和完美.“豆沙餅”

是某地的特色月餅，深受當(dāng)?shù)厝藗兊南矏?ài).某商店在中秋節(jié)來(lái)臨之前，去當(dāng)?shù)氐挠褙堬灱矣嗁?gòu)普通豆沙

月餅和蛋黃豆沙月餅兩種進(jìn)行試銷(xiāo).已知蛋黃豆沙月餅的單價(jià)是普通豆沙餅單價(jià)的2倍，用1600元購(gòu)

進(jìn)蛋黃豆沙餅的數(shù)量比用700元購(gòu)進(jìn)普通豆沙月餅的數(shù)量多50個(gè).

(1)普通豆沙月餅和蛋黃豆沙月餅的單價(jià)分別是多少？

(2)若某商店把蛋黃豆沙月餅以6元銷(xiāo)售時(shí)，那么半個(gè)月可以售出200個(gè).根據(jù)銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，把這個(gè)蛋

黃豆沙月餅的單價(jià)每提高2元，銷(xiāo)量會(huì)相應(yīng)減少40個(gè).將售價(jià)定為多少元時(shí)，才能使半個(gè)月獲得的利

潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

21.(9分)如圖，點(diǎn)。為上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑8/的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且/CDA=/CBD.

(1)判斷直線(xiàn)CD和的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)過(guò)點(diǎn)8作的切線(xiàn)交直線(xiàn)CD于點(diǎn)E,若BE=5,CD=8,求。。的半徑.

第4頁(yè)(共20頁(yè))

E

22.(12分)問(wèn)題背景：一次小組合作探究課上，小明將一個(gè)正方形/BCD和等腰Rt△。斯按如圖1所示

的位置擺放(點(diǎn)8、C、￡在同一條直線(xiàn)上)，其中/￡CF=90°.小組同學(xué)進(jìn)行了如下探究，請(qǐng)你幫助

解答：

初步探究

(1)如圖2,將等腰Rt^CE廠(chǎng)繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，連接RF,DE.請(qǐng)直接寫(xiě)出AF與DE的關(guān)

系;

(2)如圖3,將(1)中的正方形/BCD和等腰RtZ\C￡下分別改成菱形48CD和等腰△CER其中CE

=CF,ZBCD=ZFCE,其他條件不變，求證：BF=DE；

深入探究

(3)如圖4,將(1)中的正方形NBCD和等腰RtZ\C￡尸分別改成矩形和RtZ\C￡尸，其中/EC尸

CECD3

=90°且左==其它條件不變.

CFBC4

①探索線(xiàn)段2尸與DE的關(guān)系，說(shuō)明理由；

②連接ORBE,若CE=6,AB=U,直接寫(xiě)出。尸+3〃=.

第5頁(yè)(共20頁(yè))

圖1圖2圖3

23.（12分）拋物線(xiàn)＞="2+加+。（.W0）與x軸交于/、8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,且點(diǎn)/的坐標(biāo)為/（-

2,0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（0,6）,對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=l.點(diǎn)。是拋物線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為

m,連接NC,BC,DC.

（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式;

(2)若NBCD=NACO,求加值.

（3）點(diǎn)尸坐標(biāo)為（0,2）,連接NR點(diǎn)尸在直線(xiàn)/尸上，點(diǎn)0是平面上任意一點(diǎn)，當(dāng)以4C、P、Q

四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時(shí)，直接寫(xiě)出0點(diǎn)坐標(biāo).

（備用圖）

第6頁(yè)（共20頁(yè)）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號(hào)12345678910

答案DCDCCBADCB

一.選擇題（共10小題，滿(mǎn)分30分，每小題3分）

ILL

1.解：在實(shí)數(shù)0,---3.14,血中，屬于無(wú)理數(shù)的是而.

故選：D.

2.解：27500億=2750000000000=2.75X1012.

故選：C.

3.解：/：（層）3=。6,故不符合題意.

B:人+后不是同類(lèi)項(xiàng)，不能進(jìn)行合并，故不符合題意.

c：心+源不是同類(lèi)項(xiàng)，不能進(jìn)行合并，故不符合題意.

D：a3'a3=a6,故不符合題意.

故選：D.

4.解：解不等式2x+123,得：

解不等式4x7<7,得：x<2,

則不等式組的解集為lWx<2,

故選：C.

5.解：???/B/C為我所對(duì)的圓周角，NBOC為戌:所對(duì)的圓心角，

11

/.ABAC=-ABOC=-x100°=50°.

故選：C.

,k

6.解：設(shè)球內(nèi)氣體的氣壓〃（kPa）和氣體體積%（m3）的關(guān)系式為〃=正

:圖象過(guò)點(diǎn)（1,96）

"=96,

96

即在第一象限內(nèi)，〃隨匕的增大而減小，

962

...當(dāng)pW144時(shí)，K>—=-,

故選：B.

第7頁(yè)（共20頁(yè)）

7.解：???以原點(diǎn)O為位似中心，把△/BO縮小為原來(lái)的5，點(diǎn)4的坐標(biāo)分別為(-2,4),

11,11、

???點(diǎn)4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4,的坐標(biāo)為(-2X],4X])或(-2義4X(--)),即(-1,2)或(1,

2),

故選：A.

8.解：連接5C,如圖，

?:B(4,0),C(0,3),

：.OB=4,OC=3,

A5C=V32+42=5,

OC3

sinZ05C==T,

DC/b

?；NODC=NOBC,

3

???sinZCDO=sinZOBC=

9.解：???等腰△/BC的周長(zhǎng)為13,

：.AB+AC+BC=T3,

又??,底邊BC=3,

:?AB=AC,

???24C+3=13,

：.AC=5,

:DE是AB的垂直平分線(xiàn)，

：.AE=BE,

：.BE+CE=AE+CE=AC=5,

???△BEC的周長(zhǎng)為：B￡+CE+8C=5+8=8.

故選：C.

10.解：???第1個(gè)圖用的灰色小正方形的個(gè)數(shù)是4=3+1,

第8頁(yè)（共20頁(yè)）

第2個(gè)圖用的灰色小正方形的個(gè)數(shù)是7=3X2+1,

第3個(gè)圖用的灰色小正方形的個(gè)數(shù)是10=3X3+1,

???第n個(gè)圖用的灰色小正方形的個(gè)數(shù)是3〃+1,

則第8個(gè)圖用的灰色小正方形的個(gè)數(shù)是3X8+1=25,

故選：B.

二.填空題(共5小題，滿(mǎn)分15分，每小題3分)

11.解：點(diǎn)P(-2,1)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-2,-1),

故答案為：(-2,-1).

12.解:"：a+b=3,ab=2,

(a-b)2=(a+6)2-4ab=(3)2-4X2=9-8=1.

故答案為：1.

13.解：...不等式組的解集是-l<x<2,

...不等式組的正整數(shù)解是1.

故答案為：1.

14.解：過(guò)點(diǎn)。作CM'±OA,且04'=0A,過(guò)點(diǎn)卬作H軸于點(diǎn)〃，過(guò)點(diǎn)/作軸于點(diǎn)

A(1,m),

：.AN=1,ON=m,

???NHOM+ZMOA=ZMOA+ZNOA=90

???//'OM=ZNOA,

'：ZOMAr=/ONA=90°,OA=OA,,

:?△OAN%△(MM(AAS)f

：.OM=ON=m,A'M=AN=1,

第9頁(yè)(共20頁(yè))

,?A'（m,-1）,

V05=45°,ZAOAr=90°,

???NHOB=ZAOAf-ZAOB=45°,

ZAOB=ZAfOB,

又?：OA=OA，,OB=OB,

OB（SAS）f

：.AB=ArB,

厲k

已知點(diǎn)/（1,加），點(diǎn)8（幾，?）在反比例函數(shù)y=一的函數(shù)圖象上,

3支

k伺

:?m=k,71=逅=苗k,

，：AB=A,B,

??.（1一瓦）+（憶一心）=（攵一瓦）+（_1一心），

2323

整理可得3廬-5啟-2=0,

1

解得左1=2,左2=一§，

由反比例函數(shù)的圖象可知，k>0,

:?k=2.

故答案為：2.

15.解：?:CD=CA,DE//CB,

：.AF=EF,

???C尸是△4DE的中位線(xiàn)，

：.DE=2CF=2,

°：DE=DC,

:?AC=2CF=2,

?；NCAB=/CFA,ZACF=ZACB,

:?△CAFs^CBA,

：.AC：BC=CF：AC,

A2：BC=\：2,

第10頁(yè)（共20頁(yè)）

：.BC=4,

：.BF=BC-FC=3.

故答案為：3.

三.解答題(共8小題，滿(mǎn)分75分)

16.解：原式=-1+|1-7^1-1+4

=-1+隹-1-1+4

=1+胃.

%+1+2x(x+1)

17.解：原式=久+i.Q+B)。：-3)

%+3+1)

x+1(x4-3)(%—3)

x

=x-39

當(dāng)x=6時(shí)，

6

原式=2?

O-D

18.解：(1)如圖所示，/尸為所求.

(2)???四邊形為矩形，

???NB=90°,

VZBAC=60°,

：./ACB=30°,

??ZP為NB4C的平分線(xiàn)，

1

AZBAE=ZCAE=~ZBAC=30°,

：.ZCAE=ZECAf

：.AE=CE,

在RtZXZB/中，EB=2cm,ZBAE=30°,

AE=2BE=4cm,

:?CE=4cm.

第11頁(yè)（共20頁(yè)）

19.解：（1）過(guò)點(diǎn)/作2C的垂線(xiàn)交2c的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)

依題意，ZCAN=30°,NBAN=60°,

:./BAC=30°,

又,：AN〃BC,

:./C=NNAC=30°,

：.ZC=ZBAC=30o,

.,.AB=2C=1200,

??NDAB=9Q°-ZBAN=90°-60°=30°,

1

：.BD=~AB=600,

CD

在RtA^CZ）中，cosC=——

CD1200+6001800

:AC==~^~=120073?2078（米）；

'~^ccos30°~2

（2）（180+500）X5=3400（米）,

AC+BC=2078+1200=3278（米）,

V34003278,

，快艇可以在5分鐘內(nèi)將游客送上救援船.

20.解：（1）設(shè)普通豆沙餅的單價(jià)是x元，則蛋黃豆沙餅的單價(jià)是2x元，根據(jù)題意，得

1600700

=—『50,

解得％=2,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=2是所列方程的根，且符合題意,

：.2x=2X2=4f

第12頁(yè)（共20頁(yè)）

答：普通豆沙餅的單價(jià)是2元，蛋黃豆沙餅的單價(jià)是4元;

（2）設(shè)售價(jià)定為，元，利潤(rùn)為J元，根據(jù)題意得,

40-(t-6)

y=(t-4)[200-]=-20(L10)2+720,

2

V-20<0,

???當(dāng)E=10時(shí),歹的最大值是720,

答：當(dāng)售價(jià)定為10元時(shí)，才能使半個(gè)月獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是720元.

21.解：（1）直線(xiàn)。。和的位置關(guān)系是相切，理由如下：

是的直徑，

ZADB=90°，

；.NDAB+NDBA=90°，

■:/CDA=/CBD,

ZDAB+ZCDA=90°,

U：OD=OA,

：.ZDAB=ZADO,

：.ZCDA+ZADO=90°,

即NCDO=90°,

：.ODLCE,

???直線(xiàn)CD是。。的切線(xiàn)；

(2)???CQ是。。的切線(xiàn)，BE是。。的切線(xiàn)，

:?DE=BE=5,ZCBE=90°=NCDO,

:.CE=CD+DE=\3,

：.BC=^CE2-BE2=^132-52=12,

VZC=ZC,:?△CODs^CEB,

OCCDOC8

9'CE~BC，即13-12'

26

解得：oc=—,

10

：.OB=BC-OC=—,

10

即。。的半徑為三.

22.解：(1)如圖2,BF與CD交于點(diǎn)、M,與?！杲挥邳c(diǎn)N,

第13頁(yè)（共20頁(yè)）

???四邊形ABCD是正方形，

：.BC=DC,/BCD=90°,

???AECF是等腰直角三角形，

：.CF=CE,NEC尸=90°,

NBCD=/ECF,

：.ZBCD+ZDCF=ZECF+ZDCF,

：.ZBCF=NDCE,

:?△BCFQADCE(SAS),

:?BF=DE,ZCBF=ZCDE,

■:/BMC=/DMF,/CBF+NBMC=90°,

：.ZCDE+ZDMF=90°,

:./BND=90°,

C.BFLDE,

故答案為：BF=DE,BFLDE；

(2)如圖3,

圖3

???四邊形是菱形，

：.BC=DC,

???NBCD=/FCE,

：.ZBCD+ZDCF=NFCE+/DCF,

：.ZBCF=ZDCE,

第14頁(yè)（共20頁(yè)）

?;CF=CE,

:?△BCFQ^DCE(SAS),

：?BF=DE；

DE3

(3)①如圖4,—=BF±DE；

Dr4

AZBCD=90°,

VZECF=90°,

：.ZBCD+ZDCF=ZECF+ZDCF,

：.4BCF=/DCE,

..CECD3

?CF=BC=4,

：.ABCFsADCE,

DECD3

???而=k=疝/CBF=/CDE,

ZDBO+ZCBF+ZBDC=ADBO+ZCDE+ZBDC=ZDBO+ZBDO=90°,

ZBOD=90°,

：.BF±DE；

第15頁(yè)（共20頁(yè)）

CECD3

ZCBF=ZCDE,

CFCB4

:四邊形4BC￡＞是矩形,

：.CD=AB=\2,

6123

：CE=6,CF=CB=4'

；.CF=8,3c=16,

,/ZDBO+ZCBF+ZBDC=ZDBO+ZCDE+ZBDC=ZDBO+ZBDO=90°,

：.ZBOD^90°,

ZDOF=ZBOE=NEOF=9Q°,

在RtADO尸中，DF2=OD2+OF2,

在RtASOE中，BE2=OB2+OE2,

在RtAZ)O5中，DB2^OD2+OB2,

在RtZkE。尸中，EF2^OE2+OF2,

：.DF-+BE1=OD1+OF-+OB-+OE2=DB1+EF-,

在RtASCD中，BD2=BC2+CD2=162+122=400,

在RtACEF中,EF2^EC2+CF2=62+82=100,

/.BD2+EF2=400+100=500,

：.DF2+BE2=500,

故答案為：500.

2a

23.解：(1)由題意得：4a—2b+c=0,

c=6

3

a=——

c4

解得：?b=三，

2

,c=6

33

???拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為：歹=一/2+刀什6；

J42

(2)當(dāng)點(diǎn)。在直線(xiàn)5C上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作5￡_L5C交CZ)的延長(zhǎng)線(xiàn)于E,垂足為5,作斯，x軸于下,

第16頁(yè)（共20頁(yè)）

y

?,點(diǎn)/的坐標(biāo)為4（-2,0）,對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=l.點(diǎn)。的坐標(biāo)為。（0,6）,

：.B(4,0),

：.OA=2,OC=6,OB=4,

ZBCD=/ACO,ZAOC=NEBC,

：.△AOCsAEBC,

OCBC6

OA~BE~2~5f

■::.BELBC,

：.ZOBC+ZEBF=90°,

?；NOBC+NBCO=90°,

ZBCO=ZEBF,

VZBOC=ZEFB=90°,

???△BOCS^EFB,

OCOBBC

：.—=——=—=3,

BFEFBE

64

^BF~EF~5,

4

：.BF=2,EF=g,

：.OF=OB+BF=6,

4

：.E(6,-),

設(shè)直線(xiàn)CE的解析式為>=云+〃，

47

6k+n=—5/nk=——

3，解得9，

n=6\n=6

7

?二直線(xiàn)CE的解析式為歹=-或+6,

3c382

聯(lián)立y=-￥2+牙+6得x=0（舍去）或萬(wàn),