2024-2025學年人教版九年級數(shù)學下學期同步訓(xùn)練之相似三角形

2024-2025學年下學期初中數(shù)學人教新版九年級同步經(jīng)典題精練之相似三

角形

一.選擇題（共5小題）

1.（2024秋?金東區(qū)期末）如圖為某農(nóng)村一古老的搗碎器，已知支撐柱AB的高為0.3〃z,踏板。E長為1.6口,

現(xiàn)在踏腳著地，則搗頭點石離地面的高度為（）

C.1mD.1.2m

2.（2024秋?通河縣期末）如圖，尸是回ABCD的邊CZ）上一點,直線8尸交AD延長線于點E,則下列結(jié)

論錯誤的是（）

EFBCBFBFBC

A------------------B.—=—C——=一D.—=—

?EA~DCFCFBDEDFBEAE

3.（2024秋?靖江市期末）五線譜是世界上通用的一種記譜法,由等距離等長度的五條平行橫線組成，如

圖，同一條直線/上的三個點A,B,。都在橫線上.若線段A8=5,則線段BC的長是（）

53

C.一D.

35

4.（2024秋?玄武區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點。在AB上，點.E,尸在AC上，^.DE//BC,DF//BE,

則下列結(jié)論中，錯誤的是（)

A

BC

AFAEDEDFADFEAFDE

A.—=—B.—=—

AEACBCBEAB-ECADBE

5.（2024秋?東臺市期末）《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指兩條邊呈直角的

曲尺（即圖中的ABC）.“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測量物體的高度如圖，點A,B,

。在同一水平線上，NABC和/AQP均為直角，A尸與BC相交于點。.測得AB=40c7w,BD=20cm,

AQ=Um,則樹高P。為（）

ABQ

A.24mB.18/raC.12mD.6m

二.填空題（共5小題）

6.（2024秋?清江浦區(qū)期末）如圖，ZVIBC中，NACB=90°,點E在邊AC上，CE=2AE,延長BC到

點D,使若BC=3,則。C的長是.

7.（2024秋?西山區(qū)校級期末）將一把直尺與△ABC按如圖所示的方式擺放，AB與直尺的一邊重合，AC,

分別與直尺的另一邊交于點的。，E.若點A,B,D,E分別與直尺上的刻度4.5,8,5,5,6.5對應(yīng)，

直尺的寬為1cm,則點C到邊A8的距離為cm.

C

D/^\E

AB

8.（2024秋?成都期末）如圖，在矩形48。中，點M是邊C。的中點，連接交對角線AC于點。若

AC=9,則OC的長為

M

DC

AB

9.（2024秋?電白區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點尸、G在8C上，點E、H分別在48、AC上，四邊形

EFGH是矩形,EH=3EF,AD是△ABC的高.BC=8,AZ)=6,那么￡7/的長為

10.（2024秋?寶應(yīng)縣期末）如圖，在△A8C中，AC=BC=2AB,。是8C上一點，^.AB=AD.若8。=1,

則AB的長為

三.解答題（共5小題）

11.（2024秋?臨潼區(qū)期末）如圖，在△ABC中，已知AB=AC,。為8c邊上一點，且求

證：BD?DC=BE,FC.

12.（2024秋?金東區(qū)期末）已知：如圖，在△ABC中，D、E分別在邊AB、AC上，連接。E,49=12,

EC=2,BD=12,AE=16.

(1)求證：AADEsAACB；

（2）若即=10,求BC的值.

A

13.（2024秋?玄武區(qū)期末）如圖，古城墻進出口的道閘桿AB水平放置時，與地面/平行.支撐點。與端

點A之間的距離04=1.2相，與另一端點B之間的距離。2=18根.道閘桿AB繞著支撐點。旋轉(zhuǎn)，當點

A旋轉(zhuǎn)到點A'時，測得點A'到A8的距離為0.8加，此時，點夕到A8的距離是多少？

40AC

14.（2024秋?玄武區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點。在A8上，一=一，點E,尸分別在CO,8C上,

ACAB

ZBAF=ZCAE.

(1)求證△ABf's/\ACE；

BF1

(2)若AB=5,AC=4,BC=6,一=一,則。E=

CF2----------------------

15.（2024秋?靖江市期末）如圖是小明設(shè)計用手電來測量某古城墻高度的示意圖.在點尸處放一水平的平

面鏡，光線從點A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻C。的頂端C處，測得AB=2.7/?,BP=4m,

PD=8m,5.AB1BD,CD±BD.求該古城墻的高度.

2024-2025學年下學期初中數(shù)學人教新版九年級同步經(jīng)典題精練之相似三

角形

參考答案與試題解析

題號12345

答案BCADD

選擇題（共5小題）

1.（2024秋?金東區(qū)期末）如圖為某農(nóng)村一古老的搗碎器，已知支撐柱的高為0.3m,踏板QE長為1.6m,

支撐點A到踏腳。的距離為0.6口，現(xiàn)在踏腳著地，則搗頭點E離地面的高度為（）

【考點】相似三角形的應(yīng)用.

【專題】圖形的相似；運算能力；應(yīng)用意識.

【答案】B

【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：如圖：

,:AB〃EC,

：.^\DAB^/\DEC,

：.AD：DE=AB：EC,

.?.0.6：L6=0.3：EC,

，EC=0.8米.

搗頭點E離地面的高度0.8米.

故選：B.

【點評】本題考查的是相似三角形在實際生活中的應(yīng)用，解答此題時只要是把實際問題抽象到相似三角

形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通過解方程求出搗頭點E上升的高度.

2.（2024秋?通河縣期末）如圖，尸是回48C。的邊CD上一點，直線8尸交AO延長線于點E,則下列結(jié)

論錯誤的是（）

EFBCBFBFBC

A---------------------B.—=—C——=一D.—=—

?EA~DCFCFBDEDFBEAE

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì).

【專題】圖形的相似.

【答案】C

【分析】利用相似三角形的判定和性質(zhì)判斷即可.

【解答】解：：四邊形ABC。是平行四邊形,

AB//CD,AD//BC,AD=BC,AB=CD,

△EDFs^EAB,

EDDFDF

四=布=加'故選項A不符合題思，

△DEFsACBF,

￡）77EF

就=而，故選項2不符合題意,

而=薪,故選項C符合題意?

△BCFsAEAB,

DE*RC

靛=瓦,故選項。不符合題意?

故選：c.

【點評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解

決問題.

3.（2024秋?靖江市期末）五線譜是世界上通用的一種記譜法，由等距離等長度的五條平行橫線組成，如

圖，同一條直線/上的三個點A,B,C都在橫線上.若線段A8=5,則線段8c的長是（)

【考點】平行線分線段成比例.

【專題】圖形的相似；推理能力.

【答案】A

【分析】過當C作點A所在的平行橫線于交點8所在的平行橫線于E,根據(jù)平行線分線段成

比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計算得到答案.

【解答】解：如圖，過當C作點A所在的平行橫線于。，交點2所在的平行橫線于￡,

'JBE//AD,

CBCEBC1

—=—,即—=一,

ABED52

解得：BC=l，

故選：A.

【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用該定理、找準對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

4.（2024秋?玄武區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點。在上，點E,尸在AC上，^DE//BC,DF//BE,

則下列結(jié)論中，錯誤的是（

A

AFAEDEDFADFEAFDE

A.—=—B.二—C——二一D.—

AEACBCBEABECADBE

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì).

【專題】圖形的相似；推理能力.

【答案】D

AFAEDEDFEFDE

【分析】由平行線分線段成比例可得旋=/就=瓦，通過證明△小小△血’可得六=-

AD

而，即可求解.

【解答】解：'：DE//BC,DF//BE,

?DEADAEDFDAAF

—=—,/AED=NC,NBEC=NDFE,

BCAB~ACBEABAE

AFAEDEDF

—,ADFEsABEC,

AE~ACBCBE

EFDE

EC~BC

ADEF

AB~EC

故選：D.

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵.

5.（2024秋?東臺市期末）《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指兩條邊呈直角的

曲尺（即圖中的A3C）.“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測量物體的高度如圖，點A,B,

。在同一水平線上，NABC和NA。尸均為直角，A尸與相交于點D測得A5=40c如BD=2Ucm,

AQ=12m,則樹高P。為（）

C.12mD.6m

【考點】相似三角形的應(yīng)用.

【專題】圖形的相似；應(yīng)用意識.

【答案】D

AUAQ

【分析】根據(jù)題意可知：△ABCS^A。尸，從而可以得到茄=謂，然后代入數(shù)據(jù)計算，即可得到尸。

的長.

【解答】解：由題意可得,

BC//PQ,AB=4Qcm,BD—2.0cm,AQ—12m,

△ABDs^AQP,

ABAQ

??一，

BDQP

?4012

即一=,

20PQ

解得QP=6,

二?樹高PQ=6m,

故選：D.

【點評】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

二.填空題（共5小題）

6.（2024秋?清江浦區(qū)期末）如圖，ZVIBC中，NACB=90°,點E在邊AC上，CE=2AE,延長BC到

點。，使若8C=3,則DC的長是2.

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理.

【專題】圖形的相似；運算能力；推理能力.

【答案】2.

CE2DC

【分析】由CE=2AE,得一=由/ECZ）=NACB=90°,/D=/B,證明△EDCs△ABC,則一=

CA3BC

||=*而8C=3,貝|DC=|BC=2,于是得到問題的答案.

【解答】解：?.?CE=2AE,

：.CA=2AE+AE=3AE,

.CE2AE2

CA~3AE~3’

?.?/ACB=90°,點。在8c的延長線上,

：.ZECD^ZACB^90°，

'：ZD=ZB,

.,.△EDCs^ABC,

.DCCE2

"BC~CA~3

：BC=3,

22

：.DC=IBC=|x3=2,

故答案為：2.

【點評】此題重點考查相似三角形的判定與性質(zhì)，證明△MCsZsABC是解題的關(guān)鍵.

7.(2024秋?西山區(qū)校級期末)將一把直尺與AABC按如圖所示的方式擺放，A8與直尺的一邊重合，AC,

分別與直尺的另一邊交于點的D,E.若點A,B,D,E分別與直尺上的刻度4.5,8.5,5,6.5對應(yīng),

直尺的寬為lc〃z，則點C到邊48的距離為1.6cm.

C

D/\E

AB

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；點到直線的距離.

【專題】圖形的相似；運算能力；推理能力.

【答案】L6.

【分析】作C凡LA8交。E于點L，由。E〃AB,直尺的寬為lc〃z,得△CDEs^CAB,FL1cm,CL

CLDECF—115

LDE,所以一=一，求得43=8.5-4.5=4(cm),￡>E=6.5-5=1.5(cm),則-----=一，求得

CFABCF4

CF=1.6cm,于是得到問題的答案.

【解答】解：???作交。E于點L

9

：DE//ABf直尺的寬為1°帆，

:.ACDEsACAB,ZDLE=ZCFB=90°,FL=lcm,

：?CL_LDE,

.CLDE

??=,

CFAB

???點A,B,D,E分別與直尺上的刻度4.5,8.5,5,6.5對應(yīng)，

「?A8=8.5-4.5=4(cm),DE=6.5-5=1.5(cm),

.CF-11.5

??—,

CF4

解得CF=1.6,

...點C到邊AB的距離為1.6cm,

故答案為：1.6.

【點評】此題重點考查相似三角形的判定與性質(zhì)，正確地作出輔助線并且證明是解題

的關(guān)鍵.

8.（2024秋?成都期末）如圖，在矩形ABC。中，點M是邊的中點，連接交對角線AC于點。.若

AC=9,則OC的長為3.

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì).

【專題】矩形菱形正方形；圖形的相似；幾何直觀；推理能力.

【答案】3.

【分析】根據(jù)矩形可得A2〃cr）,從而有AMCOs△BAO,再根據(jù)相似三角形性質(zhì)即可求解.

【解答】解：在矩形ABCD中，

,.AB//CD,AB=CD,

,.△MCOsABAO,

.CMCO

"AB~AO'

是邊CD的中點，AC=9,

11

\CM=DM=^CD=^AB,

.1CO

?-=，

2AO

1

CO=3,

：.OC=3,

故答案為：3.

【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的

性質(zhì).

9.（2024秋?電白區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點、F、G在8C上，點E、反分別在A3、AC上，四邊形

72

EFGH是矩形，EH=3EF,是△ABC的圖.BC=8,AD=6,那么EH的長為1.

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì).

【專題】圖形的相似；推理能力.

72

【答案】--

【分析】交EH于M點，如圖，設(shè)EF=x,則E”=3x,先證明四邊形EEDM為矩形得到

,一EHAM3x6-x

=x,則AM=6-無，再證明△AEHSAABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到——=——，即一=——，然

BCAD86

后求出x,從而得到￡反的長.

【解答】解：AD交EH于M點、,如圖，設(shè)后F=無，則EH=3x,

?.?四邊形E/GH為矩形，

J.EH//FG,NMEF=/DFE=90°,

VAD是△ABC的高，

：.ZMDF=90°,

四邊形為矩形，

：.MD=EF=x,

：.AM=AD-MD=6-尤，

■:EH//BC,

：.△AEHS/XABC,

EHAM?3x6-x

--=----,即—=----,

BCAD86

解得尤=篝,

:?EH=3x=3x3-5-=不小

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公

共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；靈活運用相似三角形的性質(zhì)計算相應(yīng)線段的長

或表示線段之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.也考查了矩形的性質(zhì).

10.（2024秋?寶應(yīng)縣期末）如圖，在△ABC中，AC=BC=2AB,。是BC上一點，SLAB=AD.若8。=1,

則AB的長為2.

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì).

【專題】圖形的相似；運算能力.

【答案】2.

【分析】根據(jù)題意，得出再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)即可解決問題.

【解答】解：由題知，

'：AC^BC,

：.ZB=ZCAB.

,：AB^AD,

：.ZB=ZADB,

則/CAB=/ADB,

：.*CBX,

.ABCB

??—,

BDBA

y.'：BC=2AB,BD=\,

：.AB=2.

故答案為：2.

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共5小題）

11.（2024秋?臨潼區(qū)期末）如圖，在△ABC中，已知AB=AC,D為BC邊上一點,且/EDF=/B.求

證：BD-DC=BE'FC.

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；圖形的相似；推理能力.

【答案】證明見解答.

【分析】由AB=AC,得/B=NC,由/=/2,得NCDF+/BZ）E'=180°-NEDF=18。°-ZB,

BDBE

而/8EQ+NBOE=180°-ZB,可推導(dǎo)出/CO尸，則48即所以一=一,則8。

FCDC

?DC=BE-FC.

【解答】證明：

；./B=/C,

?：/EDF=NB,

.?.ZC￡）F+ZBZ）E=180o-ZEDF=180°-ZB,

,：ZBED+ZBDE^180°-ZB,

：.ZBED+ZBDE=ZCDF+ZBDE,

：.ZBED=ZCDF,

:ABEDs叢CDF,

.BDBE

??—,

FCDC

；?BD?DC=BE*FC.

【點評】此題重點考查等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，推導(dǎo)出

進而證明尸是解題的關(guān)鍵.

12.(2024秋?金東區(qū)期末)已知：如圖，在△ABC中，D、E分別在邊AB、AC上，連接QE,AD=12,

EC=2,BD=12,AE=16.

(1)求證：AADE^AACB；

(2)若ED=10,求BC的值.

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì).

【專題】圖形的相似；運算能力；推理能力.

【答案】(1)證明見解答；

(2)BC的值為15.

【分析】(1)由AO=12,EC=2,BD=12,AE=16,求得A8=AD+5Z)=24,AC=AE+CE=18則一=

fAC

AE2

—而NA=NA,即可根據(jù)“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似"證明△AOES^AC&

AB3

EDAD22

(2)由相似三角形的性質(zhì)得力=不；=不因為a=1。，所以5C=3&)=15.

DCAC34

【解答】(1)證明：??工。=12,EC=2,50=12,AE=16,

???A3=AO+8Q=12+12=24,AC=AE+CE=16+2=18,

#AD122AE162

AC-18-3'AB~24~3’

.ADAE

??—,

ACAB

;NA=NA,

???AADE^AACB.

(2)解：VAADE^AACB,

tED_AD_2

*，BC~AC~3

???ED=10,

33

.?.BC=|ED=|xlO=15,

???5C的值為15.

AnAP

【點評】此題重點考查相似三角形的判定與性質(zhì)，推導(dǎo)出「二一，進而證明△AOEs^ACB是解題

ACAB

的關(guān)鍵.

13.（2024秋?玄武區(qū)期末）如圖，古城墻進出口的道閘桿水平放置時，與地面/平行.支撐點。與端

點A之間的距離OA=1.2m,與另一端點B之間的距離。8=18人道閘桿AB繞著支撐點O旋轉(zhuǎn)，當點

A旋轉(zhuǎn)到點A'時，測得點A'到48的距離為0.8切，此時，點8,到的距離是多少？

【考點】相似三角形的應(yīng)用.

【專題】圖形的相似；推理能力.

【答案】12加.

【分析】根據(jù)題意得，。4=。4'=1.2/77,OB=OB'=18/77,NM=0.8/77,再根據(jù)相似三角形的判定

與性質(zhì)求解即可.

【解答】解：如圖，A'于點M,B'NLAB于點、N,

OB'=18m,A'M=Q.8m,

\"A'MLAB,B'ALLAS,

.\A/M//B'N,

:.MNOMS^B'ON,

AtMOAI

B，N—OB，’

r0.81.2

即---=—，

B，N18

：.B'N=12(m),

即點次至UAB的距離是12Ml.

【點評】此題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟記相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.(2024秋?玄武區(qū)期末)如圖，在△ABC中，點。在AB上，——=——，點、E,尸分別在CD,BC上,

ACAB

ZBAF=ZCAE.

(1)求證

..BF1,16

(2)若AB=5,AC=4,BC=6,一=一,貝UOE=—.

CF2-5-

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì).

【專題】圖形的相似；推理能力.

【答案】（1）見解析過程；

【分析】（1）通過證明△ACDS^ABC,可得/ACQ=/ABC,即可得結(jié)論;

8

-

（2）由相似三角形的性質(zhì)可求CD=寺，CE=5即可求解.

40AC

【解答】⑴證明「寶=方，”AC-C,

AACD^AABC,

ZACD=ZABC,

又；NBAF=NCAE.

：.AABF^AACE；

(2)解：VAACD^AABC,

.ACCD

■?—,

ABBC

：AB=5,AC=4,BC=6,

24

：

.CD=甲

..BF1

BC=6,

*CF2

：.BF=2,

???AABF^AACE,

,ACCE

??—,

ABBF

.4CE

..二=~~~,

52

?r口_8

?*CE=5，

：.DE=CD-CE=M

故答案為：

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

15.（2024秋?靖江市期末）如圖是小明設(shè)計用手電來測量某古城墻高度的示意圖.在點尸處放一水平的平

面鏡，光線從點A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，測得AB=2.7%BP=4m,

PD=8m,1.AB1BD,CD±BD.求該古城墻的高度.

【考點】相似三角形的應(yīng)用.

【專題】圖形的相似；運算能力；推理能力；應(yīng)用意識.

【答案】該古城墻的高度為5.4加.

【分析】利用入射與反射得到則可判斷RdABPsRt^CDP,于是根據(jù)相似三角形的

性質(zhì)求出CD即可.

【解答】解：根據(jù)題意得/APB=/CP。，

'：AB±BD,CD±BD,

：.ZABP=ZCDP=90°,

：.RtAABP^Rt/\CDP,

ABBP2.74

--=---,即—=一,

CDDPCD8

解得CD=5A.

答：該古城墻的高度為54%

【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：利用入射與反射的原理構(gòu)建相似三角形，然后利用相似三角形

的性質(zhì)即相似三角形的對應(yīng)邊的比相等解決.

考點卡片

1.點到直線的距離

(1)點到直線的距離：直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.

(2)點到直線的距離是一個長度，而不是一個圖形，也就是垂線段的長度，而不是垂線段.它只能量出

或求出，而不能說畫出，畫出的是垂線段這個圖形.

2.等腰三角形