重慶市巴川中學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期第一階段測數(shù)學(xué)試題（解析）

第頁，共頁高2026屆高二年級下學(xué)期一階聯(lián)合測試（數(shù)學(xué)）試卷（總分：150分；時間：120分鐘）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算逐項判斷即可.【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：D2.已知向量，若，則（）A. B.4 C. D.5【答案】A【解析】【分析】先求，再由解方程即可求得.【詳解】由，可得，又由，則得，即，解得.故選：A.3.已知圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3的半圓，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由圓錐的側(cè)面展開圖確定母線長和底面圓半徑，再求出圓錐的高，然后代入體積公式即可.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為，高為，母線長為，則，，所以，所以，所以該圓錐的體積為.故選：C4.已知等差數(shù)列中，，是數(shù)列的前項和，則的值為（）A. B. C.30 D.60【答案】B【解析】【分析】由等差數(shù)列的求和公式結(jié)合下標(biāo)的性質(zhì)計算即可.【詳解】由題意可得.故選：B5.已知圓：，直線：，則直線被圓截得的弦長的最小值為（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】確定直線所過的定點，再根據(jù)圓的性質(zhì)，分析出當(dāng)圓心與定點的連線垂直于直線時，弦長最短，最后根據(jù)勾股定理求出弦長的最小值.【詳解】將直線方程進(jìn)行變形：

因為，所以可聯(lián)立方程組，解得..所以直線恒過定點.已知圓：，則圓心，半徑.可得圓心與定點的距離為：.因為，所以點在圓內(nèi)部.當(dāng)圓心與定點的連線垂直于直線時，弦長最短.此時弦長的一半、圓心與定點的距離以及圓的半徑構(gòu)成直角三角形，其中圓的半徑為斜邊.根據(jù)勾股定理，弦長的一半為.所以弦長的最小值為.直線被圓截得的弦長的最小值為.故選：A.6.已知雙曲線的右焦點為，，是其一條漸近線上的兩點，且，若的面積等于，則的最小值為（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】由點到線的距離公式可得右焦點到漸近線的距離為，根據(jù)的面積等于，可得，再利用不等式即可求解.【詳解】設(shè)，是漸近線上的兩點，右焦點到漸近線的距離為，所以的面積為，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為2.故選：.7.已知定義在上的偶函數(shù)滿足，若，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造，利用已知可得函數(shù)的單調(diào)性，利用周期性求出，化簡已知不等式，利用單調(diào)性得出解集．【詳解】是偶函數(shù)，，則，即是奇函數(shù)，由，可得，構(gòu)造，則單調(diào)遞增；，，即的周期為，則，即；不等式可化簡為，即，由單調(diào)性可得，解得故選：A8.已知函數(shù)，如果對于任意的，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依題意只需，然后對的值進(jìn)行分類討論，求在不同取值范圍內(nèi)時的的最小值，由最小值大于等于0得到的取值范圍；【詳解】解：依題意只需在時．又，令，，則，，所以在上單調(diào)遞增，所以．對分類討論：①當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，即恒成立；②當(dāng)時，在上有實根，因為在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，所以，不符合題意；③當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，則，不符合題意．綜合①②③可得，所求的實數(shù)的取值范圍是.故選：B．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每個小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選項，每選對一個得3分；若只有3個正確選項，每選對一個得2分.9.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A.是函數(shù)定義域內(nèi)的極小值點B.的單調(diào)減區(qū)間是C.若有兩個不同的交點，則D.在定義域內(nèi)既無最大值又無最小值【答案】ACD【解析】【分析】先判斷函數(shù)定義域，再求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值作出簡圖，進(jìn)而可判斷各選項.【詳解】對于A，函數(shù)定義域滿足，解得，由，令可得和，當(dāng)或時，所以在和上單調(diào)遞減，當(dāng)時.所以在上單調(diào)遞增，這表明是的極小值點，A正確；對B，的單調(diào)減區(qū)間是，，故B不正確；對D，由A可得當(dāng)和時單調(diào)遞減，當(dāng)時單調(diào)遞增，且，作出簡圖，可得的值域是，故D正確；對C，由圖象可得，與有兩個不同的公共點，則，故C正確；故選：ACD10.設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項和為，若，則下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列是遞增數(shù)列 B.C. D.中最大的是【答案】BD【解析】【分析】利用等差數(shù)列的前項和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)得到，，再利用等差數(shù)列的通項公式求得的范圍可判斷AC；進(jìn)而得可判斷B；利用可判斷D，從而得解.【詳解】對于AC：因為，且，所以，，又因為，所以，解得；所以等差數(shù)列是遞減數(shù)列，故AC錯誤；對于B：因為，所以，故C正確；對于D：因為等差數(shù)列是遞減數(shù)列，且，，則，，所以，，故D正確.故選：BD.11.已知雙曲線的左?右焦點分別為，直線：與相交于點，與的一條漸近線相交于點.記的離心率為，那么（）A.若，則B.若，則C.落，則D.若，則【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意，直線與雙曲線一條漸近線平行，由漸近線性質(zhì)可得，對于A，求出點坐標(biāo)，由向量數(shù)量積為0，可得齊次式，從而得解；對于B，在中，求出，再結(jié)合雙曲線定義可求解；對于C，由為的中點，求出的坐標(biāo)，代入雙曲線方程可解；對于D，結(jié)合雙曲線定義和余弦定理求出，再結(jié)合條件得解.【詳解】根據(jù)題意，雙曲線漸近線方程為：，則直線與平行，由兩漸近線斜率互為相反數(shù)，從而傾斜角互補(bǔ)，從而又則，聯(lián)立，可得A選項：，則有，所以正確.B選項：由，則有，又，所以，所以，В錯誤.C選項：由，則，因為在上，所以有，所以正確.選項：由，解得，，由，即，解得，所以，D錯誤.故選：AC【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)題意，發(fā)現(xiàn)直線與雙曲線一條漸近線平行，由漸近線性質(zhì)可得，從而求解各選項.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知拋物線上，點在此拋物線上，為拋物線的焦點，則_______．【答案】5【解析】【分析】根據(jù)點在拋物線上可得，即可利用焦半徑公式求解.【詳解】點在此拋物線上，解得，所以．故答案為：513.若曲線只有一條過原點的切線，則的值為______________．【答案】或【解析】【分析】設(shè)切點為，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，并結(jié)合題意得方程有且只有一個實數(shù)根，再結(jié)合判別式求解即可.【詳解】∵，∴，設(shè)切點,則,切線斜率,∴切線方程為：,∵切線過原點，∴整理得：,∵曲線只有一條過坐標(biāo)原點的切線切，∴,解得或,∴或,故答案為：或14.記正項數(shù)列的前n項和為，若，，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】由題意可得是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，從而可得，令，則.再利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，再代值計算即可.【詳解】解：已知，當(dāng)時，，解得或,因為是正項數(shù)列，舍去，所以，當(dāng)時，，整理可得，因為是正項數(shù)列，所以，則是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，，令，則.對求導(dǎo)，得，令，即，解得.當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又因為隨增加而增大，，；，；，；所以當(dāng)時，取得最小值，最小值為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性后，因為，故必須代值計算四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且.（1）求；（2）若的面積為，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理統(tǒng)一為邊，再由余弦定理求解即可；（2）由正弦定理及面積公式求解.【小問1詳解】因為，所以，即，所以，又，所以.【小問2詳解】由正弦定理知，，所以，所以，解得，所以.16.已知數(shù)列滿足，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式：（2）記，求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】(1)遞推關(guān)系式左右兩邊同時減一，通分，取到數(shù)整理可得根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明數(shù)列是等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項公式求出的通項公式進(jìn)而求出數(shù)列的通項公式.(2)現(xiàn)根據(jù)的通項公式求出進(jìn)而求出的通項公式，再用裂項相消法求出.【小問1詳解】因為，所以，對上式兩邊同時取倒數(shù)有：所以，又因為，所以，所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列.因為數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以，所以數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】因為，所以，所以，所以，17.如圖，在圓柱中，是圓柱的一條母線，是底面圓的內(nèi)接四邊形，是圓的直徑，為上一點.（1）求證：；（2）若是的中點，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）證明平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點坐標(biāo)，求出平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法即可求得答案.【小問1詳解】證明：因為是圓柱的一條母線，故平面，因為平面，所以，因為是圓的直徑，所以，又平面，所以平面，因為平面，所以.【小問2詳解】因為底面，以點原點，分別為軸?軸?軸正方向，建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系，連接,因為，所以.因為，所以，所以是等邊三角形，所以，是圓的直徑，則，，則，因為是的中點，則，底面平面，故,又，平面，所以底面，所以平面的一個法向量可取為，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，因為，由圖可知，二面角為銳角，故二面角的余弦值為18.已知橢圓與雙曲線有共同焦點，且離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為橢圓的下頂點，為橢圓上異于的不同兩點，且直線與的斜率之積為.（?。┰噯査谥本€是否過定點？若是，求出該定點；若不是，請說明理由；（ⅱ）若為橢圓上異于的一點，且，求的面積的最小值.【答案】（1）（2）（ⅰ）（0,0）；（ⅱ）.【解析】【分析】（1）由題意設(shè)橢圓的方程為，則，又和求出，則橢圓的方程可求，（2）（?。┰O(shè)所在直線方程為，代入橢圓方程化簡，利用根與系數(shù)的關(guān)系，斜率公式，結(jié)合已知條件可求得直線恒過的定點，（ⅱ）由已知得，設(shè)所在直線方程為，則，，由此利用三角形的面積公式，函數(shù)的性質(zhì)，可求出的面積的最小值.【小問1詳解】由題意知：雙曲線的焦點為，，設(shè)橢圓的方程為，半焦距為，則，又，所以，所以所以橢圓的方程為.【小問2詳解】（?。┤糁本€斜率不存在，設(shè)，，則，而，故不成立.所以直線的斜率存在，設(shè)所在直線方程為，聯(lián)立，消去得：，①設(shè)，，，，，，.整理得.所以直線恒過點（0,0）.（ⅱ）由（ⅰ）知，，因為，所以.當(dāng)時，設(shè)所在直線方程為，則，，當(dāng)時，亦符合上式，所以.令，，，因為，所以，所以當(dāng)，即時，取最大值4，所以當(dāng)，即時，面積最小，最小值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查雙曲線與橢圓的綜合問題，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，第（3）（ⅱ）解題的關(guān)鍵是表示出，，，，從而可表示出化簡結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可求得其最小值，考查計算能力，屬于較難題.19.對于一個函數(shù)和一個點，令函數(shù)，若是的極值點，則稱點是在的“邊界點”．（1）對于函數(shù)，證明：對于點，存在點，使得點是在的“邊界點”．（2）對于函數(shù)，若不存在點，使得點是在的“邊界點”，求的取值范圍．（3）對于函數(shù)，若存在兩個不同的點，使得點是在的“邊界點”，求的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）（3）.【解析】【分析】（1）由函數(shù)的新定義再求導(dǎo)分析單調(diào)性得到極值可證；（2）利用函數(shù)新定義求出，求導(dǎo)后分和討論單調(diào)性得到極值即可；（3）利用函數(shù)新定義求出，求導(dǎo)后分和討論，當(dāng)時，再次構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合零點存在定理分析；【小問1詳解】證明：．當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則2是的極小值點，故存在點，使得點是在的“邊界點”．【小問2詳解】．因為不存在點，使得點是在“邊界點”，所以沒有極值點．若，則沒有極值點．若，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞堿，在上單調(diào)遞增，所以是的極大值點，是的極小值點．綜上，.【小問3詳解】．因為存在兩個不同的點，使得點是在的“邊界