全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽：靜電場(chǎng)：原理與方法

靜電場(chǎng):原理與方法第1頁(yè)原理與方法靜電場(chǎng)兩大外觀表現(xiàn)力對(duì)引入電場(chǎng)任何帶電體產(chǎn)生力作用.能當(dāng)帶電體在電場(chǎng)中移動(dòng)時(shí),電場(chǎng)力做功,說(shuō)明電場(chǎng)含有能量.描述靜電場(chǎng)基本規(guī)律電荷守恒定律對(duì)一個(gè)孤立系統(tǒng)，電荷可在系統(tǒng)各部分之間遷移，但其總量保持不變——原來(lái)為零一直為零，原來(lái)為某一量Q，則一直為Q，此即電荷守恒定律．

庫(kù)侖定律高斯定理場(chǎng)疊加原理唯一性原理在真空中任何靜電場(chǎng)中，經(jīng)過(guò)任一閉合曲面電通量等于這閉合曲面所包圍電荷代數(shù)和ε0分之一，這就是真空中靜電場(chǎng)高斯定理．等效處理方法等效對(duì)稱(chēng)替換法等效電像變換法示例規(guī)律規(guī)律應(yīng)用示例示例第2頁(yè)球在第一次與板接觸后取得電量為q，說(shuō)明有量值為q正電荷從板上轉(zhuǎn)移到球上，由電荷守恒可知，此時(shí)板上電量為(Q-q),球與板這一系統(tǒng)中總電量是按百分比分配到球上與板上．當(dāng)屢次操作直至最終板上電量又一次為Q但不能向與之接觸球遷移時(shí)（此時(shí)二者等電勢(shì)），球上電量到達(dá)最大:

一個(gè)金屬球借助導(dǎo)電薄板從起電機(jī)上取得電荷，板在每次與球接觸后又從起電機(jī)上帶電至電量為Q．假如球在第一次與板接觸后帶電量為q，求球可取得最大電量.專(zhuān)題17-例1解:第3頁(yè)庫(kù)侖力與萬(wàn)有引力r2r1mOMQq帶電球殼內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)為零!r第4頁(yè)點(diǎn)電荷q在兩側(cè)場(chǎng)強(qiáng)等值反向!qEqEq整個(gè)帶電球內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)為0;外表面場(chǎng)強(qiáng)大小為設(shè)球殼除A外其余部分在A處場(chǎng)強(qiáng)為EAA在A內(nèi)側(cè)有在A外側(cè)有

均勻帶電球殼半徑為R，帶正電，電量為Q，若在球面上劃出很小一塊，它所帶電量為q．試求球殼其余部分對(duì)它作用力．

專(zhuān)題17-例3解:第5頁(yè)

一個(gè)半徑為a孤立帶電金屬絲環(huán)，其中心電勢(shì)為U0．將此環(huán)靠近半徑為b接地球，只有環(huán)中心O位于球面上，如圖．試求球上感應(yīng)電荷電量

．

專(zhuān)題17-例4O點(diǎn)O1點(diǎn)電勢(shì)均為0;環(huán)上電荷在O點(diǎn)總電勢(shì)為U0球上感應(yīng)電荷在O1點(diǎn)引發(fā)電勢(shì)UbO1abOO點(diǎn)O1點(diǎn)電勢(shì)均由環(huán)上電荷及球上感應(yīng)電荷共同引發(fā)！環(huán)上電荷在O1點(diǎn)總電勢(shì)為解:第6頁(yè)高斯定理推證q點(diǎn)電荷電場(chǎng)S球面上各處場(chǎng)強(qiáng)大小均為

從該球面穿出電通量

電場(chǎng)線疏密表示電場(chǎng)強(qiáng)弱，若場(chǎng)中某面元上有條電場(chǎng)線垂直穿過(guò)，則

依據(jù)電場(chǎng)線性質(zhì)——在電場(chǎng)中沒(méi)有電荷處電場(chǎng)線是連續(xù)、不相交，能夠必定包圍點(diǎn)電荷q任意封閉曲面S′上電通量也是

第7頁(yè)q依據(jù)電場(chǎng)迭加原理，將上述結(jié)果推廣到任意點(diǎn)電荷系組成靜電場(chǎng)：若閉合曲面包圍電荷代數(shù)和為

返回第8頁(yè)高斯定理的應(yīng)用—求場(chǎng)強(qiáng)均勻帶電球面的電場(chǎng)Or由高斯定理有

由高斯定理有

RE0r第9頁(yè)均勻帶電球體的電場(chǎng)Or由高斯定理有

由高斯定理有

RE0rR第10頁(yè)"無(wú)限大"均勻帶電平面的電場(chǎng)由高斯定理有

兩面積S、間距d平行板電容器當(dāng)帶電荷量Q時(shí)，板間電場(chǎng)由電場(chǎng)疊加原理可得為第11頁(yè)解:

半徑為r圓板，在與其中心O距離為d處置一點(diǎn)電荷q，試求板上電通量．

專(zhuān)題17-例5球冠面上電通量與圓板電通量相同！距q為R處電場(chǎng)強(qiáng)度大小為球冠面積為第12頁(yè)解:

在相距d兩根平行細(xì)長(zhǎng)導(dǎo)線上均勻地分布有異種電荷，其線密度為＋及－λ．求在對(duì)稱(chēng)平面上與導(dǎo)線所在平面相距為x一點(diǎn)P電場(chǎng)強(qiáng)度

．

專(zhuān)題17-例6"無(wú)限長(zhǎng)"均勻帶電導(dǎo)線的電場(chǎng)由高斯定理有

第13頁(yè)解:

如圖所表示，將表面均勻帶正電半球，沿線分成兩部分，然后將這兩部分移開(kāi)很遠(yuǎn)距離，設(shè)分開(kāi)后球表面仍均勻帶電，試比較點(diǎn)與點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度大小

．

專(zhuān)題17-例7AE1E2第14頁(yè)ABCDO解:若正四面體四個(gè)面電勢(shì)相同，四面體就是一個(gè)等勢(shì)體，其中心點(diǎn)電勢(shì)即可確定，現(xiàn)正四面體ABCD各面靜電勢(shì)均不一樣，其中心點(diǎn)電勢(shì)難以直接確定.

如圖所表示，正四面體ABCD各面為導(dǎo)體，但又彼此絕緣．已知帶電后四個(gè)面靜電勢(shì)分別為、、和,求四面體中心Ｏ點(diǎn)電勢(shì)φ0

．專(zhuān)題17-例8進(jìn)行等效替換：另有一樣三個(gè)四個(gè)面靜電勢(shì)分別為φ1、φ2、φ3和φ4正四面體，將它們適當(dāng)?shù)丿B在一起，使四個(gè)面電勢(shì)均為φ1+φ2+φ3+φ4，中心點(diǎn)O共點(diǎn)，這個(gè)疊加而成四面體是等勢(shì)體，其中心O點(diǎn)電勢(shì)4φ0=φ1+φ2+φ3+φ4

第15頁(yè)解:

如圖所表示，在半徑為R、體密度為均勻帶電球體內(nèi)部挖去半徑為r一個(gè)小球，小球球心與大球球心O相距為a，試求點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)，并證實(shí)空腔內(nèi)電場(chǎng)均勻

．專(zhuān)題17-例9r1OAE1EAE2r2帶電球內(nèi)半徑為r處場(chǎng)強(qiáng)a第16頁(yè)BABPOMABAP處帶寬設(shè)為帶面積為均勻帶電球電荷面密度為P處帶上電荷量為P處弧上電荷線密度為

如圖所表示，在半徑為R細(xì)圓環(huán)上分布有不能移動(dòng)正電荷，總電量為Q，AB是它一條直徑，假如要使AB上場(chǎng)強(qiáng)處處為零，則圓環(huán)上電荷應(yīng)該怎樣分布？

專(zhuān)題17-例10解:第17頁(yè)

如圖，無(wú)限大接地導(dǎo)體板，在距板d處A點(diǎn)有一個(gè)電量為Q正電荷，求板上感應(yīng)電荷對(duì)點(diǎn)電荷Q作用力．

專(zhuān)題17-例11QA-Q解:因?yàn)閷?dǎo)體板接地，板上電勢(shì)為零，在點(diǎn)電荷Q作用下，板右側(cè)出現(xiàn)感應(yīng)電荷.因?yàn)閷?dǎo)體為一等勢(shì)面，從點(diǎn)電荷Q出發(fā)電場(chǎng)線應(yīng)處處與導(dǎo)體面正交而終止，因而導(dǎo)體板右側(cè)電場(chǎng)線分布大致如圖所表示．聯(lián)想到等量異種電荷電場(chǎng)：導(dǎo)體板上感應(yīng)電荷對(duì)板右側(cè)電場(chǎng)影響，可用與點(diǎn)電荷Q關(guān)于導(dǎo)體面成鏡像對(duì)稱(chēng)另一虛設(shè)點(diǎn)電荷-Q替換，板上感應(yīng)電荷對(duì)Q作用亦等效于像電荷-Q對(duì)Q發(fā)生作用由庫(kù)侖定律，板上感應(yīng)電荷對(duì)點(diǎn)電荷Q作用力大小為第18頁(yè)專(zhuān)題17-例12ROrP＋q由導(dǎo)體表面感應(yīng)電荷總電量在O點(diǎn)引發(fā)電勢(shì)與點(diǎn)電荷q在O點(diǎn)引發(fā)電勢(shì)之和為零得依據(jù)唯一性原理可知，等效像電荷量即為像電荷位置，應(yīng)令其在球面上任意點(diǎn)引發(fā)電勢(shì)與q在同一點(diǎn)電勢(shì)疊加為零，即滿(mǎn)足

對(duì)任意角位置等式均成立必有解:

如圖所表示，設(shè)在一接地導(dǎo)體球右側(cè)P點(diǎn)，有一點(diǎn)電荷q，它與球心距離為d，球半徑為R，求導(dǎo)體球上感應(yīng)電荷為多少？點(diǎn)電荷q受到電場(chǎng)力為多大？第19頁(yè)解:

半徑為R2導(dǎo)電球殼包圍半徑為R金屬球，金屬球原來(lái)含有電勢(shì)為U，假如讓球殼接地，則金屬球電勢(shì)變?yōu)槎嗌伲?/p>

小試身手題8U金屬球上電量設(shè)為Q球殼接地后設(shè)感應(yīng)電荷像電荷電量為q，由高斯定理殼接地后球電勢(shì)為Q與q引發(fā)電勢(shì)疊加第20頁(yè)Ecqab-qq-qEaEbc像電荷在c點(diǎn)引發(fā)場(chǎng)強(qiáng)大小

解:

兩個(gè)電量q相等正點(diǎn)電荷位于一無(wú)窮大導(dǎo)體平板同一側(cè)，且與板距離均為d，兩點(diǎn)電荷之間距離為2d．求在兩點(diǎn)電荷聯(lián)線中點(diǎn)處電場(chǎng)強(qiáng)度大小與方向．

小試身手題10第21頁(yè)

如圖，速調(diào)管用于甚高頻信號(hào)放大．速調(diào)管主要由兩個(gè)相距為b腔組成，每個(gè)腔有一對(duì)平行板．初始速度為v0一束電子經(jīng)過(guò)板上小孔橫穿整個(gè)系統(tǒng)．要放大高頻信號(hào)以一定相位差（一個(gè)周期對(duì)應(yīng)于2π相位）分別加在兩對(duì)電極板上，從而在每個(gè)腔中產(chǎn)生交變水平電場(chǎng)．當(dāng)輸入腔中電場(chǎng)方向向右時(shí)，進(jìn)入腔中電子被減速；反之，電場(chǎng)方向向左時(shí)，電子被加速．這么，從輸入腔中射出電子經(jīng)過(guò)一定距離后將疊加成短電子束．假如輸出腔位于該短電子束形成處，那么，只要加于其上電壓相位選擇恰當(dāng)，輸出腔中電場(chǎng)將從電子束中吸收能量．設(shè)電壓信號(hào)為周期T=1.0×10-9s，電壓V=0.5V方波．電子束初始速度v0=2.0×106m/s，電子荷質(zhì)比e/m=1.76×1011C/kg．假定間距a很小，電子渡越腔時(shí)間可忽略不計(jì)．保留４位有效數(shù)字，計(jì)算：(a)使電子能疊加成短電子束距離b．(b)由相移器提供所需輸出腔與輸入腔之間相位差．

專(zhuān)題17-例13～相移器輸入腔v0aab輸出腔解答第22頁(yè)～相移器輸入腔v0aab輸出腔

經(jīng)過(guò)輸入腔電子電場(chǎng)向左時(shí)被電場(chǎng)加速電場(chǎng)向右時(shí)被電場(chǎng)減速由動(dòng)能定理：

要形成短電子束，應(yīng)使后半周期經(jīng)過(guò)輸入腔被加速電子經(jīng)過(guò)一段距離b在輸出腔“追”上前半周期經(jīng)過(guò)輸入腔被減速電子，從而疊加成短電子束，故此應(yīng)有：解:讀題第23頁(yè)b)為使輸出腔中電場(chǎng)從短電子束中吸收能量，應(yīng)使電場(chǎng)方向向右，電場(chǎng)力對(duì)電子束做負(fù)功．當(dāng)輸入腔電場(chǎng)方向向右時(shí)滿(mǎn)足讀題第24頁(yè)解:

如圖所表示，N個(gè)一價(jià)正離子和N個(gè)一價(jià)負(fù)離子交織排列成一維點(diǎn)陣，相鄰離子間間距為a．計(jì)算這個(gè)相互靜電作用點(diǎn)陣總靜電能．（N→∞）

小試身手題19除兩端處一些離子外，每個(gè)離子與其周?chē)x子相互作用情形都相同，任取一正離子記為A0，兩側(cè)各對(duì)離子依次為A-1、A+2……這是與第1對(duì)負(fù)離子所共有!

A0在第2對(duì)正離子中間位置含有電勢(shì)能

A0在第1對(duì)負(fù)離子中間位置含有電勢(shì)能

A0這是與第2對(duì)正離子所共有!

第25頁(yè)解:

如圖所表示，質(zhì)子加速器使每個(gè)質(zhì)子得到動(dòng)能為E．很細(xì)質(zhì)子束從加速器射向一個(gè)遠(yuǎn)離加速器半徑為r金屬球，并留在球上．球中心并不處于加速器發(fā)射出質(zhì)子運(yùn)動(dòng)方向直線上，而與該直線垂直距離為d，且d＜r，加速器工作足夠長(zhǎng)時(shí)間后，球能充電到多高電勢(shì)？計(jì)算中取E=2keV，．

小試身手題20設(shè)質(zhì)子初速度為v0，當(dāng)金屬球充電到電勢(shì)為U時(shí)，質(zhì)子與金屬球相切而過(guò)，設(shè)此時(shí)速度設(shè)為v，因?yàn)橘|(zhì)子在向球運(yùn)動(dòng)時(shí)，只受庫(kù)侖力且力方向沿球徑向，故對(duì)球心O，沖量矩為零，質(zhì)子角動(dòng)量守恒：

Umv0mvdr由動(dòng)能定理：

第26頁(yè)

需要凈化空氣中灰塵，但在普通條件下灰塵沉積下來(lái)是較遲緩，為此可利用這么一個(gè)事實(shí)，即灰塵是帶電．為模擬凈化過(guò)程，提出兩種裝置．第一個(gè)裝置是，將含有灰塵空氣玻璃圓桶（高h(yuǎn)＝1m，半徑R＝0.1m，如圖示）放在場(chǎng)強(qiáng)E1＝1×104V/m電場(chǎng)中，場(chǎng)強(qiáng)方向沿著圓柱形桶軸向．經(jīng)時(shí)間t1＝120s后，能夠觀察到容器中全部灰塵均已沉積在底部．第二個(gè)裝置是這么：沿圓柱桶軸線緊拉著一根細(xì)導(dǎo)線，且將此導(dǎo)線跟高壓電源相連，電源電壓是這么選取，使在容器壁上場(chǎng)強(qiáng)值恰好等于第一個(gè)裝置場(chǎng)強(qiáng)值1×104V/m．已知在這種情況下場(chǎng)強(qiáng)E∝1/r，r為離軸線距離．假設(shè)塵粒是同種，其所帶電荷量也相等，試確定第二個(gè)裝置中塵粒沉積到容器壁所需時(shí)間．因?yàn)榭諝庵袎m粒不多，體電荷能夠忽略，認(rèn)為塵粒沉積過(guò)程動(dòng)態(tài)平衡，空氣阻力與速度成正比，不計(jì)重力

解答小試身手題21h2R第27頁(yè)第一個(gè)裝置中，電場(chǎng)力恒定，故塵粒勻速下降時(shí)有第二個(gè)裝置中，在距離軸心r處塵粒速度設(shè)為vr，則讀題解:第28頁(yè)

如圖所表示，半徑相同兩個(gè)金屬球A、B相距很遠(yuǎn)，原來(lái)不帶電，C球先與遠(yuǎn)處電池正極接觸，（負(fù)極接地），接著與球A接觸，再與B球接觸；然后又與電池正極接觸，重復(fù)上述過(guò)程，重復(fù)不已．已知C球第一次與電池接觸后帶電量為q，第一次與A球接觸后A球帶電量為Q1，求⑴A球與B球最終帶電量Q與Q′；⑵設(shè)，最少經(jīng)過(guò)幾次與C球接觸后，A球帶電量可達(dá)最終帶電量二分之一？

小試身手題16解:CAB

⑴設(shè)A、B球半徑為R,C球半徑為r,C球與A球第1次接觸后有①

電荷不再?gòu)腃球移向A球，故

C球與B球接觸最終亦有⑵由①式及題給條件

若第２次C與A接觸后A又獲電量Q2，

n次C、A接觸后有

返回第29頁(yè)

正點(diǎn)電荷Ｑ1和正點(diǎn)電荷Ｑ2分別放置在A、B兩點(diǎn)，兩點(diǎn)間相距L．現(xiàn)以L為直徑作二分之一圓，電荷在此半圓上有一電勢(shì)最小位置P，設(shè)PA與AB夾角為α，則α＝．（用三角函數(shù)表示）

小試身手題1解:切向場(chǎng)強(qiáng)為0位置為電勢(shì)最小位置！第30頁(yè)

電荷均勻分布在半球面上，它在這半球中心O處電場(chǎng)強(qiáng)度等于E0．兩個(gè)平面經(jīng)過(guò)同一條直徑，夾角為α，從半球中分出一部分球面，如圖所表示．試求所分出這部分球面上（在“小瓣”上）電荷在O處電場(chǎng)強(qiáng)度E．

E0小試身手題7ＯE解:半球面均勻分布電荷在O點(diǎn)引發(fā)場(chǎng)強(qiáng)可視為“小瓣”球面電荷與“大瓣”球面電荷在O點(diǎn)引發(fā)電場(chǎng)矢量和.由對(duì)稱(chēng)性及半球幾何關(guān)系可知E大與E小垂直，如圖所表示:第31頁(yè)

有兩個(gè)異種點(diǎn)電荷，其電量之比為n，相互間距離為d．試證實(shí)它們電場(chǎng)中電勢(shì)為零等勢(shì)面為一球面，并求此等勢(shì)面半徑及其中心與電量較小電荷距離r．解:Oyx小試身手題9-qnq以小電量電荷所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)-q與nq在坐標(biāo)為（x、y）點(diǎn)電勢(shì)迭加為零，即有零等勢(shì)面為球面球心坐標(biāo)球半徑第32頁(yè)

半徑分別為R1和R2兩個(gè)同心半球相對(duì)放置，如圖所表示，兩個(gè)半球面均勻帶電，電荷密度分別為σ1和σ2，試求大半球面所對(duì)應(yīng)底面圓直徑AOB上電勢(shì)分布．解:小試身手題11AB大半球面上電荷量為大半球面上電荷在底面引發(fā)電勢(shì)為整個(gè)大球面上電荷引發(fā)電勢(shì)二分之一,即小半球面上電荷量為小半球面上電荷在其底面引發(fā)電勢(shì)為整個(gè)小球面上電荷引發(fā)電勢(shì)二分之一,即依據(jù)電場(chǎng)疊加原理,直徑AB上電荷分布為:小半球面上電荷在球面外引發(fā)電勢(shì)亦為整個(gè)小球面上電荷引發(fā)電勢(shì)二分之一,即第33頁(yè)

二分之一徑為R、帶電量為Q均勻帶電球面，試求其上表面張力系數(shù)σ，σ定義為面上單位長(zhǎng)度線段兩側(cè)各向?qū)Ψ绞┘幼饔昧?/p>

．解:小試身手題12RETT在球面上取一面元面元受力如示面元周?chē)軓埩f(xié)力大小為面元處于平衡,則返回第34頁(yè)

如圖，有“無(wú)限長(zhǎng)”均勻帶電圓柱面，半徑為R，電荷面密度為σ，試求其場(chǎng)強(qiáng)，并作E（r）圖

．解:小試身手題2rE0R第35頁(yè)

如圖，在一厚度為d無(wú)窮大平板層內(nèi)均勻地分布有正電荷，其密度為ρ，求在平板層內(nèi)及平板層外電場(chǎng)強(qiáng)度E，并作E（r）圖

．解:小試身手題3rE0d/2第36頁(yè)

一點(diǎn)電荷q位于一立方體中心，立方體邊長(zhǎng)為a，試問(wèn)經(jīng)過(guò)立方體一面電通量是多少？假如點(diǎn)電荷移至立方體一個(gè)角上，這時(shí)經(jīng)過(guò)立方體每個(gè)面電通量各是多少？

解:小試身手題4點(diǎn)電荷位于立方體中心時(shí)，經(jīng)過(guò)立方體一個(gè)表面電通量為

點(diǎn)電荷位于立方體頂點(diǎn)時(shí)，經(jīng)過(guò)立方體一個(gè)表面電通量為

第37頁(yè)

如圖，電場(chǎng)線從正電荷＋q1出發(fā)，與正點(diǎn)電荷及負(fù)點(diǎn)電荷連線成α角，則該電場(chǎng)線進(jìn)入負(fù)點(diǎn)電荷－q2角度β是多大？

小試身手題5αβ－+q1－q2以點(diǎn)電荷+q1與-q2為中心，取二分之一徑r很小球面，可視為其上電場(chǎng)線均勻分布，穿出2α角所正確球冠面電場(chǎng)線應(yīng)完全穿入2β角所正確球冠面，兩面上電通量相等：

解:第38頁(yè)-4qq

準(zhǔn)確地畫(huà)出兩點(diǎn)電荷＋q及－4q電場(chǎng)線分布示意圖.

小試身手題6解:若兩電荷相距a，場(chǎng)強(qiáng)為零點(diǎn)在兩點(diǎn)電荷連線延長(zhǎng)線距+q為x遠(yuǎn)處:

由上題，從+q出發(fā)，與兩電荷連線所成角度在[0,π]之間電場(chǎng)線進(jìn)入-4q終止時(shí)與兩電荷連線夾角在[0,π/3]之間，如圖:第39頁(yè)O點(diǎn)電勢(shì)為0：由高斯定理知Ｏ

如圖，兩個(gè)以O(shè)為球心同心金屬球殼都接地，半徑分別是r、R．現(xiàn)在離O為l（r＜l＜R）地方放一個(gè)點(diǎn)電荷q．問(wèn)兩個(gè)球殼上感應(yīng)電荷電量各是多少？

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小試身手題15解:第40頁(yè)Q+++++++++◎球殼內(nèi)、外表面感應(yīng)電荷電量總等于球殼中心電荷量◎內(nèi)外感應(yīng)電荷在球殼中心引發(fā)電勢(shì)為◎從中心移動(dòng)極小電量過(guò)程中可認(rèn)為中心點(diǎn)電勢(shì)不變?cè)诘趇次移動(dòng)中元功為移動(dòng)Q到無(wú)窮遠(yuǎn)總功為

如圖，兩個(gè)以O(shè)為球心同心金屬球殼都接地，半徑分別是r、R．現(xiàn)在離O為l（r＜l＜R）地方放一個(gè)點(diǎn)電荷q．問(wèn)兩個(gè)球殼上感應(yīng)電荷電量各是多少？

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小試身手題14返回解:第41頁(yè)均勻帶電金屬球表面每一個(gè)面元受到整個(gè)球面其余部分電荷對(duì)它靜電力大小是則單位面積靜電力構(gòu)想另半球?qū)Υ税肭蜃饔昧εc壓強(qiáng)亦為P氣體作用在半球上壓力相平衡，則