第3節(jié)　平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用 高二數(shù)學(xué)下學(xué)期

第五章

平面向量、復(fù)數(shù)第3節(jié)平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用INNOVATIVEDESIGN1.理解平面向量數(shù)量積的含義.

2.了解平面向量的數(shù)量積與投影向量的關(guān)系.

3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.

4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個向量的夾角,會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.

5.會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題.

目

錄CONTENTS知識診斷自測01考點(diǎn)聚焦突破02課時對點(diǎn)精練03知識診斷自測1ZHISHIZHENDUANZICE

|a||b|cosθ|a||b|cosθ

3.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)a·b=b·a(交換律). (2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(結(jié)合律). (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).4.平面幾何中的向量方法

三步曲:(1)用向量表示問題中的幾何元素,將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題; (2)通過向量運(yùn)算,研究幾何元素之間的關(guān)系; (3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1.有關(guān)向量夾角的兩個結(jié)論已知向量a,b(1)若a與b的夾角為銳角,則a·b>0;若a·b>0,則a與b的夾角為銳角或0.(2)若a與b的夾角為鈍角,則a·b<0;若a·b<0,則a與b的夾角為鈍角或π.2.平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2;(3)(a-b)2=a2-2a·b+b2.×

√√×

2.(人教A必修二P35例11改編)設(shè)a=(5,-7),b=(-6,-4),設(shè)a,b的夾角為θ,則

cos

θ=

.

3.(蘇教必修二P47T12改編)已知|a|=3,|b|=4,且a與b不共線,若(a+kb)⊥(a-kb),則實數(shù)k=

.

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考點(diǎn)聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點(diǎn)一數(shù)量積的計算

C

AA.1 B.2 C.t D.2t解析

如圖所示,連接BC,CD,

思維建模計算平面向量數(shù)量積的主要方法(1)利用定義:a·b=|a||b|cos<a,b>.(2)利用坐標(biāo)運(yùn)算,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2.(3)利用基底法求數(shù)量積.(4)靈活運(yùn)用平面向量數(shù)量積的幾何意義.B訓(xùn)練1

(1)(2025·1月八省聯(lián)考)已知向量a=(0,1),b=(1,0),則a·(a-b)=(

) A.2 B.1 C.0 D.-1

解析

由已知得,a·(a-b)=(0,1)·(-1,1)=1.

B

D

考點(diǎn)二數(shù)量積的應(yīng)用D角度1

夾角與垂直例2

(1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),則x=(

) A.-2 B.-1 C.1 D.2

解析

法一因為b⊥(b-4a),

所以b·(b-4a)=0,即b2=4a·b.

因為a=(0,1),b=(2,x),

所以b2=4+x2,a·b=x,

得4+x2=4x,所以(x-2)2=0,

解得x=2,故選D.法二因為a=(0,1),b=(2,x),所以b-4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x)-(0,4)=(2,x-4).因為b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以2×2+x(x-4)=0,所以(x-2)2=0,解得x=2,故選D.

D

B思維建模

C

C

ABC考點(diǎn)三平面向量的新定義問題

①③解析

對于①,若<a,b>=90°,則|a+b|=|a-b|,a·b=0,則a☉b=|a+b|×|a-b|=|a+b|2=a2+b2+2a·b=a2+b2,故①正確;

思維建模平面向量背景下的新定義問題,通?；谄矫嫦蛄康姆较蛐院痛笮⌒?引入新的運(yùn)算規(guī)則或概念.解題時,首先要準(zhǔn)確理解新定義的本質(zhì),明確其涉及的向量運(yùn)算和性質(zhì).接著,將新定義應(yīng)用到具體的題目情境中,通過向量的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積等運(yùn)算,推導(dǎo)出所需的結(jié)論.最終,通過綜合應(yīng)用平面向量的基礎(chǔ)知識和新定義,解決這類復(fù)雜而有趣的數(shù)學(xué)問題.

A

課時對點(diǎn)精練3KESHIDUIDIANJINGLIAN

C

C

A

B

D

解析

由題意,∠BAD=60°,建立平面直角坐標(biāo)系如圖,

C

A

A二、多選題9.(2025·成都診斷)下列說法正確的是(

) A.對任意向量a,b,都有a·b=b·a B.若a·b=a·c且a≠0,則b=c C.對任意向量a,b,c,都有(a·b)·c=a·(b·c) D.對任意向量a,b,c,都有(a+b)·c=a·c+b·cAD解析

a·b=|a||b|cos<a,b>,b·a=|a||b|cos<a,b>,可得a·b=b·a,故A正確;由a·b=a·c可得a·(b-c)=0,由a≠0可得b=c或a⊥(b-c),故B錯誤;(a·b)·c=|a||b|cos<a,b>c=λc(λ∈R),a·(b·c)=|c||b|cos<c,b>a=μa(μ∈R),所以(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立,故C錯誤;由向量數(shù)量積運(yùn)算的分配律可知D正確.

CD

ABD

三、填空題12.物理學(xué)中,如果一個物體受到力的作用,并在力的方向上發(fā)生了一段位移,我們就說這個力對物體做了功,功的計算公式:W=F·S(其中W是功,F是力,S是位移).一物體在力F1=(2,4)和F2