2024-2025學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步訓(xùn)練：構(gòu)造三角形中位線的常見方法（解析版）

專題1構(gòu)造三角形中位線的常用方法

方法一：連接兩點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線

方法二：利用角平分線，垂直構(gòu)造三角形的中位線

方法三：利用倍長法構(gòu)造三角形的中位線

方法四：已知中點(diǎn)，取其其他邊的中點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線

方法一：連接兩點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線

1.如圖，在△/8C中，AB=BC=10,AC=U,點(diǎn)、D,E分別是N8,8c邊上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)?！?F,M分

則FKr的最小值為（）

A.12B.10C.9.6D.4.8

【分析】由題意可知，當(dāng)取最小值時(shí)，的值最小，在等腰三角形N3C中利用等腰三角形三線合

一的性質(zhì)求出8〃的長，得出三角形/8C的面積，再根據(jù)等面積法求出/￡的長即可得出結(jié)果.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作工NC于H,

,:F,M分別是4D,OE的中點(diǎn)，

1

：.FM=^AE,

...當(dāng)/￡取最小值時(shí)，W的值最小，

由垂線段最短可知，當(dāng)3c于點(diǎn)E時(shí)，NK的值最小,

在△/8C中，4B=BC=U）,AC^12,

1

/.CH—~AC—6,

BH=yjBC2-CH2=V102-62=8，

1

?"△4BC=，x12x8=48,

1

又,SAABC=2X凱”"E,

1

：.~x10x4E=48,

：.AE=9.6f

AW=4.8,

故選：D.

2.如圖，在中，ZC=90°,AC=6f5C=8,點(diǎn)N是5C邊上一點(diǎn)，點(diǎn)〃為45邊上的動(dòng)點(diǎn),

點(diǎn)。、￡分別為CN,的中點(diǎn)，則的最小值是（）

1224

A.2B.-C.3D.—

【分析】連接CN,當(dāng)。時(shí)，。加的值最小（垂線段最短），此時(shí)有最小值，根據(jù)勾股定理求

1

出45,根據(jù)三角形的面積公式求出CM,根據(jù)三角形的中位線得出。E=即可.

【解答】解：連接當(dāng)CALLZB時(shí)，的值最?。ù咕€段最短），此時(shí)。E有最小值，

理由是：VZC=90°,AC=6,5C=8,

.AB=V/1C2+BC2=V62+82=10,

11

1.-AC^C=-AB-CMf

11

1.-x6x8=-x10xCM,

24

.CM=-f

，,點(diǎn)。、￡分別為CN,的中點(diǎn)，

112412

,.DE=~CM=-x—=—,

12

即DE的最小值是W，

故選：B.

3.如圖，在中，ZBAC=9Q°,48=3,AC=4,平面上有一點(diǎn)P,連接4P,CP,若CP=2,

取/P的中點(diǎn)M.連接則8M的最大值為（）

A.V13+1B.V15C-—D.3V3

1,_

【分析】取/C中點(diǎn)N,連接MN,BN,則/N=pC=2,根據(jù)勾股定理求出5M=VI與，由中位線定理

得出無亞=萬。尸=1,根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系得出而一1<8河<后+1,進(jìn)而即可求解.

【解答】解：取/C中點(diǎn)N,連接MN,BN,

1

：.AN=~AC=2,

在RtZ\4BC中，NA4c=90。，

根據(jù)勾股定理得：BN-JAB2+AN2-V32+22=V13-

?.?點(diǎn)〃■為/P中點(diǎn)，點(diǎn)N為/C中點(diǎn)，CP=2,

1

：.MN=~CP^1,

在中，

?:BN-MN<BM>BN+MN,

???V13-1<5A/<V13+1，

取最大值為+1,

故選：A.

4.如圖，ZAOB=60°,C、。是邊ON上的兩點(diǎn)，且OD=8,CD=2,點(diǎn)尸是08上的一動(dòng)點(diǎn)，連接

PD,點(diǎn)。是尸。的中點(diǎn)，連接CQ,則CQ的最小值為（）

D,

八

OpB

A.1B.V3C亨D.2

【分析】在OD上取點(diǎn)M,使CM=CD,進(jìn)而得出CQ為叢DMP的中位線，將CQ的最小值轉(zhuǎn)化為PM

的最小值，最后根據(jù)垂線段最短即可解決問題.

【解答】解：在0D上取點(diǎn)使CM=CD,連接PM,如圖所示，

?..點(diǎn)C為?！ǖ闹悬c(diǎn)，點(diǎn)。為。尸的中點(diǎn)，

：.CQ是ADMP的中位線，

1

：.CQ=~MP.

過點(diǎn)M作的垂線，垂足為N,

則當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N處時(shí)，MP取得最小值，即為的長.

"：CD=MC=2,00=8,

：.OM=S-2-2=4.

VZAOB=60°,

：./OMN=30°,

1

ON---OM=2,

.'.MN=V42-22=2V3，

則MP的最小值為2百，

的最小值為百.

故選：B.

5.如圖，四邊形48CD中，ZA=90°,AB=2V3>AD=2,點(diǎn)、M,N分別為線段8C,上的動(dòng)點(diǎn)（含

端點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)8重合），點(diǎn)、E,尸分別為DM,"N的中點(diǎn)，則￡尸長度的最大值為2.

c

【分析】連接DMDB,先根據(jù)勾股定理求出2D,再根據(jù)三角形中位線定理得到斯=嚴(yán)乂然后結(jié)合

圖形解答即可.

【解答】解：連接。MDB,如圖所示：

在RtZXLUB中，N/=90°,AB=2?4D=2,

?*.BD=JAD2+AB2=J22+（2V3）2=4,

?.?點(diǎn)E,尸分別為。MN的中點(diǎn)，

：.EF是叢DMN的中位線，

1

：.EF^~DN,

由題意得，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)2重合時(shí)。N最大，最大值為4,

斯長度的最大值為2,

故答案為：2.

6.如圖，在△N8C中，ZC=120°,AC=BC,AB=1243＞點(diǎn)N是BC邊上一點(diǎn)，點(diǎn)M為N8邊上一點(diǎn),

點(diǎn)。、￡分別為CN,的中點(diǎn)，則DE的最小值是3.

【分析】當(dāng)CWL/8時(shí)，CM的值最小，此時(shí)的值也最小，根據(jù)勾股定理求出N8,根據(jù)三角形的面

積求出CM,再求出答案即可.

【解答】解：如圖，連接CM,

1

：.DE=~CMf

當(dāng)CALL/B時(shí)，CM的值最小，此時(shí)。￡的值也最小.

VZC=120°,AC=BC,

1廣

:?AM=BM=~^AB=6五,ZA=ZB=30°,

：.AC=2CM,

由勾股定理得：AC2=AM2+CM2,

；?4。/2=54+CM2,

：.CM=6,

1

:?DE=~CM=3.

故答案為：3.

7.如圖，在△48C中，AC=3V3,BC=9,AB=6?點(diǎn)N是8c邊上一點(diǎn)，點(diǎn)朋?為邊上的動(dòng)點(diǎn),

9

點(diǎn)。，E分別為CN,的中點(diǎn)，則/3=----3-0---°,DE的最小值是——~4一.

【分析】當(dāng)時(shí)，CM的值最小，此時(shí)DE的值也最小，根據(jù)勾股定理求出根據(jù)三角形的面

積求出CM,再求出答案即可.

【解答】解：："=3百，BC=9,AB=6V3,

：.AC2+BC2=AB2,

：.^ABC是直角三角形，

1

?：AC^~AB,

：.ZB=30°.連接CM,

丁點(diǎn)。，E分別為CW,MV的中點(diǎn)，

1

：.DE=-CM,

當(dāng)時(shí)，CW的值最小，此時(shí)OE的值最小.

'：CMVAB,N5=30°,

19

：.CM=-BC=-f

19

.\DE——CM=—.

Z4

方法二：利用角平分線，垂直構(gòu)造三角形的中位線

8.如圖，在△N8C中，。是8c邊的中點(diǎn)，NE是/砌C的角平分線，4ELCE于點(diǎn)、E,連接DE.若48=

7,DE=\,則/C的長度是()

【分析】延長CE,交AB于點(diǎn)、F,通過/“證明△￡/尸名△瓦4C,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/尸=4C,

￡F=EC,根據(jù)三角形中位線定理得出8尸=2,即可得出結(jié)果.

【解答】解：延長CE,交于點(diǎn)E

；4E平分NB4C,AEVCE,

:./EAF=/EAC,ZAEF=ZAEC,

在△￡/!尸與△E4C中，

(Z.AEF-X.EAC

lAE^AE,

&EF=^AEC

.".△EAF/AEAC(ASA),

C.AF^AC,EF=EC,

又??,。是5C中點(diǎn)，

:?BD=CD,

???QE是△5CF的中位線，

:?BF=2DE=2.

：.AC=AF=AB-BF=7-2=5；

故選：c.

A

9.如圖在△NBC中，4D是△48C中的/A4c角平分線，3D_L4D,點(diǎn)E是邊5c的中點(diǎn)，如果/5=6,

/C=14,求的長.

【分析】延長8。交/C于R根據(jù)垂直的定義得到//。3=//叱=90°,根據(jù)角平分線的定義得到/

BAD=ZFAD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到3D=Z)F,AF=AB=6,求得CF=/C-/尸=8,根據(jù)三角形

中位線定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：延長8。交/C于尸，

:BDL4D,

：.ZADB=ZADF,

,：AD是△NBC中的/A4c角平分線，

ZBAD=ZFAD,

在△氏〃)與△E4D中，

(Z.BAD=乙FAD

]AD=AD,

LZ.ADB=^ADF

:?△BADQAFAD(ASA),

:?BD=DF,AF=AB=6,

：.CF=AC-

???點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，

:.BE=CE,

：?CF=AC-AF=8,

1

:,DE=/F=4,

故。E的長為4.

A

10.如圖，40、分別是△NBC的中線和角平分線，ADLBE,AD=BE=6,則NC的長為（）

A.3V5B.苧C.9V5D.竽

1

【分析】取CE的中點(diǎn)凡連接。尸，根據(jù)三角形中位線定理得到。尸=嚴(yán)￡=3,。尸〃根據(jù)勾股定

理求出NF,進(jìn)而求出NC.

【解答】解：如圖，取CE的中點(diǎn)尸，連接。尸,

'：BD=DC,EF=FC,

:.DF是ACEB的中位線,

1

：.DF=~BE=?>,DF//BE,

'：AD±BE,

J.ADLDF,

"-AF=JAD2+DF2=V62+32=3Vs-

,:BE是AABC的角平分線，ADLBE,

:.AH=HD,

'.,DF//HE,

：.AE=EF=^~

2

?"=竽

故選：D.

11.如圖，△4BC中，4D是中線，NE是角平分線，CFLAEF,4B=5,/C=2,則。尸的長為（）

A

【分析】延長CF交48于"，證明Z\4EC絲A4FH可得CF=FH,AH=AC,然后求出84,再根據(jù)三角

1

形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得。F=-BH.

【解答】解：如圖，延長。/交于“，

AZCAF=NHAF,

'：CFLAE,

：.ZAFC=ZAFH=90°,

在△Z/C和△4FE中，

(^CAF=Z.HAF

-：\AF=AF,

VZ.AFC=AAFH

??.△AFC咨LAFH(ASA),

：.CF=FH,AH=AC,

：.BH=AB-AH=AB-AC=5-2=3,

又??7。是中線，

???DF是ABCH的中位線,

11

：,DF=-BH=~x3=1.5.

故選：A.

12.如圖，在△48。中，AE平分/BAC,。是5。的中點(diǎn)AB=5,/C=3,則。E的長為（)

A

35

A.1B.-C.2D.-

【分析】連接近并延長交4c的延長線于點(diǎn)尸，易證明448廠是等腰三角形，則得//的長，點(diǎn)E是5/

的中點(diǎn)，求得W的長，從而QE是中位線，即可求得。E的長.

【解答】解：連接8E并延長交/C的延長線于點(diǎn)R如圖，

AZAEB=ZAEF=90°,

?：AE平分NH4C,

???/BAE=/FAE,

：.NABE=NAFE,

???△ZB/是等腰三角形，

：.AF=AB=5,點(diǎn)E是5笈的中點(diǎn)，

：.CF=AF-AC=5-3=2,DE是△BC/的中位線，

1

：.DE=-CF=1.

故選：A.

13.如圖，在△ABC中，4。是中線，AE平分NBAC,過點(diǎn)5作9口_4月交4E延長線于點(diǎn)R垂足為點(diǎn)

F,連接即，若45=6,AC=3,則。廠長為（）

A.2.5B.2C.1.5D.1

【分析】分別延長4。、8廠交于點(diǎn)G,證明△力必絲△//G,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/G=48=6,

BF=FG,再根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可.

【解答】解：如圖，分別延長/C、2尸交于點(diǎn)G,

平分N8/C,

ZBAF=ZGAF,

'：BFLAE,

：.ZAFB=ZAFG=90°,

在AAFB和△4FG中，

(A.BAF-Z.GAF

lAF^AF,

k^AFB=NAFG

AAAFB^AAFG(ASA),

.?./G=A8=6,BF=FG,

：.CG=AG-AC=6-3=3,

,:BF=FG,AD=DC,

:.DF是ABCG的中位線，

1

：.DF=~CG^1.5,

故選：C.

14.如圖，在△NBC中，CF、BE分別平分/4C8和N/8C,過點(diǎn)力作/O_LCF于點(diǎn)。，作/G_L3￡于點(diǎn)

G,若4B=9,AC=8,BC=7,則G￡>的長為（）

【分析】延長交C3的延長線于點(diǎn)尸，延長/G,交8C的延長線于點(diǎn)。，依據(jù)等腰三角形的判定與

性質(zhì)，即可得到尸。的長；再根據(jù)三角形中位線定理，即可得到。G的長等于尸。的長的一半.

【解答】解：如圖所示，延長交C8的延長線于點(diǎn)尸，延長/G,交8C的延長線于點(diǎn)0,

,:CF、BE分別平分N4CB和ZABC,

：.ZACD=ZPCD,ZABG=ZQBG,

^'：AD±CF,AGLBE,

：.ZADC=ZPDC,ZAGB=ZQGB,

：.ZCAP=ZP,/BAG=/Q,

：.AC=PC=8,AB=QB=9,

又■:BC=1,

：.PQ=BQ+PC-8C=9+8-7=10,

,:AC=PC,CD平分//CP,

.,.點(diǎn)。是4P的中點(diǎn)，

同理可得，點(diǎn)G是的中點(diǎn)，

.?.DG是△4P0的中位線，

1

：.DG=~PQ=5,

故選：B.

方法三：利用倍長法構(gòu)造三角形的中位線

15.如圖，在四邊形/BCD中，AB//CD,E,尸分別是NC,2。的中點(diǎn)，己知N2=12,CD=6,則￡廣

【分析】連接CF并延長交48于G,證明△FDCg/\EBG,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到3G=DC=6,

CF=FG,求出/G,根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算，得到答案.

【解答】解：連接CF并延長交于G,

?：AB//CD,

：./FDC=ZFBG,

在△FOC和△F8G中，

“FDC=乙FBG

\FD=FB,

IzDFC=乙BFG

:ZDC沿4FBG(ASA)

:,BG=DC=6,CF=FG,

：.AG=AB-BG=n-6=6f

?：CE=EA,CF=FG,

1

：.EF=^AG^3,

16.如圖，四邊形45c。中，AB//CD,AB=5,DC=U,4。與5C的和是12,點(diǎn)、E、F、G分別是5。、

C.10D.12

【分析】連接4E,并延長交CD于K,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NA4E=NDKE,/ABD=NEDK,根據(jù)

三角形中位線的性質(zhì)得到根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OK=Z5,AE=EK,跖為的中

11111

位線，求得EF=;CK=5(DC-DK)=~QDC-AB),根據(jù)三角形的中位線得到EG=齊。，F(xiàn)G=~

乙乙乙乙乙

AD,根據(jù)三角形的周長得到即可得到結(jié)論.

【解答】解：連接并延長交CD于K,

,JAB//CD,

：.NBAE=ZDKE,NABD=ZEDK,

;點(diǎn)￡、F、G分別是3。、AC,。。的中點(diǎn).

：.BE=DE,

(^BAE=乙DKE

在△4E3和△KED中，14ABE=乙KDE,

(BE=DE

：./\AEB^/\KED(AAS),

：.DK=AB,AE=EK,所為的中位線,

111

/.EF=~CK=~{DC-DK)=~<iDC-AB),

;EG為△BCD的中位線，

1

：.EG=-BC,

又FG為AACD的中位線，

1

：.FG^~AD,

1

：.EG+GF=~(AD+BC),

"：AD+BC=\2,AB=5,DC=11,即。C-48=6,

：.EG+GF=6,FE=3,

：.4EFG的周長是6+3=9.

故選：B.

17.在△48C中，/2=10,BD平分/ABC,4D_LBD于點(diǎn)D,E是NC的中點(diǎn)，DE=1,則5c的長度是8

或12.

【分析】延長40交BC延長線于尸，由角平分線定義得到/48。=/7阻0,由垂直的定義得到

FDB=90°,由三角形內(nèi)角和定理得到/8/D=N3ED,推出8尸=3/=10,由等腰三角形的性質(zhì)推出。

是中點(diǎn)，而￡是/C的中點(diǎn)，因此?！晔恰?C尸的中位線，得到C/=2O￡=2,即可求出3C=3F-

CF=10-2=8或BC=BF+CF=\2.

【解答】解：如圖，延長/。交8C延長線于尸，

?:BD平分乙4BC,

：.ZABD=ZFBD,

?；4D_LAD于點(diǎn)。，

：./ADB=NFDB=90°,

ZBAD=ZBFD,

:.BF=BA=10,

"：BD±AF,

是/尸中點(diǎn)，

是/C的中點(diǎn)，

是△4CF的中位線,

.'.CF=2DE=2Xl=2,

：.BC=BF-CF=10-2=8.

如圖,

A

同樣求得CF=2,DF=AB=10f

：.BC=BF+FC=U,

故答案為：8或12.

18.如圖，40是的中線，￡是/。的中點(diǎn)，尸是5E延長線與4C的交點(diǎn)，若4。=6,貝U4/=()

49

A.3B.2C.-D.-

34

1

【分析】即的中點(diǎn)“，連接根據(jù)三角形中位線定理得到?！?萬"，DH//AC,證明名△￡＞四

CASA),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，計(jì)算即可.

【解答】解：取5尸的中點(diǎn)X,連接

?：BD=DC,BH=HF,

1

：.DH=-FCfDH//AC,

：./HDE=/FAE,

在△4環(huán)和中，

(^AEF=乙DEH

\AE=DE,

V/LEAF=乙EDH

:?△AEFQADEH(ASA),

；?AF=DH,

1

：.AF=-FCf

9：AC=6,

1

：.AF^~AC^2,

故選：B.

19.連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.

(1)請(qǐng)用文字語言敘述三角形的中位線定理：

三角形的中位線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半；

(2)證明：三角形中位線定理.

己知：如圖，是△48C的中位線.

1

求證：DE=《BC,DE//BC.

證明：

【分析】作出圖形，然后寫出已知、求證，延長。E到凡使DE=EF,利用“邊角邊”證明△NDE和

△CE尸全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得ZO=CF,全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得/尸=//DE,再求

出8D=C凡根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行判斷出N8〃C凡然后判斷出四邊形8CFD是平行四邊形，

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得D9〃8C,DF=BC.

【解答】解：(1)定理：三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一

(2)已知：△4BC中，點(diǎn)E分別是/8、/C的中點(diǎn),

1

求證：DE=-BC,DE//BC,

證明：如圖，延長DE到尸，使DE=EF,連接CF,

,點(diǎn)E是NC的中點(diǎn)，

：.AE=CE,

在△/￡)￡1和ACE7中,

(AE=CE

\z.AED=Z.CEF,

WE=EF

:.LADE咨4CEF(SAS),

：.AD=CF,ZADE=ZF,

J.AB//CF,

:點(diǎn)。是的中點(diǎn),

：.AD=BD,

：.BD=CF,

：.BD//CF,

，四邊形BCFD是平行四邊形，

：.DF//BC,DF=BC,

1

:.DE〃BC且DE=《BC.

1

故答案為：平行；等于第三邊的一半；DE=~BC,DE//BC.

20.我們把連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.三角形的中位線有如下性質(zhì)：三角形的中位

線平行于三角形的第三邊并且等于第三邊的一半.下面請(qǐng)對(duì)這個(gè)性質(zhì)進(jìn)行證明.

（圖1）（圖2）

1

（1）如圖1,點(diǎn)。，E分別是△48C的邊48,/C的中點(diǎn)，求證：DE//BC,且DE=/C；

（2）如圖2,四邊形4BCD中，點(diǎn)M是邊48的中點(diǎn)，點(diǎn)N是邊CD的中點(diǎn)，若AD〃BC,40=4,MN

=5,直接寫出3c的長.

【分析】（1）如圖所示，延長到尸，使得DE=FE,證明絲△（?￡/,得到//=/■?￡,AD=

CF,則/D〃CF,再由點(diǎn)。是的中點(diǎn)，得到即可證明四邊形8CFD是平行四邊形,

1

貝l]DE〃8C,DF=BC,再由。即可證明DE=]BC；

（2）如圖所示，連接NN并延長交延長線于￡,證明四△ECN,得到ND=CE=4,AN=NE,

即點(diǎn)N是NE的中點(diǎn)，由（1）的結(jié)論可知BE=2JW=10,則5c=3￡-CE=6.

【解答】（1）證明：如圖所示，延長到R使得DE=FE,連接CK

A

：.AE=CE,

在和△CE尸中，

(AE=CE

\z-AED=Z.CEF,

WE=FE

：./\AED^/\CEF(SAS)f

：?/A=/FCE,AD=CF,

：.AD//CF,

???點(diǎn)。是45的中點(diǎn)，

:?AD=BD=CF,

???四邊形BCFD是平行四邊形，

J.DE//BC,DF=BC,

又?：DE=FE,

11

：.DE=-DF=-BC,

1

：.DE//BC,S.DE=-BC；

(2)解：如圖所示，連接ZN并延長交BC延長線于E,

AT)

,:AD〃BC,

：.ZNAD=ZNEC,ZNDA=ZNCE,

??,點(diǎn)N是CD的中點(diǎn)，

:?DN=CN,

在△4DN和△ECN中，

ZNAD=乙NEC

乙NDA=乙NCE,

DN=CN

:.△ADN4MECN（44S）,

；.AD=CE=4,AN=NE,即點(diǎn)N是ZE的中點(diǎn)，

又：點(diǎn)M是NB的中點(diǎn)，

...由（1）的結(jié)論可知8￡=2九W=10,

：.BC=BE-CE=IO-4=6.

方法四：已知中點(diǎn)，取其其他邊的中點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線

21.如圖，△48C中，ZACB=90°，點(diǎn)、D,E分別在8C,/C邊上，且4B=4,BD=6,分別連接ND,

BE,點(diǎn)、M,N分別是ND,的中點(diǎn)，連接〃N,則線段兒W的長（）

A.V5B.3C.3V2D.V13

【分析】取”的中點(diǎn)/，連接NF、MF,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到/C/3+NC8/=90°,根據(jù)三角

形中位線定理分別求出MGNF,似及NMFN=90°,根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案.

【解答】解：取48的中點(diǎn)R連接NF、MF,

△/8C中，VZACB=90°,

：.ZCAB+ZCBA^90°,

\"AM=MD,AF=FB,

:.MF是A4BD的中位線，

1

：.MF=~BD=3,MF//BC,

：.NAFM=/CBA,

1

同理，NF=^iE=2,NF//CC,

：./BFN=/CAB,

：.ZAFM+ZBFN=ZCAB+ZCBA=90°,

:.NMFN=90°,

MN=VMF2+NF2-V13-

故選：D.

22.如圖，已知四邊形/BCD中，AC±BD,/C=6,BD=6五，點(diǎn)￡,尸分別是邊ND,2C的中點(diǎn)，連接

EF,則￡尸的長是（）

D

C

AB

A.3B.3V2C.3V3D.3+產(chǎn)

【分析】取N2的中點(diǎn)G,連接EG、PG,根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出

EG、FG,并求出EG1FG,然后利用勾股定理列式計(jì)算即可得解.

【解答】解：如圖，取A8的中點(diǎn)G,連接EG、FG,

,:E、/分別是邊力。、C8的中點(diǎn)，

11LL

J.EG//BD且EG=-BD=5X66=3vL

11

尸G〃/C且/G=]/C=5X6=3,

"：AC±BD,

：.EG±FG,

:.EF=VfG2+FG2=J(3V2)2+32=3而.

故選：C.

23.如圖，在三角形NBC中，48=11,NC=15,點(diǎn)M是2C的中點(diǎn)，是NA4c的角平分線，MF//

AD,則尸C=()

1

【分析】過點(diǎn)加■作MN〃/8,交AC于點(diǎn)、N,先證明是△/BC的中位線，則亞加=齊3=5.5,NC=

1

-AC=7.5,再證FN=MN=5.5,進(jìn)而可得出尸C的長.

【解答】解：過點(diǎn)M作MN〃NB,交NC于點(diǎn)N,如圖所示:

A

9：AD是NBAC的角平分線，

???設(shè)N54O=NG4D=a,則N54C=2a

■:MF〃AD,

/.Zl=ZC4￡）=a,

丁點(diǎn)河是BC的中點(diǎn)，MN//AB,

???MV是△ZBC的中位線，/2=/BAC=2a,

11

：.MN=~AB=5.5,NC=~AC=7.5f

Z2是叢MNF的一個(gè)外角,

???N2=N1+N3,

；?2a=a+N3,

/.N3=a,

/.Nl=N3=a,

?:FN=MN=55,

:?FC=FN+NC=55+75=\3.

故選：B.

24.如圖，在△ABC中，4C=3,5C=4,45=5,E,b分別為邊4C,5c上的點(diǎn)，M,N分別為EF,AB

的中點(diǎn).若AE=BF=2,則的長為（）

【分析】連接4尸，取4尸的中點(diǎn)G,連接MG、NG,根據(jù)勾股定理的逆定理得到NC=90°,根據(jù)三角

11

形中位線定理得到MG=pE=l,MG〃AE,NG=-BF=lfNG//BF,證明NMGN=90°,再根據(jù)勾

股定理計(jì)算即可.

【解答】解：如圖，連接4R取4F的中點(diǎn)G,連接MG、NG,

在△45。中，4C=3,BC=4,AB=5,

V^C2+5C2=9+16=25,AB2=52=25,

:.AC2+BC2=AB2,

：.ZC=90°,

：.ZCAB+ZB=90°,

?:M、G分別為跖、4廠的中點(diǎn)，

：.MG是△4￡產(chǎn)的中位線，

1

；?MG=]4E=LMG//AE,

：./MGF=NCAF,

1

同理可得：NG=~BF=l,NG//BF,

：.Z.ANG=NB,

：.ZMGN=ZMGF+ZNGF=ZCAF+NFAB+NB=90°,

:?MN=y/MG2+NG2=Vl2+12=瓜

故選：D.

25.如圖，BD、CE是△ZBC的中線，尸、0分別是5。、CE的中點(diǎn)，則尸0：5C等于（）

【分析】連接。E,連接并延長石尸交8。于點(diǎn)尸，利用。E是△45。中位線，求出/。=尹。，再用P0

1

是△￡人?中位線，PQ=~CF,即可求得答案.

【解答】解：連接連接并延長EP交于點(diǎn)產(chǎn)，

???。6是△45。中位線，

：.DE//BC,

1

：.DE=-BC,AE=BE,AD=CD,

：./EDB=/DBF,

??,尸、Q是BD、C￡的中點(diǎn)，

:?DP=BP,

在△￡>￡尸與ABFP中，

ZEDB=乙DBF

DP=BP

Z-EPD=乙BPF

:ADEPQABFP(ASA)f

：.BF=DE=~BC,。是環(huán)中點(diǎn),

1

：.FC=-BC,

尸。是△EFC中位線，

1

PQ=-FCf

：.PQxBC=k4.

故選：A.

26.如圖，在四邊形45c。中，ZBAD+ZADC=270°,點(diǎn)￡、/分別是上的中點(diǎn)，EF=3