2024-2025學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)下冊 第十七章 勾股定理 全章題型總結(jié)【4個(gè)知識點(diǎn)14個(gè)題型】原卷版

第十七章勾股定理全章題型總結(jié)［4個(gè)知識點(diǎn)14個(gè)題型】

【人教版】

【題型1勾股定理解三角形】

【題型2勾股定理的驗(yàn)證】

【題型3判斷一個(gè)三角形是直角三角形的條件】

【題型4勾股定理的逆定理的應(yīng)用】

【題型5勾股數(shù)】

勾

【知識點(diǎn)1勾股定理】

股【即型6勾股定理與方程思想】

【知識點(diǎn)2勾股定理的驗(yàn)證】

【題型勾股定理與分類討論思想】

定7

【知識點(diǎn)3勾股定理的逆定理】

【題型8勾股定理與全等】

理

【知識點(diǎn)4勾股數(shù)】

【題型9勾股樹衍生圖與規(guī)律問題】

培優(yōu)題型【朝型10勾股樹衍生圖與面積問題】

【題型11勾股定理與新定義三角形】

【題型12勾股定理與立體圖形最短路徑問題】

【題型13勾股定理與幾何最值問題】

【題型14勾股定理的實(shí)際應(yīng)用】

【知識點(diǎn)1勾股定理】

1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.對任意的直角三角形,如果它的兩條直角邊長

分別為。，b,斜邊長為C,那么一定有立心，這種關(guān)系我們稱為勾股定理.

2.數(shù)學(xué)語言：如右圖所示，。是直角三角形，其中較短的直角邊。叫作勾，較長的直角邊b叫做股，斜

邊c叫做弦.

【題型1勾股定理解三角形】

【例1】如圖，在Rt^4BC中，ZACB=9Q°,NC=8,BC=6,CD為N5邊上的高，則CD的長為（）

B

D.

----------------------C

1224

A.2B.5C.—D.—

【變式1】如圖，在△48C中、AB=7cm,BC=5cm,AC=4&cm,則△/2C的面積為()

A.28cm2B.14cm2C.lOy/^cm2D.14V2cm2

【變式2】如圖，在RtZX/02和RtZXC。。中，AB=CD=25,02=7,4c=4.

(1)求0c的長；

(2)求AD的長.

【變式3】如圖，Rt4/BC中，ZC=90°,/C=VIU+VL5C=V10-V2>求:

(1)RtZk45C的面積；

(2)斜邊48的長；

(3)求邊上的高CD的長.

A

【知識點(diǎn)2勾股定理的驗(yàn)證】

勾股定理的驗(yàn)證主要通過拼圖法完成,這種方法是以數(shù)形轉(zhuǎn)換為指導(dǎo)思想、圖形拼補(bǔ)為手段，各部分面積

之間的關(guān)系為依據(jù)來實(shí)現(xiàn)的.利用面積相等證明勾股定理是最常見的一種方法，常見的幾種證明方法如下

（1）弦圖證明

外弦圖

S正方形43C。=(〃_6)2=02+4X,S正方形EFGH-c+4x-ab

2

???a2+b2=c2???a2+b2=c2

222

如圖所示將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形：SicL6+取"㈤=2xL"C2,.-.a+b=c

^I/ZXJDvxx222

【題型2勾股定理的驗(yàn)證】

【例1】勾股定理是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端，下面四幅圖中能證

明勾股定理的是（）

①②③④

A.②③B.①②③C.①②③④D.②③④

【例2】如圖是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案.已知大正方形面積為49,

小正方形面積為4,若用x,y表示直角三角形的兩直角邊（x>y）,下列四個(gè)說法：①/+/=49；②x

-y=2；③x+y=9；④孫+4=49；其中說法正確的是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

【變式2】我國漢代的數(shù)學(xué)家趙爽用數(shù)形結(jié)合的方法，給出了勾股定理的證明.如圖，從圖1變換到圖2,

2

B.4x-ab+(b-a)2=c

111

C.~(a+曠=2x~ab+~c2

111

D.-(a+b)2=2x(-afo+-c2)

【變式2】下面圖形中可以用來驗(yàn)證勾股定理的有()

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【變式3】“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽

弦圖”是由四個(gè)全等直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a,

較短直角邊長為6,若(a+b)2=22,大正方形的面積為17,則小正方形的邊長為()

A.V3B.2C.V6D.2V3

【知識點(diǎn)3勾股定理的逆定理】

1.勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長a、b、c滿足“斗…,那么這個(gè)三角形是直角三角形，且邊長c所對的角為直角.

2.利用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形

(1)先比較三角形三邊長的大小，找到最長邊：

(2)計(jì)算兩條較短邊的平方和與最長邊的平方；

(3)比較二者是否相等；

(4)若相等，則這個(gè)三角形是直角三角形，且最長邊所對的角是直角；若不相等，則這個(gè)三角形不是直角

三角形.

【題型3判斷一個(gè)三角形是直角三角形的條件】

【例1】在下列條件：①②/A-/B=90。；(3)AB；AC：3c=1：3：V10；④

(/C+2C)(AC-BC)=/嚴(yán)中，能確定△/3C是直角三角形的條件有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【例2】在如圖所示的網(wǎng)格紙中，有/、8兩個(gè)格點(diǎn)，試取格點(diǎn)C,使得△/BC是直角三角形，則這樣的格

點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是()

A.4B.6C.8D.10

【變式1】若a,b,c為△NBC的三邊，下列條件中：①②。2=(6+c)(6-c)；③

NN：/B：/C=3：4：5；④a：b：c=l：V2：百，則能判定△NBC是直角三角形的個(gè)數(shù)有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式2】下列由三條線段a、b、c構(gòu)成的三角形：①a=2mn,b—nr-n2,C—m-+n2(m>/7>0),②。

=2〃+l,b—2n2+2n+l,c—lrr+ln(n>0)，③a=3左，6=4左，c=5左(左>0)，(4)Va：Vfo：也=1：

V3：2,其中能構(gòu)成直角三角形的有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式3】如圖，在5X5的正方形網(wǎng)格中，已知線段a,6和點(diǎn)尸，且線段的端點(diǎn)和點(diǎn)尸都在格點(diǎn)上，在網(wǎng)

格中找一格點(diǎn)。，使線段a,b,尸。恰好能構(gòu)成直角三角形，則滿足條件的格點(diǎn)。有()

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【題型4勾股定理的逆定理的應(yīng)用】

【例1】如圖，ZADC^90°,AD^4m,CD=3m,AB=13m,BC=12m.

(1)試判斷以點(diǎn)/,B,C為頂點(diǎn)的三角形的形狀，并說明理由；

【變式1】如圖，在四邊形/BCD中，ZA=60°,AB=AD=2,BC=2運(yùn),CD=4.求NADC的度數(shù).

【變式2】如圖，在△48C中，。是8c的中點(diǎn)，DELBC交AB于點(diǎn)、E,且BE?-AE2=AC2.

(1)求證：ZA=90°；

(2)若NC=3,BD=2.5,求/￡的長.

【變式3】如圖，在△48C中，40、/E分別是高和角平分線.

（1）若/及1C=86°,ZC=32°,求ND4E的度數(shù)；

（2）若48=15,/C=20,40=12,求證：NR4c是直角.

【知識點(diǎn)4勾股數(shù)】

1.定義：像15,8,17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

2.滿足條件：①三個(gè)數(shù)都是正整數(shù);②兩個(gè)較小整數(shù)的平方和等于最大整數(shù)的平方.

3.勾股數(shù)的整數(shù)倍仍為勾股數(shù)，如3,4,5的2倍6,8,10仍為勾股數(shù).

4.常見形式：①2",〃2+1（〃為大于1的整數(shù)）；②4小4序-1,4層+1（〃為正整數(shù)）等.

【題型5勾股數(shù)】

【例1】下列各組數(shù)據(jù)是勾股數(shù)的有（）

①5,12,13；

②0.3,0.4,0.5；

③4,7,5；

④1,2,V3.

A.1組B.2組C.3組D.4組

【例2】在學(xué)習(xí)“勾股數(shù)”的知識時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)了一組有規(guī)律的勾股數(shù)，并將它們記錄在如表格中.則當(dāng)。

=24時(shí)，b+c的值為（）

a68101214???

b815243548???

c1017263750???

A.162B.200C.242D.288

【變式1】有下列說法：

①???0.6,0.8,1不是勾股數(shù)，...三邊長分別為0.6,0.8,1的三角形不是直角三角形;

②：三邊長分別為1,2,行的三角形是直角三角形，...I,2,而是勾股數(shù);

③若整數(shù)。，整數(shù)6,整數(shù)c分別是直角三角形的三邊長，則0.1a,0.16,0.1c必定不是勾股數(shù).

其中錯(cuò)誤的有()

A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)

【變式2】當(dāng)直角三角形的三邊長都是正整數(shù)時(shí)，我們稱這三個(gè)正整數(shù)為勾股數(shù).

(1)若a,6為一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長，c為斜邊長，a,b,c為勾股數(shù)，且。=〃+7,c=〃+8,

〃為正整數(shù)，求6的值(用含"的式子表示)，并直接寫出符合題意的最小的6值.

(2)當(dāng)〃是大于1的整數(shù)時(shí)，判斷2","2-1,“2+1是否是勾股數(shù)，并說明理由.

【變式3】以3,4,5為邊長的三角形是直角三角形，稱3,4,5為勾股數(shù)組，記為(3,4,5),類似地,

還可得到下列勾股數(shù)組：(8,6,10),(15,8,17),(24,10,26)等.

(1)根據(jù)上述四組勾股數(shù)的規(guī)律，寫出第六組勾股數(shù)；

(2)用含〃且〃為整數(shù))的數(shù)學(xué)等式描述上述勾股數(shù)組的規(guī)律，并證明.

【題型6勾股定理與方程思想】

【例。如圖，在RtZUBC中，ZC=90°.在邊8c上有一點(diǎn)P,連接/P,且若/C=2,CB=

【變式1】如圖，等腰三角形N8C中CDLAB,且CD=4c加，BD=3cm.

(1)求4D的長；

(2)求△NBC的面積.

【變式2】如圖，在中，ZC=90°,AC=8,BC=6,。為NC上一點(diǎn)，若8。是N48C的角平

分線，求線段的長.

C

D

【變式3】如圖，在等腰△/8C中，AB=AC=IO,BC=12,N。為△48C的中線，F(xiàn)E垂直平分/C交N。

于點(diǎn)G,則AG=

【題型7勾股定理與分類討論思想】

【例1】已知△/8C中，ZA=45°,AB=4近,BC=5,則NC=.

【變式1】在中，NACB=9Q°,AC=8,8c=6,點(diǎn)。為射線8c上一點(diǎn)，當(dāng)△HBD是以BD為

腰的等腰三角形時(shí)，CD的長為.

【變式2】在△4BC中，48=15,/C=13,3c上的高40長為12,則△/2C的面積為.

【變式3】在等邊A/BC中，點(diǎn)。在8C的延長線上，BC=6,CD=2,點(diǎn)￡在直線NC上，連接/￡>,

BE.當(dāng)2E=4D時(shí)，/￡的長為.

【題型8勾股定理與全等】

【例1】如圖，在△48C中，ZABC=90°,ZA=30°,CD平分/4CB,BELCD交HC于點(diǎn)、E,若BE=

3,則CD的長為（）

A.V3B.3C.2V3D.3V3

【例2】在Rt448C中，N/=90°,N/2C的角平分線交/C于點(diǎn)E,點(diǎn)。為2c中點(diǎn)，連接。￡,ZBED

=45°,DE=2五,則/￡=.

B

A

【變式1】如圖，四邊形4BCD中，點(diǎn)E是對角線NC上一點(diǎn)，連接DE、BE,若/BAD=NCED=60°,

AB=BD,DE：EC=2：3,AC=6,BE1.AC,則△2EC的面積=

【變式2】如圖，在四邊形48。中,AD=CD,ZADC=120°,ZCBA=60°,BC=4,AB=10,則對

角線AD的長是

【變式3】如圖,在四邊形4BCZ）中,ZABC^90°,CELBC,交線段AD于點(diǎn)E,/尸_LAD于點(diǎn)凡若

3

BC=~AD,CEDE,AB=BE,BF=?則線段。尸的長為.

【題型9勾股樹衍生圖與規(guī)律問題】

【例1】如圖①叫做一個(gè)基本的“勾股樹”，也叫做第一代勾股樹.讓圖①中兩個(gè)小正方形各自長出一個(gè)

新的勾股樹（如圖②），叫做第二代勾股樹.從第二代勾股樹出發(fā)，又可以長出第三代勾股樹（如圖

③）.這樣一生二、二生四、四生八，繼續(xù)生長下去，則第五代勾股樹圖形中正方形的個(gè)數(shù)為（）

【變式1】有一個(gè)邊長為1的正方形，經(jīng)過一次“生長”后在它的上側(cè)生長出兩個(gè)小正方形（如圖1）,且

三個(gè)正方形所圍成的三角形是直角三角形；再經(jīng)過一次“生長”后變成了圖2,如此繼續(xù)“生長”下去,

則“生長”第4次后所有正方形的面積和為（）

圖1圖2

A.kB.左+1C.廬D.（K1）2

【變式2】如圖，。尸=1,過點(diǎn)尸作尸且尸B=l,得。尸1=叁；再過點(diǎn)片作尸且尸1尸2=

1,得。22=百；又過點(diǎn)尸2作P2尸3，?！?且尸2P3=1，得。尸3=2……依此法繼續(xù)作下去，得?！?24=

（）

A.72022B.72023C.V2024D.42025

【變式3】如圖所示，是由北京國際數(shù)學(xué)家大會的會徽演化而成的圖案，其主體部分是由一連串的等腰直角

三角形依次連接而成，其中/吊41/2=/吊42/3=，"=/皿/"+1=90°，（〃為正整數(shù)），若M點(diǎn)的坐

標(biāo)是（-1,2）,A\的坐標(biāo)是（0,2）,則，8的坐標(biāo)為（）

【題型10勾股樹衍生圖與面積問題】

【例1】勾股定理是我國古代的偉大數(shù)學(xué)發(fā)明之一.如圖，以Rt448C(N/C2=90°)的各邊向外作正方

形，得到三塊正方形紙片，再把較小的兩張正方形紙片放入最大的正方形中，重疊部分的面積記作目,

左下不重疊部分的面積記作$2,若邑=3,則出的值是()

【變式1】如圖是勾股樹衍生圖案，它由若干個(gè)正方形和直角三角形構(gòu)成，S2,$3,$4分別表示其對應(yīng)

正方形的面積，若已知上方左右兩端的兩個(gè)正方形的面積分別是64,9,則Si-S2+S3-S4的值為.

【變式2】勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)明之一.如圖1,以直角三角形/2C的各邊為邊分別向外作正方

形，再把較小的兩張正方形紙片按圖2的方式放置在最大的正方形內(nèi)，三個(gè)陰影部分面積分別記為Si，

S2,S3,若已知Si=2,$2=4,$3=6,則兩個(gè)較小正方形紙片的重疊部分(四邊形DEFG)的面積為

圖1圖2

【變式3】如圖1,以直角三角形的各邊分別向外作正方形，再把較小的兩個(gè)正方形按圖2的方式放置在大

【題型U勾股定理與新定義三角形】

【例1】如果三角形有一邊上的中線恰好等于這邊的長，那么我們稱這個(gè)三角形為“美麗三角形”，

(1)如圖△NBC中，AB=AC=GBC=2,求證：△48C是“美麗三角形”；

(2)在RtZUBC中，NC=90°,AC=2心,若△4BC是“美麗三角形”，求2c的長.

【變式1】定義：如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)內(nèi)角a,0滿足a+20=9O°,那我們稱這個(gè)三角形為“近直角三

角形”.

(1)若△NBC是近直角三角形，ZB>90°,NC=50°,則//=.

(2)在中，NA4c=90°,AB=3,NC=4,若CD是N/C3的平分線.

①求證：△8DC為近直角三角形.

②求的長.

【變式2】定義：我們把三角形某邊上的中點(diǎn)到這條邊上的高的距離稱為三角形某邊的“中偏度值”.

(1)如圖，在RtZXNBC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,求△/8C中邊的“中偏度值”；

(2)在△/BC中，AC=13,AB=15,8c邊上的高NC=12,求△48C中8c邊的“中偏度值”.

【變式3】我們新定義一種三角形：兩邊的平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫黑神話悟空三角形.

(1)①根據(jù)“黑神話悟空三角形”的定義，請判斷：等邊三角形一定(選填“是”或“不是”)

黑神話悟空三角形；

②若三角形的三邊長分別是4,4西，4代，則該三角形(選填“是”或“不是”)黑神話悟空三

角形；

(2)若是黑神話悟空三角形，ZC=90°,AC=3五，求的長.

【題型12勾股定理與立體圖形最短路徑問題】

【例1】如圖，教室墻面4DE廠與地面垂直，點(diǎn)P在墻面上，若尸/=國米，/8=2米，點(diǎn)P至U/尸

的距離是4米，一只螞蟻要從點(diǎn)尸爬到點(diǎn)8,它的最短行程是()米.

A.3B.4C.5D.6

【例2】如圖，長方體的長為20c/w,寬為15C"Z,高為10c%,點(diǎn)8離點(diǎn)C為6c一只螞蟻如果要沿著長

方體的表面從點(diǎn)/爬到點(diǎn)3去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距離是()

A.5V29cmB.25cmC.2V194cmD.4V41cm

5

【變式1】如圖，圓柱底面半徑為一cm,高為24c機(jī)，點(diǎn)4,5分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且4,5在同

71

一條豎直直線上，用一根棉線從4點(diǎn)順著圓柱側(cè)面繞3圈到5點(diǎn)，則這根棉線的長度最短為（

B

A

A.2V41cmB.26cmC.30cmD.6V41cm

【變式2】如圖是一個(gè)二級臺階，每一級臺階的長、寬、高分別為60c加、30c加、10c加.力和5是臺階兩個(gè)

相對的端點(diǎn)，在8點(diǎn)有一只螞蟻，想到4點(diǎn)去覓食，那么它爬行的最短路程是（)

C.100cmD.140cm

【變式3】有一個(gè)如圖所示的長方體透明玻璃魚缸，假設(shè)其長/。=80°加，高4B=50cm,水深/￡=40c加,

在水面上緊貼內(nèi)壁的G處有一塊面包屑,G在水面線跖上，且尸G=30c加，一只螞蟻想從魚缸外的4

點(diǎn)沿魚缸壁爬進(jìn)魚缸內(nèi)的G處吃面包屑.螞蟻爬行的最短路線為（）cm.

C.50五+10D.10V61

【題型13勾股定理與幾何最值問題】

【例1】如圖，在△45C中，AB=3,/BAC=30°,AC=2,點(diǎn)。是△45C內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)。到三

個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最小值是

【例2】在△N8C中，N8=10,BC=6,NC=8,點(diǎn)。在線段8C上從點(diǎn)C向點(diǎn)8移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)￡在線

段上由點(diǎn)4向點(diǎn)8移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)8重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，已知它們的運(yùn)動(dòng)速度相同，連接ND,

CE,則AD+CE的最小值為.

【變式1】如圖，在中，ZBAC=90°,48=3,NC=5,點(diǎn)。是NC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是8C邊

上的動(dòng)點(diǎn)，且保持CD=2E,則(AE+BD)2的最小值為.

【變式2】在△N8C中，ZABC=60°,8c=8,NC=10,點(diǎn)。、E在4B、NC邊上，且/O=CE,貝!JCD+BE

的最小值

【變式3】在△48C中，ZBAC^90°,AB=5,AC=~,D,E分別為射線8c與射線ZC上的兩動(dòng)點(diǎn),

^.BD=AE,連接皿BE,貝ij川9+8￡最小值為.

A

【題型14勾股定理的實(shí)際應(yīng)用】

【例1】中國高鐵已經(jīng)進(jìn)入飛速發(fā)展的階段，草原明珠一一美麗的赤峰坡也如愿開通高鐵，如圖，高鐵線路

"N和臨潢大街PQ在點(diǎn)尸處交匯，且NQPN=30°,在4處有一所中學(xué).4P=120米.此時(shí)有一輛高

速列車在上沿尸N方向以每秒6米的速度行駛，假設(shè)高速列車行駛時(shí)周圍70米以內(nèi)有噪音影

響.(參考數(shù)值：713=3.61,V130-11.40)

(1)學(xué)校是否會受到影響？請說明理由.