2024-2025學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)下冊 第十七章 勾股定理 全章題型總結(jié)【4個知識點14個題型】解析版

第十七章勾股定理全章題型總結(jié)［4個知識點14個題型】

【人教版】

【題型1勾股定理解三角形】

【題型2勾股定理的驗證】

【題型3判斷一個三角形是直角三角形的條件】

【題型4勾股定理的逆定理的應(yīng)用】

【題型5勾股數(shù)】

勾

【知識點1勾股定理】

股【即型6勾股定理與方程思想】

【知識點2勾股定理的驗證】

【題型勾股定理與分類討論思想】

定7

【知識點3勾股定理的逆定理】

【題型8勾股定理與全等】

理

【知識點4勾股數(shù)】

【題型9勾股樹衍生圖與規(guī)律問題】

培優(yōu)題型【朝型10勾股樹衍生圖與面積問題】

【題型11勾股定理與新定義三角形】

【題型12勾股定理與立體圖形最短路徑問題】

【題型13勾股定理與幾何最值問題】

【題型14勾股定理的實際應(yīng)用】

【知識點1勾股定理】

1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.對任意的直角三角形,如果它的兩條直角邊長

分別為。，b,斜邊長為C,那么一定有立心，這種關(guān)系我們稱為勾股定理.

2.數(shù)學(xué)語言：如右圖所示，。是直角三角形，其中較短的直角邊。叫作勾，較長的直角邊b叫做股，斜

邊c叫做弦.

【題型1勾股定理解三角形】

【例1】如圖，在Rt^4BC中，ZACB=9Q°,NC=8,BC=6,CD為N5邊上的高，則CD的長為（）

B

----------------，C

1224

A.2B.5C.—D.—

【分析】根據(jù)勾股定理求出AB的長，再根據(jù)等面積法求出CD的長即可.

【解答】解：在中，NACB=90°,ZC=8,BC=6,

?'?AB=JAC2+BC2=7s2+62=10,

又CD為AB邊上的IWJ，

11

:&ABC=2AB.CD=卻演,

AC-BC6x824

?.Q=1'=玉"千

故選：D.

【變式1】如圖，在△48C中、AB=7cm,BC=5cm,AC=4V2cm,則△NBC的面積為（）

A.28cm2B.14cm2C.lOV^cm2D.14V2cm2

【分析】過點C作CCa/2于點。，根據(jù)。。2=/02-/￡）2=802-2。2得出/。=4,進而求得c。，最

后根據(jù)三角形的面積公式，即可求解.

【解答】解：如圖所示，過點C作CDL/8于點。，

"：CD2=AC2-AD2=BC2-BD2,

2

222

/.(4V2)-AD=5-(<7-AD),

解得：4D=4,

CD=y]AC2-AD2=J(4V2)2-42=4,

11

AABC的面積為萬48xCD=5x7義4=14.

故選：B.

【變式2】如圖，在RtZ\/03和RtZXC。。中，AB=CD=25,08=7,4c=4.

(1)求。C的長；

(2)求AD的長.

【分析】（1）在Rt^ZOB中，利用勾股定理求出04-=24,可得答案；

（2）在Rtz^COD中，利用勾股定理求出00=15,可得答案.

【解答】解：（1）在RtZ\/03中，

由勾股定理得，OA=>IAB2-OB2=1252-72=24,

：/C=4.

：.OC=OA-AC=24-4=20；

（2）在RtZxCO。中，

由勾股定理得，OD=VCZ）2-OC2=V252-202=15,

：.BD=OD-05=15-7=8.

【變式3】如圖，Rt4/BC中，ZC=90°,/C=VIU+VLBC=反一五,求:

（1）RtZ\4BC的面積；

（2）斜邊48的長；

【分析】（1）根據(jù)三角形大面積公式即可得到結(jié)論;

(2)根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；

(3)根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【解答】解：,?,ZC=90°,AC=屈+即SC=V10-V2.

11_,_

...RtZ\/8C的面積(V10+V2)(V10-V2)=4；

(2)VZC=90°,^C=V10+V2.5C=V10-V2>

'-AB=AC2+BC2=J(V10+V2)2+(V10-V2)2=2V6;

11

(3)?:S“BC=萬心BC=]AB?CD,

AC-BC(VT0+V2)(V10-V2)2V6

?.Q=^-=壽=虧’

故N8邊上的高CD的長為手.

【知識點2勾股定理的驗證】

勾股定理的驗證主要通過拼圖法完成，這種方法是以數(shù)形轉(zhuǎn)換為指導(dǎo)思想、圖形拼補為手段，各部分面積

之間的關(guān)系為依據(jù)來實現(xiàn)的.利用面積相等證明勾股定理是最常見的一種方法，常見的幾種證明方法如下

(1)弦圖證明

外弦圖

S正方般ZBC0=(。一%)=c2+4x-abS正為矽EFGH=C2=(q-b)2+4x—ab

2

???a2+b2=c2a2+b2=c2

(2)

如圖所示將兩個直角三角形拼成直角梯形：S9BCD=(a+bXa~b)=2x^b+-c2

Aa???a2+b2=c2

【題型2勾股定理的驗證】

【例1】勾股定理是歷史上第一個把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端，下面四幅圖中能證

明勾股定理的是()

①②③④

A.②③B.①②③C.①②③④D.②③④

【分析】分別利用每個圖形面積的兩種不同的計算方法，再建立等式,再整理即可判斷.

【解答】解：在①選項中，大正方形的面積等于兩個小正方形的面積與兩個長方形的面積和,

(〃+b)2=a2+2ab+b2,

以上公式為完全平方公式，故①不能說明勾股定理；

在②選項中，由圖可知三個三角形的面積的和等于梯形的面積，

1111

/--ab+-ab+5c=—(a+b)(a+b),

整理可得02+y=c2,故②可以證明勾股定理；

在③選項中，大正方形的面積等于四個三角形的面積加小正方形的面積，

1,

.".4x—ab4-c2=(a+Z?)29,

整理得M+62=C2,故③可以證明勾股定理；

在④選項中，整個圖形的面積等于兩個三角形的面積加大正方形的面積，也等于兩個小正方形的面積加

上兩個直角三角形的面積，

11

/.c2+2x-ab=a2+b2+2x.~ab,

整理得02+62=°2,故④可以證明勾股定理.

...能證明勾股定理的是②③④.

故選：D.

［例2］如圖是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案.已知大正方形面積為49,

小正方形面積為4,若用x,y表示直角三角形的兩直角邊G>y),下列四個說法：①x2+y』49；②x

-y—2；③x+y=9；④刈+4=49；其中說法正確的是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、直角三角形面積的計算公式及勾股定理解答.

【解答】解：①為直角三角形，

.?.根據(jù)勾股定理：x2+y2=AB2=49,

故本選項正確；

②由圖可知，x-y—CE=V4=2,

故本選項正確；

③由2孫+4=49可得2孫=45①，

又+廿=49②，

.?.①+②得，/+2孫t/=49+45,

整理得，（x+y）2=94,

x+y—V94豐9,

故本選項錯誤；

④由圖可知，四個直角三角形的面積與小正方形的面積之和為大正方形的面積，

1

列出等式為4x-Xxy+4=49,

即2孫+4=49；

故本選項錯誤.

正確結(jié)論有①②.

【變式2】我國漢代的數(shù)學(xué)家趙爽用數(shù)形結(jié)合的方法，給出了勾股定理的證明.如圖，從圖1變換到圖2,

可以用下列式子來表示的是()

B.4x—ab+(匕_。)2=c2

111

C.+bf=2x-ab+-c2

111

D.-(a+b)2=2x(-a6+-c2)

【分析】分別根據(jù)圖1、圖2求出幾何圖形的面積，即可求解.

1

【解答】解：根據(jù)圖1可得該幾何圖形的面積為：4x-ab+(h-a)2,

根據(jù)圖2可得該幾何圖形的面積為：射，

1

?27

:.4x—ab+(b—a)2=c,

故選：B.

【變式2】下面圖形中可以用來驗證勾股定理的有()

【分析】用兩種不同的方法表示出梯形的面積，可以判斷圖1可以驗證勾股定理；根據(jù)圖形的總面積等

于一個大正方形的面積加上兩個直角三角形的面積，也等于兩個小正方形的面積加上兩個直角三角形的

面積，然后整理可以判斷2可以驗證勾股定理.

111

【解答】解：圖1:S梯形=5(a+b)(a+b),S梯形=亍班+亍班+d,

1111

.".-(a+b)(a+b)=~ah+5ab+-c,

a2+1ab+b2=ab+ab+c2,

：.a2+b2=c2,故圖1可以驗證勾股定理；

圖2：圖形的總面積可以表示為：c2+2x—c2+ab,

1

也可以表示為：+廬+2+/+ab,

/.c2+ab—a2+b2+ab,

：,a2+b2=c2,故圖2可以驗證勾股定理；

圖3的條件不充足，不可以驗證勾股定理，

綜上，圖1、圖2可以驗證勾股定理，共2個，

故選：C.

【變式3】“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽

弦圖”是由四個全等直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a,

較短直角邊長為6,若（a+6）2=22,大正方形的面積為17,則小正方形的邊長為（）

【分析】根據(jù)大正方形的面積和勾股定理推出*+62=13,然后結(jié)合完全平方公式的變形得出（a-b）2=

5,最后由小正方形的面積為石尸=（a-b）2,即可得出結(jié)論.

【解答】解：如圖所示，由題意，ED=a,AE=b,

：.AD2=11,

'.'AD2=AE2+ED2=a2+b2,

：.a2+b2=17,

,/(a+6)2=22,

，(a-6)2=2(。2+方2),(。+&)2=2*17-22=12,

,:EF=ED-EF=a-b,

小正方形的邊長為防=2百(負(fù)值舍去)，

故選：D.

【知識點3勾股定理的逆定理】

1.勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長°、b、C滿足/+/=。2,那么這個三角形是直角三角形，且邊長C所對的角為直角.

2.利用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是不是直角三角形

(1)先比較三角形三邊長的大小，找到最長邊：

(2)計算兩條較短邊的平方和與最長邊的平方；

(3)比較二者是否相等；

(4)若相等，則這個三角形是直角三角形，且最長邊所對的角是直角；若不相等，則這個三角形不是直角

三角形.

【題型3判斷一個三角形是直角三角形的條件】

【例1】在下列條件：①//+/8=NC；@ZA-Z5=90°；@AB：AC：BC=1：3：V10;④

(AC+BC)(AC-BC)=/爐中，能確定是直角三角形的條件有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理進行計算，逐一判斷即可解答.

【解答】解：ZA+ZB^ZC,NZ+/2+NC=180°,

.?.2ZC=180°,

AZC=90°,

:.AABC是直角三角形；

(2)'：ZA-Z5=90°,

AZA=90°+ZB,

...△4BC不是直角三角形；

③AC：BC=1：3：V10-

：.^AB=a,則NC=3a,BC^VlQa,

'：AB2+AC2=a2+(3a)2=10a2,BC2=(V10a)2=10a2,

:.AB2+AC2^BC2,

...△48C是直角三角形；

④：C4C+3C)UC-SC)=AB2,

：.AC2-BC2=AB2,

:.AC2=AB2+BC2,

...△ABC是直角三角形；

所以，上列條件，能確定5c是直角三角形的條件有3個，

故選：C.

【例2】在如圖所示的網(wǎng)格紙中，有/、3兩個格點，試取格點C,使得△/BC是直角三角形，則這樣的格

點C的個數(shù)是()

A.4B.6C.8D.10

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可.

【解答】解：如圖所示:

CC

格點C的個數(shù)是8,

故選：C.

【變式1】若a,b,c為△48C的三邊，下列條件中：①②*=(6+c)(6-c)；③

//：/B：NC=3：4：5；④a：b：c=l：粒百，則能判定△/8C是直角三角形的個數(shù)有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，進行計算逐一判斷即可解答.

【解答】解：?-：ZB=ZA-ZC,

：.ZB+ZC=ZA,

VZB+ZC+ZA=}?,0o,

???2N4=180°,

AZA=90°,

???能判定△ZBC是直角三角形；

②???〃2=(b+c)(b-c),

:?層=P-。2,

:.a2+c2=b2,

???能判定△ZBC是直角三角形；

③???//：ZB：ZC=3：4：5,N8+NC+NZ=180°,

5

AZC=180°x———=75°，

3十4+b

...不能判定△A8C是直角三角形；

?a：bzc=l：V^：Vs-?

.,.設(shè)。=左，b—yfikic-y/^k,

Va2+b2—k2+(V2^)2=3左2,(2--(百左)2=3左2,

a2+b2=c2,

能判定△48C是直角三角形；

所以，能判定△/BC是直角三角形的個數(shù)有3個，

故選：C.

【變式2】下列由三條線段a、b、c構(gòu)成的三角形：①a=2mn,b=m2-n2,C=m2+n2(m>?>0),②a

=2/7+1,b=2n2+2n+],c=2n-+2n(ZJ>0),③a=3左，b=4k,c=5k(.k>0),(4)Va：VK：Vc=1：

V3：2,其中能構(gòu)成直角三角形的有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】判斷一組數(shù)能否成為直角三角形的三邊，就是看是否滿足兩較小邊的平方和等于最大邊的平方,

將題目中的各題一一做出判斷即可.

24422224412222

【解答】解：①2)2+(2m〃)=m+n-2mn+4mn—m+n+2mn—(m+n),

能成為直角三角形的三邊長；

②：(2M)2+⑵2+2”)2=(2層+2/1)2,

能成為直角三角形的三邊長；

③(3()2+(4左)2=(5左)2,

???能成為直角三角形的三邊長;

@v(Va)2+(VK)2—(Vc)2>

，而VK，加能成為直角三角形的三邊長，

但a,6,c不成直角三角形的

中能構(gòu)成直角三角形的有3組，

故選：C.

【變式3】如圖，在5X5的正方形網(wǎng)格中，已知線段a,6和點尸，且線段的端點和點尸都在格點上，在網(wǎng)

格中找一格點0，使線段a，b,尸。恰好能構(gòu)成直角三角形，則滿足條件的格點。有()

A.2個B.3個C.4個D.5個

【分析】根據(jù)題意畫出符合條件的圖形即可求解.

【解答】解：如圖所示:

則滿足條件的格點。有4個.

故選：C.

【題型4勾股定理的逆定理的應(yīng)用】

【例1】如圖，N4DC=90°,4D=4m,CD=3m,48=13m，BC=12m.

(1)試判斷以點HB,C為頂點的三角形的形狀，并說明理由;

(2)求該圖的面積.

【分析】(I)根據(jù)勾股定理求出/C長，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可;

(2)分別求出和△/DC的面積，再相減即可.

【解答】解：(1)以點/,B,C為頂點的三角形的形狀是直角三角形，

；/4DC=90°,AD=4m,CD=3m,

...由勾股定理得：AC=y/AD2+CD2-5m,

；4B=13m,BC=12m,

：.AC2+BC2^AB2,

：.ZACB=90a,

即以點aB,c為頂點的三角形的形狀是直角三角形；

1111c

12

(2)圖形的面積S=5AzicB-Szu℃=5xacx8。-5義4。xCD=5義5x12-萬義4x3=24(機)

【變式1】如圖，在四邊形/8C。中，ZA=60°,AB=AD=2,BC=2近,CD=4.求NADC的度數(shù).

【分析】連接3。，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出3。，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷/。。8=90°,計算即

可.

【解答】解：連接8。，

'：ZA=60°,4B=AD=2,

：.ZADB^60°,BD=2,

：.BD2=4,

在△CD8中，BC2-CD2=(2A/5)2-42=4,

：.BC2-CD1=BD1,即BC1=BD1+Cb2,

：.ZCDB=90°,

ZADC=ZADB+ZCDB=150°.

【變式2】如圖，在△48C中，。是2c的中點，DELBC交AB于點E,5.BE2-AE2^AC2.

(1)求證：//=90°；

(2)若4c=3,80=2.5,求/￡的長.

【分析】(1)連接CE,由線段垂直平分線的性質(zhì)可求得3E=CE,再結(jié)合3￡2-￡/2=/C2可求得E02

=EA2+AC2,可證得結(jié)論；

(2)設(shè)EB=EC=x,則/E=4-x,根據(jù)勾股定理列出方程解答即可.

【解答】(1)證明：連接CE,

是3c的中點，DELBC,

：.EB=EC,

'CBE1-EA2=AC2,

：.EC2-EA2=AC2,

：.EC2=EA2+AC2,

：.ZA=9Q°.

(2)解：?.?。是BC的中點，BD=2.5,

：.BC=2BD=5,

VZA=90°,AC=3,

?MB=JBC2-AC2=V52-32=4,

■:EB=EC,

:,沒EB=EC=x,貝l」4￡=4-x,

在RtAE^C中

/.32+(4-x)2=x2,

,25

解得：x=—

7

?ME-

【變式3】如圖，在△NBC中，AD,/E分別是高和角平分線.

(1)若/歷1C=86°,ZC=32°,求ND4E的度數(shù)；

(2)若4B=15,AC=20,AD=12,求證：/5/C是直角.

【分析】(1)求出/D/C,ZEAC,可得結(jié)論；

(2)利用勾股定理的逆定理證明即可.

【解答】(1)解：:/E平分N/8C,

1

AZEAC^~ZBAC=43°,

'：ADLBC,

：.ZDAC=90°-ZC=58°,

AZDAE=ZDAC-ZEAC=58°-43°=15°.

(2)證明：-：ADLBC,

：.ZADB=ZADC=90°,

:.BD=y/AB2-AD2=V152-122=9,CD=AC2-AD2=V202-122=16,

：.BC=BD+DC=9+16=25,

?：AB2+AC2^152+202=625,SC2=625,

：.AB2+AC2=BC2,

AZBAC=90°.

【知識點4勾股數(shù)】

L定義：像15,8,17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

2.滿足條件：①三個數(shù)都是正整數(shù);②兩個較小整數(shù)的平方和等于最大整數(shù)的平方.

3.勾股數(shù)的整數(shù)倍仍為勾股數(shù)，如3,4,5的2倍6,8,10仍為勾股數(shù).

4.常見形式：①/_1,2%"2+1（〃為大于1的整數(shù)）；②4〃，4序一1,4/+1形為正整數(shù)）等.

【題型5勾股數(shù)】

【例1】下列各組數(shù)據(jù)是勾股數(shù)的有（）

①5,12,13；

②0.3,0.4,0.5；

③4,7,5；

④1,2,V3.

A.1組B.2組C.3組D.4組

【分析】利用勾股定理的逆定理及勾股數(shù)的定義逐一判斷即可求解.

【解答】解：?V52+122=169=132,

；.5、12、13是勾股數(shù)；

②因為勾股數(shù)是正整數(shù)，因此0.3,0.4,0.5不是勾股數(shù)；

@V42+52=41^72=49,

.,-4,7,5不是勾股數(shù)；

④因為勾股數(shù)是正整數(shù)，因此1,2,百不是勾股數(shù)，

是勾股數(shù)的有1組，

故選：A.

【例2】在學(xué)習(xí)“勾股數(shù)”的知識時，小明發(fā)現(xiàn)了一組有規(guī)律的勾股數(shù)，并將它們記錄在如表格中.則當(dāng)。

=24時，b+c的值為（)

a68101214.??

b815243548.??

c1017263750.??

A.162B.200C.242D.288

【分析】根據(jù)表格中數(shù)據(jù)確定。、6、c的關(guān)系，然后再代入。=24求出6、c的值，進而可得答案.

【解答】解：根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可得：aW=c2,并且c=6+2,

則a2+b2=(6+2)2,

當(dāng)a=24時，242+b2=(6+2)2,

解得：6=143,

則c=143+2=145,

；.6+c=143+145=288,

故選：D.

【變式1】有下列說法：

①：060.8,1不是勾股數(shù)，；.三邊長分別為060.8,1的三角形不是直角三角形；

②..?三邊長分別為1,2,近的三角形是直角三角形，...I,2,返是勾股數(shù)；

③若整數(shù)。，整數(shù)6,整數(shù)c分別是直角三角形的三邊長，則0」。，(Mb,0.1c必定不是勾股數(shù).

其中錯誤的有()

A.3個B.2個C.1個D.0個

【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義及勾股定理的知識分別判斷后即可確定正確的選項.

【解答】解：①雖然0.6,0.8,1不是勾股數(shù)，但是0.62+0.82=12,所以以0.6,0.8,1為邊的三角形是

直角三角形，故①說法錯誤；

②因勾股數(shù)必須都是整數(shù)，故②說法錯誤；

③若整數(shù)。，整數(shù)6,整數(shù)c分別是直角三角形的三邊長，則0.1a,0.16,0.1c有可能是勾股數(shù)，故③

說法錯誤.

故選：A.

【變式2】當(dāng)直角三角形的三邊長都是正整數(shù)時，我們稱這三個正整數(shù)為勾股數(shù).

(1)若a,6為一個直角三角形的兩條直角邊長，c為斜邊長，a,b,c為勾股數(shù)，且°="+7,c=〃+8,

"為正整數(shù)，求6的值(用含〃的式子表示)，并直接寫出符合題意的最小的6值.

(2)當(dāng)〃是大于1的整數(shù)時，判斷2小?2-1,"2+1是否是勾股數(shù)，并說明理由.

【分析】(1)根據(jù)勾股數(shù)的定義得到(”+7)2+房=(〃+8)2,結(jié)合〃，6都為正整數(shù)，求出最小6值即

可；

(2)分別表示出2","2-1,?2+1的平方，得到(2?)2+("2-1)2=(層+1)2即可做出判斷.

【解答】解：(1)。，6,c為勾股數(shù)，c為斜邊長，

/.a2+b2=c2,

".'a—n+1,c—n+8,

：.(n+7)2+b2=(n+8)2,

.'.b2^2n+15,b=72rl+15,

Vn,6都為正整數(shù)，

.,.當(dāng)〃=5時，b—V2x5+15—5,

，最小的6值為5；

(2)(2")2=4"2,(H2-1)2="4-2"2+],(n2+l)2="4+2〃2+],

⑵)2+(?2-1)2=(?2+1)2,

...2",n2-i,/+1是勾股數(shù).

【變式3】以3,4,5為邊長的三角形是直角三角形，稱3,4,5為勾股數(shù)組，記為(3,4,5),類似地，

還可得到下列勾股數(shù)組：(8,6,10),(15,8,17),(24,10,26)等.

(1)根據(jù)上述四組勾股數(shù)的規(guī)律，寫出第六組勾股數(shù)；

(2)用含〃(“22且"為整數(shù))的數(shù)學(xué)等式描述上述勾股數(shù)組的規(guī)律，并證明.

【分析】(1)根據(jù)給出的四組數(shù)以及勾股數(shù)的定義即可得出答案；

(2)根據(jù)給出的四組數(shù)以及勾股數(shù)的定義即可得出答案.

【解答】解：⑴上述四組勾股數(shù)組的規(guī)律是：32+42=52,62+82=102,82+152=172,102+242=262,

即("2-1)2+(2?)2=(n2+l)2,

所以第六組勾股數(shù)為14,48,50.

(2)勾股數(shù)為“2-1,in,小+1,證明如下：

(“2-1)2+(2")2=/+2”2+]=(〃2+])2.

【題型6勾股定理與方程思想】

【例1】如圖，在RtZUBC中，ZC=90°.在邊8c上有一點P,連接/P,且若/C=2,CB=

5,求尸區(qū)的長.

c

p

【分析】設(shè)P/=X=P8,則CP=5-X,在Rt^NPC中，利用勾股定理列式計算即可求解.

【解答】解：設(shè)PA=x=PB,可得：CP=5-x,

:根據(jù)勾股定理可得：AC2+CP2=PA2,

22+(5-x)2=x2,

29

X=10)

29

:.PA的長為云.

【變式1】如圖，等腰三角形48c中/8=/C,CDLAB,且CD=4"z,BD=3cm.

(1)求的長；

(2)求△/8C的面積.

【分析】(1)^AD=xcm,AB=AC=(x+3)cm,在RtZUDC中，由勾股定理列出方程，解方程即可;

(2)根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可.

【解答】解：(1)^AD=xcm,則A8=/C=(x+3)cm,

"JCDLAB,

：.ZCDA^90°,

在RtZUCD中，根據(jù)題意得：X2+42=(X+3)2,

7

解得：x=>

o

7

答：AD的長為n冽；

o

725

(2)由(1)可知，AB—AC=7+3=-(cm)，

66

U：CDLAB,

112525

?'?S^ABC=^AB'CD-2X~X4=~，

25c

答：△48C的面積為*yc%2.

【變式2】如圖，在Rta/BC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,。為NC上一點，若2。是N4BC的角平

分線，求線段的長.

【分析】過點D作DELAB于點E,易得AB=Vxt2+BC2=10,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出CD=DE,

通過證明RtZ\3C7)gRtzX8ED(〃L),得出8c=2￡=6,貝U-8E=4,設(shè)ND=x,則。。=。￡=

8-x,在RtZ\4DE中，DE2+AE2=AD2,據(jù)此列出方程求解即可.

【解答】解：過點D作DELAB于點E,

VZC=90°,/C=8,BC=6,

.'.AB=JAC2+BC2=10,

。是N4BC的角平分線，DELAB,ZC=90

：.CD=DE,

在RtA5C￡>和RSED中，

(CD=DE

\BD=BD,

:.RtABCD咨RtABED(HL),

:.BC=BE=6,

：.AE=AB-BE=10-6=4,

設(shè)AD=x,則CD=DE=8-x,

在RtZ\4D￡?中，DE2+AE2=AD2,

即(8-x)2+42=X2,

解得：尤=5,

：.AD=5.

【變式3】如圖，在等腰△/2C中，AB^AC^IO,3c=12,4D為△/2C的中線，EE垂直平分NC交

于點G,則AG=.

【分析】如圖，連接CG.利用勾股定理求出4D,再證明/G=GC,設(shè)/G=GC=x,利用勾股定理構(gòu)

建方程求解.

【解答】解：如圖，連接CG.

'：AB=AC=10,/￡)是中線，

：.AD±BC,BD=CD=6,

.".AD=yjAB2-BD2=V102-62=8,

:仍垂直平分線段NC,

；./G=GC,

設(shè)NG=GC=x,則有x2=(8-x)2+62,

25

4

25

：.AG=—,

4

_,25

故答案為：—.

q

【題型7勾股定理與分類討論思想】

【例1】已知△/8C中，乙4=45°,AB=4五,BC=5,則NC=.

【分析】過點3作8。L/C,分高線在三角形的內(nèi)部和外部兩種情況，討論求解即可.

【解答】解：過點8作3。L/C,

①當(dāng)2D在三角形內(nèi)部時:

:.AADB為等腰直角三角形，

.'.AB=五AD=五BD=4vL

:.AD=BD=4,

.*?CD=JBC2-BD2=3,

：.AC=AD+CD=1；

②當(dāng)BD在三角形外部時:

同法可得：AC=AD-CZ)=1；

故答案為：1或7.

【變式1】在Rt448C中，NACB=9Q°,NC=8,3c=6,點。為射線3c上一點，當(dāng)△/AD是以AD為

腰的等腰三角形時，CD的長為.

【分析】先由勾股定理求出48=10,當(dāng)4B=2D=10時，可直接計算出CD的長；當(dāng)40=8。時，設(shè)

AD=BD=x,則CD=x-6,由勾股定理求出x,即可得出答案.

【解答】解：在中，由勾股定理得：AB=+BC2=6+62=10,

如圖1,當(dāng)/8=8。=10時，

圖1

則CD=BD-BC=IQ-6=4；

如圖2,當(dāng)時，

圖2

設(shè)4D=8D=x,則CD=x-6,

在RtAACD中，AD2^CD2+AC2,

即/=(%-6)2+82,

,25

解得：x=~,

257

CD=—-6=~；

7

綜上所述，。的長為4或

7

故答案為：4或

【變式2】在△48C中，4B=15,NC=13,2C上的高40長為12,則△/2C的面積為.

【分析】根據(jù)題意，分類討論，第一種情況，銳角三角形，則邊3c上的高在三角形內(nèi)部；第二種

情況，鈍角三角形，則邊8c上的高在三角形外部；圖形結(jié)合分析，即可求解.

【解答】解：①如圖所示，4B=15,ZC=13,AD±BC,40=12,

在Rt/\ABD中，BD=AB2-AD2=V152-122=9,

在RtZXZC。中，CD=y/AC2-AD2=V132-122=5,

???BC=BD+CD=9+5=14,

11

?^SAABC=~BC-?1D=-x14x12=84；

②如圖所示,

在RtAABD中，BD=-y/AB2-AD2=V152-122=9,

在RtA^C￡?中，CD=SIAC2-AD2=V132-122=5,

：.BC=BD-CD=9-5=4,

11

-'?SAABC=~BC-71Z)=—x4X12=24；

綜上所述，△NBC的面積為84或24,

故答案為：84或24.

【變式3】在等邊△NBC中，點。在3c的延長線上，BC=6,CD=2,點￡在直線4C上，連接

BE.當(dāng)時，/￡的長為.

【分析】分別過點48作“尸，2C,BGLAC,垂足分別為凡G,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理

求出8E,分兩種情況畫圖解答即可.

【解答】解：在等邊△4BC中，AC=BC=6,

分別過點4,2作//，2C,BGLAC,垂足分別為尸，G,

:.BF=CF=AG=CG=3,

：.AF=BG=百CG=3瓜

\"CD=2,

：.FD=CF+CD=5,

:.BE=AD=^AF2+FD2=.27+25=V52.

因為點E在直線/C上，分兩種情況畫圖:

如圖1,當(dāng)點E在NC延長線上時，

在Rt^BGE中，根據(jù)勾股定理得：GE=>/BE2-BG2=V52-27=V25=5,

AE=AG+GE^3+5=8；

綜上所述：4E的長為8或2.

故答案為：8或2.

【題型8勾股定理與全等】

【例1】如圖，在△N2C中，ZABC=90°,N/=30°,CD平分N4CB,BELCD交4c于點E,若BE=

3,則CD的長為（）

B

D,

AEC

A.V3B.3C.2V3D.3V3

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和求出//C8的度數(shù)，根據(jù)CD平分N4CB,可以得到N8CD和NEC。的度數(shù),

再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定以及性質(zhì)，得到2C的長，最后根據(jù)勾股定理即可得到CD

的長.

【解答】解：?.?NN8C=90°,//=30°,

ZACB=60°,

平分N/C8,

:.NACD=/BCD=30°,

"JBELCD,CD平分N4CB,

：.ZCOB=ZCOE=90°,/BCO=NECO=30°,

在△CB。和△CE。中，

(Z-BCO=乙ECO

\C0=CO,

、BOC=ZEOC

：.ACBO^/\CEO(ASA),

:.BO=CO,

■:BE=3,

???3O=CO=1.5,

?：NBCO=30°,ZCOB=90°,

:.BC=2OB=3,

*：ACBD=9Q°,NDCB=30°,

：.CD=2BD,

設(shè)則CD=2x,

由勾股定理得：BD1+BC1=CD1,

X2+32=(2X)2,

解得了二內(nèi)或%二一打(不合題意，舍去)，

**?2x=2V3^，

即CD的長為2百,

故選：C.

【例2】在Rt448C中，N/=90°,N/2C的角平分線交/C于點E,點。為2C中點，連接DE,/BED

=45°,DE=2近,則/￡=.

【分析】先導(dǎo)角證得CD=CE,再根據(jù)。是5c中點構(gòu)造倍長中線全等，延長到點凡使DF=DE=

2VL易證尸（MS）,再利用等腰+45°構(gòu)造等腰直角三角形，過8作下于點G,

求出BE和BD,進而得到CB和CE,最后利用勾股定理在Rt"BE中和RtZX/BC中分別表示出AB,

建立方程求解即可.

【解答】解：設(shè)/ABE=a,則NC2E=a,

VZBAC=90°,

AZACB^90°-2a,

VZBED=45°,

：.ZCDE=ZCBE+ZBED=45°+a,

在△CDE中，NDEC=180°-ZCDE-ZACB^45°+a,

：.CD=CE,

延長即到點R使DF=DE=2五,

?。為2C中點，

：.BD=CD,

在LCDE和△AD尸中，

CD=BD

Z.CDE=乙BDF,

DE=DF

:ACDE咨/\BDF(&4S)，

：.BF=CE=CD=BD,

1廠

過2作下于點G,則DG=FG=5DP=&,

：.EG=DE+DG=3^2>

VZBDE=45°,

.?.△8GE為等腰直角三角形，

:.BE=V2GE=6,

在Rt/XBGD中，BD=J*+DG2=2心

：.CB=2BD=4V5>CE=BD=2限

設(shè)/E=無，則NC=2而+x,

在RtLABE中，AB2=BE2-/爐=36-/,

在RtZX/BC中，/爐=2。2-/。2=80-(2V5+x)2

.\36-X2=80-(2V5+x)2

解得x=管,

即/￡=等,

點E是對角線NC上一點，連接?！?、BE,若NBAD=/CED=60°，

AB=BD,DE：EC=2：3,NC=6