2024-2025學(xué)年人教A版高一數(shù)學(xué)下學(xué)期同步訓(xùn)練之頻率與概率

2024-2025學(xué)年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)人教A版高一同步經(jīng)典題精練之

頻率與概率

一.選擇題（共5小題）

1.（2024秋?湖北期末）某學(xué)校乒乓球比賽，學(xué)生甲和學(xué)生乙比賽3局（采取三局兩勝制），假設(shè)每局比賽

甲獲勝的概率是0.7,乙獲勝的概率是0.3,利用計算機(jī)模擬試驗，計算機(jī)產(chǎn)生0目之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出

現(xiàn)隨機(jī)數(shù)0W時，表示一局甲獲勝，其概率是07由于要比賽3局，所以每3個隨機(jī)數(shù)為一組.例如，

產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù)：

603099316696851916062107493977

329906355860375107347467822166

根據(jù)隨機(jī)數(shù)估計甲獲勝的概率為（）

A.0.9B.0.95C.0.8D.0.85

2.（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）一個不透明的盒子中裝有若干個紅球和5個黑球，這些球除顏色外均相同.每

次將球充分?jǐn)噭蚝?，任意摸?個球記下顏色后再放回盒子.經(jīng)過重復(fù)摸球足夠多次試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到

黑球的頻率穩(wěn)定在0」左右，則據(jù)此估計盒子中紅球的個數(shù)約為（）

A.40個B.45個C.50個D.55個

3.（2024秋?高郵市月考）已知一批產(chǎn)品中有90%是合格品，檢驗產(chǎn)品質(zhì)量時，一個合格品被誤判為次品

的概率為0.05,一個次品被誤判為合格品的概率為0.01.任意抽查一個產(chǎn)品，檢查后被判為合格品的概

率為（）

A.0.855B.0.856C.0.86D.0.865

4.（2024春?太原期末）某場乒乓球單打比賽按三局兩勝的賽制進(jìn)行，甲乙兩人參加比賽.已知每局比賽

甲獲勝的概率為0.4,乙獲勝的概率為0.6.現(xiàn)用計算機(jī)產(chǎn)生1?5之間的整數(shù)隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)1或2時，

表示此局比賽甲獲勝，當(dāng)出現(xiàn)3,4或5時，表示此局比賽乙獲勝.在一次試驗中，產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)

如下：

534123512114125334432332314152

423443423344541453525151354345

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，利用隨機(jī)模擬試驗，估計甲獲得冠軍的概率為（）

A.0.24B.0.3C.0.7D.0.76

5.（2024?云南）某公司10名員工參加崗位技能比賽，獲獎情況如下：

等級三等獎

人數(shù)（單位：人）361

現(xiàn)從這10名員工中任選1名員工參加經(jīng)驗交流活動.若每位員工被選到的概率相等，則選到獲一等獎

員工的概率為（）

A.0.1B.0.3C.0.5D.0.6

二.多選題（共4小題）

（多選）6.（2024秋?任城區(qū)校級月考）下述關(guān)于頻率與概率的說法中，錯誤的是（）

A.設(shè)有一大批產(chǎn)品，已知其次品率為0.1,則從中任取100件，必有10件是次品

B.利用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率估計隨機(jī)事件的概率，即使隨機(jī)試驗的次數(shù)超過10000,所估計出的概率

也不一定很準(zhǔn)確.

C.隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個隨機(jī)事件發(fā)生的概率

D.做7次拋硬幣的試驗，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此，拋一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率是三

7

（多選）7.（2024春?太原期末）下列結(jié)論正確的是（）

A.任何事件的概率總是在（0,1）內(nèi)

B.隨著試驗次數(shù)的增加，頻率會逐漸穩(wěn)定于概率

C.拋擲一枚硬幣，試驗100次出現(xiàn)正面向上的頻率一定比試驗50次出現(xiàn)正面向上的頻率更接近它出

現(xiàn)正面向上的概率

D.隨機(jī)事件A,8中至少有一個發(fā)生的概率一定不小于A,8中恰有一個發(fā)生的概率

（多選）8.（2024春?曲靖期末）下列說法不正確的是（）

A.某種福利彩票的中獎概率為士，那么買1000張這種彩票一定能中獎

B.隨著試驗次數(shù)的增加，頻率一般會越來越接近概率

C.某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為10%,前9個病人沒有治愈，則第10個病人一定治愈

D.某市氣象臺預(yù)報“明天本市降水概率為70%”，指的是該市氣象臺專家中，有70%認(rèn)為明天會降水，

30%認(rèn)為不降水

（多選）9.（2023秋?德陽期末）在一次奧運會男子羽毛球單打比賽中，運動員甲和乙進(jìn)入決賽（比賽采

用三局兩勝制，即率先獲得兩局勝利者贏得比賽，隨即比賽結(jié)束）.假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為0.6,

乙獲勝的概率為0.4.某同學(xué)利用計算機(jī)產(chǎn)生1?5之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)1,2或3時，表示甲獲勝，

當(dāng)出現(xiàn)4或5時，表示乙獲勝，以每3個隨機(jī)數(shù)為一組進(jìn)行冠軍模擬預(yù)測，如果產(chǎn)生如下20組隨機(jī)數(shù)：

423123423344114453525332152342534443512541125432334151314354,根據(jù)頻率估計概率的

思想，下列說法正確的有（）

A.甲獲得冠軍的概率近似值為0.65

B.甲以2：0的比分獲得冠軍的概率近似值為0.5

C.比賽總共打滿三局的概率近似值為0.55

D.乙以2：。的比分獲得冠軍的概率近似值為0.15

三.填空題（共3小題）

10.（2024秋?四川校級期末）一個袋子中有紅、黃、藍(lán)、綠四個小球，有放回地從中任取一個小球，將“三

次抽取后，紅色小球，黃色小球都取到”記為事件用隨機(jī)模擬的方法估計事件M發(fā)生的概率.利

用電腦隨機(jī)產(chǎn)生整數(shù)0,1,2,3四個隨機(jī)數(shù)，分別代表紅、黃、藍(lán)、綠四個小球，以每三個隨機(jī)數(shù)為

一組，表示取小球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù)：

110321230023123021132220001

231130133231031320122103233

由此可以估計事件M發(fā)生的概率為.

H.（2024秋?孝感期中）一個不透明的袋中裝有除顏色外均相同的8個紅球，4個白球，若干個綠球，每

次搖勻后隨機(jī)摸出一個球，記下顏色后再放回袋中，經(jīng)過大量重復(fù)實驗后，發(fā)現(xiàn)摸到綠球的頻率穩(wěn)定在

0.4,則袋中約有綠球個.

12.（2024秋?漢臺區(qū)月考）一個容量為100的樣本，其數(shù)據(jù)的分組與各組的頻數(shù)如表：

(0,10](10,20](20,30](30,40](40,50](50,60](60,70]

1213241516137

則樣本數(shù)據(jù)落在（40,70］內(nèi)的頻率為

四.解答題（共3小題）

13.（2023?甘肅一模）某廠接受了一項加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品（單位：件）按標(biāo)準(zhǔn)分為A,B,C三個

等級.加工業(yè)務(wù)約定：對于A級品、2級品、C級品，廠家每件分別收取加工費80元，50元，30元.該

廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業(yè)務(wù)，甲分廠加工成本費為40元/件，乙分廠加工成本費為35元/件.該

廠家為決定由哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計了這些產(chǎn)品的等

級，整理如下：

甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表

等級ABC

頻數(shù)453025

乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表

等級ABC

頻數(shù)401050

(1)分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率；

(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，該廠家應(yīng)選哪個分

廠承接加工業(yè)務(wù)？

1(X-4)2

14.(2022?臨汾三模)我們認(rèn)為燈泡壽命的總體密度曲線是正態(tài)分布曲線/(x)=焉/力\其中口

為總體平均數(shù)，。為總體標(biāo)準(zhǔn)差，某品牌燈泡的總體壽命平均數(shù)以=2600小時.

(1)隨機(jī)取三個該品牌燈泡，求三個燈泡中恰有兩個壽命超過2600小時的概率；

(2)該品牌燈泡壽命超過2800小時的概率為|.我們通過設(shè)計模擬試驗的方法解決“隨機(jī)取三個該品

牌燈泡，求三個燈泡中恰有兩個壽命超過2800小時的概率”問題.利用計算器可以產(chǎn)生。到9十個隨

機(jī)數(shù)，我們用1,2,3,4表示壽命超過2800小時，用5,6,7,8,9,0表示壽命沒有超過2800小時.因

為是三個燈泡，所以每三個隨機(jī)數(shù)一組.例如，產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù)

就相當(dāng)于做了20次試驗.估計三個燈泡中恰有兩個壽命超過2800小時的概率.

907966191925271932812458569683

431257393027556488730113537989

函數(shù)y=/(⑻的大致圖像

15.(2021?臨汾模擬)在區(qū)間［0,1］上產(chǎn)生兩組均勻隨機(jī)數(shù)尤1,XI,…，硒和刃,”，…，yN,由此得到N

個點(H,個(z=l,2,N),統(tǒng)計yWM的點(羽,個數(shù)目為X.

(1)當(dāng)N=1時，求X=1的概率；

0<x<1

(2)設(shè)平面區(qū)域O：,041.

.y<x

(i)求。的面積S；

(ii)某計算機(jī)興趣小組用以上方法估計Q的面積，當(dāng)N=100時，求其估計值與實際值之差在區(qū)間(-

0.1,0.1)內(nèi)的概率.

附表：P(k)=Xt=oP(X=t).

k394041596061

PQk)0.017600.028440.044310.971550.982390.98951

2024-2025學(xué)年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）高一同步經(jīng)典題精練之

頻率與概率

參考答案與試題解析

題號12345

答案ABBBB

選擇題（共5小題）

1.（2024秋?湖北期末）某學(xué)校乒乓球比賽，學(xué)生甲和學(xué)生乙比賽3局（采取三局兩勝制），假設(shè)每局比賽

甲獲勝的概率是0.7,乙獲勝的概率是0.3,利用計算機(jī)模擬試驗，計算機(jī)產(chǎn)生0目之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出

現(xiàn)隨機(jī)數(shù)0M時，表示一局甲獲勝，其概率是0.7.由于要比賽3局，所以每3個隨機(jī)數(shù)為一組.例如，

產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù)：

603099316696851916062107493977

329906355860375107347467822166

根據(jù)隨機(jī)數(shù)估計甲獲勝的概率為（）

A.0.9B.0.95C.0.8D.0.85

【考點】模擬方法估計概率；隨機(jī)數(shù)法簡單隨機(jī)抽樣及其步驟.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合隨機(jī)數(shù)的含義，分析20組隨機(jī)數(shù)中，表示甲獲勝的組數(shù)，由古典概型公式計

算可得答案

【解答】解.根據(jù)題意，20組隨機(jī)數(shù)中，除099,977外，表示甲獲勝的共有18組，

則據(jù)此估計甲獲勝的概率為一=0.9.

20

故選：A.

【點評】本題考查隨機(jī)數(shù)的應(yīng)用，考查概率的計算，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）一個不透明的盒子中裝有若干個紅球和5個黑球，這些球除顏色外均相同.每

次將球充分?jǐn)噭蚝螅我饷?個球記下顏色后再放回盒子.經(jīng)過重復(fù)摸球足夠多次試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到

黑球的頻率穩(wěn)定在0.1左右，則據(jù)此估計盒子中紅球的個數(shù)約為（）

A.40個B.45個C.50個D.55個

【考點】頻率及頻率的穩(wěn)定性.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解；數(shù)據(jù)分析.

【答案】B

【分析】根據(jù)頻率和概率的關(guān)系求解.

【解答】解：設(shè)盒子中球的總數(shù)為“，

由題意可知，-=0.1,

n

解得”=50,

所以估計盒子中紅球的個數(shù)約為50-5=45個.

故答案為：B.

【點評】本題主要考查了頻率與概率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

3.(2024秋?高郵市月考)已知一批產(chǎn)品中有90%是合格品，檢驗產(chǎn)品質(zhì)量時，一個合格品被誤判為次品

的概率為0.05,一個次品被誤判為合格品的概率為0.01.任意抽查一個產(chǎn)品，檢查后被判為合格品的概

率為()

A.0.855B.0.856C.0.86D.0.865

【考點】頻率與概率.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】B

【分析】記事件4抽取的一個產(chǎn)品為合格品，事件既抽查一個產(chǎn)品被判為合格品，利用全概率公式

可求得P(B)的值.

【解答】解：記事件A：抽取的一個產(chǎn)品為合格品，事件8抽查一個產(chǎn)品被判為合格品，

一個合格品被誤判為次品的概率為0.05,一個次品被誤判為合格品的概率為0.01,

則尸(A)=0.9,P(B|A)=0.95,P(B|Z)=0.01,

故P(B)=P(H)P(8⑶+P(A)P(B\A)=0.9x0.95+0.1x0.01=0.856.

所以任意抽查一個產(chǎn)品，檢查后被判為合格品的概率為0.856.

故選：B.

【點評】本題主要考查全概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

4.(2024春?太原期末)某場乒乓球單打比賽按三局兩勝的賽制進(jìn)行，甲乙兩人參加比賽.已知每局比賽

甲獲勝的概率為0.4,乙獲勝的概率為0.6.現(xiàn)用計算機(jī)產(chǎn)生1?5之間的整數(shù)隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)1或2時，

表示此局比賽甲獲勝，當(dāng)出現(xiàn)3,4或5時，表示此局比賽乙獲勝.在一次試驗中，產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)

如下:

534123512114125334432332314152

423443423344541453525151354345

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，利用隨機(jī)模擬試驗，估計甲獲得冠軍的概率為（）

A.0.24B.0.3C.0.7D.0.76

【考點】模擬方法估計概率；求隨機(jī)數(shù)法抽樣的樣本.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，在20組隨機(jī)數(shù)中，表示甲獲勝的有：123,512,114,125,152,151,共6種情

況，然后利用古典概型的概率公式求解即可.

【解答】解：根據(jù)題意，在20組隨機(jī)數(shù)中，表示甲獲勝的有：123,512,114,125,152,151,共6

種情況，

所以可估計甲獲得冠軍的概率為三=0.3.

20

故選：B.

【點評】本題主要考查了利用隨機(jī)數(shù)法模擬事件發(fā)生的概率，屬于基礎(chǔ)題.

5.（2024?云南）某公司10名員工參加崗位技能比賽，獲獎情況如下：

等級一等獎二等獎三等獎

人數(shù)（單位：人）361

現(xiàn)從這10名員工中任選1名員工參加經(jīng)驗交流活動.若每位員工被選到的概率相等，則選到獲一等獎

員工的概率為（）

A.0.1B.0.3C.0.5D.0.6

【考點】頻率與概率；古典概型.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】B

【分析】根據(jù)古典概率的知識求得正確答案.

【解答】解：獲一等獎員工有3個人，

3

根據(jù)古典概型公式可知，所求概率為一=0.3.

10

故選：B.

【點評】本題考查古典概型，屬于基礎(chǔ)題.

二.多選題（共4小題）

（多選）6.（2024秋?任城區(qū)校級月考）下述關(guān)于頻率與概率的說法中，錯誤的是（）

A.設(shè)有一大批產(chǎn)品，已知其次品率為0.1,則從中任取100件，必有10件是次品

B.利用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率估計隨機(jī)事件的概率，即使隨機(jī)試驗的次數(shù)超過10000,所估計出的概率

也不一定很準(zhǔn)確.

C.隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個隨機(jī)事件發(fā)生的概率

D.做7次拋硬幣的試驗，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此，拋一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率是2

【考點】頻率與概率.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】ACD

【分析】根據(jù)頻率與概率的關(guān)系，結(jié)合各選項的描述判斷正誤.

【解答】解：從中任取100件，可能有10件，也可能少于10件或多于10件，A錯誤；

10000次的界定沒有科學(xué)依據(jù)，“不一定很準(zhǔn)確"的表達(dá)正確，試驗次數(shù)越多，頻率越穩(wěn)定在概率值附

近，

但并非試驗次數(shù)越多，頻率就等于概率，8正確.

多次重復(fù)試驗中事件發(fā)生的頻率在某一常數(shù)附近，此常數(shù)為概率，C中描述不符合概率定義，C錯誤;

33

做7次拋硬幣的試驗，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此，拋一枚硬幣出現(xiàn)正面的頻率是一，不是概率為一，。錯

77

誤.

故選：ACD.

【點評】本題主要考查概率與頻率的定義，屬于基礎(chǔ)題.

（多選）7.（2024春?太原期末）下列結(jié)論正確的是（）

A.任何事件的概率總是在（0,1）內(nèi)

B.隨著試驗次數(shù)的增加，頻率會逐漸穩(wěn)定于概率

C.拋擲一枚硬幣，試驗100次出現(xiàn)正面向上的頻率一定比試驗50次出現(xiàn)正面向上的頻率更接近它出

現(xiàn)正面向上的概率

D.隨機(jī)事件A,8中至少有一個發(fā)生的概率一定不小于A,8中恰有一個發(fā)生的概率

【考點】頻率與概率.

【專題】對應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；邏輯思維.

【答案】BD

【分析】對于A：根據(jù)概率的性質(zhì)分析判斷；對于BC：根據(jù)概率和頻率之間的關(guān)系分析判斷；對于。：

根據(jù)事件的運算結(jié)合概率的性質(zhì)分析判斷.

【解答】解：對于A：任何事件的概率總是在［0,1］之間，其中不可能事件的概率為0,必然事件的概

率為1,故A錯誤；

對于9根據(jù)頻率與概率之間的關(guān)系可知：隨著試驗次數(shù)的增加，頻率會逐漸穩(wěn)定于概率，故B正確；

對于C：由選項B可知：隨著試驗次數(shù)的增加，頻率會逐漸穩(wěn)定于概率，但該結(jié)論為總體效果，對具體

情況不一定成立，故C錯誤；

對于D：因為P（48）20,貝UP（4UB）=P（4耳）+P（AB）+P（4B）>P（AB］+P（AB）,

且隨機(jī)事件A,8中至少有一個發(fā)生的概率為尸（AUB）,

A,8中恰有一個發(fā)生的的概率為P（4l）+P（W8）,

所以隨機(jī)事件A,8中至少有一個發(fā)生的概率一定不小于A,B中恰有一個發(fā)生的概率，故D正確.

故選：BD.

【點評】本題考查概率的定義和性質(zhì)，注意理解概率的定義，屬于基礎(chǔ)題.

（多選）8.（2024春?曲靖期末）下列說法不正確的是（）

A.某種福利彩票的中獎概率為士，那么買1000張這種彩票一定能中獎

B.隨著試驗次數(shù)的增加，頻率一般會越來越接近概率

C.某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為10%,前9個病人沒有治愈，則第10個病人一定治愈

D.某市氣象臺預(yù)報“明天本市降水概率為70%”，指的是該市氣象臺專家中，有70%認(rèn)為明天會降水，

30%認(rèn)為不降水

【考點】頻率與概率.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】ACD

【分析】根據(jù)頻率和概率之間的關(guān)系、概率的定義，對各項依次判斷，即可得到本題的答案.

11

【解答】解：對于4中獎概率為二二是指買一次彩票，可能中獎的概率為77二，不是指1000張這種

10001000

彩票一定能中獎，故A錯誤；

對于8,試驗次數(shù)越多，頻率就會穩(wěn)定在概率的附近，故8正確；

對于C,某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為10%,前9個病人沒有治愈，則第10個病人能治愈的可能性

還是10%,故C錯誤；

對于。，某市氣象臺預(yù)報“明天本市降水概率為70%”，不是：該市氣象臺專家中，有70%認(rèn)為明天會

降水，30%認(rèn)為不降水，而是明天降水概率為70%指明天該地區(qū)降水的可能性為70%,故。錯誤.

故選：ACD.

【點評】本題考查命題的真假的判斷，概率的基本知識的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

（多選）9.（2023秋?德陽期末）在一次奧運會男子羽毛球單打比賽中，運動員甲和乙進(jìn)入決賽（比賽采

用三局兩勝制，即率先獲得兩局勝利者贏得比賽，隨即比賽結(jié)束）.假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為0.6,

乙獲勝的概率為0.4.某同學(xué)利用計算機(jī)產(chǎn)生1?5之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)1,2或3時，表示甲獲勝，

當(dāng)出現(xiàn)4或5時，表示乙獲勝，以每3個隨機(jī)數(shù)為一組進(jìn)行冠軍模擬預(yù)測，如果產(chǎn)生如下20組隨機(jī)數(shù)：

423123423344114453525332152342534443512541125432334151314354,根據(jù)頻率估計概率的

思想，下列說法正確的有（）

A.甲獲得冠軍的概率近似值為0.65

B.甲以2：0的比分獲得冠軍的概率近似值為0.5

C.比賽總共打滿三局的概率近似值為0.55

D.乙以2：。的比分獲得冠軍的概率近似值為0.15

【考點】模擬方法估計概率.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】ACD

【分析】由20組隨機(jī)數(shù)中分別先求出甲獲得冠軍的數(shù)，甲以2：0的比分獲得冠軍的數(shù)，比賽總共打滿

三局的數(shù)和乙以2：。的比分獲得冠軍的數(shù)，從而可求出各選項頻率，進(jìn)而可得答案.

【解答】解：對于A,表示甲獲得冠軍的數(shù)有423,123,423,114,332,152,342,512,125,432,

334,151,314共13組數(shù)，

13

故估計該場比賽甲獲勝的概率為一=0.65,故A正確；

20

對于8,表示甲以2：0的比分獲得冠軍的數(shù)有：123,114,332,125,334,314,共6組數(shù)，

故估計甲以2：0的比分獲得冠軍概率為$=0.3,故B錯誤；

20

對于C,表示比賽總共打滿三局的數(shù)有：423,423,344,525,152,342,534,512,432,151,354

共11組數(shù)，

11

故估計比賽總共打滿三局的概率為一=0.55,故C正確；

20

對于。，表示乙以2：。的比分獲得冠軍的數(shù)有：453,443,541共3組數(shù)，

3

故估計乙以2：0的比分獲得冠軍的概率為"=0.15,故。正確.

故選：ACD.

【點評】本題主要考查了簡單隨機(jī)抽樣的應(yīng)用，考查了利用頻率估算概率，屬于基礎(chǔ)題.

三.填空題（共3小題）

10.（2024秋?四川校級期末）一個袋子中有紅、黃、藍(lán)、綠四個小球，有放回地從中任取一個小球，將“三

次抽取后，紅色小球，黃色小球都取到”記為事件用隨機(jī)模擬的方法估計事件M發(fā)生的概率.利

用電腦隨機(jī)產(chǎn)生整數(shù)0,1,2,3四個隨機(jī)數(shù)，分別代表紅、黃、藍(lán)、綠四個小球，以每三個隨機(jī)數(shù)為

一組，表示取小球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù)：

110321230023123021132220001

231130133231031320122103233

由此可以估計事件M發(fā)生的概率為-.

-3-

【考點】模擬方法估計概率.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】

【分析】先求出事件M發(fā)生的情況，再結(jié)合古典概型的概率公式，即可求解.

【解答】解：事件M包含紅色小球和黃色小球，即包含數(shù)字0和1,

隨機(jī)產(chǎn)生的18組數(shù)中，包含0,1的有110,021,001,130,031,103,共6組，

故所求概率為g=

183

,,,1

故答案為：--

【點評】本題主要考查古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

11.（2024秋?孝感期中）一個不透明的袋中裝有除顏色外均相同的8個紅球，4個白球，若干個綠球，每

次搖勻后隨機(jī)摸出一個球，記下顏色后再放回袋中，經(jīng)過大量重復(fù)實驗后，發(fā)現(xiàn)摸到綠球的頻率穩(wěn)定在

0.4,則袋中約有綠球8個.

【考點】頻率與概率；古典概型及其概率計算公式.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】8.

【分析】用頻率估計概率，根據(jù)綠球個數(shù)除以總個數(shù)即可.

【解答】解：因為通過大量重復(fù)的摸球試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到綠球的頻率穩(wěn)定在04,

所以利用頻率估算概率，摸到綠球的概率為0.4,

設(shè)不透明的袋中有綠球1個,

X

則=0.4,

8+4+%

解得x=8.

故答案為：8.

【點評】本題主要考查了概率的概念，屬于基礎(chǔ)題.

12.（2024秋?漢臺區(qū)月考）一個容量為100的樣本，其數(shù)據(jù)的分組與各組的頻數(shù)如表：

（0,10]（10,20]（20,30]（30,40]（40,50]（50,60]（60,70]

1213241516137

則樣本數(shù)據(jù)落在（40,70]內(nèi)的頻率為0.36.

【考點】頻率與概率.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】0.36.

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合頻率與頻數(shù)的關(guān)系，即可求解.

【解答】解：由頻數(shù)表可知，樣本數(shù)據(jù)落在（40,70]內(nèi)的頻率為：16+13+7=0.36.

100

故答案為：0.36.

【點評】本題主要考查頻率與頻數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

四.解答題（共3小題）

13.（2023?甘肅一模）某廠接受了一項加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品（單位：件）按標(biāo)準(zhǔn)分為A,B,C三個

等級.加工業(yè)務(wù)約定：對于A級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加工費80元，50元，30元.該

廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業(yè)務(wù)，甲分廠加工成本費為40元/件，乙分廠加工成本費為35元/件.該

廠家為決定由哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計了這些產(chǎn)品的等

級，整理如下：

甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表

等級ABC

頻數(shù)453025

乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表

等級ABC

頻數(shù)401050

(1)分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率；

(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，該廠家應(yīng)選哪個分

廠承接加工業(yè)務(wù)？

【考點】離散型隨機(jī)變量的均值(數(shù)學(xué)期望).

【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】(1)估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率分別為0.45,0.4；

(2)甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤為17.25,乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤為

17,應(yīng)該選甲分廠承接加工業(yè)務(wù).

【分析】(1)由試加工產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表能分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級的

概率.

(2)由數(shù)據(jù)分別求出甲、乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤，比較甲、乙兩分廠加工的產(chǎn)品的平均利

潤，應(yīng)該選乙分廠承接加工業(yè)務(wù).

【解答】解：(1)由試加工產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表知：

45

甲分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率的估計值為——=0.45,

100

40

乙分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率的估計值為一=0.4；

100

(2)由數(shù)據(jù)知甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為：

利潤4010-15

頻數(shù)453025

甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤為：

1

—[40X45+10X30+(-15)X25]=17.25,

乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表

利潤4515-5

頻數(shù)401050

乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤為：

1

—[45X40+15X10+(-5)X50]=17,

比較甲、乙兩分廠加工的產(chǎn)品的平均利潤，應(yīng)該選甲分廠承接加工業(yè)務(wù).

【點評】本題考查概率、平均利潤的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

/(x-M、)2

14.(2022?臨汾三模)我們認(rèn)為燈泡壽命的總體密度曲線是正態(tài)分布曲線/(x)=^2。，其中四

為總體平均數(shù)，。為總體標(biāo)準(zhǔn)差，某品牌燈泡的總體壽命平均數(shù)以=2600小時.

(1)隨機(jī)取三個該品牌燈泡，求三個燈泡中恰有兩個壽命超過2600小時的概率；

(2)該品牌燈泡壽命超過2800小時的概率為|.我們通過設(shè)計模擬試驗的方法解決“隨機(jī)取三個該品

牌燈泡，求三個燈泡中恰有兩個壽命超過2800小時的概率”問題.利用計算器可以產(chǎn)生0到9十個隨

機(jī)數(shù)，我們用1,2,3,4表示壽命超過2800小時，用5,6,7,8,9,0表示壽命沒有超過2800小時.因

為是三個燈泡，所以每三個隨機(jī)數(shù)一組.例如，產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù)

就相當(dāng)于做了20次試驗.估計三個燈泡中恰有兩個壽命超過2800小時的概率.

907966191925271932812458569683

431257393027556488730113537989

函數(shù)y=/Cr)的大致圖像

【考點】模擬方法估計概率.

【專題】計算題；整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

3

【答案】(1)

8

1

(2)—.

4

【分析】(1)根據(jù)題意可知每個燈泡壽命超過2600小時的概率都是去再利用古典概型的概率公式求解.

(2)先求出20組隨機(jī)數(shù)中滿足恰有兩燈泡壽命超過2800小時的個數(shù)，再利用古典概型的概率公式求

解.

【解答】解：(1)由題知平均數(shù)u=2600,所以每個燈泡壽命超過2600小時的概率都是去

這個隨機(jī)試驗滿足古典概型條件：有限性，等可能性.

設(shè)三個燈泡壽命超過2600小時分別為A,B,C；沒有超過2600小時分別為I,B,C,

則樣本空間。={ABC,ABC,ABC,ABC,ABC,ABC,ABC,ABC},

三個燈泡中恰有兩個壽命超過2600小時的事件M={ZBC,ABC,ABC},

所以P（M）=4^4

（2）20組隨機(jī)數(shù)中滿足恰有兩燈泡壽命超過2800小時的有191,271,932,812,393共計5組,

所以三個燈泡中恰有兩個燈泡壽命超過2800小時的概率估計值P=4=/

【點評】本題主要考查了古典概型的概率公式，考查了正態(tài)分布的定義.屬于基礎(chǔ)題.

15.（2021?臨汾模擬）在區(qū)間［0,1］上產(chǎn)生兩組均勻隨機(jī)數(shù)尤1,xi,…，砧和力,”,…，yN,由此得到N

個點（友,yi）（7=1,2,N）,統(tǒng)計”Wxi｝的點Cxi,yi）數(shù)目為X.

（1）當(dāng)N=1時，求X=1的概率；

0<%<1

（2）設(shè)平面區(qū)域C：,04y41.

.y<x

（i）求。的面積S；

（ii）某計算機(jī)興趣小組用以上方法估計。的面積，當(dāng)N=100時，求其估計值與實際值之差在區(qū)間（-

0.1,0.1）內(nèi)的概率.

附表：P（k）=Et=oP（X=f）.

k394041596061

P(%)0.017600.028440.044310.971550.982390.98951

【考點】模擬方法估計概率.

【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)據(jù)分析.

11

【答案】（1）一；（2）（z）一，（而）0.94311；詳解見解析.

22

【分析】（1）根據(jù)題意可畫圖求解；（2）（0由（1）中圖求解即可，（*由題可得到估計值與隨機(jī)數(shù)

之間的比值關(guān)系，再根據(jù)表格求解即可.

【解答】解：（1）當(dāng)N=1時，X=l,即在OWxWl,OWyWl內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生了一個點，并且這個點位于

直線y=x下方，

由幾何概型可知尸=發(fā)

1

(2)(j)由圖可知S=*,

S，X

(z'z)設(shè)面積的估計值為S',則一=---,

1100

因為面積誤差在區(qū)間(-0.1,0.1)內(nèi)，即IS-S'

得0.4<S'<0.6,所以40Vx<60,

P(40<X<60)=Sf=4iP(X=t)=P(59)-P(40)=0.97155-0.02844=0.94311.

【點評】本題考查了幾何概型及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

考點卡片

1.古典概型

【知識點的認(rèn)識】

我們將具有以下兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.

(1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；

(2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.

2.古典概型及其概率計算公式

【知識點的認(rèn)識】

1.定義：如果一個試驗具有下列特征：

(1)有限性：每次試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果(即基本事件)只有有限個；

(2)等可能性：每次試驗中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的.

則稱這種隨機(jī)試驗的概率模型為古典概型.

*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個重要特征，所以求事件的概率就

可以不通過大量的重復(fù)試驗，而只要通過對一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析和計算即可.

2.古典概率的計算公式

如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有〃個，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率

都是一;

n

如果某個事件A包含的結(jié)果有m個，那么事件4的概率為P(A)=?=人中所學(xué)號手可數(shù).

n基本事件息數(shù)

【解題方法點撥】

1.注意要點：解決古典概型的問題的關(guān)鍵是：分清基本事件個數(shù)”與事件A中所包含的基本事件數(shù).

因此要注意清楚以下三個方面：

(1)本試驗是否具有等可能性；

(2)本試驗的基本事件有多少個；

(3)事件A是什么.

2.解題實現(xiàn)步驟：

(1)仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；

(2)判斷本試驗的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；

(3)分別求出基本事件的個數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個數(shù)m；

(4)利用公式尸(A)=募求出事件A的概率.

3.解題方法技巧：

(1)利用對立事件、加法公式求古典概型的概率

(2)利用分析法求解古典概型.

3.頻率與概率

【知識點的認(rèn)識】

m

一般地，隨著試驗次數(shù)"的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率一會逐漸穩(wěn)定于事件

n

A發(fā)生的概率P(A),我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.

4.頻率及頻率的穩(wěn)定性

【知識點的認(rèn)識】

-頻率：某事件發(fā)生的次數(shù)與總次數(shù)的比率.

-頻率的穩(wěn)定性：隨著試驗次數(shù)的增加，頻率趨近于事件的真實概率.

【解題方法點撥】

-計算頻率時，用實際數(shù)據(jù)的比率估計事件的概率.

-隨著樣本量增加，頻率值應(yīng)逐漸穩(wěn)定并接近真實概率.

【命題方向】

-常用于概率估計及統(tǒng)計分析中的頻率數(shù)據(jù)處理.

5.模擬方法估計概率

【知識點的認(rèn)識】

1、模擬方法--概率的應(yīng)用

在大量重復(fù)試驗的前提下，可以用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率來估計其發(fā)生的概率，但確定隨機(jī)事件發(fā)生的頻率

常常需要人工做大量的重復(fù)試驗，既費時又費力，并且有時很難實現(xiàn).因此我們可以借助于模擬方法來估

計某些隨機(jī)事件發(fā)生的概率.

2、定義：向平面上有限區(qū)域(集合)G內(nèi)隨機(jī)地投擲點若點M落在子區(qū)域G0G的概率與G1的面

積成正比，而與G的形狀、位置無關(guān)，即尸(點M落在Gi)=孽,則稱這種模型為幾何概型.

G的面積

說明：幾何概型中的G也可以是空間中或直線上的有限區(qū)域，相應(yīng)的概率是體積之比或長度之比.

【解題方法點撥】

1、幾何概型與古典概型的比較：

類型幾何概型古典概型

比較

區(qū)別試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事試驗的所有可能結(jié)果只有有限個，每次試驗

件)有無限多個只出現(xiàn)其中的一個結(jié)果

聯(lián)系每個基本事件(每一個試驗結(jié)果)出現(xiàn)的可能性相等

2、求解幾何概型的步驟：

(1)適當(dāng)選擇觀察角度(一定要注意觀察角度的等可能性)；

(2)把基本事件轉(zhuǎn)化為與之對應(yīng)的區(qū)域；

(3)把隨機(jī)事件A轉(zhuǎn)化為與之對應(yīng)的區(qū)域；

(4)利用概率公式計算.

3、如果事件A對應(yīng)的區(qū)域不易處理，可以用其對立事件逆向求解.同時要注意判斷基本事件的等可能性，

這需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S，切忌想當(dāng)然，需要從問題的實際背景去判斷.

6.離散型隨機(jī)變量的均值(數(shù)學(xué)期望)

【知識點的認(rèn)識】

1、離散型隨機(jī)變量的期望

數(shù)學(xué)期望：一般地，若離散型隨機(jī)變量3的概率分布

XIK2

PP1P2Pn

則稱段=Xipi+X2〃2+???+xg+…為孑的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望.

數(shù)學(xué)期望的意義：數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.

平均數(shù)與均值：一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量f的概率分布中，令pi=p2=???=p〃，則有pi=p2=???

=P"=段=(X1+X2+…+%)X所以m的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均值.

期望的一個性質(zhì)：若口=砧+6,則E（或+6）=aE^+b.

7.隨機(jī)數(shù)法簡單隨機(jī)抽樣及其步驟

【知識點的認(rèn)識】

1、概念：

隨機(jī)數(shù)就是在一定范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)，并且得到這個范圍內(nèi)的每一個數(shù)的機(jī)會一樣，隨機(jī)數(shù)應(yīng)用很廣泛,

利用它可以幫助我們進(jìn)行隨機(jī)抽樣，還可以利用它在某一個范圍得到每一個數(shù)機(jī)會是均等的這一特征來模

擬試驗，這樣可代替我們自己做大量重復(fù)的試驗，從而使我們順利地求出有關(guān)事件的概率.

2、均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生：

隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生可以人工產(chǎn)生，例如抽簽、摸球、轉(zhuǎn)盤等方法，但這樣做費時、費力，而且有時很難確保抽

到每一個數(shù)的機(jī)會是均等的.因此，我們現(xiàn)在主要是通過計算器和計算機(jī)來產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的.

【解題方法點撥】

典例1：隨機(jī)摸擬法產(chǎn)生的區(qū)間［0,1］上的實數(shù)（）

A.不是等可能的B.0出現(xiàn)的機(jī)會少C.1出現(xiàn)的機(jī)會少D.是均勻分布的

解析：用隨機(jī)模擬法產(chǎn)生的區(qū)間［0,1］上的實數(shù)是均勻分布的，每一個數(shù)產(chǎn)生的機(jī)會是均等的.故選。

典例2：利用隨機(jī)模擬的方法近似計算圖中陰影部分（y=2-2x-/與x軸圍成的圖形）的面積.

解：（1）利用計算機(jī)產(chǎn)生兩組［0,1］上