2024-2025學(xué)年北師大版八年級（下）第一次月考數(shù)學(xué)壓軸題（3月份）（考查范圍：第1~2章）含答案

第一次月考數(shù)學(xué)壓軸題（3月份）（考查范圍：第1?2章）

【北師大版】

＞題型梳理

【類型一選擇壓軸題】

【題型1使組成等腰三角形的點(diǎn)的個數(shù)】

【題型2勾股定理】

【題型3勾股定理的逆定理】

【題型4勾股定理的簡單應(yīng)用】

【題型5不等式（組）的解】

【題型6不等式組和方程組的綜合】

【題型7新定義問題】

【題型8多結(jié)論問題】

【類型二填空壓軸題】

【題型9幾何圖形最值問題】

【題型10構(gòu)造等腰三角形求值】

【題型11等腰三角形的存在性問題】

【題型12利用勾股定理解決面積問題】

【題型13利用勾股定理解決翻折問題】

【題型14判斷能否構(gòu)成直角三角形】

【題型15勾股定理的應(yīng)用】

【題型16解一元一次不等式組】

【題型17一元一次不等式組的運(yùn)用】

【類型三解答壓軸題】

【題型18確定兩角度之間的關(guān)系】

【題型19證明線段間的關(guān)系】

【題型20利用勾股定理證明線段平方關(guān)系】

【題型21利用勾股定理在網(wǎng)格中作圖】

【題型22勾股定理的應(yīng)用】

試卷第1頁，共30頁

A舉一反三

【類型一選擇壓軸題】

【題型1使組成等腰三角形的點(diǎn)的個數(shù)】

【例1】（24-25八年級?河南周口?期末）

1.如圖，直線6相交于點(diǎn)。，/1=50。，點(diǎn)A在直線。上，直線6上存在點(diǎn)3,使以點(diǎn)

O,A,8為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則點(diǎn)8的個數(shù)是（）

【變式1-11（24-25八年級?陜西西安?期中）

2.如圖，在△4BC中，ZABC=75°,/A4c=30。.點(diǎn)尸為直線3c上一動點(diǎn)，若點(diǎn)尸與△/BC

三個頂點(diǎn)中的兩個頂點(diǎn)構(gòu)造成等腰三角形，那么滿足條件的點(diǎn)尸的位置有（）

A.4個B.6個C.8個D.9個

【變式1-2]（24-25八年級?北京東城?期末）

3.如圖所示，在長方形48co的對稱軸/上找點(diǎn)尸，使得△尸48、△P2C均為等腰三角形,

則滿足條件的點(diǎn)P有（）

A.1個B.3個C.5個D.無數(shù)多個

試卷第2頁，共30頁

【變式1-3]（24-25八年級?浙江嘉興?期中）

4.如圖，在凡△/BC中，ZC=90°,BCwAC,以的一邊為邊畫等腰三角形，使得

它的第三個頂點(diǎn)在△/5C的其他邊上，則可以畫出的不同的等腰三角形的個數(shù)最多為（）

A.4B.5C.6D.7

【題型2勾股定理】

【例2】（24-25八年級?河北石家莊?期末）

Ap

5.如圖'dC的角平分線仍族相交于點(diǎn)尸，若/8="。=13取=】。，則而的值為

()

125

A.—B.—C.D.2

552

【變式2-1]（24-25八年級?浙江寧波?期末）

6.如圖，A,B,C,。四個點(diǎn)順次在直線/上,AC=a,BD=b.以ZC為底向下作等腰直

角三角形/CE,以2。為底向上作等腰三角形AD尸，S.FB=FD=yBD.連接/尸,DE,

6

當(dāng)3C的長度變化時，/與△CDE的面積之差保持不變，則。與6需滿足（）

4

A.a=-b7B.a=—bC.a=—bD.a=

353

試卷第3頁，共30頁

【變式2-2]（24-25八年級?江蘇無錫?階段練習(xí)）

7.如圖，ZUBC中，N4CB=9Q°,BC=6,/C=8,點(diǎn)。是的中點(diǎn)，將“CA沿

翻折得到AEC。，連接NE,BE,則線段BE的長等于（）

【變式2-3]（24-25八年級?廣東深圳?期末）

8.如圖，在等腰△4BC中，AB=AC=5,BC=6,。是△/8C外一點(diǎn)，O到三邊的垂線

段分別為。。，OE,OF,且OD:O￡:OF=1:4:4,則40的長度為（）

【題型3勾股定理的逆定理】

【例3】（24-25八年級?安徽蚌埠?期中）

9.如圖是用三塊正方形紙片設(shè)計的“畢達(dá)哥拉斯”圖案，其中三塊正方形圍成的三角形是直

角三角形.現(xiàn)有若干塊正方形紙片，面積分別是1,2,3,4,5,選取其中三塊（可重復(fù)選

?。┌磮D的方式組成圖案，則下列選取中，圍成的直角三角形面積最大的是（）

A.1,4,B.2,3,5C.3,4,5D.2,2,4

【變式3-1]（24-25八年級?安徽合肥?期中）

10.如圖已知△4BC中，AB=5cm,BC=26cm,8c邊上的中線4D=12cm,貝ij△4BC的

試卷第4頁，共30頁

面積為（）cm2.

A.30B.130C.60D.120

【變式3-2］（24-25八年級?山東德州?期中）

11.如圖，將三邊長分別為3,4,5的△/2C沿最長邊翻轉(zhuǎn)180。成“8G，則的長等于

（）

【變式3-3］（2024八年級?浙江杭州?專題練習(xí)）

12.（2019白馬湖期中考）如圖，已知在A45C中，AC=6,BC=8,AB=10,AD平分乙CAB,

則△/AD的面積為（）

A.14B.15C.16

【題型4勾股定理的簡單應(yīng)用】

【例4】（24-25八年級?安徽合肥?階段練習(xí)）

13.某航空公司經(jīng)營中有A、B、C、D這四個城市之間的客運(yùn)業(yè)務(wù).它的部分機(jī)票價格如

下：A-B為2000元；A-C為1600元；A-D為2500元；B-C為1200元；C-D為900

元.現(xiàn)在已知這家公司所規(guī)定的機(jī)票價格與往返城市間的直線距離成正比，則B-D的機(jī)票

價格（）

A.1400元B.1500元C.1600元D.1700元

試卷第5頁，共30頁

【變式4-1］（24-25八年級?云南昆明?期中）

14.如圖，教室墻面NQE尸與地面42。垂直，點(diǎn)尸在墻面上，若尸/="7米，48=2米,

點(diǎn)尸到/尸的距離是4米，一只螞蟻要從點(diǎn)尸爬到點(diǎn)3,它的最短行程是（）米

A.V22B.V23C.5D.426

【變式4-2］（24-25八年級?安徽合肥?階段練習(xí)）

15.如圖，已知圓柱的底面直徑2C=9,高/3=3,小蟲在圓柱側(cè)面爬行，從C點(diǎn)爬到A

71

點(diǎn)，然后再沿另一面爬回C點(diǎn)，則小蟲爬行的最短路程的平方為（）

【變式4-31（24-25八年級?廣東梅州?期中）

16.如題圖，一只螞蟻從長為4cm、寬為3cm、高為12cm的長方體紙箱的/點(diǎn)沿紙箱表面

爬到2點(diǎn)，那么它所爬行的最短路線的長是（）

12

A.13cmB.V241cmC.V193cmD.19cm

試卷第6頁，共30頁

【題型5不等式（組）的解】

【例5】（24-25八年級?山東棗莊?自主招生）

>0

17.已知關(guān)于x的不等式組??b的整數(shù)解有且僅有4個：-1,0,1,2,那么適合這

x<—

個不等式組的所有可能的整數(shù)對6）的個數(shù)有（）

A.1B.2C.3D.6

【變式5-1]（24-25八年級?湖北黃石?期末）

18.若關(guān)于x的不等式辦-6>0的解集為x<g,則關(guān)于x的不等式（a+6）x>6-。的解集是

（）

11-11

A.x<—B.x<—C.x>—D.x>一

2222

【變式5-2]（24-25八年級?重慶榮昌?開學(xué)考試）

19.若數(shù)。使關(guān)于x的方程三過=一日一1有非負(fù)數(shù)解，且關(guān)于了的不等式組

v-1----j-乙7<_-2-y---

<22恰好有兩個偶數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)。的和是（）

2y+l>a-2y

A.-22B.-18C.11D.12

【變式5-3]（24-25八年級?安徽合肥?階段練習(xí)）

3

20.關(guān)于工的不等式組\只有5個整數(shù)解，則。的取值范圍是（）

x+3

------<x+a

I2

,11,11/11/11

A.-6<a<B.-6<a<------C.-6<a<-----D.-6<a<-----

2222

【題型6不等式組和方程組的綜合】

【例6】（24-25八年級?重慶巴南?期末）

\x+y=3a-\

21.已知關(guān)于小p的二元一次方程組。，/的解滿足x>歹，且關(guān)于x的不等式組

=3。+4

2x+l>2a

，21/3有解，那么所有符合條件的整數(shù)。的個數(shù)為（）

、10

A.6個B.7個C.8個D.9個

【變式6-1]（24-25八年級?福建福州?期末）

試卷第7頁，共30頁

22.已知。、b>。滿足3。+26—4。=6,2a+b-3c=\,且。、b、。者R為正數(shù).設(shè)

y=3a+b-2c,則歹的取值范圍為（）

A.3<”24B.0。<3C.0<歹<24D.y<24

【變式6-2]（24-25八年級?湖北武漢?階段練習(xí)）

23.已知非負(fù)數(shù)x,修z滿足彳=詈=手，設(shè)W=3x-2y+z,則少的最大值與

最小值的和為（）

A.-2B.-3C.-4D.-6

【變式6-3]（24-25八年級?安徽合肥?單元測試）

24.已知關(guān)于x,y的方程組[、；￥=一?的解滿足xwo,y<Q,若左為整數(shù)，且關(guān)于左

[x+2y=-3k-i1

的不等式（3左+2）/<3上+2的解集為f>l,則左的值為（）

A.1B.-1C.-2D.-3

【題型7新定義問題】

【例7】（24-25八年級?湖南岳陽?期末）

3x0（-5）<m-7

25.對“，6定義一種新運(yùn)算“區(qū)”,規(guī)定：。③6=。-2人若關(guān)于x的不等式組jx0（2x_2）<2

有且只有一個整數(shù)解，則加的取值范圍是（）

A.m>20B.2Q<m<23C.20VH<23D.20<m<23

【變式7-1]（2024?河北保定?一模）

26.定義：等腰三角形的頂角與其一個底角的度數(shù)的比值人稱為這個等腰三角形的“特征

值若等腰ZUSC中，//=80°,則它的特征值左為（）

A.，或;B.g或;C.言或4D.g或4

【變式7-21（24-25八年級?江蘇無錫?期中）

27.定義：我們把三角形某邊上中線的長度與這邊中點(diǎn)到高的距離的比值稱為三角形某邊的

“中高偏度值如圖，在RtZ\48C中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,則△4BC中43邊的

“中高偏度值”為（）

試卷第8頁，共30頁

c

【變式7-3］（24-25八年級?北京通州?期中）

28.定義:有一組鄰邊相等,且對角互補(bǔ)的四邊形叫做“鄰等對補(bǔ)四邊形”.如圖，四邊形

是“鄰等對補(bǔ)四邊形“，AB=AD,4=90。，SmABCD=16,CD=1,則8C的長為（）

【題型8多結(jié)論問題】

【例8】（24-25八年級?江西宜春?期中）

29.如圖，ZAOC=ZBOC=15°,CD_LCM于點(diǎn)D,CE〃OA交OB于點(diǎn)、E,延長DC交

于點(diǎn)F.有以下結(jié)論：①OE=CE；②OE=EF；③CE=2CD；④CE=DF.其中所有

正確結(jié)論是（）

A.①②B.①③C.②③D.①④

【變式8-11（24-25八年級?四川成都?期中）

30.如圖，△ABC是等邊三角形點(diǎn)。是8c延長線上的一個動點(diǎn)，連接4D,點(diǎn)M是4D的

垂直平分線與/N8D的角平分線的交點(diǎn)，連接環(huán)4,MD,過點(diǎn)M作兒WJ.5D于點(diǎn)N.

給出下面五個結(jié)論：

①BA/垂直平分/C,點(diǎn)N一定是線段CD的中點(diǎn)；

②當(dāng)8C=2DV時，MC與/。互相垂直平分；

試卷第9頁，共30頁

③當(dāng)BC=￡W時，ABIAD；

④點(diǎn)。在運(yùn)動過程中，的大小始終為120。

⑤當(dāng)/〃DN=45°時，——=3

ND

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②④⑤

【變式8-2]（2024?重慶江津?三模）

31.對于任意實(shí)數(shù)，通常用卜]表示不超過x的最大整數(shù)，如：[句=3,[2]=2,

[-2.1]--3,給出如下結(jié)論：①[f]=f；②若國=〃，則x的取值范圍是〃4x<"+l；③

當(dāng)-1<X<1時，[1+司+[1-司的值為1或2；④若x+；=3且[3-2司=-4,則x的取值

范圍為5]其中7正確的結(jié)論有（）個

A.1B.2C.3D.4

【變式8-3]（24-25八年級?浙江寧波?期中）

32.如圖，在△N2C中，AD，BC于點(diǎn)、D,/￡平分/A4c交2c于點(diǎn)E,點(diǎn)尸在邊NC上

運(yùn)動，作尸GL4E,交/。于點(diǎn)G,交4E于點(diǎn)H,連接HD,DF,若此時滿足如=HF,

DF1AC.有以下結(jié)論：?ZAGH=ZCAE+ZC；@HF=HE；@ZDHG=2ZHAF；

④“AHF二AHD+sAFHD.其中正確的有（）個.

A.1B.2C.3D.4

【類型二填空壓軸題】

【題型9幾何圖形最值問題】

試卷第10頁，共30頁

【例9】（24-25八年級?湖北武漢?期末）

33.如圖，等腰直角△NBC中，AC=BC,ZACB=90°,。為中點(diǎn)，AD=6,P為AB

上一個動點(diǎn)，當(dāng)尸點(diǎn)運(yùn)動時，PC+尸。的最小值為.

【變式9-1]（24-25八年級?河南信陽?期末）

34.如圖，△4BC和△/￡）￡都是等腰三角形，＞ABAC=ADAE=120°,AB^8,。是NC的

中點(diǎn)，若點(diǎn)。在直線8。上運(yùn)動，連接則在點(diǎn)。運(yùn)動過程中，線段的最小值

為.

【變式9-2]（24-25八年級?四川綿陽?期末）

35.在RtZUBC中，ZC=90°,NB=30。,BC=6,。為的中點(diǎn)，P為BC上一動點(diǎn)、,

連接AP,DP,則4P+Z）尸的最小值是.

【變式9-31（24-25八年級?廣西南寧?期中）

36.如圖，己知△4BC為等腰直角三角形，AC=BC,/BCD=15。，點(diǎn)尸為射線CD上的

動點(diǎn)，當(dāng)|尸”-尸耳為最大值時，/P/C的度數(shù)為

試卷第11頁，共30頁

【題型10構(gòu)造等腰三角形求值】

【例10】（24-25八年級?湖北武漢?期中）

37.如圖，點(diǎn)P為△NBC內(nèi)部一點(diǎn)，使得/P8c=30。，NPBA=8°,N4PB=150。,

/CAP=22°,則/APC的度數(shù)為。.

【變式10-1]（24-25八年級?江蘇蘇州?階段練習(xí)）

38.如圖所示，在四邊形48co中，ZDAC=12°,ZCAB=36°,ZABD=48°,

【變式10-2]（24-25八年級?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）

39.如圖，4D平分NB4C,3ZACB-ZABC=360°,BE_LAD交4D的延長線于點(diǎn)K,

48=16,BE=4.5,貝i]/C=.

【變式10-3]（24-25八年級?廣東廣州?期中）

40.如圖，四邊形4BC。中，對角線點(diǎn)尸為CD上一點(diǎn)，連接/尸交50于點(diǎn)E,

AFVAB,DE=DF,NBAG=NABC=45。，AE=2EF,AB=2Q,貝!JNP=.

【題型11等腰三角形的存在性問題】

試卷第12頁，共30頁

【例11]（24-25八年級?遼寧沈陽?期中）

41.經(jīng)過三角形一個頂點(diǎn)及其對邊上一點(diǎn)的直線，若能將此三角形分割成兩個等腰三角形,

稱這個三角形為“鉆石三角形”，這條直線稱為這個三角形的“鉆石分割線”，在△N8C中，

NA4C=20。，若存在過點(diǎn)C的“鉆石分割線”，使△NBC是“鉆石三角形”，則滿足條件的

的度數(shù)為.

【變式11-1]（24-25八年級?湖北武漢?階段練習(xí)）

42.如圖，4BC2ABC',/ABC=90°,NA=27。（0°<N/8H454°）,HC'與/C交

于點(diǎn)/，與交于點(diǎn)E,連接B尸.當(dāng)為等腰三角形時，N/8H的度數(shù)為.

【變式11-2]（24-25八年級?河南鶴壁?期中）

43.如圖，在長方形4BC。的對角線NC上有一動點(diǎn)E,連接。E,過點(diǎn)E作EFJLOE交射

線8c于點(diǎn)尸，乙4c8=30。，當(dāng)AEFC為等腰三角形時，NEDC的度數(shù)是.

【變式11-3]（24-25八年級?浙江紹興?期中）

44.如圖，在△ABC中，/8="C,/"C=130°,點(diǎn)。在邊上，AABD、△/FD關(guān)于

所在的直線對稱，/"C的角平分線交邊于點(diǎn)G,連接FG.A。尸G為等腰三角形時，

ZBAD=

試卷第13頁，共30頁

【題型12利用勾股定理解決面積問題】

【例12]（24-25八年級?安徽蕪湖?期末）

45.如圖，AB=l,以為斜邊作直角△48C,以△4BC的各邊為邊分別向外作正方形,

EM工KH于M,GNLKH于N,則圖中陰影面積和的最大值為.

F

MKHN

【變式12-1]（24-25八年級?黑龍江哈爾濱?開學(xué)考試）

46.如圖，在A48C中，N4cB=90。，點(diǎn)D、E分別在/C、上，且連接

DE,若四邊形歷LDE的面積是5,48=6,則。E的長為.

【變式12-2]（24-25八年級?江蘇鹽城?期中）

47.如圖，在A/8C中，/C=90。，3c=16cm,AC=12cm,點(diǎn)￡是BC的中點(diǎn)，動點(diǎn)P

從/點(diǎn)出發(fā)以每秒1cm的速度沿NtCtB運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間是/秒，那么當(dāng)

t=__________________,AAPE的面積等于12.

【變式12-3]（24-25八年級?江蘇常州?期中）

48.如圖，在RtA/8C中，NBAC=90。,分別以48、3C、/C為邊向上作正方形，已

試卷第14頁，共30頁

知RtA/8C的面積為6,則圖中陰影部分面積之和是

【題型13利用勾股定理解決翻折問題】

【例13]（24-25八年級?廣東深圳?期中）

49.如圖，長方形4BCD中：AB=CD=8,=3C=5.點(diǎn)E為射線48上的一動點(diǎn)，將

△4DE沿DE折疊，得到AHDE（點(diǎn)N的對應(yīng)點(diǎn)為H）并連接//、A'B,當(dāng)△4/8為等

腰三角形，/￡的長是.

50.如圖，在△NBC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,。是的中點(diǎn)，點(diǎn)E,尸分別

在邊NC,8c上，AE=1,將△/%,△AD尸分別沿DE,。尸翻折使得/與H重合，B

與8'重合，若AE〃B'F,則8尸=.

【變式13-2]（24-25?遼寧鐵嶺?二模）

51.如圖，在RtZ\/8C中，ZC=90°,乙4=30。，8C=2,點(diǎn)。是/C的中點(diǎn)，點(diǎn)E是斜

邊AB上一動點(diǎn),沿DE所在直線把翻折到的位置，4D交4B于點(diǎn)F,若

△8H尸為直角三角形，則NE的長為.

試卷第15頁，共30頁

【變式13-3]（24-25八年級?廣東?專題練習(xí)）

52.如圖，將長方形紙片4BC。沿"N折疊，使點(diǎn)A落在8c邊上點(diǎn)H處，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為

D',連接4。交邊CD于點(diǎn)E,連接CD,若A8=9,AD=6,H點(diǎn)為2C的中點(diǎn)，則線

段ED的長為.

【題型14判斷能否構(gòu)成直角三角形】

【例14】（24-25?河南關(guān)B州?八年級期末）

53.如圖，在中，乙4cs=90。，AC=8,BC=6,點(diǎn)P是邊NC上一動點(diǎn)，把A48尸

沿直線8尸折疊，使得點(diǎn)/落在圖中點(diǎn)4處，當(dāng)A4MC是直角三角形時，則線段CP的長

【變式14-1]（24-25八年級?安徽合肥?階段練習(xí)）

54.在A48C中，若1+/>2=25,片_62=7,c=5,則最長邊上的高為.

【變式14-2]（24-25八年級?湖北十堰?期末）

55.如圖，△NBC中，AB=2.5cm,AC=6cm,BC=6.5cm,N4BC與//C5的角平分

線相交于點(diǎn)P,過點(diǎn)尸作POJ_8C,垂足為。，則線段尸。的長度為cm.

試卷第16頁，共30頁

A

【變式14-3]（24-25八年級?吉林白城?階段練習(xí)）

56.如圖，在等腰直角ZUBC的斜邊N8上任取兩點(diǎn)/,N,使/MCN=45。，記

AM=m,MN=n,BN=k,則以m,n,k為邊長的三角形的形狀是.

AmM〃NkB

【題型15勾股定理的應(yīng)用】

【例15】（24-25八年級?江蘇無錫?期中）

57.愛動腦筋的小明某天在家玩遙控游戲時遇到下面的問題：己知，如圖一個棱長為8cm

無蓋的正方體鐵盒，小明通過遙控器操控一只帶有磁性的甲蟲玩具，他先把甲蟲放在正方體

盒子外壁/處，然后遙控甲蟲從/處出發(fā)沿外壁面正方形爬行，爬到邊上后再

在邊CD上爬行3cm,最后在沿內(nèi)壁面正方形48CD上爬行，最終到達(dá)內(nèi)壁3C的中點(diǎn)

甲蟲所走的最短路程是cm

【變式15-11（24-25八年級?山東濱州?階段練習(xí)）

58.如圖，小紅想用一條彩帶纏繞易拉罐，正好從/點(diǎn)繞到正上方8點(diǎn)共四圈，已知易拉

罐底面周長是12cm,高是20cm,那么所需彩帶最短的是.

試卷第17頁，共30頁

B

-Y

【變式15-2］（24-25八年級?江蘇無錫?階段練習(xí)）

59.如圖，在一個長2米，寬1米的長方形草地上，放著一根長方體的木塊，它的棱和草地

寬4D平行且棱長大于40,木塊從正面看是邊長為0.2米的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)N處到

達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程是米.

【變式15-31（24-25八年級?陜西咸陽?期中）

60.如圖，有一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為24dm、4dm、2dm,點(diǎn)A和點(diǎn)B

是這個三級臺階上兩個相對的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)8處去吃可口的食物，則螞

蟻沿著臺階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為.

A24

B

【題型16解一元一次不等式組】

【例16］（24-25八年級?江蘇南通?期末）

61.已知非負(fù)數(shù)Q,b,c滿足條件3。+26+。=4,2a+b+3c=5,設(shè)s=5o+4b+7c的最大

值是加，最小值是〃，則加+〃的值為.

【變式16-1］（24-25八年級?重慶?期末）

x+1x

------<------F3

62.若關(guān)于x的不等式組32有且只有2個奇數(shù)解，且關(guān)于V的方程

4x—Q>X+1

。-=3-y解為整數(shù).則符合條件的所有整數(shù)4的和為.

【變式16-2］（24-25八年級?北京?期中）

試卷第18頁，共30頁

63.對X,y,Z定義一種新運(yùn)算尸，規(guī)定：F（x,y,z）=ax+by+cz,其中。，6為非負(fù)

數(shù).若尸（3,2,1）=5,F（l,2,-3）=1,設(shè)a=a+2b+c,則石的取值范圍是—.

【變式16-3]（24-25八年級?浙江寧波?期末）

64.用卜]表示不大于x的最大整數(shù)，如[4』=4,[-2.5]--3,則方程6x-3[x]+7=0的解

是.

【題型17一元一次不等式組的運(yùn)用】

【例17]（24-25七年級?安徽合肥?階段練習(xí)）

65.某校七年級有三個班組織數(shù)學(xué)競賽、英語競賽和作文競賽，各項(xiàng)競賽均取前三名（每項(xiàng)

競賽的每一名次都只有一人），第一名可得5分，第二名可得3分，第三名可得1分.已知

七（1）班和七（2）班總分相等，并列第一名，且七（2）班進(jìn)入前三名的人數(shù)是七（1）班

的兩倍，那么七（3）班的總分是分.

【變式17-1]（24-25八年級?北京西城?期末）

66.小明沿街心公園的環(huán)形跑道從起點(diǎn)出發(fā)按逆時針方向跑步，他用軟件記錄了跑步的軌跡,

他每跑1km軟件會在運(yùn)動軌跡上標(biāo)注相應(yīng)的路程，前5km的記錄如圖所示.已知該環(huán)形跑道

一圈的周長大于1km.

（1）小明恰好跑3圈時，路程是否超過了5km?答：（填“是”或“否”）；

（2）小明共跑了14km且恰好回到起點(diǎn)，那么他共跑了____圈.

【變式17-2]（24-25八年級?四川達(dá)州?階段練習(xí)）

67.“書香文化節(jié)”是我校的四大節(jié)日之一，某年級甲、乙、丙三個班在“書香文化節(jié)”期間各

自建立了本班的圖書角.建立之初這三個班的圖書角的書籍總本數(shù)大于800且小于1000.第

一周結(jié)束后，三個圖書角共補(bǔ)充了280本圖書，此時三個圖書角的書本數(shù)量之比為899；

第二周結(jié)束后，三個圖書角又共補(bǔ)充了360本圖書，此時三個圖書角的書本數(shù)量之比為

11:9:14.若每個班的圖書角的書籍總本書為正整數(shù)，則第二周結(jié)束后丙班圖書角擁有書籍一

本.

試卷第19頁，共30頁

【變式17-3]（24-25八年級?北京西城?階段練習(xí)）

68.某校圍棋社團(tuán)由學(xué)生和教師組成，人員構(gòu)成同時滿足以下三個條件：

①初一學(xué)生人數(shù)多于初二學(xué)生人數(shù)的2倍；

②初三學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù)；

③教師人數(shù)的四倍多于初一學(xué)生人數(shù).

（1）若教師人數(shù)為3,則初二學(xué)生人數(shù)的最大值為；

（2）該小組人數(shù)的最小值為.

【類型三解答壓軸題】

【題型18確定兩角度之間的關(guān)系】

【例18】（24-25八年級?四川綿陽?期中）

69.央視科教頻道播放的《被數(shù)學(xué)選中的人》節(jié)目中說到，“數(shù)學(xué)區(qū)別于其它學(xué)科最主要的

特征是抽象與推理”.幾何學(xué)習(xí)尤其需要我們從復(fù)雜的問題中進(jìn)行抽象，形成一些基本幾何

模型，用類比等方法，進(jìn)行再探究、推理，以解決新的問題.

（1）【模型探究】如圖1,ZUBC和△/￡>￡中，AB=AC,AD=AE,S.ZBAC=ZDAE,連

接BE,CD.這一圖形稱“手拉手模型”.求證請你完善下列過程.

證明：;NBAC=NDAE,

ABAC-Zl=NDAE-Z1.

即=.

AB=AC

在和_______(1)

______⑵

/\ABE咨AACD（）（3）.

（2）【模型指引】如圖2,MBC中，AB=AC,ZBAC=40°,以8為端點(diǎn)引一條與腰NC相

交的射線，在射線上取點(diǎn)。，使乙4DB=/ACB,求的度數(shù).小亮同學(xué)通過觀察，聯(lián)

試卷第20頁，共30頁

想到手拉手模型，在2。上找一點(diǎn)E,使=最后使問題得到解決.請你幫他寫出解

答過程.

(3)【拓展延伸】如圖3,△4BC中，AB=AC,N8/C為任意角度，若射線AD不與腰NC

相交，而是從端點(diǎn)B向右下方延伸.仍在射線上取點(diǎn)。，使ZADB=N4CB,試判斷/A4C

與/BDC有何數(shù)量關(guān)系？并寫出簡要說明.

【變式18-1](24-25八年級?北京西城?開學(xué)考試)

70.已知A/BC,點(diǎn)。為5c中點(diǎn)，F(xiàn),E為邊AC,48上的動點(diǎn)，且滿足OE=D尸，G

為平面內(nèi)一點(diǎn)，GEVAB,GF1AC,連接2G,CG.

(1)若點(diǎn)G為△ABC邊48和邊NC上的高的交點(diǎn)，求證：AABG=AACG-

⑵若點(diǎn)G不與三角形高的交點(diǎn)重合，N/BG與//CG是否還有上述關(guān)系？請說明理由.

【變式18-2](24-25八年級?湖北武漢?階段練習(xí))

71.如圖1,在Rt/X/BC中，乙8/。=90。,。點(diǎn)在邊/。上，ZADB=2ZABC.

(1)在圖1、圖2中，請用直尺和圓規(guī)作圖：畫出△NBC關(guān)于直線N5對稱的A4BE；

(2)利用1中畫出的圖形，求證：BD=CD+2AD；

⑶如圖2,已知產(chǎn)點(diǎn)在8c邊上，且N4DB=/CDP,連接尸試探索/2PE和/C尸。之

間的數(shù)量的關(guān)系，寫出你的結(jié)論并證明.

【變式18-3](24-25八年級?江蘇南通?階段練習(xí))

72.在△/BC中，/2=/C,點(diǎn)。是直線BC上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)3、。重合)，以AD為腰右

側(cè)作等腰三角形△4DE,且4D=/E,ABAC=ZDAE,連接CE.

試卷第21頁，共30頁

AA

A

E

B/D~~bL--------、C

圖1圖2

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段8C上，如果NA4C=90。，則4CE=度.

(2)設(shè)/A4C=a,NBCE=。.

①點(diǎn)。是在線段BC上移動時，如圖2,則必/之間有怎樣的數(shù)量為關(guān)系，試說明理由.

②點(diǎn)。是在線段C3延長線上移動時，則①中外夕之間數(shù)量關(guān)系是否成立，如不成立，又

有怎樣的數(shù)量關(guān)系，試說明理由.

【題型19證明線段間的關(guān)系】

【例19】(24-25八年級?河北邯鄲?階段練習(xí))

73.如圖1,圖2,在△ABC和△DCE中，NACB=NDCE,AC=DC,BC=EC,AB與

OE所在直線相交于點(diǎn)尸，(加，用于點(diǎn)

圖1圖2

(1)如圖1,連接CF,求證：FC平分NAFE；

,3

(2)如圖1,若S四邊形c"?=6,CM=—,則FM的長為；

(3)如圖2,若NACB=NDCE=9Q°,AF=EF,連接/￡,交CF于點(diǎn)H.

①CF是否為線段NE的垂直平分線？并說明理由；

②過點(diǎn)3作BGLCF,交CF的延長線于點(diǎn)G,直接寫出GB+G”與/￡之間的數(shù)量關(guān)系.

【變式19-1](24-25八年級?上海閔行?期中)

74.已知：如圖，等邊三角形/8C,點(diǎn)尸和。分別從A和C兩點(diǎn)同時出發(fā)，它們的速度相

同.點(diǎn)尸沿射線運(yùn)動，點(diǎn)。沿邊BC的延長線運(yùn)動，設(shè)尸。與直線NC相交于點(diǎn)。，作

PE上4c于E；

試卷第22頁，共30頁

AAA

（1）當(dāng)AOC0為等腰三角形時，過點(diǎn)。作4B的平行線，交BC于M,試探究線段?！芭c4P

的大小關(guān)系，并加以證明.

⑵①當(dāng)點(diǎn)P在邊上時，直接寫出DE與NC的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）；

②當(dāng)點(diǎn)尸在的延長線上時，①中的結(jié)論還成立嗎？若成立在圖中畫出圖形并證明.如不

成立，指出DE與NC的關(guān)系并說明理由.

【變式19-2]（24-25八年級?河北滄州?期末）

75.如圖，在△/BC中，ZACB=2NB,/8/C的平分線2。交5c于點(diǎn)。，點(diǎn)“為/。上

一動點(diǎn)，（不與點(diǎn)”重合）過點(diǎn)8作直線于分別交直線43、AC、BC于點(diǎn)N、

E.M.

圖1圖2

（1）如圖1,判斷NN與NE的數(shù)量關(guān)系并證明.

（2）當(dāng)直線/經(jīng)過點(diǎn)C時（如圖2）,求證：BN=CD；

（3）當(dāng)M是8C中點(diǎn)時，請直接寫出CE和CD之間的等量關(guān)系.

【變式19-3]（24-25八年級?福建泉州?期中）

76.如圖，在等腰Rt4/BC中，ABAC=90°,AB=AC,在/C邊上取一點(diǎn)。，連接5D,

點(diǎn)￡為線段AD上一點(diǎn)，以BE為斜邊作等腰RtZXBE尸，連接/￡、AF、CE,AF交BD于

G.

試卷第23頁，共30頁

(1)如圖1,若/￡垂直平分GO,

①求證：AAFE=ZCBD；

②判斷CE與的關(guān)系，并說明理由；

(2)如圖2,M是線段CE上一點(diǎn)，若/7NM=45。，求證：CM=ME.

【題型20利用勾股定理證明線段平方關(guān)系】

【例20](24-25八年級?浙江紹興?期中)

77.如圖1,四邊形48。是正方形，E,尸分別在邊8c和CD上，且NE/F=45。，我們把

這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法.小明為了解

決線段所，BE,。尸之間的關(guān)系，將繞點(diǎn)/順時針旋轉(zhuǎn)90。后解決了這個問題.

(2)如圖3,等腰直角三角形48。，/B4D=90。，AB=AD,點(diǎn)、E,尸在邊AD上，且

ZEAF=450,請寫出跖，BE,。尸之間的關(guān)系，并說明理由.

【變式20-11(24-25八年級?江蘇揚(yáng)州?期中)

78.在△ABC中，AB=AC,。是8C的中點(diǎn)，以/C為腰向外作等腰直角△/CE,

ZEAC=90°,連接3E,交4D于點(diǎn)尸，交NC于點(diǎn)G.

試卷第24頁，共30頁

E

A

BDC

（1）若NB/C=50。，求44"的度數(shù)；

（2）求證：NAEB=N4CF；

⑶求證：EF2+BF2=2AC2.

【變式20-21（24-25八年級?福建福州?期末）

79.如圖，△/（力和AECD都是等腰直角三角形，CA=CB=6,CE=CD,△/（比的頂點(diǎn)

A在AECD的斜邊。￡上，連接80.

(1)求證：AECA會/\DCB；

(2)探究NE、AD、A8的數(shù)量關(guān)系，并證明;

(3)若=1:3,求兩個三角形重疊部分的面積.

【變式20-31（24-25八年級?河南鄭州?期中）

80.在△/8C和中，點(diǎn)。在8c邊上，ABAC=ADAE=a,AB=AC,AD=AE.

,之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

⑵如圖2,當(dāng)a=60。時,過點(diǎn)A作DE的垂線并延長，交BC于點(diǎn)F,若BC=10,BD=2,

求線段CF的長.

試卷第25頁，共30頁

【題型21利用勾股定理在網(wǎng)格中作圖】

【例21】（24-25八年級?江蘇鹽城?期中）

81.方格紙中每個小方格都是邊長為1的正方形，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，我們把頂點(diǎn)都

是格點(diǎn)的多邊形稱為“格點(diǎn)多邊形”.

圖1圖2

（1）在圖1中.點(diǎn)/、8都是格點(diǎn)，則48的長度是；

（2）在圖1中，找出一個格點(diǎn)C,請用無刻度的直尺畫一個以為腰的等腰△/BC；

（3）在圖2中，△ABC是格點(diǎn)三角形，請用無刻度的直尺找出一個格點(diǎn)。，使2。平分N/8C

不寫畫法，保留畫圖痕跡）

【變式21-1］（24-25八年級?廣東佛山?期中）

82.小明對數(shù)學(xué)課上老師給出的一道思考題“在方格紙上畫一個面積為3的三角形”產(chǎn)生了濃

烈的興趣，課后他想進(jìn)一步探究學(xué)習(xí)，請你與他一起來完成.（注：方格紙中每個小方格的

邊長為1）

圖⑵①

\A

圖⑴圖⑵②圖⑶

【思考嘗試】⑴如圖（1）,線段42的長為6,請以48為一邊,畫出一個面積為3的鈍

角三角形，并直接寫出它的另外兩邊長分別為（三角形的頂點(diǎn)均為

格點(diǎn)）

【實(shí)踐探究】（2）如圖（2）①，小明截取出方格紙的局部，你能剪一剪，并把它們拼成一

個無重疊無縫隙的正方形嗎？請在圖（2）①中畫出剪切線，在圖（2）②中畫出拼成的正

方形，并計算它的邊長.

【拓展遷移】（3）如圖（3）,邊長分別為a、6的兩個正方形/BCD和BE尸G擺放到一起，剪

試卷第26頁，共30頁

一剪，并把它們拼成一個無重疊無縫隙的大正方形，請你在圖（3）中畫出裁剪線，并畫出

拼成的大正方形.

【變式21-2］（24-25八年級?湖北恩施?期中）

83.如圖是由小正方形組成的7x6網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，△NSC三個頂點(diǎn)

（1）如圖1中，點(diǎn)尸是線段48上一點(diǎn)，先畫出△4BC的高BN；再在2c上畫出一點(diǎn)E,使

BE=BP.

（2）如圖2中，先在邊/C上畫出一點(diǎn)。，使4%=45。；再在△NBC內(nèi)畫出一點(diǎn)。，使

OA=OB=OC.

【變式21-3］（2024?浙江寧波?一模）

84.如圖，在8x4的正方形網(wǎng)格中，按△NBC的形狀要求，分別找出格點(diǎn)C,且使8C=5,

并且直接寫出對應(yīng)三角形的面積.

【題型22勾股定理的應(yīng)用】

【例22］（24-25八年級?陜西西安?階段練習(xí)）

85.2023年7月五號臺風(fēng)“杜蘇芮”登陸，使我國很多地區(qū)受到嚴(yán)重影響，據(jù)報道，這是今

年以來對我國影響最大的臺風(fēng)，風(fēng)力影響半徑250km（即以臺風(fēng)中心為圓心，250km為半

徑的圓形區(qū)域都會受臺風(fēng)影響），如圖，線段8C是臺風(fēng)中心從C市向西北方向移動到8市

試卷第27頁，共30頁

的大致路線，/是某個大型農(nóng)場，且