2024-2025學(xué)年北師版八年級數(shù)學(xué)下冊專項(xiàng)練習(xí)：構(gòu)造三角形中位線的四種常用方法（解析版）

專題6.4構(gòu)造三角形中位線的四種常用方法

【北師大版】

考卷信息：

本套訓(xùn)練卷共24題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生構(gòu)造三角形中位線的四種常用方法

的理解！

【題型1連接兩點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線】

1.（2023上?山西臨汾?八年級統(tǒng)考期中）如圖，在A/IBC中，4B=BC=10,AC=12,點(diǎn)D,E分別是4B,

BC邊上的動點(diǎn)，連結(jié)DE,F,M分別是4。，DE的中點(diǎn)，貝UFM的最小值為（）

A.12B.10C.9.6D.4.8

【答案】D

【分析】本題主要考查了三角形中位線定理，勾股定理，垂線段最短的性質(zhì).連接AE,作于點(diǎn)H.由

三角形中位線的性質(zhì)得尸M=由垂線段最短可知當(dāng)ZE最小，即點(diǎn)E與點(diǎn)H重合時FM的值最小，然后

利用勾股定理求出4"的長即可.

【詳解】解：連接4E,作于點(diǎn)H.

:點(diǎn)D,E分別是AB,BC邊上的動點(diǎn),

，尸時是440E的中位線，

：.FM=-AE,

2

???當(dāng)4E最小，即點(diǎn)E與點(diǎn)〃重合時FM的值最小.

1

設(shè)BH=x,貝|CH=10-x,

V102-x2=122-(10—%)2,

.".x=2.8,

：.AH=V102-2.82=9.6,

；.FM的最小值為4.8.

故選D.

2.(2023下?江蘇無錫?八年級統(tǒng)考期中)如圖，四邊形48CD中.ACIBC,AD\\BC,BD為Z71BC的平分線,

BC=3,AC=4,E,尸分另IJ是B。，4C的中點(diǎn)，則EF的長為.

【答案】1

【分析】根據(jù)勾股定理得到48=5,根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得到乙48。=乙求得AB=

AD=5,連接并延長交4。于G,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BF=FG,AG=BC=3,求得OG=5-3=

2,根據(jù)三角形中位線定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：?.NC1BC,

：.^ACB=90°,

,:BC=3,AC=4,

：.AB=5,

'：AD||BC,

:.乙ADB=4DBC,

為的平分線，

/.ABD=/.CBD,

Z.ABD=Z.ADB,

：.AB=/D=5,

連接BF并延長交4。于G,

2

'：AD||BC,

：.^AGF=Z.CBF,

丁尸是/C的中點(diǎn)，

：.AF=CF,

在和△仁心中，

^AFG=乙CFB

Z.AGF=乙CBF,

、AF=CF

：.^AFG=^CFB(AAS),

：.BF=FG,AG=BC=3,

：.DG=5-3=2,

?/E是8。的中點(diǎn)，

：.EF=-DG=1.

2

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的中位線定理，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作

出輔助線是解題的關(guān)鍵.

3.(2023上?吉林長春?八年級?？茧A段練習(xí))(1)【定理】如圖①，在AABC中，點(diǎn)。、E分另IJ是48與"的中

點(diǎn).根據(jù)畫出的圖形，可以得出：

①DE與BC位置關(guān)系是.

②DE與BC數(shù)量關(guān)系是—.

(2)【定理應(yīng)用】如圖②，已知矩形ABCD中，AD=6,CD=4,點(diǎn)P在BC上從B向C移動，R、E、F分另(J

是DC、AP,RP的中點(diǎn)，貝UEF的長度.

(3)【拓展提升】如圖③，△力8c中，AB=12,BC=16,點(diǎn)、D,E分別是4B,4C的中點(diǎn)，點(diǎn)F在DE上，

且N4FB=90°,貝UEF=.

3

A

①②③

【答案】(1)?DE\\BCi?DE^^BC；(2)EF=V10；(3)2

【分析】(1)利用兩邊成比例，夾角相等證明AADESA4BC,即可證明;

(2)連接力R,在RtAADR中求出4R,再由中位線的性質(zhì)求EF即可;

(3)在RtAAFB中，利用斜邊的中線等于斜邊的一半，求出DF,再由中位線性質(zhì)求DE,即可求EF.

【詳解】解：⑴：點(diǎn)。、E分別是2B與共的中點(diǎn),

.AD_AE_1

''AB~AC~2

△ADEABC,

.DEAD1ACLdC

>?—=—=一，Z-ADE=Z-ABC,

BCAB2

：.DE\\BC,DE=加；

故答案為：①DEIIBC；②DE=：BC；

(2)如下圖，連接4R,

是2P的中點(diǎn),F是PR的中點(diǎn),

1

：.EF=-AR,

2

是CO的中點(diǎn),CD=4,

.??*8=2,,

"：AD=6,ND=90°,

：.AR=VXD2+DR2=2V10,

：.EF=V10；

4

(3)：BC=16,點(diǎn)D,E分別是力B,AC的中點(diǎn),

：.DE=-BC=S,

2

Z.AFB=90°,點(diǎn)。是4B的中點(diǎn),AB=12,

：.DF=-AB=6,

2

：.EF=DE-DF=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線的的判定及性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形斜邊

上的中線等于斜邊的一半，熟練掌握中位線的定義及性質(zhì)、三角形相似的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.(2023下?全國?八年級假期作業(yè))如圖，△力BC是銳角三角形，分別以AB,AC為邊向外作等邊三角形

和等邊三角形C4V,D,E,尸分別是MB,BC,CN的中點(diǎn)，連接。E,FE.求證：DE=EF.

【答案】見解析

【詳解】證明：如圖，連接MC,BN.

???△48”和4C4N是等邊三角形，

Z.BAM=乙CAN=60°,AM^AB,AN=AC,

???/LBAM+ABAC=MAN+4BAC,即NM4C=/.BAN.

■AM=AB,

在小AL4c和4BAN中，\^.MAC=乙BAN,

,AC=AN,

???AMACBAN(SAS),MC=BN.

■.D,E,F分別是MB,BC,CN的中點(diǎn)，

DE=-MC,EF=-BN,:.DE=EF.

22

BEC

5

5.（2023上?江蘇常州?八年級統(tǒng)考期中）如圖，在RtAABC中，乙4cB=90。，AC=3,BC=4,。是邊BC的

中點(diǎn)，E是邊4B上一點(diǎn)，且DE=DC.

（1）用直尺和圓規(guī)在邊AC上作點(diǎn)F,使得ACDFmAEDF；（不寫作法，保留作圖痕跡）

⑵在（1）的條件下：

①求CF的長；

②線段DF與線段2B的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是.

【答案】（1）見解析

⑵①I；?DF=lAB,DFWAB

【分析】此題考查作角平分線，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，等角對等邊證明邊相等，三角形中位

線的性質(zhì)定理，熟練掌握各知識點(diǎn)并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

（1）作NCDE的平分線，可得4CDFmAEDF；

（2）①由△CDF=△EOF得至懷尸=CF,4DEF=4C=90°,利用CD=DE=BD=2推出=乙BED,進(jìn)

而得到乙4=乙4屐，證得4F=EF,即可求出4F=CF=^AC=|；②勾股定理求出48=5,根據(jù)中點(diǎn)得到DF

是△4BC的中位線，由此得到DF||4B,DF=

【詳解】（1）如圖，連接EF,

VCD=DE,/.CDF=Z.EDF,DF=DF

：.ACDFm4EDF；

(2)@VACDF=LEDF,

6

：.EF=CF,(DEF=ZC=90°,

'：BC=4,。是邊BC的中點(diǎn)，DE=DC.

：.CD=DE=BD=2

：.Z.B=乙BED

9：^A+=90°,Z.DEB+AAEF=90°

：.^A=^AEF

：.AF=EF

13

：.AF=CF^-AC=-；

22

②?.ZCB=90。，AC=3,BC=4,

：.AB=VXC2+BC2=5

"：AF=CF,CD=BD

是△ABC的中位線，

：.DF\\AB,DF=^AB,

故答案為：DF^^AB,DFWAB.

6.（2023上?江蘇南通?八年級校考期末）如圖，矩形4BCD中，4B=6,BC=8,E是BC邊上的一定點(diǎn)，P

是CD邊上的一動點(diǎn)（不與點(diǎn)C、。重合），M,N分別是4E、PE的中點(diǎn)，記MN的長度為0,在點(diǎn)尸運(yùn)動過

程中，。不斷變化，則a的取值范圍是.

【答案】4<a<5/5>a>4

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理，，連接2C,AP,先由矩形的性質(zhì)和

勾股定理求出4C=10,再證明知可是44EP的中位線，得到MN=|XP,由4。<AP<2C得到8<2MN<

10,則4<MN<5,即4<a<5.

【詳解】解：如圖所示，連接AC,AP,

?：四邊形2BCD是矩形，

：.AD=BC=8,Z.B=90°,

7

：.AC=yjAB2+BC2=10,

'：M,N分別是ZE、PE的中點(diǎn),

MN是AAEP的中位線,

：.MN^-AP,

2

：.AD<AP<AC,

；.8<2MN<10,

/.4<MN<5,即4<a<5,

7.（2023下?湖北黃岡?八年級?？计谥校┤鐖D，矩形4BCD中，4E1BD交CD于點(diǎn)E,點(diǎn)、尸在4D上，連接CF交

4E于點(diǎn)G,且CG=GF=AF,若=小后，貝UCD的值為.

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理.連接4c交BD于點(diǎn)O,連接。G,令BD與CF

交于點(diǎn)根據(jù)矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，平行線的性質(zhì)，對頂角相等和余角的性質(zhì)可得4G"。=

乙MDF=4MOG=4FMD,設(shè)。G=GM=x,則CG=GF=4尸=2%,用x表示出CO和4D,利用勾股定理

列出方程即可解答.

【詳解】解：連接4C交8￡）于點(diǎn)O,連接0G,令BD與CF交于點(diǎn)、M,

"：GF=AF,

：./.FAG=Z.FGA,

?..四邊形48CD為矩形,

8

：.BD=AC=446,OB=OD,

VCG=GF,

???0G為的中位線，

：.AF=20G,OGWAD,

???乙FOM=乙MOG,

'：AE1BD,

：.Z.FGA+Z.GMO=90°,^LMDF+^FAG=90°,

：.Z.GMO=乙MDF,

：.Z.GMO=Z.MDF=乙MOG=Z.FMD,

：.OG=GM,FM=FD,

設(shè)OG=GM=x,貝北G=GF=AF=2x,

FD=FM=FG-MG=2x—x=x,

/.CF=4xfAD=3汽,

在DCF中，由勾股定理得，

CD=VFC2-FD2=V15x,

在RtAAOC中，由勾股定理得，

DC2+AD2=AC2,

§P15x2+9x2=96,

解得x=2,

CD=V15x=2V15.

故答案為：2位.

8.（2023下廣西桂林?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形2BCD中，AB=5,AD=3,CE平分NBCD交4B于點(diǎn)

E,點(diǎn)RG分別是CD,CE的中點(diǎn)，則FG的長為（）

9

【答案】D

【分析】CE平分ABCD可得ADCE=乙BCE,根據(jù)矩形4BCD可得△BCE是等腰直角三角形，所以BC=AD=

BE=3,從而可求EA=2,連接0E,由勾股定理得DE的長，再根據(jù)三角形中位線定理可求FG的長.

【詳解】解：?.?四邊形力BCD是矩形，

：.AB\\CD,

：.^BEC=/.DCE,

,/CE平分乙BCD,

:.乙DCE=4BCE,

:.乙BCE=乙BEC,

：.BC=AD=BE=3,

\'AB=CD=5,

：.AEAB-BE=2,

連接。E,如圖，

DE=y/AE2+AD2=V22+32=V13,

?.?點(diǎn)RG分別為CD、CE的中點(diǎn),

：

.FG=-2DE2

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)以及三角形中位線定理，勾股定理等知識點(diǎn)，熟記性質(zhì)與定理是解題關(guān)鍵.

【題型2利用角平分線垂直構(gòu)造三角形的中位線】

1.（2023下?全國?八年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)。是△ABC外一點(diǎn)，AD1BD,

且4D平分NBAC,連接DE.若力B=10,DE=2,貝！MC的長為（）

10

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】根據(jù)題目條件判斷△/DB三△40H,得出4"=/8=10,BD=DH,再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)

得到C”=4,最后進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：延長ZC,BD交于點(diǎn)H,

???AD1BD,平分

???乙ADB=^LADH,乙BAD=4HAD

在和△AD”中，

Z.BAD=乙HAD

AD=AD,

zADB=Z-ADH

ADB三△ZD”(ASA),

AH=AB=10,BD=DH,

,??點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，

CH

DE=—=2

2

??.CH=4,

???AC=AH-CH=6,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等，三角形中位線的判定及性質(zhì)，掌握三角形中位線的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

2.（2023下?河北邯鄲?八年級校考期中）在△ABC中，點(diǎn)O是48的中點(diǎn)，CE平分4AE1CE于點(diǎn)E.

11

(1)求證：DEWBC；

(2)若AC=5,BC=7,求DE的長.

【答案】(1)見解析

(2)1

【分析】(1)根據(jù)CE平分AE1CE,運(yùn)用ASA易證明△4"三AFCE.根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得

AE=EF,CF=AC,根據(jù)三角形的中位線定理即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)三角形的中位線定理即可求解.

【詳解】(1)解：延長力E交BC于F,

???CE平分NACB,4E1CE于點(diǎn)E,

.-./.ACE=乙FCE,Z.AEC=/.FEC=90°,

在AACE和AFCE中，

'AACE=乙FCE

CE=EC,

,^AEC=4FEC=90°

ACE=△FCE.

AE=EF,

???點(diǎn)。是的中點(diǎn)，

AD=BD,

DE是△ABF的中位線.

???DEWBC；

(2)???△ACE=LFCE,

.-.CF=AC=5,

DE是AABF的中位線.

111

??.DE=^BF=^^BC-AC}=久7-5)=1,

12

故DE的長為1.

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的中位線定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

3.（2023下?山西運(yùn)城?八年級校聯(lián)考期末）如圖，在AABC中，8。平分NABC,過點(diǎn)C作CD1BD于點(diǎn)。,

￡是邊AC的中點(diǎn)，連接。E,若DE=2,BC=10,則AB的長為（）

【答案】A

【分析】如圖，延長BA,CO交于點(diǎn)凡根據(jù)角平分線和垂線證得BF=BC,DF=CD,再利用中位線的性質(zhì)

得至l]AP=2OE,即可計(jì)算求得答案.

【詳解】如圖，延長區(qū)4,CD交于點(diǎn)F,

?.?8。平分/48（?,

，乙FBD=Z.CBD,

「CDLBD,

...△F8C是等腰三角形（三線合一），

：.BF=BC=10,DF=DC,

二。是CE的中點(diǎn)，

是邊AC的中點(diǎn)，

；.DE是AC4F的中位線，

：.AF=2DE=4,

：.AB=BF-AF=6；

故選：A.

13

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是做出輔助線，利用等腰三角

形和中位線的性質(zhì)解答.

4.(2023上?山東東營?八年級?？茧A段練習(xí))如圖，△ABC中，AB=9cm,AC=5cm,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，

若2D平分ABAC,CD1AD,線段DE的長為.

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，中位線平行于第三邊且等于第三邊長度的一

半.

延長CD交4B于F,證明AADF三△ADC(ASA),則DF=CD,AF=AC=5cm,BF=AB-AF=4cm,

可證DE是ABCF的中位線，根據(jù)。計(jì)算求解即可.

【詳解】解：如圖，延長CD交于F,

由題意知，/-FAD=/.CAD,^ADF=^ADC=90°,

在ATlOF和△ADC中，

'/.FAD=Z.CAD

VAD=AD,

Z.ADF=/.ADC

：.△ADF三△40C(ASA),

.\DF=CD,AF=AC=5cm,

是CF的中點(diǎn)，BF=AB-AF=4cm,

又是BC的中點(diǎn)，

是ABCF的中位線，

：.DE=-BF=2cm,

2

14

的長為2cm.

故答案為：2cm.

5.（2023下?江蘇?八年級姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初中校考期中）如圖，RtAABC中乙4cB=90。，AB=13,BC=5,

AD,BE分另ij平分NBAC、4ABC,^ADC=Z.BEC=90°,連接DE,貝UDE=.

【答案】2

【分析】利用勾股定理求得ac=12,分別延長CD、CE交4B于點(diǎn)F、G,證明△4DC三△4DF和△8EC三4

BEG,推出CD=OF,AC^AF^12,CE=EG,BC=BG=S,得到。E是△AFG的中位線，據(jù)此求解即

可.

【詳解】解：VzXCB=90°,AB=13,BC=5,

：.AC=V132-52=12,

分別延長CD、CE交48于點(diǎn)尸、G,

?.,4D分另U平分NB力C,^ADC=AADF=90°,又AD=AD,

：.LADC=AADF(ASA),

：.CD=DF,AC=”=12,

同理△BEC=ABFG(ASA),

/.CE=EG,BC=BG=5,

；.DE是AAFG的中位線，

：

.DE=-2FG,

*：FG=/F+BG—48=12+5-13=4,

：.DE=-\4=2,

2

15

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理，證明DE是A/IFG的中位線是

解題的關(guān)鍵.

【題型3已知中點(diǎn)，取另一條線段的中點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線】

1.（2023上?江蘇宿遷?八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在RtAABC中，/.BAC=90°,AB=3,AC=4,平面上

有一點(diǎn)P,連接4P,CP,且CP=2,取4P的中點(diǎn)M.連接BM,貝的最小值為（）

A.V10B.等C.V13-1D.2V3

【答案】C

【分析】令4c中點(diǎn)為點(diǎn)N,連接MN,BN,貝MN==2,根據(jù)勾股定理求出BN=g,由中位線定理

得出MN=1CP=L根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系得出BM>舊一1,當(dāng)點(diǎn)8、M、N在同一直線上時，BM

取最小值，即可求解.

【詳解】解：令4C中點(diǎn)為點(diǎn)N,連接MN,BN,

?.?點(diǎn)N為47中點(diǎn)，

1

：.AN=-AC=2,

2

根據(jù)勾股定理可得：BN=7AB2+AN2=02+22=V13,

?.?點(diǎn)M為2P中點(diǎn)，點(diǎn)N為2C中點(diǎn)，CP=2,

；.MN—CP=1,

2

.?.在ABMN中，BM>BN-MN,即—1,

當(dāng)點(diǎn)2、M,N在同一直線上時，BM=BN—MN,

此時BM取最小值g-1,

故選：C.

B

16

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，中位線定理，三角形三邊之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形兩

直角邊的平方和等于斜邊平方；三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半；三角形兩邊之和大于

第三邊，兩邊之差小于第三邊.

2.（2023上?福建廈門?八年級廈門一中?？计谥校┤鐖D，在RtA4BC中，乙ACB=90°,ABAC=30°,BC=3,

線段8c繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到BD,連為2。的中點(diǎn)，連CE,設(shè)CE的最大值為瓶，最小值為"，則爪+n=.

【答案】6

【分析】取AB的中點(diǎn)凡利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求出4B=2BC=6,利用三角形中位線定理推出

EF=\BD=1，再分類討論可求得用和，7的值，即得出答案.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出BD==3,

如圖，取4B的中點(diǎn)R連接EF、CF,

V/LBAC=30°,BC=3.

：.AB=2BC=6,BF=FA=BC=CF=3,

,:E、尸分別是4。、48的中點(diǎn),

13

：.EF=-BD=

22

如圖，當(dāng)/。在4B上方時，

----------------N

此時，如果C、E、歹三點(diǎn)共線，則CE有最大值，最大值為CF+EF=3+1=4.5,即m=4.5；

如圖，當(dāng)4。在4B下方時，

17

B

此時，如果C、E、尸三點(diǎn)共線時，CE有最小值，最小值為CF-EF=3-1=1.5,即幾=1.5,

/.H+H=6.

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形中位線定理，分類討論求得CE的最大值和最小值是

解題的關(guān)鍵.

3.（2023上?黑龍江哈爾濱?八年級統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△力BC中，^ACB=90°,乙8=30。，BC=4V3,

點(diǎn)。為BC中點(diǎn)，連接4D,以4。為邊向左側(cè)作等邊AADE,連接CE,則CE=.

【答案】2

【分析】取48中點(diǎn)H,連接CH,DH,由SAS可知AACE三△4HD,可得EC=DH,進(jìn)而由直角三角形的性質(zhì)

可求解.

【詳解】解：如圖，取4B中點(diǎn)連接DH,

,乙4cB=90。，ZB=30°,點(diǎn)H是4B的中點(diǎn),

???/.CAB=60°,AH=CH=BH=4,

?''AACH是等邊三角形，

AC=AH,

???△4DE是等邊三角形，

?-.AE=AD,4EAD=60°=/.CAB,

18

???Z-EAC=Z-BAD,

在△4CE和△4"。中，

AC=AH

Z-EAC=^DAH,

、AE=AD

.*.△ACE三△ZHO(SAS),

??.EC=DH,

在RtAABC中，入4cB=90。，NB=30。，BC=4V3,

???AB=2AC

AC2+BC2=(2ACY

解得：AC=4,

???D,H分別為4的中點(diǎn)，

DH=2

???EC=DH=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識，中位線的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線

構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵.

4.(2023上?河南南陽?八年級統(tǒng)考期中)先把下面直角三角形的性質(zhì)和已知補(bǔ)充完整，再證明.

求證：直角三角形的中線等于斜邊的一半.

已知：如圖，在AABC中，NACB=90。，點(diǎn)。是力B的中點(diǎn).求證：.

【答案】見解析

【分析】本題考查了直角三角形的特征，與三角形中位線有關(guān)的證明，線段垂直平分線的性質(zhì)，取BC的中點(diǎn)

E,連接。E,則DE是ATlBC的中位線，得出0EII4C,推出DE_L8C,從而得到CD=BD,由此即可得證，

熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，

己知：如圖，在△ABC中，乙4cB=90。，點(diǎn)。是AB的中點(diǎn).求證：CD=^AB.

19

證明：如圖，取BC的中點(diǎn)E,連接DE,

'.1D.E分別是4B,BC的中點(diǎn)，

???DE是△ABC的中位線，

DE||AC,

???Z4CS=90°,

.-.乙DEB=Z.ACB=90°,DE1BC,

E是8c的中點(diǎn)，

CD=BD,

???。是ZB的中點(diǎn)，

BD=-AB,

2

???CD=2-AB.

5.（2023上?遼寧葫蘆島?八年級統(tǒng)考期中）如圖，。在AC上，AABC與ACDE均為等邊三角形，F(xiàn),H,G分別

是BC,CE,AD的中點(diǎn)，連接求證：AFG”為等邊三角形.

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)，取CD的中點(diǎn)M,連接MH,

得出△CM”為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)和中點(diǎn)的性質(zhì)得出CF=MG,進(jìn)而可證出△FCH

GMH,由此得出HF=HG,乙FHG=60°,即可得出答案，合理作出輔助線得出三角形全等是解決此題的關(guān)

鍵.

【詳解】取CD的中點(diǎn)連接

20

A

'：△ABC^J\CDE均為等邊三角形，

：.BC=AC,CD=CE,乙4cB=4DCE=60°,

;尸,H,G分別是BC,CE,4。的中點(diǎn)，M為CD的中點(diǎn)，

；.CF=%B,CH^-CE,DM=CM^-CD,DG=-AD,

2222

ACM=CH,

又乙MCH=乙DCE=60°,

???△CM”為等邊三角形，

：.MH=CH,乙MCH=Z.CMH=乙CHM=60°,

:?乙GMH=180°-Z,CMH=180°-60°=120°,

又(FCH=乙ACB+乙MCH=60°+60°=120°,

:?乙FCH=乙GMH,

又MG=DG+DM=ZAD+^CO=Z(AD+CD)=-AC,

2222

CF=MG,

在△FC”和△GM”中，

'CH=HM

Z-FCH=乙GMH

、CF=MG

.*.△FCH=△GMH(SAS),

：.HF=HG,乙CHF=^MHG,

:?乙CHF+乙FHM=乙MHG+乙FHM,

:?(CHM=乙FHG,

;?乙FHG=60°,

為等邊三角形，

6.(2023下?全國?八年級假期作業(yè))如圖，在△ABC中，尸是5c邊的中點(diǎn)，。是AC邊上一點(diǎn)，E是AZ)

的中點(diǎn)，直線尸石交5A的延長線于點(diǎn)G.若ZB=CD=2,Z,FEC=45°,求■的長.

21

G

D

BFC

【答案】EF=立

【詳解】解：如圖，連接BD,取BD的中點(diǎn)H,連接EH和

E,F分別是AD8C的中點(diǎn)，；.EH=24B,FH=^CD,FH//AC,

???4HFE=乙FEC=45°.

AB=CD=2,EH=FH=1,:.乙HEF=4HFE=45°.

乙EHF=180°-乙HFE-Z.HEF=90°,

???EF=y/FH2+EH2=Vl2+l2=V2.

7.（2023下?全國?八年級假期作業(yè)）如圖，在四邊形2BCD中，M,N分別是A。，BC的中點(diǎn).若10,

CD=8求MN長度的取值范圍.

【答案】1<MN<9

【詳解】解：如圖，連接80,取BD的中點(diǎn)P,連接PM,PN.

■：M是an的中點(diǎn)，PM是AaBD的中位線，PM=|XB=5.

同理可得PN=|C￡）=4.

在小PMN中,PM-PN<MN<PM+PN,：.1<MN<9.

22

【題型4利用倍長法構(gòu)造三角形的中位線】

1.（2023下?黑龍江伊春?七年級校聯(lián)考期末）如圖，四邊形力BCD中，AC1BC,AD\\BC,BC=3,AC=

4,AD=6.M是8D的中點(diǎn)，則CM的長為（）

35

A.-B.2C.-D.3

22

【答案】c

【分析】延長BC到E使BE=AD,則四邊形力CED是平行四邊形，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到CM=|￡）F=

148,根據(jù)跟勾股定理得到的長，于是得到結(jié)論.

【詳解】：延長BC至IJE使BE=4。，

\'AD\\BC,

：.四邊形ABED是平行四邊形,

：.BE=2。=6,AB=DE

,:BC=3,AD=6,

...C是BE的中點(diǎn)，

是BD的中點(diǎn)，

11

：.CM=-DE=-AB,,

22

23

9：AC1BC,

：.AB=VXC2+BC2=V42+32=5,

11K

：.CM=-DE=-AB=-,

222

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

2.（2023上?福建龍巖?八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知正方形ABCD、正方形/“G的邊長分別為4和

1,將正方形AEFG繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)，連接。尸，點(diǎn)M是。F的中點(diǎn)，連接CM,則線段CM的最大值為（）.

A.3V2B.4V2C.5V2D.2b+?

【答案】D

【分析】本題主要考查了、三角形中位線定理、正方形的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系、勾股定理，延長DC至點(diǎn)P,

使CP=DC,連接PF,AP,AF,由三角形中位線定理可得PF=2CM,由正方形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理可得

AP=V42+82=4V5,AF=Vl2+I2=V2,由三角形三邊關(guān)系可得PF<AF+AP,從而可得PF的最大

值為4班+VL即可得解，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，延長DC至點(diǎn)P,使CP=DC,連接PF,AP,AF,

???點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，CP=DC,

。加是4OFP的中位線，

24

??.PF=2CM,

?.,正方形/BC。、正方形的邊長分別為4和1,

AP=V42+82=4