2024-2025學年華東師大版九年級數(shù)學下學期圓的對稱性質(zhì)

2024-2025學年下學期初中數(shù)學華東師大新版九年級期中必刷?？碱}之圓

的對稱性質(zhì)

一.選擇題（共5小題）

1.（2025?長沙一模）要測一個殘損輪子的半徑，小麗的方案如下：如圖，在輪子圓弧上任取兩點A,B,

再作弦AB的垂直平分線交AB于點C,交圓弧于點D,測出4B和CD的長度,即可計算出輪子的半徑.若

測得A3=48on,CD=12cm,則輪子的半徑為（）

A.20cmB.30cmC.40cmD.50cm

2.（2025?碑林區(qū)校級一模）如圖，已知OO的半徑為5,弦A3與弦位于圓心。的異側(cè)，AB//CD,

8=6,在A3上取點E,連結(jié)石。并延長交于點?若OE：OF=1：2,則A3的長為（）

A.12B.2vnD.vn

3.（2024秋?沂源縣期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，以原點。為圓心的圓過點A（13,0）,直線

y=kx-3k+4（k/0）與。。交于8、C兩點，則弦8C的長的最小值為（）

A.10B.12C.18D.24

4.（2024秋?桓臺縣期末）如圖，已知AB,CD是。。的兩條直徑，弦C石〃A3,ZBOD=112°,則朝的

度數(shù)為（）

C.48°D.54°

5.（2024秋?蓬萊區(qū)期末）將一小球放在長方體盒子中，小球的一部分露在盒外，其截面如圖所示，已知

EF=8,CD=8,則此小球的直徑是（）

C.8D.10

—.填空題（共5小題）

6.（2024秋?朝陽區(qū)期末）在半徑為5的圓中，有兩條弦的長分別為6和8,這兩條弦的中點的距離尤的

取值范圍是?

7.（2024秋?海曙區(qū)期末）已知與x軸交于點A（2,0）,B（-6,0）,與y軸交于點C（0,4）,D

（0,-3）,則圓心M的坐標是.

8.（2024秋?萊州市期末）如圖，“筒車”盛水筒的運行軌跡是以軸心。為圓心的圓，已知圓心。在水面

上方，且當圓被水面截得的弦為6米時，圓心到水面的距離為4米，則該圓在水面下的最深處

9.（2024秋?南關區(qū)校級期末）如圖，在O。中，弦28=2百，圓心。到A2的距離0c=1,則O。的半

10.（2024秋?天門期末）如圖，是一個隧道的橫截面，它的形狀是以。為圓心的圓的一部分，CO±AB,

垂足為Af,路面A3寬為6切，若圓的半徑為5〃z,則隧道的最大高度CM=m.

三.解答題（共5小題）

11.（2024秋?合川區(qū)期末）如圖，。4=。8,A8交。。于點C,D,?！晔前霃?，且。E_LAB于點F.

（1）若CD=5,EF=|,求。。的半徑.

（2）求證：AC=BD.

12.（2024秋?桓臺縣期末）如圖，AB,是。。的直徑，AC//DE,AC與O。相交于點C.BE與EC的

大小有什么關系？為什么？

13.（2024秋?招遠市期末）如圖1,裝有水的水槽放置在水平桌面上，其橫截面是以A8為直徑的半圓。,

AB=50cm,MN為水面截線，MN=48cm,GH為桌面截線，MN//GH.

（1）作OC工MN于點C,求OC的長；

（2）將圖1中的水倒出一部分得到圖2,發(fā)現(xiàn)水面高度下降了13c",求此時水面截線減少了多少？

GHH

圖1圖2

14.（2024秋?陽谷縣期末）明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了“筒車”（見圖1,一種水

利灌溉工具）的工作原理.如圖2,筒車盛水桶的運行軌道是以軸心。為圓心的圓.已知圓心。在水

面上方，且。。被水面截得弦A8長為8米，。。半徑長為6米，若點C為運行軌道的最低點，則點C

到弦A8所在直線的距離是多少？

圖1圖2

15.（2024秋?信陽期末）如圖2是根據(jù)圖1中的石拱橋的實物圖畫出的幾何圖形，橋的主橋拱是圓弧形,

設油所在圓的圓心為。，拱頂為點C,OCL4B交A8于點。，連接08.當橋下水面寬48=8相時，

CD=2m.

（1）求這座石拱橋主橋拱的半徑；

（2）有一條寬為7租，高出水面1根的矩形漁船，請你判斷一下，此漁船能否順利通過這座拱橋？并說

明理由.

圖1圖2

2024-2025學年下學期初中數(shù)學華東師大新版九年級期中必刷?？碱}之圓

的對稱性質(zhì)

參考答案與試題解析

題號12345

答案BBDBB

選擇題（共5小題）

1.（2025?長沙一模）要測一個殘損輪子的半徑，小麗的方案如下：如圖，在輪子圓弧上任取兩點A,B,

再作弦AB的垂直平分線交A2于點C,交圓弧于點D,測出和CD的長度，即可計算出輪子的半徑.若

測得AB=48cmCD=12cm,則輪子的半徑為（）

A.20cmB.30cmC.40cmD.50cm

【考點】垂徑定理的應用；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理的應用.

【專題】圓的有關概念及性質(zhì)；運算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】由垂徑定理，可得出的長；連接在RtZ\02C中，可用半徑02表示出OC的長，進

而可根據(jù)勾股定理求出得出輪子的半徑，即可得出輪子的直徑長.

【解答】解：設圓心為。，連接02.

1

及△O8C中，BC=^AB=24cm,

根據(jù)勾股定理得：

OC1+BC1=OB1,即:

COB-12)2+242=OB2,

解得：02=30；

故輪子的半徑為30cm.

故選：B.

【點評】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解

決問題.

2.（2025?碑林區(qū)校級一模）如圖，已知。。的半徑為5,弦48與弦C。位于圓心。的異側(cè)，AB//CD,

連結(jié)E。并延長交CD于點?若OE：OF=1：2,則AB的長為（）

2V21C.6D.

【考點】垂徑定理；相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理.

【專題】圓的有關概念及性質(zhì)；運算能力.

【答案】B

OMOE1

【分析】連接OB,OD根據(jù)4B〃CD,可得AMEOS^NFO,即可得到——=一=一,進而求得。加、

ONOF2

ON的長度，再利用勾股定理即可求解.

OD,作MN_LC￡)于點N,

：.AME0SANF0,MNLAB,

OMOE1

ON~OF~2

:MNLCD,

：.ND=+CD=3,

在RtzXOND中，ON=7s2—32=4,

：.0MON=2,

在RtZkMBO中，

MB=7s2-22=V21,

4B=2MB=2V21,

故選：B.

【點評】本題考查垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理是解題的關鍵.

3.(2024秋?沂源縣期末)如圖，在平面直角坐標系xOy中，以原點。為圓心的圓過點A(13,0),直線

y=kx-3k+4(30)與OO交于8、C兩點，貝U弦8c的長的最小值為()

A.10B.12C.18D.24

【考點】垂徑定理；一次函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象上點的坐標特征；勾股定理.

【專題】一次函數(shù)及其應用；圓的有關概念及性質(zhì)；推理能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)直線>=依-3行4必過點。(3,4),求出最短的弦CB是過點。且與該圓直徑垂直的弦，

再求出0D的長，再根據(jù)以原點。為圓心的圓過點A(13,0),求出0B的長，再利用勾股定理求出

BD,即可得出答案.

【解答】解：連接

當x=3時，丘-3%+4=4,

.,.直線了=日-3行4必過點。(3,4),

.?.最短的弦CB是過點D且與該圓直徑垂直的弦,

:點。的坐標是(3,4),

：.0D=，32+42=5,

:以原點。為圓心的圓過點A（13,0）,

圓的半徑為13,

08=13,

：.BD=yJOB2-0D2=V132-52=12,

:.BC=2BD=24,

:*BC的長的最小值為24；

故選：D.

【點評】此題考查的是垂徑定理，用到的知識點是垂徑定理、勾股定理、圓的有關性質(zhì)，關鍵是求出

BC最短時的位置.

4.（2024秋?桓臺縣期末）如圖，己知AB,CD是。。的兩條直徑，弦CE〃/12,/2。。=112°,則癰的

度數(shù)為（）

A.38°B.44°C.48°D.54°

【考點】圓心角、弧、弦的關系；對頂角、鄰補角；平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的

性質(zhì).

【答案】B

【分析】由對頂角相等得/&。。=/2。。=112°,由得到/Z）CE=180°-NAOC=68°,由

0c=OE得到/OCE=/OEC=68°,即可求出/COE=180°-ZOCE-ZOEC=44°,得到注1的度

數(shù).

【解答】解：如圖，連接OE,

AZAOC=U2°,ZAOD=180°-112°=68°,

'：CE//AB,

：.ZDCE^ZAOD^68°,

\"OC=OE,

：.ZOCE=ZOEC=68°,

.?.ZCOE=180°-ZOCE-ZO￡C=44°,

，朝的度數(shù)為44°.

故選：B.

【點評】此題考查了平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、圓心角和弧的度數(shù)

的關系等知識，熟練掌握圓心角和弧的度數(shù)的關系是解題的關鍵.

5.（2024秋?蓬萊區(qū)期末）將一小球放在長方體盒子中，小球的一部分露在盒外，其截面如圖所示，已知

E尸=8,C￡>=8,則此小球的直徑是（）

【考點】垂徑定理的應用；勾股定理.

【專題】圓的有關概念及性質(zhì)；推理能力.

【答案】B

【分析】設小球與8c切于點G,取小球所在視圖的圓的圓心為。，連接GO并延長交。。于點H,交

1

EF于點K,連接OE,貝I]GK±EF,根據(jù)垂徑定理得到EK=FK=/F=4,OE=OG=CD-OK=8

-OK,在Rt/XEOK中由勾股定理列式。爐二石蜉+0爛，求解即可.

【解答】解：設小球與8c切于點G,取小球所在視圖的圓的圓心為。，連接G。并延長交。。于點〃，

交EF于點、K,連接OE,則GKLEF,

1

：.EK=FK=^EF=4,OE=OG=CD-OK=8-OK,

在RtAEOK中，（8-OK）2=42+O/T2,

解得，OK=3,

：.0E=0G=5,

故選：B.

【點評】本題考查了垂徑定理和勾股定理的運用，掌握垂徑定理是解題的關鍵.

—.填空題（共5小題）

6.（2024秋?朝陽區(qū)期末）在半徑為5的圓中，有兩條弦的長分別為6和8,這兩條弦的中點的距離尤的

取值范圍是KW7.

【考點】垂徑定理.

【專題】圓的有關概念及性質(zhì)；推理能力.

【答案】1WXW7.

【分析】過點。作OE，AB于E,。尸，8于R連結(jié)。2、OD,如圖，根據(jù)垂徑定理得到AE=3E=

3,CF=DF=4,再利用勾股定理計算出OE=4,OF=3,所以點E在以。點為圓心，4為半徑的圓上；

點E在以。點為圓心，3為半徑的圓上，然后求出兩圓上兩點之間的最小距離和最大距離即可.

【解答】解：過點。作。于E,OFLCD^-F,連結(jié)02、OD,如圖，AB=6,C￡）=8,

11

則AE=BE=?8=3,CF=DF=^CD=4,

在RtAOBE中，OE=yj0B2-BE2=A/52-32=4,

在RtAODF中，OF=y/OD2-DF2=V52-42=3,

...點E在以。點為圓心，4為半徑的圓上；點E在以。點為圓心，3為半徑的圓上，

?.?兩圓上兩點之間的最小距離為4-3=1；兩圓上兩點之間的最大距離為4+3=7,

的取值范圍為1WXW7.

故答案為：

【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.也考查了勾股

定理.

7.(2024秋?海曙區(qū)期末)已知與x軸交于點A(2,0),8(-6,0),與y軸交于點C(0,4),D

1

(0,-3),則圓心M的坐標是M(-2,7).

【考點】垂徑定理；坐標與圖形性質(zhì).

【專題】圓的有關概念及性質(zhì)；運算能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)點的坐標，畫出圖形，利用垂徑定理及中點坐標公式求出點M的坐標即可.

【解答】解：如圖，由垂徑定理可知點M的橫坐標為-----=-2,縱坐標為)=一,

222

1

：.M(-2,-).

2

1

故答案為：M(.-2,

【點評】本題考查了垂徑定理、坐標與圖形性質(zhì)，畫出圖形是解答本題的關鍵.

8.(2024秋?萊州市期末)如圖，“筒車”盛水筒的運行軌跡是以軸心。為圓心的圓，已知圓心。在水面

上方，且當圓被水面截得的弦AB為6米時，圓心到水面AB的距離為4米，則該圓在水面下的最深處

【考點】垂徑定理的應用；勾股定理的應用.

【專題】圓的有關概念及性質(zhì)；運算能力.

【答案】1.

【分析】如圖，作于點E,交O。于點D,設圓的半徑為r米，利用勾股定理構(gòu)建求解即可.

【解答】解：如圖，過點。作ODLA8交于點E,交。。于點。，如圖，

?/OD±AB,

1

：.AEAB=3米，

根據(jù)題意得：OE=4米，

設圓的半徑為r米，則r=,32+42=5（米）,

?.?圓心到水面AB的距離為4米，

；.5-4=1（米），

該圓在水面下的最深處到水面的距離為1米，

故答案為：1.

【點評】本題考查垂徑定理和勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解

決問題.

9.（2024秋?南關區(qū)校級期末）如圖，在。。中，肱AB=2圓圓心。到48的距離0c=1,則。。的半

【考點】垂徑定理.

【專題】圓的有關概念及性質(zhì)；推理能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】由圓心。到A8的距離OC=1可得OCLA8,根據(jù)垂徑定理得到AC=8C=g,然后根據(jù)勾

股定理計算即可.

【解答】解：根據(jù)題意得OC_LAB,

：.ZBCO=90°,AC=BC=1AB=V3,

在RtZXBOC中，OB=VOC2+BC2=Jl2+(V3)2=2.

即OO的半徑長為2.

故答案為：2.

【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.也考查了勾股

定理.

10.(2024秋?天門期末)如圖，是一個隧道的橫截面，它的形狀是以。為圓心的圓的一部分，COLAB,

垂足為路面A2寬為6切，若圓的半徑為5加，則隧道的最大高度CM=9m.

【專題】與圓有關的計算；運算能力.

【答案】9.

【分析】連接OA,由垂徑定理求出AM,在RtAAMO中利用勾股定理求出0M,根據(jù)CM=OC+OM

計算即可.

【解答】解：如圖，連接。A,則。4=OC=5加.

1

：.AM=^AB=3m,

在RtAAMO中利用勾股定理，得OM=VOX2-AM2=V52-32=4(m),

；.CM=OC+OM=5+4=9(m),

/.隧道的最大高度CM=9m.

故答案為：9.

【點評】本題考查垂徑定理、勾股定理的應用，掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關鍵.

三.解答題(共5小題)

11.(2024秋?合川區(qū)期末)如圖，OA=OB,AB交。。于點C,D,OE是半徑，且。ELLA8于點F.

(1)若CD=5,EF=|,求。。的半徑.

(2)求證：AC=BD.

E

【考點】垂徑定理；勾股定理.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

17

【答案】(1)—:

6

(2)見解析.

【分析】⑴由垂徑定理得。尸=。尸=聶。=/設。。=/，由勾股定理得CW+。產(chǎn)=OC2,即可求解;

(2)由等腰三角形的性質(zhì)得即可得證.

【解答】(1)解：由題意可得：CF=DF=1CD=l，

設CO=r,

則。F=OE-EF=r

\'CF2+OF2=OC2,

?,?&-喬+(|)2=產(chǎn)，

,17

..r=石，

17

???。0的半徑為二；

6

(2)證明：*：OA=OB,OFLAB,

：.AF=BF,

由(1)得CF=DF,

：.AF-CF=BF-DF,

：.AC=BD.

【點評】本題考查了垂徑定理，勾股定理，能熟練利用勾股定理進行求解是解題的關鍵.

12.(2024秋?桓臺縣期末)如圖，AB,DE是的直徑，AC//DE,AC與。。相交于點C.3E與EC的

大小有什么關系？為什么？

【考點】圓心角、弧、弦的關系.

【專題】圓的有關概念及性質(zhì)；推理能力.

【答案】證明見解析.

【分析】連接OC,由等腰三角形的性質(zhì)推出NA=NOCA,由平行線的性質(zhì)推出ZCOE

=ZOCA,因此/8OE=NCOE,即可證明

【解答】解：BE=EC,理由如下：

連接OC,

：AO=C。，

ZA=ZOCA,

'：AC//DE,

：.ZBOE=ZA,ZCOE=ZOCA,

:./BOE=NCOE,

：.BE=EC.

【點評】本題考查圓心角、弧、弦的關系，關鍵是掌握在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩

條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等.

13.(2024秋?招遠市期末)如圖1,裝有水的水槽放置在水平桌面上，其橫截面是以AB為直徑的半圓。，

AB=50cm,MN為水面截線，MN=48cm,GH為桌面截線，MN//GH.

(1)作OCLMN于點C,求OC的長；

(2)將圖1中的水倒出一部分得到圖2,發(fā)現(xiàn)水面高度下降了13cm求此時水面截線減少了多少？

H

【考點】垂徑定理的應用；勾股定理的應用.

【專題】圓的有關概念及性質(zhì)；運算能力.

【答案】（1）0C的長7cm；

（2）此時水面截線減少了18°加

【分析】（1）如圖1：連接由圓的性質(zhì)可得OM=25CMI,再利用垂徑定理得出MC=24CMI,再運

用勾股定理計算即可解答；

（2）如圖2：過點。作垂足為點。，連接。E,利用勾股定理求出現(xiàn)）=15,再利用垂徑定

理得出EF=2ED=2乂15=30,最后MN與EF相減即可解答.

【解答】解：（1）如圖1：連接。

AOB

.\OM=25cm,

'：OC1MN,

：.ZOCM=90°,MC=NC=^MN=2x48=24(cm),

在RtZxOMC中，根據(jù)勾股定理得：0c2+242=252,

解得：0c=7,

...0C的長7cm.

(2)如圖2：過點。作ODLER垂足為點D,連接OE,

：.ZODE=90°,EF=2ED

由題意可知：。。=7+13=20<:加

在RtZXOED中，根據(jù)勾股定理得：202+￡Z)2=252,

解得：ED=15,

.?.￡F=2￡￡)=2X15=30,

.1.48-30=18,

此時水面截線減少了18c機.

【點評】本題主要考查了垂徑定理的實際應用、勾股定理的應用等知識點，理解垂徑定理是解題的關鍵.

14.（2024秋?陽谷縣期末）明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了“筒車”（見圖1,一種水

利灌溉工具）的工作原理.如圖2,筒車盛水桶的運行軌道是以軸心。為圓心的圓.已知圓心。在水

面上方，且。。被水面截得弦長為8米，。。半徑長為6米，若點C為運行軌道的最低點，則點C

到弦AB所在直線的距離是多少？

圖1圖2

【考點】垂徑定理的應用；勾股定理.

【專題】圓的有關概念及性質(zhì)；運算能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】連接。4,0c交A8于點再由勾股定理得。^^。屋一人格然后計算即可求解.

【解答】解：如圖，連接。4,0C交AB于點、D,

圖2

即OC=OA=6m,

?.?A3=8M,點。為運行軌道的最低點，

1

：.AD=BD=^AB=4m,OCLAB,

由勾股定理，得。。^QA2_AQ2,

即。。=V62-42=2V5m,

CD=OC—OD=(6—2V5)m,

故點C至I］弦AB所在直線的距離是(6-2?n.

【點評】本題考查了垂徑定理的應用和勾股定理的應用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關鍵.

15.(2024秋?信陽期末)如圖2是根據(jù)圖1中的石拱橋的實物圖畫出的幾何圖形，橋的主橋拱是圓弧形,

設檢所在圓的圓心為。，拱頂為點C,交A8于點。，連接08.當橋下水面寬AB=8?”時，

CD=2m.

(1)求這座石拱橋主橋拱的半徑；

(2)有一條寬為7%,高出水面山的矩形漁船，請你判斷一下，此漁船能否順利通過這座拱橋？并說

明理由.

C

圖1圖2

【考點】垂徑定理的應用；勾股定理的應用.

【專題】圓的有關概念及性質(zhì)；幾何直觀；運算能力.

【答案】(1)5m；

(2)此漁船不能順利通過這座橋，理由見解答過程.

【分析】(1)根據(jù)垂徑定理可得，AD=BD,ZODB=90°,設主橋拱半徑為凡則。。=R-2,根據(jù)

勾股定理即可求出半徑R；

(2)設CD的中點為E,過點E作CC的垂線交屈于連接CN,再求出MN=6,然后比較MN

與矩形船的寬度即可得出答案.

【解答】(1)W：'.,OC1AB,48=8機

：.AD=BD^4m,Z(2DB=90°,

設主橋拱半徑為R,則02=0C=R,

：.OD=OC-CD=R-2,

在RtZXOB。中，由勾股定理得：OD2+BD2=OB2,

：.(R-2)2+42=7?2,

解得：R=5,

???這座石拱橋主橋拱的半徑為5/77.

(2)解：此漁船不能順利通過這座拱橋，理由如下，

設C。的中點為E,過點E作CD的垂線交檢于MN,連接CN,

'：CD=2m,

；.CE=DE=lm,

由(1)可知：0C—5m,

：.OE=OC-CE=4(m),

在RtAOEN中，由勾股定理得：EN=y/ON2-OE2=V52-42=3,

：.MN=2EN=6<1,

/.此漁船不能順利通過這座橋.

【點評】本題主題考查了考查垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理，靈活運用勾股定理進行計算是

解決問題的關鍵.

考點卡片

1.坐標與圖形性質(zhì)

1、點到坐標軸的距離與這個點的坐標是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個方面：①到X軸的距離與縱坐標有關，到y(tǒng)

軸的距離與橫坐標有關；②距離都是非負數(shù)，而坐標可以是負數(shù)，在由距離求坐標時，需要加上恰當?shù)姆?/p>

號.

2、有圖形中一些點的坐標求面積時，過已知點向坐標軸作垂線，然后求出相關的線段長，是解決這類問

題的基本方法和規(guī)律.

3、若坐標系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標軸的輔助線用“割、補”法去解決問題.

2.一次函數(shù)的性質(zhì)

一次函數(shù)的性質(zhì)：

k>0,y隨尤的增大而增大，函數(shù)從左到右上升；k<0,y隨尤的增大而減小，函數(shù)從左到右下降.

由于與y軸交于（0,6）,當6>0時，（0,b）在y軸的正半軸上，直線與y軸交于正半軸；當b

<0時，（0,6）在y軸的負半軸，直線與y軸交于負半軸.

3.一次函數(shù)圖象上點的坐標特征

一次函數(shù)〉=丘+6,（ZW0,且％,6為常數(shù)）的圖象是一條直線.它與無軸的交點坐標是（一/0）；與y

軸的交點坐標是（0,b）.

直線上任意一點的坐標都滿足函數(shù)關系式

4.對頂角、鄰補角

（1）對頂角：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置

關系的兩個角，互為對頂角.

（2）鄰補角：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為鄰補角.

（3）對頂角的性質(zhì)：對頂角相等.

（4）鄰補角的性質(zhì)：鄰補角互補，即和為180°.

（5）鄰補角、對頂角成對出現(xiàn)，在相交直線中，一個角的鄰補角有兩個.鄰補角、對頂角都是相對與兩

個角而言，是指的兩個角的一種位置關系.它們都是在兩直線相交的前提下形成的.

5.平行線的性質(zhì)

1、平行線性質(zhì)定理

定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡單說成：兩直線平行，同位角相等.

定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補.簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.

定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等.簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

2、兩條平行線之間的距離處處相等.

6.三角形內(nèi)角和定理

(1)三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大

于0°且小于180°.

(2)三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°.

(3)三角形內(nèi)角和定理的證明

證明方法，不唯一，但其思路都是設法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合成一個平角.在轉(zhuǎn)化中借助平

行線.

(4)三角形內(nèi)角和定理的應用

主要用在求三角形中角的度數(shù).①直接根據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關系，用代數(shù)方法

求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角.

7.線段垂直平分線的性質(zhì)

(1)定義：經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線(中垂線)

垂直平分線，簡稱“中垂線”.

(2)性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段.—②垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的

距離相等.—③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的距

離相等.

8.等腰三角形的性質(zhì)

(1)等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等