2024-2025學(xué)年福州市高三年級(jí)第三次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

保密★啟用前

準(zhǔn)考證號(hào)姓名

（在此卷上答題無效）

2024?2025學(xué)年福州市高三年級(jí)第三次質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)試題2025.4

本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。

寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將答題卡交回。

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知全集為R,4={1,2,3},B={xllog2xeZ）,則圖中陰影部分表示的集合是

70

A.{1}B.{2}c.{1,2}D.(0,1,2,4)

2.若z?=-2i,則1z1=

A.1B.V2C.2D.4

已知隨機(jī)變量?（；）若（）

3.X2m,EX=2,貝i」P(X=2)=

2

C-ID.

8

235a

4.設(shè)(1-2%/=a。+axx+a2x+a3x+a4x+a5x,則a1+2+%+

A.—2B.—1C.0D.1

數(shù)學(xué)試題第1頁（共4頁）

5.已知菱形42co的邊長為2,E為42的中點(diǎn)，則配?麗=

A.-B.-C.V3D.3

22

6.在正方體4BC0-4sC|Q中，M為45的中點(diǎn)，/為平面4Mg與平面42C0的交線，貝U

A.IllAC.B.l±ACtC.l//BDlD.l-LBDl

7.已知數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)和公比均大于0的無窮等比數(shù)列，設(shè)甲:｛6｝為遞增數(shù)列；乙:存在正整

數(shù)N。，當(dāng)〃〉TV。時(shí)，a?>1,貝!J

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

8.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若曲線y=/+1和曲線y=加口玳。>0)上分別存在4,B兩點(diǎn)，使得

乙4。笈=45。，則°的取值范圍為

ee

A.[5+8)B.[2e,+8)C.[不+8)D.[3e,+8)

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.已知直線/為函數(shù)/(x)=sin2x+acos2久圖象的一條對(duì)稱軸，則

A./(?)的最小正周期為2TTB.a=

C.3二D./(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(萬,0)對(duì)稱

10.過點(diǎn)？(-3,0)的直線交圓G：(x-I)。+/=1于點(diǎn)p,Q,交圓g:(x-5)2+尸=4于點(diǎn)

M,N,其中r,P,Q,M,N順次排列.若ITPI=3IP0,則

A.CtPI/C2M

B.\MN\=2\PQ\

C.TP-TQ=14

D.\QM\=\/5

數(shù)學(xué)試題第2頁(共4頁)

11.已知四棱錐P-48CD的高為2,底面48CD是邊長為2的正方形，PA=PB,則

A.△P4O的面積為定值

B.ZAPD=ABPC

C.四棱錐P-表面積的最小值為3M5+4

D.若四棱錐P-4BCZ）存在內(nèi)切球，則該球半徑為三—

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

XV

13.已知橢圓C：K+i（＞o）的焦點(diǎn)為儲(chǔ)，打，P為C上的一點(diǎn)，若的周長為

9m7n

18,則C的離心率為.

14.6根長度相同的繩子平行放置在桌面上，分別將左、右兩邊的6個(gè)繩頭各自隨機(jī)均分成3

組，然后將每組內(nèi)的兩個(gè)繩頭打結(jié)，則這6根繩子恰能圍成一個(gè)大圈的概率為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

記△48C的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知acosC-ccos4=c+b.

（1）求4；

（2）。為邊2c上一點(diǎn)，若乙84。=90。，且2。=40c=4,求△48C的面積.

16.（15分）

如圖，在長方體42co-AJSGOJ中，42=40=244，AC與BD交于點(diǎn)M,N為棱兒。

的中點(diǎn).

（1）證明：""，平面加孰，；

（2）設(shè)而=九百，其中。＜人＜1,若二面角

。-MD-G的大小為60。，求入.

數(shù)學(xué)試題第3頁（共4頁）

17.(15分)

已知函數(shù)/(x)=支2+aln(x+1).

(1)當(dāng)“=-4時(shí)，求〃工)的極小值；

(2)若/(支)存在唯一極值點(diǎn)%,證明：/(%)+人~0.

18.(17分)

設(shè)拋物線C：/=2px(p>0)的焦點(diǎn)為人過產(chǎn)的直線4交C于4,B兩點(diǎn)C4在第一象限)，

當(dāng)。垂直于K軸時(shí)，\AB\=4.

(1)求C的方程；

(2)過/且與。垂直的直線心交C于O,E兩點(diǎn)(O在第一象限)，直線支=1與直線40和

8E分別交于P,。兩點(diǎn).

4

(i)當(dāng)乙的斜率為y時(shí)，求IPQI；

(ii)是否存在以P。為直徑的圓與y軸相切.若存在，求36的方程；若不存在，請說

明理由.

19.(17分)

將區(qū)間(0,1)中的余俘有理數(shù)按一定順序排列得到數(shù)列｛2｝,規(guī)則如下:

①冊二"，其中正整數(shù)p〃與盤互質(zhì)，如pi=1,%=2；

qn

②[Wg〃+i，當(dāng)且僅當(dāng)/=g”+i時(shí)，p.<P,+「

(1)寫出｛凡｝的前5項(xiàng)；

什202320244

(2)右=-----，a=-------，求〃一〃I；

7n202471n2025

S1

(3)記｛凡｝的前幾項(xiàng)和為S“，證明：—

n2

數(shù)學(xué)試題第4頁(共4頁)

絕密★啟用前試卷類型：A

2024?2025學(xué)年福州市高三年級(jí)第三次質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)試題答案及評(píng)分參考-5.4

選擇題、填空題答案：1-4.CBBA5-8.DDAC9.BC10.ABD11.ABD12.-

3

4Q190

13.-14.—14題結(jié)果未化簡（如絲）也給分，12,13題其它結(jié)果不得分。

515225

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

題號(hào)12345678

答案CBBADDAC

1.答案：C

解析：易知3={x[x=2",左eZ}.所以/08={1,2},故選C.

2.答案：B

解析：|z2|=|z『=2,所以|2|=后，故選B.

3.答案：B

113

解析：E（X）=nxq=2,解得〃=4,所以尸（X=2）=C；a）4=3故選B.

22o

4.答案：A

解析:易知4=1,令X=1可得，（―I），=/+/+%+%+%+。5=—1，

所以q+%+。3+44+。5=—2，故選A.

5.答案：D

|一，??■?，，》.，..》/I，-?

解析：EC=EB+BC=——+AD,ED=EA+AD=----+AD,

22

--?2

所以比?麗=赤2-&-=3,故選D.

4

6.答案：D

解析：設(shè)N為8c的中點(diǎn)，貝I/即為MN所在直線，故/J_平面

所以/，瓦）i，故選D.

7.答案：A

解析：若{%}為遞增數(shù)列，則%（1-。i）>0,則公比4>1,%為指數(shù)型遞增

數(shù)列，易得存在正整數(shù)乂，當(dāng)〃〉N。時(shí)，a“>l.充分性成立；不妨設(shè)%=2,此時(shí){g}

不是遞增數(shù)列，所以甲是乙的充分條件但不是必要條件，故選A.

8.答案：C

X2+]

alnx2<a

解析：設(shè)N（X1，X[2+1）區(qū)>0）,貝!I七4—22；設(shè)8（%2，。111工2），則KM=

石x2e

取%k=-,此時(shí)BWtan45。，解得a2士，故選C.

=2,OBtan//03=7

e1+"一3

試卷第1頁，共12頁

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

題號(hào)91011

答案BCABDABD

9.答案：BC

解析：/（x）的最小正周期為普=兀，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

因?yàn)?，q）=2cosg-2asing=0,解得〃=一個(gè)，故選項(xiàng)B正確;

由B可知，/（x）=—sin（2x--）,所以/（x）4苧，故選項(xiàng)C正確;

363

/（一凱0,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選BC.

10.答案：ABD

解析：考察A選項(xiàng)：???￡￥=枷3=；,NTPC】,/TMg均為鈍角，

因?yàn)椤?PC]S△力1/G，則/ZPG=/刀欣4，故G尸〃GM,A選項(xiàng)正確.

考察B選項(xiàng)：同上述分析可知GQ〃GN,所以/PGQ=/〃C2N.

因?yàn)榫?留4,所以△尸GQSAMGN,僚=；,B選項(xiàng)正確.

考察C選項(xiàng)：方法1：取尸。中點(diǎn)S,貝！1方.河=（元+豆）.（元+而）=萬2-豆2

=（工2-察2）-（西2-92）=16-1=15，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

方法2：取尸。中點(diǎn)為“，設(shè)|P0|=a,貝”尸〃|=￡,|TH|=一,

由勾股定理可得，IGP『〃尸『+1C7I2，

即1-（T）2+（T）2=16,解得|尸0|=a=],TPTQ=\2PQ=15.

考察D選項(xiàng)：由題設(shè)及C選項(xiàng)的分析可知，TPTQ^12PQ=15＞所以|尸0|=等.

由B選項(xiàng)的分析可知，|QM|=|QN|-|MNH70-2|尸0|=2|尸。|=下，D選項(xiàng)正確.

綜上所述，本題應(yīng)選ABD.

試卷第2頁，共12頁

II.答案：ABD

解析：因?yàn)?4=尸3,所以尸在底面/BCD的射影耳在直線的垂直平分線上，過耳

作々以垂直/D于〃，連接尸"，則尸〃_L4D,PH=泥,的面積為

LpHxAD=#,故選項(xiàng)A正確；

2

因?yàn)椤魇?C,所以乙4PD=NBPC,故選項(xiàng)B正確；

過々分別作/B，CD的垂線，垂足分別為E,F,所以當(dāng)PE+尸尸最小時(shí)，四棱錐

P-4BCD表面積取得最小值，不妨設(shè)P°E=h,則

PE+PF>A/4+//2+74+(2-/;)2>275,所以四棱錐尸-4BCD表面積的最小值為

4+4石，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

若四棱錐尸-/BCD存在內(nèi)切球，則該球與平面48CZ),平面尸平面P8C均相

切，過弓作片G垂直8c于G,所以△P"G的內(nèi)切圓半徑等于該球半徑，為避二I

2

當(dāng)四棱錐尸-為正四棱錐時(shí)，存在內(nèi)切球，滿足題意，故選項(xiàng)D正確；故選ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.答案：

3

tan?+1tanor-1_1

解析：tan(?+^)=一3,所以

1-tanatan?+13*

4

13.答案：

5

解析：若C的長半軸為3,則△耳;用的周長小于12,不符題意;

所以C的長半軸為赤，所以2而+2斤？=18,解得機(jī)=25,所以C的離心率為去

Q

14.答案：—

解析：方法一：左、右兩邊的各6個(gè)繩頭各自隨機(jī)均分成3組，

共有6：_2=15x15=225種,

A：A；

先選定左邊第一條繩子的繩頭，然后從左邊剩下的5個(gè)繩頭里任取一個(gè)打結(jié)，

然后按照從右邊4個(gè)繩頭里任取一個(gè)，從左邊3個(gè)繩頭里任取一個(gè)，從右邊2個(gè)繩頭里

任取一個(gè)的順序打結(jié)，一共有A。種，

所以6根繩子恰能圍成一個(gè)大圈的概率為&=8.

22515

方法二：根據(jù)對(duì)稱性，不妨假設(shè)左邊分組已確定，從上至下依次為1至6號(hào)繩，且1

號(hào)與2號(hào)在同一組，3號(hào)與4號(hào)在同一組，5號(hào)與6號(hào)在同一組.

對(duì)于1號(hào)繩的右端，若要6根繩子圍成一個(gè)大圈，則其不能與2號(hào)繩的右端同一組，可

以與3-6號(hào)繩的任意一根的右邊同一組，概率為1,此后所選繩的左邊所在組的另一根

繩在剩余的3根繩的右邊中不能選2號(hào)繩，概率為:，故所求概率為

35315

試卷第3頁，共12頁

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

記△48C的內(nèi)角B,C的對(duì)邊分別為b,c,已知acosC-ccos/=c+6.

（1）求/；

（2）若。在邊3c上，且/B4D=90。，BD=4DC=4,求△48C的面積.

解：（1）方法一：由正弦定理得，sinAcosC-sinCcos^4=sinC+sinB...................2分

因?yàn)閟in3=sin（/+C）=sin/cosC+cos/sinC,所以2sinCcos/+sinC=0,

由于0。<。<180。，故sinC>0,cosA=--,.............................................................4分

2

而0°〈/<180°,因此4=120°........................................................................................5分

方法二：由余弦定理得，、+〃-c2一"+02>=c+b,........................................2分

2b2b

所以°2=加+〃，cos/==」.................................4分

be2

而0。</<180。，因此4=120。................................................5分

評(píng)分細(xì)則：

步驟一：使用正弦定理或余弦定理轉(zhuǎn)化條件（2分）

步驟二：化簡求出cos/（2分）

步驟三：結(jié)合/的范圍求/（1分）

（2）方法一：由（1）及題設(shè)知，4840=90°,ZC4Z>=30°,a=5.,

故25=^+。2+加=7/,...............................................................................................11分

△/3C的面積5=L6。5m/=必^=至6................................................................13分

2214

方法二：過。作CE_L48,垂足為￡.

在Rt^/CE中，ZCAE=180°-ZBAC=60°,所以.....................7分

2

CRD4

由于ZB/Q=Z8￡C=90。，故乙BADs/\BEC,——=——=-,得c=2b..............9分

BEBC5

后同方法一.

方法三：由（1）及題設(shè)知，/BAD=90。,ZCAD=30°.

一方面，因?yàn)楦呦嗤?，?3。與的面積之比等于巖=4,.............................7分

試卷第4頁，共12頁

—c-AD-sin/BAD2c

另一方面，△Z8Z)與△/CD的面積之比=?----------------=高，..............9分

-b-AD-sinZCADb

2

所以一=4,c=2b............................................................10分

b

后同解法一.

評(píng)分細(xì)則：

步驟一：轉(zhuǎn)化條件（2分）

步驟二：得到c=26（2分）

步驟三：求出〃（或6）（2分）

步驟四：求△/BC的面積（面積公式1分+結(jié)果1分）

注：方法一、二中“13分”這一步，面積公式和計(jì)算結(jié)果各1分；方法三中“9分”這一

步，含面積公式1分，后續(xù)步驟中求〃（或6）2分，求△/3C的面積1分，無公式分.

16.（15分）

如圖，在長方體48cz>—44GA中，4B=4D=2AA[,AC與BD交于點(diǎn)、M,N為

棱4月的中點(diǎn).

（1）證明：ACV,平面“G4；

（2）設(shè)NQ=/ING，其中0<2<1,若二面角

0-町-。1的大小為60。，求力.

---:'，\訶、nv

解：（1）~*

方法一：⑴以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，M4I為單位長，?\/

___-------------...~~

語為x軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)v

系4一平.

由題設(shè)知N(l,0,0),M(l,l,l),G(2,2,0),D,(0,2,0)..............................2分

由海?西-1)=0得，NMLMC1.

由麗7.皿=(0,1,1).(-1,1,-1)=0得，NMLMD1................................4分

而MGu平面MCQi，〃2匚平面必701，MCX[}MDX,

所以MN±平面MC\D[........................................%..........且分

方法二：⑴取CQ中點(diǎn)尸，設(shè)|說|=a,連結(jié)PM,PN./一一七、

在長方體中，MN=MP=?a，MN2+MP2=NP2，,一-工工-二三七「11

故.............................................UN2分

____________________從"

222

MCX=y]MC+CQ=?,NC\=、Np2+PC：=45a,MN+MC：=NC：!'

故MNLNC、....................................................................4分

而〃C]U平面平面MC[Z>],MC^MD^M,

所以ACV_L平面MG。........................................................6分

試卷第5頁，共12頁

（2）方法一：由題設(shè)知而=2（1,2,0）,，。。+A,2/1,0）.8分

由（1）,平面MCJA的一個(gè)法向量為M/=（0,U）?

設(shè)平面MQDt的法向量n=(p,q,r),貝l]

〃.砸=0,即!(l+2)p+(2X_2)q=0,

n-D{M=0,[p-q+r=0,

令。=2-22,可得平面的一個(gè)法向量〃=（2-2/1,1+43彳-1）...........................13分

貝U|cos(A^/,n)|=NMn42又二面角。-"A-G的余弦值為;,

\NM\-\n\亞.714A2-122+6

解得2=』或2=-1（舍去），故見的值為1........................................................................15分

33

評(píng)分細(xì)則：

步驟一：求。的坐標(biāo)（2分）

步驟二：求兩個(gè)法向量（1分+4分）

步驟三：求二面角的余弦值及4（1分+1分）

方法二：在平面NMG內(nèi)過。作交MQ于〃，則。〃_L平面..……7分

在平面MGR內(nèi)過〃作"G垂直叫于G,所以?！?，孫，

又HG1MD、,所以如，平面Q//G,................................................................................9分

所以孫J_QG,NQGH為二面角。一MR-q的平面角，.....................10分

不妨設(shè)必=1,易知，gH=V2（l-2）,..................................................................................分

_________

由余弦定理得，貝Usin/G孫=迪，

廠聲二■。二

所以HG=G；lsin/G皿,....................,..4...A;............12分

tanZQGH=^=血(1-4)

所以2762.............................................................................14分

3

解得彳=工，故力的值為工....................................................15分

33

評(píng)分細(xì)則：

步驟一：作二面角的平面角（3分+1分）

步驟二：求邊長及平面角的正切（2分+2分）

步驟三：求彳（1分）

方法三：由（1）可知，若二面角0-孫-G的大小為60。，則和平面MQA所成的

角為30。，則N到平面MQA的距離為d=g兒w=*a.

...............................................8分

試卷第6頁，共12頁

17

一方面，三棱錐/—NQA的體積k=：。5讖陰........................9分

另一方面，V=^dS^MQDi.

由余弦定理，MQ=y/MN2+NQ2-2MN-NQ-cosZMNQ=,11分

2

QD1=西曠+NQ?-2D]N.NQ.cos/QNQ=V52-62+5a.................................12分

Sm"MQ=a-cos2HMQ=卮耍|'

s22

故^MQDt=MD『sinZD{MQ=1V14A-12A+6a.............................................14分

則314儲(chǔ)一122+6/=2/彳,解得2=1或幾=一1(舍去)，故2的值為1……15分

12333

評(píng)分細(xì)則：

步驟一：二面角轉(zhuǎn)化為線面角(2分)

步驟二：用兩種方式求體積(1分，3分+2分)

步驟三：利用等體積解2(1分)

17.(15分)

已知函數(shù)f(x)=x2+aln(x+1).

(1)當(dāng)a=T時(shí)，求/(x)的極小值;

2

(2)若/'(x)存在唯一極值點(diǎn)％,證明：/(x0)+x0<0.

解：(1)/(x)的定義域?yàn)?-L+對(duì)).............................................1分

當(dāng)a=-4時(shí)，/(x)=x2-41n(x+l),/'(x)=2x--j_=2(“+2)(1)............3分

x+\x+\

令f\x)=0得，x=-2或x=l.........................................................................................4分

當(dāng)xe(-M)時(shí),外>)<0,/(x)單調(diào)遞減；xe(l,+8)時(shí),/口)>0,/(x)單調(diào)遞增.

..............................................................................................................................................5分

所以當(dāng)x=1時(shí)，f(x)取極小值/(l)=l-41n2................................................................6分

評(píng)分細(xì)則：

步驟一：定義域和求導(dǎo)(1分+2分)

步驟二：求單調(diào)性和極小值(2分+1分)

(2)方法一：f'(x)=-----------,%>-1.

x+1

當(dāng)x>-1時(shí)，/'(x)與g(x)=2x2+2x+a同號(hào)....................................7分

2

因?yàn)間(x)=2x+2x+a的圖象關(guān)于x=――對(duì)稱，又/(x)存在唯一■極值點(diǎn)x0,

如圖可得g(-l)W0,所以。40,.....................................................................................9分

所以g(0)W0,故x020...................................................................................................10分

試卷第7頁，共12頁

將a=-(2年+2工0)代入得"

22

/(A-0)+X0=2x0+aln(x0+1)=2/[x0-(x0+l)ln(x()+1)],..………二.不，?.........12分

構(gòu)造〃(x)=x-(x+l)ln(x+l),xe[0,+co),

貝lJ"(x)=-ln(x+l)WO,.........................................................14分

所以A(x)</J(0)=0,即x0-(x0+l)ln(x0+1)>0,

所以fM+x^<0..............................................................15分

方法二：7分及以前步驟同方法一.

易知g(x)在(-00,-1)單調(diào)遞減，在(-1,+00)單調(diào)遞增.

(i)當(dāng)時(shí)，g(x)=2(x+g)2+(a-g)20,/(x)在(一1,+8)單調(diào)遞增，

函數(shù)/(x)無極值點(diǎn)......................................................8分

1+2

(ii)當(dāng)0<a<g時(shí)，令g(x)=?？傻迷?-1-?-2,x2=~^~-.

由于-1<%<工2<0,故/(x)在區(qū)間(-1,再)單調(diào)遞增，(再,超)單調(diào)遞減，(%,+8)單調(diào)遞

增，從而有兩個(gè)極值點(diǎn)，不合題意.............................................9分

(iii)當(dāng)aW0時(shí)，國4―1,%22。，故/(x)在區(qū)間(一1,%2)單調(diào)遞減，(%2，+°0)單調(diào)遞增，

恰有唯一極值點(diǎn)%=X2,符合題意............................................10分

22

所以/(X。)+x02=2x0+aln(x0+1)=2(x0+x0)[^—-ln(x0+1)]..................12分

^A(x)=---ln(x+l),x>Q,h'(x)=<0.............................14分

x+1(x+l)-

所以Mx)在［0,+8)單調(diào)遞減，h(xj</0)=0,

22

故/(x0)+x0=2(x0+X0)/J(X0)<0...............................................15分

評(píng)分細(xì)則：

步驟一：確定4和鵬的范圍(3分+1分)

步驟二：隱零點(diǎn)代換得到關(guān)于％的函數(shù)(2分)

步驟三：證明該函數(shù)小于等于0(3分)

18.(17分)

設(shè)拋物線C:/=2px(p>0)的焦點(diǎn)為尸，過尸的直線4交C于Z,8兩點(diǎn)(N在第一

象限)，當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，|/3|=4.

(1)求C的方程；

(2)過尸且與48垂直的直線4交C于。，E兩點(diǎn)(。在第一象限)，直線x=l與直

線40和BE分別交于尸，。兩點(diǎn).

(i)當(dāng)4的斜率為(時(shí)，求I尸

(ii)是否存在以尸Q為直徑的圓與>軸相切.若存在，求乙的方程；若不存在，

試卷第8頁，共12頁

請說明理由.

解：設(shè)各點(diǎn)坐標(biāo)分別為/區(qū),乃),3(乙,打)，。區(qū),%),￡(%,方)淇中心＞0,%＞0.

⑴依題意尸弓,0).當(dāng)/3_Lx軸時(shí)，直線的方程為x4................2分

令工,可得h=0，yB=-p............................................3分

故|/8|=2。=4,p=2,C的方程為V=4x................................4分

評(píng)分細(xì)則：

步驟一：求直線48的方程(2分)

步驟二：求力,8的坐標(biāo)，進(jìn)而求C的方程(1分+1分)

注：該問未考慮題目條件/在第一象限不扣分.

43

(2)⑴依題意，直線的方程為y=](x-l),即x=2y+l；...............5分

y2=4x,

由3得「一37一4=0,故為=4,%=-1,則44,4),5(-,-1).......6分

x=—y+14

I4，

34

直線的方程為＞=—:(%—1),即x=—+1..............................7分

y2=4%,

由4，得.+1.4=0,故％V，%=一6，則"￡(9,-6)……8分

%=——y+13393

I3

所以直線4D的方程為了一4=g(x-4),令x=l得P(L?).....................9分

直線3E的方程為了+6=-，(x-9),令x=l得0(1,-與)，故|尸0=?.........10分

(ii)方法一：設(shè)直線的方程為％=沖+1,不妨設(shè)加＞0.

”2-4x

由《'得/一4〃少一4=0,yy=-4.同理了0歹￡=-4................11分

x=my+\AB

直線的方程為了一為""(Xf),即了=---(x-^-)+yA

XA-XD也+為4

令x=1得力=".......................................................12分

為+%

44y,yn+4

由于了4=—,yD=—,所以了2=-^-----=-yP.......................14分

yByEyA+yD

從而PQ的中點(diǎn)恒為尸，以尸Q為直徑的圓與了軸相切等價(jià)于%=1.

44

若丁「=1,貝Uy4y0+4=縱+了。.由AB_LZ)E得，---------------=-1,

yA+為%+拄

44

2

故(”_：)(%_:)=T6,(yAyD)-4(yA+%2)+16=-16”%.

yA

試卷第9頁，共12頁

所以（”W+4）2=4（為一%）2，yAyD+4=2（yA-yD）,因此h=3%............16分

回代得3%2一4%+4=0,而判別式A=-32<0,該方程無解，從而不存在以尸。為直徑

的圓與N軸相切.............................................................17分

評(píng)分細(xì)則：

步驟一：求為，%（1分+1分）

步驟二：通過聯(lián)立韋達(dá)得到處+%=。（2分）

步驟三：利用垂直說明不存在（2分+1分）

方法二：設(shè)直線的方程為X=0+7W,其中加<0.

V2——4x

由《'得/-4@-4加=0,A=16yt2+167i?>0，

x=ky+m

打+%=44，yAyD=-4m.

因?yàn)镋4LFD，所以已.年y=T，外力,+(乎一1)(號(hào)一1)=0............12分

從而4k2=m2-6m+1........................................................13分

1—M7

令x=1得力=--一.........................................................14分

k

2『二苦j一一j2

故力km-6m+11,

—m---------1-o

m

當(dāng)且僅當(dāng)加=—l時(shí)，等號(hào)成立，..............................................16分

同理%2之2,而尸，。分別在第一、第四象限，故|PQ|22后>2,從而不存在以P。為直

徑的圓與了軸相切...........................................................17分

評(píng)分細(xì)則：

步驟一：利用垂直推導(dǎo)左和加的關(guān)系（3分）

步驟二：說明力N加,進(jìn)而|P0|22收，從而不存在（3分+1分）

19.（17分）

將區(qū)間（0,1）中的全體有理數(shù)按一定順序排列得到數(shù)列｛??｝,規(guī)則如下:

①%=莊，正整數(shù)pn與qn互質(zhì)，如Pi=1,夕1=2；

②1W%+1，當(dāng)且僅當(dāng)為=%+1時(shí)，pn<pn+l.

(1)寫出｛4｝的前5項(xiàng);

202320244

(2)----,求"加；

20242025

V1

(3)記｛%｝的前〃項(xiàng)和為s”，證明：^<4,

n2

解：（1）｛%,｝的前5項(xiàng)為巳1，1p213；..................................4分

評(píng)分細(xì)則：只看結(jié)果，第2項(xiàng)至第5項(xiàng)，每正確一項(xiàng)得一分.

試卷第10頁，共12頁

p2023

(2)因?yàn)?，=才=1應(yīng)，外+1=或，所以心+1>%「

又因?yàn)榧?lt;〃，故根+1(〃，“14%=2025,

因此外，+i=2025,當(dāng)且僅當(dāng)根+1?左V〃時(shí)，%=2025....................................................6分

由于2025=452=34x52,

故由以與2025互質(zhì)可得以既不是3的倍數(shù)，也不是5的倍數(shù).....