2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《有關(guān)三角形的最值問(wèn)題》專項(xiàng)檢測(cè)卷及答案

第第頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《有關(guān)三角形的最值問(wèn)題》專項(xiàng)檢測(cè)卷及答案學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________1．如圖，已知是等邊三角形，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與B，C重合），且．(1)當(dāng)時(shí)，求出的長(zhǎng)度(2)當(dāng)，探索與的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)若E，F(xiàn)分別為直線上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與B，C重合），求的最大值．2．在矩形中，，，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形，旋轉(zhuǎn)角為（），得到矩形，點(diǎn)B、點(diǎn)C、點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E、點(diǎn)F、點(diǎn)G．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)E落在邊上時(shí)，求線段EC的長(zhǎng)度；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)E落在線段上時(shí)，與相交于點(diǎn)H，連接．①求證：；②求線段的長(zhǎng)度．(3)如圖③設(shè)點(diǎn)P為邊的中點(diǎn)，連接，，在矩形旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．如圖，在四邊形中，，E是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，連接．(1)__________，線段的最小值是__________；(2)過(guò)點(diǎn)E作線段的垂線l，點(diǎn)F在直線l上，且滿足．①在圖中利用尺規(guī)作圖作出滿足上述要求的圖形；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作圖過(guò)程）②在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)F落在邊上時(shí)，求證：；③直接寫(xiě)出線段長(zhǎng)的最小值；④連接．當(dāng)直線時(shí)，求線段的長(zhǎng)．4．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)，分別在，邊上，且，將，分別沿，折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)不得超過(guò)對(duì)角線，連接．(1)當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)度；(2)當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)度；(3)在折疊過(guò)程中，直接寫(xiě)出線段的最小值．5．如圖1，已知中，，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接、，與交于點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)試探究猜想、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；(3)在點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，、的面積分別記為、，求的最小值．6．已知，點(diǎn)，分別在射線，上，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，過(guò)點(diǎn)作的垂線交射線于點(diǎn)．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，求證：是的中點(diǎn)；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，作，交射線于點(diǎn)，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．(3)如圖3，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，以為一邊構(gòu)造如圖正方形，連接，當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出的最小值．7．如圖，在中，，，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，取的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．(1)與的位置關(guān)系是_____________；(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：；(3)若，直接寫(xiě)出點(diǎn)到直線的距離的最小值．8．如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊中，點(diǎn)D在邊上，，線段在邊上運(yùn)動(dòng)，，(1)求四邊形面積的最大值？(2)求四邊形周長(zhǎng)的最小值？9．如圖，，，，分別是四邊形各邊的中點(diǎn)，我們稱四邊形是四邊形的中點(diǎn)四邊形．(1)若四邊形中，，確定中點(diǎn)四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．(2)在（1）的條件下，若，則的最小值為_(kāi)__________10．如圖所示，矩形中，，，把一塊三角尺的直角頂點(diǎn)置于邊上，，三角尺的兩條直角邊，分別交，兩邊于點(diǎn)，，連接．設(shè)．(1)當(dāng)平分時(shí)，求的值；(2)①當(dāng)，重合時(shí)，；②當(dāng)，不重合時(shí)，求的值．(3)設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，，則與的數(shù)量關(guān)系為；再取的中點(diǎn)，連接，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的最小值．11．如圖，在中，，分別是，的中點(diǎn)，，連接，，與交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)點(diǎn)在直線上，若，，求的周長(zhǎng)的最小值．12．已知，在中，，是上的一點(diǎn)，連接，在直線右側(cè)作等腰，．(1)如圖1，，，連接，求證：；(2)如圖2，，，，取邊中點(diǎn)，連接．當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)過(guò)程中，求線段長(zhǎng)度的最小值．13．【問(wèn)題情境】如圖1，點(diǎn)E為正方形內(nèi)一點(diǎn)，，，，將直角三角形繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α度（），點(diǎn)B，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，．【問(wèn)題解決】(1)如圖2，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，點(diǎn)落在了上，此時(shí)的長(zhǎng)為_(kāi)_____；(2)若，如圖3，得到（此時(shí)與D重合），延長(zhǎng)交于點(diǎn)F．①試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；②連接，求的長(zhǎng)；(3)在直角三角形繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)過(guò)程中，線段長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)_____，最大值為_(kāi)_____．14．定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形．(1)如圖1，已知四邊形是箏形，則其對(duì)角線與滿足的關(guān)系是_________；(2)如圖2，中，，，，為線段上一點(diǎn)，將沿向外翻折得，將沿向右翻折得，連接，若，判斷四邊形是否為箏形，請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出的長(zhǎng)；(3)如圖3，四邊形中，，，，點(diǎn)在上，，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的最大值．15．如圖，在中，，邊的垂直平分線交于點(diǎn)D，垂足為E，平分．(1)求的度數(shù)；(2)求證：；(3)若，點(diǎn)P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值．16．如圖，是等邊三角形，點(diǎn)D為平面內(nèi)一點(diǎn)．(1)如圖1，若點(diǎn)D在邊上，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，連接，，若，求線段的長(zhǎng)；(2)如圖2，若點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)H為上一點(diǎn)，且滿足，連接，交于點(diǎn)F，若，猜想線段、的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖3，若，點(diǎn)D在直線的右側(cè)，點(diǎn)P，N分別在線段，上，且滿足，將繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，當(dāng)取得最小值時(shí)，將直線繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，交于點(diǎn)T，連接．若，直接寫(xiě)出的最大值．參考答案1．(1)(2)，證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)，則，，則，解直角三角形可得，，再由勾股定理即可求解；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)M，使得，連接，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，證明，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)C作于J，，設(shè)，則，同理可求，代入得到，即可求解；（3）分類討論，利用解直角三角形表示出，根據(jù)作差結(jié)合取值范圍判斷與大小，再由根的判別式求最值，比較大小即可．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)，∵是等邊三角形，，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：，理由見(jiàn)解析證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)M，使得，連接，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，∴，∵，∴，同理∴，∵，，∴，∴，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)C作于J，∴設(shè)，則，同理可求∴∵∴，∴，解得：或（舍），∴；（3）解：當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)A下方時(shí)，如圖：過(guò)點(diǎn)D，F(xiàn)分別作于點(diǎn)，，∵為等邊三角形，∴，，∵為中點(diǎn)，∴，∴，，設(shè)，則，∴，∵∴，∴同理可得：，，∴，∴，∴設(shè)，整理得：，則，解得：，∴的最大值，∴的最大值為：，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)A上方時(shí)，記為，如圖：∵，∴；當(dāng)點(diǎn)E在線段延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在點(diǎn)A上方時(shí)，記為，連接，如圖：此時(shí)，則，當(dāng)點(diǎn)E在線段延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在點(diǎn)A下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)D，F(xiàn)分別作于點(diǎn)，如圖：同上：設(shè)，則，∴，∵綜上所述，的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程根的判別式等知識(shí)點(diǎn)，難度較大，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．2．(1)(2)①見(jiàn)解析；②(3)存在，【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）如圖①，在中，利用勾股定理即可解決問(wèn)題；（2）①利用進(jìn)行判定即可；②設(shè)，根據(jù)勾股定理構(gòu)建方程進(jìn)行計(jì)算即可；（3）存在，連接，作于點(diǎn)，當(dāng)與共線時(shí)，的面積最大，求出，即可求出答案．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，，由于逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形，旋轉(zhuǎn)角為（），得到矩形，，在中，，；（2）①證明：當(dāng)點(diǎn)落在線段上，，在和中，，；②解：，，，設(shè)，在中，，，，；（3）解：存在，理由如下：連接，作于點(diǎn)，當(dāng)與共線，且時(shí)，面積最大，由題意得：，，，，，，，的面積的最大值為．3．(1)，線段的最小值是6(2)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；③的最小值為；④【分析】（1）過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)G，可得四邊形是矩形，得，得，得；由，即得線段的最小值為6；（2）①過(guò)點(diǎn)E作直線，在l上取即可；②過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)G，證明，得，即得；③過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，于點(diǎn)J,在上取點(diǎn)I，使，連接，設(shè)交于點(diǎn)K，證明，可得，得，點(diǎn)F在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，證明，得，根據(jù)四邊形是矩形，可得，得，得，即得的最小值為；④過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)G，證明,,得,,得,即得

．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)G．則．∵，∴四邊形是矩形．∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴．∵，∴線段的最小值為6．故答案為：135；6．（2）解：①如圖，線段即為所求作；②過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)G，則，∴，∵，∴，由①知，，∴，∴，∴，∴，由（1）知，，∴，∵，∴；③過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，作于點(diǎn)J，在上取點(diǎn)I，使，連接，設(shè)交于點(diǎn)K．則．∴．由①知，，∴．∴．∴．∴．∴．∴．∴．∴．∴點(diǎn)F在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，取得最小值．∵，∴．∴．∴．∴．∴．∵，∴四邊形是矩形．∴．∴．∴．∴．∴．∴．∴．故的最小值為．④如圖，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)G，∵，∴．∴．∵，∴．∴,．∵，∴．∵，∴．∴．∴．解得．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形矩形綜合．熟練掌握過(guò)直線上一點(diǎn)作直線的垂線，矩形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．4．(1)cm(2)(3)【分析】（1）連接，，由矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)易得，則，，由此可得四邊形是平行四邊形，則可得，，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可得的長(zhǎng)．（2）由折疊的性質(zhì)可得，．再根據(jù)證明，則可得，進(jìn)而可得，又由，可得，則可得，，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，即可求出的長(zhǎng)．（3）由于折疊過(guò)程中長(zhǎng)始終等于的長(zhǎng)，由可得，當(dāng)和落在上時(shí),有最小值為1.【詳解】（1）解：如圖，當(dāng)于點(diǎn)時(shí)，連接，，在矩形中，，，．，，，，．．又，四邊形是平行四邊形，，，．（2）解：如圖，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，，，，由折疊的性質(zhì)可知，，．，，，，，，，，，，，，．（3）解：在折疊過(guò)程中，中，,即,，,當(dāng)和落在上時(shí),.【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．(1)(2)，證明見(jiàn)解析(3)的最小值為【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)得，，，從而，再求出，，可得，進(jìn)而可求出；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由等腰三角形的性質(zhì)得，，證明，從而可證，由得，進(jìn)而可證；（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由得，可得，由，可得，從而，設(shè)，，中，，，進(jìn)而可求出當(dāng)時(shí)，的最小值為．【詳解】（1）解：如圖2，∵，∴由旋轉(zhuǎn)得，，∴∵∴∴，∴，∴∴∴∴（2）猜想：．證明：如圖3，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴，∴∵∴又∵，∴∴∴∴∴∴；（3）解：如圖4，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，∴∴∵，∴∵∴∴∴∴設(shè)，，∵，∴，，，中，，∴∵∴當(dāng)時(shí)，的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，利用二次函數(shù)求最值，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．6．(1)見(jiàn)解析(2)，見(jiàn)解析(3)【分析】（1）連接，由題意得：，進(jìn)而得出，得到，證明是中點(diǎn)．（2）通過(guò)作輔助線構(gòu)造，再結(jié)合得出線段間的數(shù)量關(guān)系．（3）先求出動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是的角平分線，再利用正方形的性質(zhì)和對(duì)稱，將轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間線段，再根據(jù)勾股定理求最小值．【詳解】（1）證明：連接，由題意得：，，，，，，，，，，∴點(diǎn)是的中點(diǎn)；（2）在射線上取點(diǎn)H，使得，取的中點(diǎn)G，連接，，，，，，，，，，∵G是的中點(diǎn)，，，，，，，；（3）解：，在中，，，，正方形中，，，，，，，，，，，，動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是的角平分線，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則點(diǎn)一定在上，連接，交于點(diǎn)，，即的最小值就是，過(guò)點(diǎn)作垂直于，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，四邊形是矩形，四邊形是正方形，，∴，即的最小值是．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等，平行的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)及判定，正方形的性質(zhì)，以及利用幾何變換求線段最值等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件合理構(gòu)造全等，利用其性質(zhì)進(jìn)行線段關(guān)系的推導(dǎo)，對(duì)于求線段和最小值問(wèn)題，要運(yùn)用對(duì)稱等方法轉(zhuǎn)化．7．(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）由等腰直角三角形性質(zhì)、結(jié)合旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到相關(guān)角度、線段關(guān)系，再由兩個(gè)三角形全等的判定與性質(zhì)即可得證；（2）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，如圖所示，先由全等三角形的判定定理得到，進(jìn)而由全等性質(zhì)及平行性質(zhì)得到邊與角的關(guān)系，從而由兩個(gè)三角形全等的判定定理得到，再由全等三角形性質(zhì)及兩角互余即可得證；（3）取的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂足為，作垂足為，如圖所示，先判斷，進(jìn)而得到四邊形為矩形，在和中，解直角三角形求出，結(jié)合點(diǎn)在以為直徑的上，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最小，求出即可得到答案．【詳解】（1）解：在中，，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，，，在和中，，，則，，故答案為：；（2）證明：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，如圖所示：∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵∴，∴，∴，∴；（3）解：取的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂足為，作垂足為，如圖所示：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴四邊形為矩形，∴在中，，∴，在中，，，∴，∴，∵長(zhǎng)度不變，∴點(diǎn)在以為直徑的上，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最小，此時(shí)，∴點(diǎn)到直線的距離的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查幾何綜合，綜合性強(qiáng)、難度較大，涉及等腰直角三角形性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線判定與性質(zhì)、直角三角形的判定、矩形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題-輔助圓等知識(shí)，熟記相關(guān)幾何判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題-輔助圓問(wèn)題的解法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．8．(1)(2)【分析】（1）設(shè)，則四邊形的面積，當(dāng)x取最大值5時(shí)，可得求得四邊形的面積最大值；（2）作點(diǎn)D關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，以、為邊作平行四邊形，過(guò)C作，交的延長(zhǎng)線于N，依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及線段的性質(zhì)，即可發(fā)現(xiàn)當(dāng)M，P，C在同一直線上時(shí)，的最小值等于的長(zhǎng)，即的最小值等于的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)，即可得出四邊形周長(zhǎng)的最小值．【詳解】（1）解：設(shè)，則，四邊形的面積，∵x的最大值為，∴時(shí)，四邊形的面積最大，最大值；（2）如圖，作點(diǎn)D關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，以、為邊作平行四邊形，交于，則，，，過(guò)C作，交的延長(zhǎng)線于N，則，四邊形為矩形，，，∴，，當(dāng)M，P，C在同一直線上時(shí)，的最小值等于的長(zhǎng)，即的最小值等于的長(zhǎng)，此時(shí)，中，，又∵，，∴四邊形周長(zhǎng)的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理以及軸對(duì)稱最短問(wèn)題，凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．9．(1)中點(diǎn)四邊形是矩形，見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，，根據(jù)中位線定理，得出，，，進(jìn)而得出，，結(jié)合推出，即可得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)D作，且，連接，則四邊形是平行四邊形，可得，可推出當(dāng)C、B、H三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即此時(shí)有最小值，最小值為的長(zhǎng)，再證明，則由勾股定理得到，則的最小值為．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，理由如下，如圖所示，連接，，∵點(diǎn)E、F、G、H是四邊形各邊中點(diǎn)，∴，分別是的中位線，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形；∵，∴，∴四邊形是矩形；（2）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作，且，連接，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴當(dāng)C、B、H三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即此時(shí)有最小值，最小值為的長(zhǎng)，∵，∴，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理，中點(diǎn)四邊形，矩形的判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．10．(1)(2)①；②(3)；的最小值【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)易得，再分別用勾股定理表示出和，進(jìn)而建立方程求解；（2）①由即可得解；②參照①思路，構(gòu)造矩形，過(guò)點(diǎn)Q作，垂足為H，證，即可得解；（3）根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可得出，進(jìn)而得到點(diǎn)T在的垂直平分線上，很明顯當(dāng)垂直于的垂直平分線上時(shí)，有最小值，再參考（2）中思路構(gòu)造相似求解即可．【詳解】（1）解：在矩形和三角尺中，有．當(dāng)平分時(shí)，應(yīng)有，即．而，，∴，解得，即當(dāng)平分時(shí)，；（2）解：①如圖，∴，故答案為：；②過(guò)點(diǎn)Q作，垂足為H，則，∴四邊形為矩形，．在中，，又，∴，∴，∴，∴；（3）解：如圖，在中，，在中，，∴，∴點(diǎn)T在的垂直平分線上，如圖，連接，作的垂直平分線，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，過(guò)O作，當(dāng)時(shí)，有最小值，∵，K為中點(diǎn)，∴，由輔助線可知四邊形是矩形，∴，∴，∴，在中，，，設(shè)，則，∴，∴，在中，，∴，∴，即的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、解直角三角形、角平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．11．(1)證明見(jiàn)解析；(2)的周長(zhǎng)的最小值是．【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)首先得出，，，進(jìn)而得出；（2）首先得出平行四邊形為菱形，進(jìn)而得出當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，取到最小值為，利用勾股定理求出即可．【詳解】（1）證明：在中，，分別是，的中點(diǎn)，，，，在和中，，；（2）解：在中，，分別是，的中點(diǎn)，，，四邊形為平行四邊形；在中，為中點(diǎn)，，平行四邊形為菱形，垂直平分，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，取到最小值為，在中，，，由勾股定理得，又由（1）知，，的周長(zhǎng)的最小值：．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平行四邊形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、菱形的判定和性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理解直角三角形，解題關(guān)鍵是通過(guò)證明四邊形為菱形推得點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)．12．(1)見(jiàn)解析；(2)．【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、垂線段最短、勾股定理．根據(jù)垂直定義可知，所以可證，利用可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，所以可得，從而可證結(jié)論成立；由可知，，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)時(shí)的長(zhǎng)度最小，此時(shí)是等腰直角三角形的，利用勾股定理求出的長(zhǎng)度即可．【詳解】（1）證明：，，，，，又，，在和中，，，，，；（2）解：如下圖所示，連接，由可知，又，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，在中，當(dāng)時(shí)的長(zhǎng)度最小，又，，在中，，，，的最小值為．13．(1)(2)①正方形，理由見(jiàn)解析；②(3)，【分析】（1）由勾股定理得，再由正方形的性質(zhì)得，然后由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，即可求解；（2）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，再證四邊形是矩形，即可得出結(jié)論；②過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)G，證，得，，則，再由勾股定理求解即可；（3）的最小值就是初始位置時(shí)的長(zhǎng)度；當(dāng)落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，，最長(zhǎng)，即可得出答案．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∵四邊形是正方形，∴，，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，∴，故答案為：；（2）解：①四邊形是正方形，理由如下：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，，∵，∴四邊形是矩形，又∵，∴四邊形是正方形；②過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)G，如圖3所示：則，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴；（3）解：∵點(diǎn)E不會(huì)在線段上，∴的最小值就是初始位置時(shí)的長(zhǎng)度，當(dāng)落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，，最長(zhǎng)，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)．14．(1)垂直平分(2)(3)【分析】（1）由箏形可得，，即垂直平分；（2）由折疊的性質(zhì)可得，，，，，由等腰三角形的性質(zhì)可得垂直平分，即，可證四邊形是箏形，由面積法可求的長(zhǎng)；（3）由折疊的性質(zhì)可得，，，，，，可證，由勾股定理可求的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】（1）解：∵四邊形是箏形，∴，，∴垂直平分；故答案為：垂直平分；（2）解：四邊形是箏形，理由如下：如圖2，設(shè)與交于點(diǎn)H，由折疊的性質(zhì)得，垂直平分，垂直平分，∴，，，，∵，∴垂直平分，∴，∴四邊形是箏形，∵，，，∴，∵，，，∴∵∴，∴；（3）解：如圖3，將沿翻折得，將沿翻折得，在截取，連接，，∵，，∴，由折疊得，，，，，，∵，∴，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴∵，∴當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)G，點(diǎn)H，點(diǎn)D共線時(shí)，有最大值，∴的最大值．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了新定義，折疊的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線是解題的關(guān)鍵．15．(1)30°(2)見(jiàn)解析