自動控制原理 課件全套 第1-7章 自動控制系統(tǒng)的基本概念-非線性系統(tǒng)分析

AUTOMATICCONTROL自動控制原理主編：陳鐵牛

自控系統(tǒng)的基本概念第一章自動控制及自動控制理論的發(fā)展簡述自動控制的基本原理與方式自動控制系統(tǒng)的分類對自動控制系統(tǒng)的基本要求本章小結(jié)自動控制技術(shù)在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、國防（尤其是在航天、制導(dǎo)、核能等方面）乃至日常生活和社會科學(xué)領(lǐng)域中都起著極其重的作用。如爐溫控制、機械手的控制、人造衛(wèi)星的軌道控制、造紙機卷取系統(tǒng)的張力恒定控制等等。1.1自動控制理論的發(fā)展簡述自動控制，是指在無人直接參與的情況下，利用外加的設(shè)備或裝置，使機器、設(shè)備或生產(chǎn)過程的某個工作狀態(tài)或參數(shù)自動地按照預(yù)定的規(guī)律運行控制裝置或控制器被控對象被控量自動控制系統(tǒng)，是由控制器、被控對象等部件為了一定的目的有機的地聯(lián)接成的一個進行自動控制的整體。例如：在燃油爐溫度的控制系統(tǒng)中，調(diào)節(jié)爐子溫度的如電動機、閥門等就是控制器；燃油爐就是被控對象；而爐子的溫度就是被控量；爐子正常工作所設(shè)定的溫度就是給定量。給定量例如：在燃油爐溫度的控制系統(tǒng)中，調(diào)節(jié)爐子溫度的如電動機、閥門等就是控制器；燃油爐就是被控對象；而爐子的溫度就是被控量；爐子正常工作所設(shè)定的溫度就是給定量。1.1自動控制理論的發(fā)展簡述經(jīng)典控制理論主要用于工業(yè)控制1788年瓦特發(fā)明蒸汽機的同時，發(fā)明了離心式調(diào)速器，使蒸汽機轉(zhuǎn)速保持恒定，這是最早的被用于工業(yè)的自動控制裝置第二次世界大戰(zhàn)期間，對于軍用裝備的設(shè)計與制造的強烈需求，進一步促進并完善了自動控制理論的發(fā)展（如飛機及船用自動駕駛儀、火炮定位系統(tǒng)、雷達(dá)跟蹤系統(tǒng)等）現(xiàn)代控制理論，主要研究多輸入和多輸出、時變和非線性等控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計問題，有線性系統(tǒng)理論、最優(yōu)控制理論、最佳濾波、自適應(yīng)控制、系統(tǒng)辯識、隨機控制等。主要代表有：Kalman

的濾波器，Pontryagin的極大值原理，Bellman的動態(tài)規(guī)劃和Lyapunov

的穩(wěn)定性理論。大系統(tǒng)理論和智能控制理論，稱為第三代控制理論。發(fā)展初期20世紀(jì)60年代目前研究方向現(xiàn)代控制理論廣泛應(yīng)用于工農(nóng)業(yè)、國防及日常生活經(jīng)典控制理論，主要以傳遞函數(shù)為數(shù)學(xué)工具，采用頻率方法，研究單輸入—單輸出的線性定常系統(tǒng)的分析和設(shè)計問題，并在工程上比較成功地解決了如恒值控制系統(tǒng)與隨動控制系統(tǒng)的設(shè)計與實踐問題。著名的控制科學(xué)家有：Black,Nyquist,Bode.1.1自動控制理論的發(fā)展簡述

現(xiàn)代控制理論與運籌學(xué)相結(jié)合的產(chǎn)物，采用數(shù)學(xué)模型，通過分解－協(xié)調(diào)或分解－集結(jié)方法，將控制理論中的穩(wěn)定性理論，最優(yōu)化控制理論，多變量控制理論和運籌學(xué)中的線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃等加以推廣，應(yīng)用于大系統(tǒng)的分析和綜合大系統(tǒng)理論1.1自動控制理論的發(fā)展簡述智能控制

智能控制是將認(rèn)知科學(xué)、多種數(shù)學(xué)編程和控制技術(shù)結(jié)合起來的，形成感知—交互式、以目標(biāo)導(dǎo)向的控制系統(tǒng)。系統(tǒng)可以進行規(guī)劃、決策，產(chǎn)生有效的、有目的的行為，在不確定環(huán)境中，達(dá)到既定的目標(biāo)。1.1自動控制理論的發(fā)展簡述自動控制電位器放大器電動機給定電壓Ur負(fù)載力矩n測速發(fā)動機整流器UaUcUdUf人工控制分析比較執(zhí)行電動機轉(zhuǎn)速表干擾實際轉(zhuǎn)速希望值眼觀測一、人工控制與自動控制1.2自動控制的基本原理與方式轉(zhuǎn)速表觸發(fā)器整流器負(fù)載三相交流＋UaUfUrM給定電位器—觸發(fā)器整流器三相交流給定電位器＋UaUfUr放大器TGM負(fù)載二、開環(huán)控制和閉環(huán)控制計算／放大執(zhí)行器被控對象給定量被控量干擾比較／計算執(zhí)行器被控對象測量干擾被控量給定量開環(huán)控制系統(tǒng)是指無被控量反饋的系統(tǒng)，即在系統(tǒng)中控制信息的流動未形成閉合回路閉環(huán)控制就是有被控量反饋的控制，即系統(tǒng)的輸出信號沿反饋通道又回到系統(tǒng)的輸入端，構(gòu)成閉合通道，也叫做反饋控制。1.2自動控制的基本原理與方式三、自動控制系統(tǒng)的組成給定裝置比較裝置串聯(lián)校正裝置比較、放大裝置執(zhí)行裝置被控對象反饋校正裝置測量與變送局部反饋系統(tǒng)主反饋干擾輸入值

被控量檢測被控量，將檢測值轉(zhuǎn)換為便于處理的信號，再將該信號輸入比較裝置。控制系統(tǒng)中所要控制的對象直接對被控對象作用，以改變被控量的值將給定量與測量值進行運算得到偏差量

設(shè)定與被控量相對應(yīng)的給定量在系統(tǒng)中添加的用以改善系統(tǒng)的控制性能的裝置開始1.2自動控制的基本原理與方式

四、自動控制系統(tǒng)實例

爐溫控制系統(tǒng)液位控制系統(tǒng)舵輪隨動系統(tǒng)1.2自動控制的基本原理與方式給定電位器電動機UrUaUtT工件燃油爐混合器閥門空氣燃油Q熱電偶爐溫控制系統(tǒng)電位器電動機燃油爐與T對應(yīng)的給定阻值工件溫度等t熱電偶閥門ΔUUa混合器nQ放大器放大器UUt被控對象T:給定溫度

t:被控量控制器比較放大裝置測量變送裝置開始原理方框圖1.2自動控制的基本原理與方式

液位控制系統(tǒng)

電動機

閥門L2閥門L1

減速器電位器浮子及連桿進水量Q1

出水量Q2給定液位H電位器電動機水箱給定阻值Q2h浮子\連桿閥門L1Uan1減速器n2Q1開始原理方框圖被控對象H:給定高度h:實際高度控制器比較裝置測量變送裝置干擾1.2自動控制的基本原理與方式

舵輪隨動系統(tǒng)電位器舵輪UrUcUaU舵減速器θcABθr電位器A比較放大干擾力矩n電位器B電動機減速裝置UcUr舵Uθrθc開始原理方框圖被控對象輸入設(shè)定裝置控制器比較放大裝置測量變送裝置1.2自動控制的基本原理與方式

給定量按事先設(shè)定的規(guī)律而變化1.3自動控制系統(tǒng)的分類常常稱作伺服系統(tǒng)，它的特征是給定量是變化的，而且其變化規(guī)律是未知的按給定量特征分類按系統(tǒng)中元件特性分類按系統(tǒng)中信號形式分類恒值給定控制系統(tǒng)的特征是給定量一經(jīng)設(shè)定就維持不變恒值給定系統(tǒng)隨動系統(tǒng)程序給定系統(tǒng)系統(tǒng)中所有元件都是線性元件系統(tǒng)中含有一個或多個非線性元件線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)連續(xù)控制系統(tǒng)數(shù)字控制系統(tǒng)系統(tǒng)中所有的信號都是連續(xù)時間變量的函數(shù)系統(tǒng)中各種參數(shù)及信號在是以在時間上是離散的數(shù)碼形式或脈沖序列傳遞的，所以可以采用數(shù)字計算機來參與生產(chǎn)過程的控制注意：每個標(biāo)題按一下顯示內(nèi)容，再按一下結(jié)束顯示1.4自動控制系統(tǒng)的基本要求自動控制系統(tǒng)的任務(wù)：被控量和給定值，在任何時候都相等或保持一個固定的比例關(guān)系，沒有任何偏差，而且不受干擾的影響系統(tǒng)的動態(tài)過程，也稱為過渡過程，是指系統(tǒng)受到外加信號(給定值或干擾)作用后，被控量隨時間變化的全過程自動控制的性能指標(biāo)：反映系統(tǒng)控制性能優(yōu)劣的指標(biāo)，工程上常常從穩(wěn)定性、快速性、準(zhǔn)確性三個方面來評價穩(wěn)定性快速性準(zhǔn)確性圖示控制系統(tǒng)動態(tài)過程的振蕩傾向和重新恢復(fù)平衡工作狀態(tài)的能力，是評價系統(tǒng)能否正常工作的重要性能指標(biāo)控制系統(tǒng)過渡過程的時間長短，是評價穩(wěn)定系統(tǒng)暫態(tài)性能的指標(biāo)控制系統(tǒng)過渡過程結(jié)束后，或系統(tǒng)受干擾重新恢復(fù)平衡狀態(tài)時，最終保持的精度，是反映過渡過程后期性能的指標(biāo)tc(t)r(t)0(a)tc(t)r(t)0(b)tc(t)r(t)0(c)tc(t)r(t)0(d)開始開始開始開始1.4自動控制系統(tǒng)的基本要求自動控制系統(tǒng)討論的主要問題是系統(tǒng)動態(tài)過程的性能，主要性能歸納起來就是三個字：穩(wěn)、快、準(zhǔn)。本章小結(jié)自動控制原理是分析設(shè)計自動控制系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)，可分為經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論兩大部分。自動控制系統(tǒng)最基本的控制方式是閉環(huán)控制，也稱反饋控制，它的基本原理是利用偏差糾正偏差。自動控制系統(tǒng)的方框圖是對系統(tǒng)物理特性的抽象表示，它描述系統(tǒng)的主要矛盾和內(nèi)在聯(lián)系，是研究自動控制系統(tǒng)的有效工具。第一章小結(jié)

自控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述第二章控制系統(tǒng)的微分方程傳遞函數(shù)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖與梅森公式控制系統(tǒng)的幾種常用傳遞函數(shù)本章小結(jié)對實際系統(tǒng)或元件加入一定形式的輸入信號，根據(jù)輸入信號與輸出信號間的關(guān)系來建立數(shù)學(xué)模型的方法根據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理、化學(xué)定律，列寫出各變量間的數(shù)學(xué)表達(dá)式，從而建立起數(shù)學(xué)模型的方法2.1控制系統(tǒng)的微分方程一、系統(tǒng)微分方程的建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是指描述系統(tǒng)或元件輸入量、輸出量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。而把描述各變量動態(tài)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為動態(tài)模型。常用的動態(tài)數(shù)學(xué)模型有微分方程、傳遞函數(shù)及動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。建立數(shù)學(xué)模型，可以使用解析法和實驗法

解析法實驗法解析法建立微分方程的一般步驟是

2.1控制系統(tǒng)的微分方程解析法建立微分方程的一般步驟是

根據(jù)實際工作情況，確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出量；標(biāo)準(zhǔn)化工作:將與輸入有關(guān)的各項放在等號的右側(cè)，即將與輸出有關(guān)的各項放在等號的左側(cè)，并按照降冪排列。從輸入端開始，按照信號的傳遞時序及方向，根據(jù)各變量所遵循的物理、化學(xué)定律，列寫出變化（運動）過程中的微分方程組；消去中間變量，得到只包含輸入、輸出量的微分方程；最后將系數(shù)歸化為具有一定物理意義的形式。12345一個微分方程建立的例子2.1控制系統(tǒng)的微分方程一個微分方程建立的例子UrUciRC

試列寫圖示的RC無源網(wǎng)絡(luò)的微分方程根據(jù)電路理論的克希霍夫定律，列寫方程

其中i為中間變量，Ur為輸入量，Uc為輸出量，消去中間變量得：

令RC=T（時間常數(shù)），則有：RC無源網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)數(shù)學(xué)模型為一階常系數(shù)線性微分方程。2.1控制系統(tǒng)的微分方程二、線性微分方程的求解為復(fù)變量，其線性積分如果存在，就稱其為函數(shù)

f(t)的拉普拉斯變換（簡稱拉氏變換），記作并稱F(s)為f(t)的象函數(shù)或變換函數(shù)，f(t)稱為F(s)的原函數(shù)。有函數(shù)f(t)，t為實變量拉氏變換定義拉氏變換的幾個基本定理幾種典型函數(shù)的拉氏變換線性定理2.微分定理F(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t-0

時的值都為零則有3.積分定理F(t)及其各重積分在t-0時的值都為零則有4.位移定理實域位移定理復(fù)域位移定理5.終值定理函數(shù)名稱時間曲線數(shù)學(xué)表達(dá)式拉氏變換階躍函數(shù)F(s)=1/s斜坡函數(shù)F(s)=1/s2加速函數(shù)F(s)=1/s3指數(shù)函數(shù)F(s)=1/(s-a)正、余弦函數(shù)F(s)=ω/(s2-ω2)F(s)=s/(s2-ω2)0f(t)t10f(t)t0f(t)t0f(t)t0f(t)t1正弦余弦?guī)讉€實例已知，求F(s)。這里A是常數(shù)。解：因為A是常數(shù)，所以，根據(jù)線性定理則有已知，求F(s)。求的拉氏變換。解：根據(jù)實域位移定理則有解：根據(jù)復(fù)域位移定理則有例一例三例二2.1控制系統(tǒng)的微分方程拉氏反變換拉氏變換的逆運算

稱為拉氏反變換，該式是拉氏反變換的數(shù)學(xué)定義，而在實際應(yīng)用中常常采用的方法是：先將F(s)分解為一些簡單的有理分式函數(shù)之和，這些函數(shù)基本上都是前面介紹過的典型函數(shù)形式；然后由拉氏變換求出其反變換函數(shù)，即原函數(shù)f(t)。設(shè)F(s)的一般表達(dá)式為(通常都是s的有理分式函數(shù))式中的a1、a2...an以及b1、b2...bm為實數(shù)，m、n為正數(shù)，且m<n。根據(jù)上式分母的根，分為以下兩種情況來討論2.1控制系統(tǒng)的微分方程s

sis

sis

siA(s)=0無重根

ni=1s

si

ni=1若

F(s)=B(s)/A(s)=C1/(s-s1)+C2/(s-s2)+…+Cn/(s-sn)=ΣCi/(s-si)則

f(t)=L-1[F(s)]=L-1[ΣCi/(s-si)]對各項Ci/(s-si)進行拉氏反變換即可其中系數(shù)

Ci=lim(s-si)F(s)A(s)=0有重根若

F(s)=Cm/(s-s1)m+Cm-1/(s-s2)m-1+…+C1/(s-s1)+…+Cn/(s-sn)其中重根系數(shù)Cm=lim(s-si)mF(s)，

Cm-1=limd[(s-si)mF(s)]/ds，……，

Cm-j=(1/j!)limdj[(s-si)mF(s)]/dsj，……，

C1=[1/(m-1)!]limdm-1[(s-si)mF(s)]/dsm-1

其他無重根情況同前。將各系數(shù)代入F(S)式對各項進行拉氏反變換即可s

si例題例題2.1控制系統(tǒng)的微分方程用拉氏變換求解系統(tǒng)微分方程或方程組的步驟如下：例題將系統(tǒng)微分方程進行拉氏變換，得到以s為變量的變換方程；解出變換方程，即求出被控量的拉氏變換表達(dá)式；將被控量的象函數(shù)展開成部分分式表達(dá)式；對該部分分式表達(dá)式進行拉氏反變換，就得出了微分方程的解，即被控量的時域表達(dá)式。

2.1控制系統(tǒng)的微分方程已知：，求其拉氏反變換。接下來是確定兩個待定系數(shù)，解：將F(s)進行因式分解后得到這時有將上式進行拉氏反變換得到2.1控制系統(tǒng)的微分方程

已知：，求原函數(shù)解：將F(s)進行因式分解后得到將所求得的系數(shù)代入F(s)中這時將上式進行反拉氏變換得到2.1控制系統(tǒng)的微分方程已知系統(tǒng)微分方程為Xc在t=0時刻的各階導(dǎo)數(shù)均為零。求系統(tǒng)的輸出Xc(t)。解：對該系統(tǒng)的微分方程進行拉氏變換得到輸出量的拉氏變換表達(dá)式為所以使用復(fù)域位移定理求出系統(tǒng)的輸出為2.1控制系統(tǒng)的微分方程傳遞函數(shù)：線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。G(s)C（S）R（S）傳遞函數(shù)的方框圖左圖所示的是的零、極點分布圖。2.2傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的概念只適用于自動控制系統(tǒng)中的線性定常系統(tǒng)。傳遞函數(shù)是系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學(xué)模型的另一種形式，它取決于系統(tǒng)或元部件的結(jié)構(gòu)及參數(shù)，與輸入量的物理特性無關(guān)，并且和微分方程中各項對應(yīng)相等。實際工程中，許多不同的物理系統(tǒng)具有完全相同的傳遞函數(shù)，所以傳遞函數(shù)只描述了輸出與輸入之間的關(guān)系，并不提供任何有關(guān)該系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)。一個傳遞函數(shù)只適用于單輸入、單輸出系統(tǒng)，因而信號在傳遞過程中的中間變量是無法反映出來的。對于系統(tǒng)未知的傳遞函數(shù)，可通過給系統(tǒng)加上已知特性的輸入，再對其輸出進行研究，就可以得到該系統(tǒng)傳遞函數(shù)，并可以給出其動態(tài)特性的完整描述。傳遞函數(shù)的拉氏反變換是系統(tǒng)對應(yīng)的脈沖響應(yīng)一、關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點說明2.2傳遞函數(shù)比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)r(t)c(t)t0比例環(huán)節(jié)（無慣性環(huán)節(jié)）：c(t)=kr(t)

傳遞函數(shù)：G(S)=C(S)/R(S)=k階躍響應(yīng)：R(S)=1/SC(S)=kR(S)=k/S方框圖：C(t)=kkR(S)C(S)1測速發(fā)電機：ωU(t)=Ktdθ(t)/dt=ktω(t)G(S)=U(S)/Ω(S)=KtR2R1RC(t)r(t)運算放大器：C(t)=R2/R1r(t)G(S)=C(S)/R(S)=R2/R1=K2.2傳遞函數(shù)慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)慣性環(huán)節(jié)：Tdc(t)/dt+c(t)=kr(t)

傳遞函數(shù)：G(S)=C(S)/R(S)=k/(TS+1)階躍響應(yīng)：R(S)=1/SC(S)=kR(S)方框圖：C(t)=k(1-e-1/T)2k/(TS+1)R(S)C(S)電樞控制他勵直流電動機：TdTmd2n(t)/dt2

+Tmdn(t)/dt+n(t)＝Ua(t)/Ce若初值為0，上式的拉氏變換為：(TdTmS2+TmS+1)N(S)=Ua(S)/Ce傳遞函數(shù)為：

1G(S)=N(S)/Ua(S)=Ce

(TdTmS2+TmS+1)若電樞電感忽略不計，上式可以化簡為：

1G(S)=N(S)/Ua(S)=Ce(TmS+1)運算放大器：R2R1RC(t)r(t)Ci1i2A傳遞函數(shù)為：G(S)=（R2/R1)/(R2CS+1)=K/(TS+1)2.2傳遞函數(shù)當(dāng)T=∞時，慣性環(huán)節(jié)近似為積分環(huán)節(jié)；當(dāng)T=0時，慣性環(huán)節(jié)近似為比例環(huán)節(jié)。積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)3積分環(huán)節(jié)：dc(t)/dt=kr(t)

傳遞函數(shù)：G(S)=C(S)/R(S)=k/S階躍響應(yīng)：R(S)=1/S，C(S)=kR(S)C(t)=kt方框圖：k/sR(S)C(S)積分調(diào)節(jié)器：CUc(t)RUr(t)i1i2A在A點列方程可得：i2=i1,

i1=Uc(t)/RUc(t)=1/C∫i2(t)dt=1/(RC)∫Uc(t)dt設(shè)RC＝T（積分時間常數(shù)），則有：Uc(t)=1/T∫Uc(t)dt拉氏變換后為：Uc(S)=1/(TS)Uc(S)傳遞函數(shù)為：G(S)=Uc(S)/Uc(S)=1/(TS)＝k/S2.2傳遞函數(shù)微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)微分環(huán)節(jié)：c(t)=τdr(t)/dt

傳遞函數(shù)：G(S)=C(S)/R(S)=τS方框圖：τSR(S)C(S)4由于微分環(huán)節(jié)具有慣性實際常常以G(S)=kTS/(TS+1)形式出現(xiàn)。其中T為時間常數(shù)，T越小微分作用越強，當(dāng)T

0而KT保持有限值時，方程變?yōu)榧兾⒎汁h(huán)節(jié)了。輸入量取角度時的傳遞函數(shù)即為微分環(huán)節(jié)。表示電機單位角速度的輸出電壓。則測速發(fā)電機輸出電壓與輸入角速度之間的關(guān)系為進行拉氏變換得到那么該元件的傳遞函數(shù)為ω測速發(fā)電機：2.2傳遞函數(shù)微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)一階微分環(huán)節(jié)：c(t)=τ/dt+r(t)傳遞函數(shù)：G(S)=C(S)/R(S)=τS+1方框圖：τS+1R(S)C(S)5比例微分調(diào)節(jié)器：根據(jù)電路的基本定律得到以下方程組那么該元件的傳遞函數(shù)為消去中間變量得到輸出、輸入電壓之間的關(guān)系振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)振蕩環(huán)節(jié)：T2d2r(t)/dt2+2ζTdr(t)/dt+r(t)＝r(t)傳遞函數(shù)：G(S)=C(S)/R(S)=1/(T2S2+2ζTS+1)方框圖：6RLC振蕩電路：UcRUricL電路的微分方程為：LCd2Uc/dt2+RCdUc/dt+Uc=Urd2Uc/dt2+R/LdUc/dt+Uc=1/LCUr令ωn=1/√LC，ζ=0.5R√C/L則上式的拉氏變換為：

(S2+2ωnζS+ωn2)Uc(S)=ωn2Ur(S)ωn2

S2+2ωnζS+ωn2傳遞函數(shù)為：G(S)=Uc(S)/Ur(S)＝1T2S2+2ζTS+1R(S)C(S)延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)延遲環(huán)節(jié)：c(t)=r(t-τ)傳遞函數(shù)：G(S)=C(S)/R(S)=e-τs方框圖：7e-τsR(S)C(S)軋鋼廠帶厚度檢測元件:則滯后時間為：τ＝l/v（S)測厚信號c(t)與厚差信號r(t)之間的關(guān)系為：

c(t)＝r(t-τ)在零初始條件下，拉氏變換為：C(S)

＝R(S)e-τS傳遞函數(shù)為:G(S)=C(S)/R(S)

＝e-τSA點產(chǎn)生的誤差在B點才被檢測到。設(shè)測厚儀距支架的距離為l，帶鋼運行速度為v2.2傳遞函數(shù)一、動態(tài)結(jié)構(gòu)圖動態(tài)結(jié)構(gòu)圖是數(shù)學(xué)模型的圖解化，它描述了組成系統(tǒng)的各元部件的特性及相互之間信號傳遞的關(guān)系，表達(dá)了系統(tǒng)中各變量所進行的運算。動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的組成

1）信號線帶有表示信號傳遞方向箭頭的直線。一般在線上寫明該信號的拉氏變換表達(dá)式。2）綜合點3）引出點4）方框在信號線上的“?”，表示信號引出的位置。方框中為元部件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，方框的輸出量等于方框內(nèi)的傳遞函數(shù)與輸入量的乘積。它完成兩個以上信號的加減運算，以O(shè)表示。如果輸入的信號帶“＋”號，就執(zhí)行加法；帶“－”號就執(zhí)行減法。2.3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖與梅森公式2.3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖與梅森公式動態(tài)結(jié)構(gòu)圖建立步驟是

建立系統(tǒng)各元部件的微分方程。要注意，必須先明確系統(tǒng)的輸入量和輸出量，還要考慮相鄰元件間的負(fù)載效應(yīng)。按照系統(tǒng)中各變量傳遞順序，依次連接3）中得到的結(jié)構(gòu)圖，系統(tǒng)的輸入量放在左端，輸出量放在右端，即可得到系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。

將得到的系統(tǒng)微分方程組進行拉氏變換。

按照各元部件的輸入、輸出，對各方程進行一定的變換，并據(jù)此繪出各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。1234一個動態(tài)結(jié)構(gòu)圖建立的例子2.3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖與梅森公式一個動態(tài)結(jié)構(gòu)圖建立的例子RC無源網(wǎng)絡(luò)U1(S)-U2(S)=I1(S)R1=I2(S)／CSI1(S)+I2(S)=I(S)CR2R1U1U2I1I2IU2(S)=I(S)R2R2U2(S)I1(S)I2(S)I(S)步驟一列寫方程組步驟二畫出對應(yīng)方程的部分結(jié)構(gòu)圖1／R1U2(S)U1(S)_ΔU(S)CSI1(S)I2(S)步驟三依次連接得到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖C(s)G(S)1＋G(S)H(S)R(s)二、動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的化簡2.3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖與梅森公式

結(jié)構(gòu)圖的等效變換的原則：變換前后輸入輸出之間的傳遞函數(shù)保持不變。串聯(lián)：G1(s)G2(s)......G3(s)R(s)C(s)R(s)G1(s)G2(s)C(s)Gn(s)......并聯(lián)：G1(s)±G2(s)±...±Gn(s)R(s)C(s)R(s)G2(s)G1(s)C(s)Gn(s)......反饋連接：G1(S)R(S)C(S)＋／－H(S)2.3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖與梅森公式綜合點前移：綜合點后移：綜合點之間移動：1／G1(S)G1（S）R(S)C(S)＋/－Q(S)R(S)G1（S）C(S)＋／－Q(S)C(S）G1(S）R(S)＋／－Q(S)G(S)R(S)C（S）＋／－G1(S)Q(S)結(jié)構(gòu)圖中綜合點的移動方法C(S）R(S）＋／－N(S)＋／－Q(S)C(S）R（S）＋／－N(S)＋／－Q(S)引出點前移：引出點后移：引出點之間移動：2.3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖與梅森公式結(jié)構(gòu)圖中引出點的移動方法G1（S）R（S）C（S）C（S）G1(S）R(S）C（S）C（S）G1(S）G1（S）R（S）C（S）R（S）G1（S）R（S）C（S）1/G1（S）R（S）R（S）R（S）R（S）R（S）R（S）R（S）R（S）R（S）一個利用結(jié)構(gòu)圖化簡求取傳遞函數(shù)的例子2.3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖與梅森公式G1(s)G2(s)G4(s)G3(s)H2(s)R(s)C(s)H3(s)H1(s)1－串聯(lián)化簡用結(jié)構(gòu)圖的等效變換，求圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)解：這是一個無交叉多回路系統(tǒng)，可以應(yīng)用串聯(lián)和反饋連接的等效變換公式進行化簡。本題的簡化過程演示如下：一個利用結(jié)構(gòu)圖化簡求取傳遞函數(shù)的例子開始G3(s)G4(s)2－負(fù)反饋化簡G3(s)G4(s)1+G3(s)G4(s)H3(s)3－串聯(lián)化簡G2(s)G3(s)G4(s)1+G3(s)G4(s)H3(s)4－負(fù)反饋化簡G2(s)G3(s)G4(s)1+G3(s)G4(s)H3(s)+G2(s)G3(s)G4(s)H2(s)5－串聯(lián)化簡G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)1+G3(s)G4(s)H3(s)+G2(s)G3(s)G4(s)H2(s)6－負(fù)反饋化簡G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)1+G3(s)G4(s)H3(s)+G2(s)G3(s)G4(s)H2(s)+G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H1(s)三、梅森公式2.3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖與梅森公式：是系統(tǒng)總傳遞函數(shù)。：前向通路數(shù)。：從輸入端到輸出端第k條前向通路總傳遞函數(shù)。：信號流圖的特征式。在同一個信號流圖中不論求圖中任何一對節(jié)點之間的增益，：是所有回路的回路增益乘積之和。：是所有任意兩個互不接觸回路增益乘積之和。：為在中不與第k條前向通路相接觸的那一部分回路所在項，稱為第k條前向通路特征式的余因子。其中：是所有任意三個互不接觸回路增益乘積之和。：表示所有任意m個不接觸回路增益乘積之和?！妹飞角笕鬟f函數(shù)的例子其分母總是。2.3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖與梅森公式利用梅森公式求取傳遞函數(shù)的例子G1(s)G4(s)H1(s)H2(s)G2(s)G3(s)R(s)C(s)前向通路有2個，5個回路，因為各回路都互相接觸，所以特征式為且2條前向通路與所有回路都接觸，所以2個余子式為故，代入梅遜公式即得系統(tǒng)傳遞函數(shù)G1(S)G2(S)H(S)N(S)R(S)C(S)B(S)E(S)2.4控制系統(tǒng)的幾種常用函數(shù)1、系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)：前向通道傳遞函數(shù)與反饋通道傳遞函數(shù)的乘積，即G(S)H(S)＝G1(S)G2(S)H(S)＝B(S)／E(S)自控系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)2、系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：包含給定信號r(t)作用下的傳遞函數(shù)Φ(S)、干擾信號n(t)作用下的傳遞函數(shù)Φn(S)。2.4控制系統(tǒng)的幾種常用函數(shù)r(t)作用下的傳遞函數(shù)：Φ(S)=C(S)/R(S)=G1(S)G2(S)

1+G1(S)G2(S)H(S)C(S)=Φ(S)R(S)=G1(S)G2(S)R(S)

1+G1(S)G2(S)H(S)G1(S)G2(S)H(S)R(S)E(S)B(S)C(S)_n(t)作用下的傳遞函數(shù)：Φn(S)=C(S)/N(S)=G2(S)

1+G1(S)G2(S)H(S)C(S)=Φn(S)N(S)=G2(S)

N(S)

1+G1(S)G2(S)H(S)G1(S)N(S)E(S)B(S)C(S)H(S)G2(S)_系統(tǒng)總輸出：在r(t)和n(t)共同作用下系統(tǒng)的總輸出為

G1(S)G2(S)R(S)＋G2(S)

N(S)C(S)=

1+G1(S)G2(S)H(S)2.4控制系統(tǒng)的幾種常用函數(shù)3、閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)：包含給定信號r(t)作用下的誤差傳遞函數(shù)Φe(S)、干擾信號n(t)作用下的誤差傳遞函數(shù)Φen(S)。系統(tǒng)的總誤差（n(t)、r(t)共同作用）：E(S)=Φe(S)R(S)＋Φen

(S)N(S)

R(S)－G2(S)H(S)N(S)=1+G1(S)G2(S)H(S)n(t)作用下系統(tǒng)的誤差：Φen(S)=E(S)/N(S)=-G2(S)H(S)1+G1(S)G2(S)H(S)r(t)作用下系統(tǒng)的誤差：Φe(S)=E(S)/R(S)=1

1+G1(S)G2(S)H(S)

第二章小結(jié)本章小結(jié)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有三種形式：微分方程、傳遞函數(shù)和動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。三者之間通過拉氏變換可以方便地相互轉(zhuǎn)換。在自動控制系統(tǒng)分析中以傳遞函數(shù)和動態(tài)結(jié)構(gòu)圖最為常用。通過對結(jié)構(gòu)圖的化簡運算，可以方便地得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換和梅遜公式是求系統(tǒng)傳遞函數(shù)的有效工具。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可分為開環(huán)傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)和誤差傳遞函數(shù)，其中閉環(huán)傳遞函數(shù)和誤差傳遞函數(shù)又分為給定輸入和干擾輸入作用的情況，并由此可求得系統(tǒng)在給定量和干擾作用下的總輸出以及系統(tǒng)的總誤差。

時域分析法第三章典型輸入信號和時域性能指標(biāo)一階系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)的時域分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析本章小結(jié)3.1典型輸入信號和時域性能指標(biāo)一、典型輸入信號①單位階躍作用1(t)③單位脈沖作用δ(t)②單位斜坡作用t④正、余弦作用Sinωt、Cos

ωt0f(t)t10f(t)t0f(t)t1正弦余弦0f(t)t13.1典型輸入信號和時域性能指標(biāo)二、典型時間響應(yīng)單位階躍響應(yīng)：h(t)=L-1[H(S)]=L-1[Φ(S)R(S)]=L-1[Φ(S)·1/S]典型的時間響應(yīng)：是指初態(tài)為零的系統(tǒng)在典型外作用下的輸出。單位斜坡響應(yīng)：ct(t)=L-1[ct

(S)]=L-1[Φ(S)R(S)]=L-1[Φ(S)·1/S2]單位脈沖響應(yīng)：g(t)=L-1[G(S)]=L-1[Φ(S)R(S)]=L-1[Φ(S)]3.1典型輸入信號和時域性能指標(biāo)為輸入值的正負(fù)5%~2%，稱為誤差帶h(t)t1.000.5延遲時間tα0.90.1tr上升時間tp峰值時間ts

(調(diào)節(jié)時間)δ%超調(diào)量性能指標(biāo)有6個：其中反映系統(tǒng)響應(yīng)初始段快慢的有3項指標(biāo)：上升時間、延遲時間、峰值時間；反映系統(tǒng)過渡過程持續(xù)時間的指標(biāo)：調(diào)節(jié)時間反映系統(tǒng)整個響應(yīng)過程的振蕩程度的指標(biāo)：超調(diào)量體現(xiàn)系統(tǒng)復(fù)現(xiàn)信號能力的指標(biāo)：穩(wěn)態(tài)誤差essess=1-h(∞)[當(dāng)h(∞)＝1時，ess=0]

h(tp)-h(∞)δ%=×100%

h(∞)三、時間響應(yīng)及性能指標(biāo)3.2一階系統(tǒng)的時域分析一、一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

dc(t)T

——+c(t)=r(t)dt

R(s)1K

K/SΦ(S)=——=——=——=———

C(S)TS+1S+K1+K/S∴

G(S)=K/S

H(S)=1K/SR(S)C(S)

－微分方程：傳遞函數(shù)：用閉環(huán)結(jié)構(gòu)圖表示為：3.2一階系統(tǒng)的時域分析r(t)=1

R(S)=1/S

C(S)=Φ(S)R(S)=h(t)=

L-1[C(S)]=L-1[]=L-1[]=1-e-t/T

(t≥0)令：CSS=1稱為穩(wěn)態(tài)分量，Ctt=-e-t/T

稱為暫態(tài)分量，則：一階系統(tǒng)對r(t)的響應(yīng)表達(dá)式可以寫為：h(t)=CSS+Ctt11——·—TS+1S11——·—TS+1S11—-———SS+1/Tt=T，h(t)=0.632；t=2T，h(t)=0.865；t=3T，h(t)=0.950；t=4T，h(t)=0.982；二、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)T2T3T4Tth(t)r(t)0.6320.8650.9500.9823.2一階系統(tǒng)的時域分析對應(yīng)于5％的誤差帶tS＝3T(秒)；對應(yīng)于2％的誤差帶tS＝4T(秒)；根據(jù)上升時間定義得到tr＝3.2T(秒)。三、單位階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)穩(wěn)態(tài)誤差：ess=1-h(t)=0

對于一階系統(tǒng)，其單位階躍響應(yīng)沒誤差，可完全復(fù)現(xiàn)輸入信號。動態(tài)性能指標(biāo)穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)一個一階系統(tǒng)分析的例子一個一階系統(tǒng)分析的例子解:由圖得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：3.2一階系統(tǒng)的時域分析

一階系統(tǒng)如圖，系統(tǒng)加入單位階躍輸入。當(dāng)KH=1時，求調(diào)節(jié)時間ts；若KH=0.1,則調(diào)節(jié)時間ts為多少；若要求ts=0.1秒，問KH應(yīng)為何值。R(s)C(s)-KH時間常數(shù)T=0.1/KH總放大倍數(shù)為1/KH1.當(dāng)KH=1時，則T=0.1秒，故調(diào)節(jié)時間為秒2.當(dāng)KH=0.1時，則T=1秒，故調(diào)節(jié)時間為秒3.若要求調(diào)節(jié)時間ts=0.1秒，有秒，因為放大倍數(shù)不影響調(diào)節(jié)時間，所以反饋系數(shù)為KH=31.當(dāng)KH=1時2.當(dāng)KH=0.1時3.若要求調(diào)節(jié)時間ts=0.1秒閉環(huán)傳遞函數(shù)3.3二階系統(tǒng)的時域分析一、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型凡以二階系統(tǒng)微分方程描述的系統(tǒng)，稱為二階系統(tǒng)

R(s)C(s)-ξ稱為阻尼比(相對阻尼系數(shù))，ωn為無阻尼自振角頻率(固有頻率)，它們是二階系統(tǒng)的特征參數(shù)。微分方程：傳遞函數(shù)：用閉環(huán)結(jié)構(gòu)圖表示為：二、二階系統(tǒng)的特征根及性質(zhì)特征根方程特征根特征根性質(zhì)④零阻尼ζ＝0，方程有一對純虛根，輸出等幅振蕩。①過阻尼ζ>1，方程有兩個不等的負(fù)實根，輸出無振蕩②臨界阻尼ζ＝1，方程有一對相等的負(fù)實根，輸出無振蕩③欠阻尼0<ζ<1，方程有一對實部為負(fù)數(shù)的共軛復(fù)根，輸出振蕩3.3二階系統(tǒng)的時域分析三、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)3.3二階系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)輸出的一般式為式中s1、s2為系統(tǒng)特征根，而二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)通用曲線ξ≥1時，階躍響應(yīng)表現(xiàn)為無振蕩的單調(diào)上升曲線，以ξ=1時的過渡過程時間最短。ξ=0時系統(tǒng)響應(yīng)變成等幅振蕩；在欠阻尼情況中，ξ減小，響應(yīng)的初始階段較快，但響應(yīng)振蕩特性加劇，取0.4<ξ<0.8時，過渡過程時間短，振蕩也不劇烈，ξ=0.707時系統(tǒng)響應(yīng)性能指標(biāo)最優(yōu)，稱為最佳阻尼比。

②臨界阻尼(ξ=1)時的單位階躍響應(yīng)（）響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量為1

，暫態(tài)分量隨著時間的推移最終衰減到零，ess=0。

3.3二階系統(tǒng)的時域分析

①過阻尼（ξ>1）時的單位階躍響應(yīng)（）響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量為1

；暫態(tài)響應(yīng)分量由兩項負(fù)指數(shù)函數(shù)之和組成，且后面的指數(shù)項較前面的指數(shù)項衰減得快，隨著時間的推移，暫態(tài)分量最終衰減到零，ess=0。

③零阻尼(ξ=0)時的單位階躍響應(yīng)（）c(t)=1-cosωnt

響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量為1

；暫態(tài)分量為余弦函數(shù)，整個響應(yīng)曲線以ωn為角頻率的等幅振蕩。

④欠阻尼(0<ξ<1)時的單位階躍響應(yīng)（）穩(wěn)態(tài)分量為1

，暫態(tài)分量為振幅隨時間按負(fù)指數(shù)規(guī)律衰減的周期函數(shù)，其振蕩角頻率為ωd，由于，可見ξ的值越大，振幅衰減越快，最終衰減到零，響應(yīng)頻率越快ess=0

。

(β＝arccosξ)

3.3二階系統(tǒng)的時域分析3.3二階系統(tǒng)的時域分析一個二階系統(tǒng)分析的例子典型二階系統(tǒng)欠阻尼時的動態(tài)性能指標(biāo)上升時間tr峰值時間tp超調(diào)量σ%調(diào)節(jié)時間ts一個二階系統(tǒng)分析的例子已知某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳函為：設(shè)系統(tǒng)的輸入量為單位階躍函數(shù)，試計算放大器的增益KA=200時，系統(tǒng)輸出響應(yīng)的動態(tài)性能指標(biāo)。若KA增大到1500或減小到13.5時，求系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為1.

KA=200時，代入上式求得：ωn＝31.5rad/s；ξ＝0.545，代入二階欠阻尼系統(tǒng)動態(tài)性能指標(biāo)的計算公式，可得：2.

KA=1500時，求得：ωn＝86.2rad/s；ξ＝0.2，同理可求得動態(tài)指標(biāo)：3.

KA=13.5時，得：ωn=8.22rad/s；ξ＝3.1>1，此時系統(tǒng)為過阻尼情況，峰值時間和超調(diào)量不存在，而調(diào)節(jié)時間為：KA=200時KA=1500時KA=13.5時3.3二階系統(tǒng)的時域分析四、二階系統(tǒng)性能的改善系統(tǒng)超調(diào)大的原因是在系統(tǒng)響應(yīng)接近穩(wěn)態(tài)值時，積累的速度過快而使超調(diào)過大，為了減小超調(diào)，抑制振蕩可以引入一個與速度有關(guān)的負(fù)反饋，適當(dāng)?shù)貕旱退俣?，從而提高平穩(wěn)性。兩種常用的改善系統(tǒng)性能的方法是引入輸出量的速度反饋控制或者采用誤差信號的比例-微分控制。輸出量的速度反饋控制誤差信號的比例-微分控制速度反饋的開環(huán)增益降低會加大系統(tǒng)在斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差。速度反饋不影響系統(tǒng)的自然頻率?？稍龃笙到y(tǒng)的阻尼比。速度反饋不形成閉環(huán)零點。適當(dāng)選擇開環(huán)增益，以使系統(tǒng)在斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差減小，單位階躍輸入時有滿意的動態(tài)性能。比例－微分控制不影響系統(tǒng)的自然頻率。由于阻尼比，可通過適當(dāng)選擇微分時間常數(shù)改變阻尼的大小。由于微分時對噪聲有放大作用(高頻噪聲)，所以輸入噪聲大時，不宜采用。3.3二階系統(tǒng)的時域分析3.4控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析一、穩(wěn)定的基本概念

線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的固有特征（結(jié)構(gòu)、參數(shù)），與系統(tǒng)的輸入信號無關(guān)。穩(wěn)定性是系統(tǒng)的固有特性，是擾動消失后系統(tǒng)自身的恢復(fù)能力。

對線性定常系統(tǒng)，當(dāng)輸入為零時，輸出為零的點為其唯一的平衡點。當(dāng)系統(tǒng)輸入信號為零時，在非零初始條件作用下，如果系統(tǒng)的輸出信號隨時間的推移而趨于零，即系統(tǒng)能夠自行回到平衡點，則稱該線性定常系統(tǒng)是穩(wěn)定的?；蛘哒f，如果線性定常系統(tǒng)時間響應(yīng)中的初始條件分量（零輸入響應(yīng)）趨于零，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。3.4控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析二、穩(wěn)定的充分必要條件任何一個系統(tǒng)的輸出都可以表達(dá)為：其中：M(S)稱為輸入端算子式；

D(S)稱為輸出端算子式；M0(S)是與系統(tǒng)初態(tài)有關(guān)的多項式。C(S)可以展開為：其中：Si為D(S)之根，

Srj為之根R(S)之根，Ai0、Bj、Ci為待定系數(shù)。系統(tǒng)響應(yīng)C(t)為：

綜合上述分析可得出線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：系統(tǒng)的所有特征根具有負(fù)實部，或者說所有特征根位于[s]平面的左半面，即Re[si]<0

第一、二項(穩(wěn)態(tài)分量)為零狀態(tài)響應(yīng)；第三項為初始狀態(tài)作用下的零輸入響應(yīng)。根據(jù)穩(wěn)定的定義可知，線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性是由零輸入響應(yīng)所決定的。因此要系統(tǒng)穩(wěn)定，只需零輸入響應(yīng)漸近為零。3.4控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析三、勞斯(Routh)穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)的特征方程

D(S)=a0Sn+a1Sn-1+……+an=0勞斯(Routh)穩(wěn)定判據(jù)①

a0.......an>0；②

勞斯陣列中第一列元素全部為正；③

勞斯陣列第一列中出現(xiàn)負(fù)數(shù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且符號改變次數(shù)代表正實根的數(shù)目。Sna0a2a4a6……Sn-1a1a3a5a7……Sn-2…………Sn-3………………Sn-4……………………………………………S0…………………………

勞斯陣列的編制方法特征方程的系數(shù)3.4控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析四、代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用

判別系統(tǒng)穩(wěn)定性例如某系統(tǒng)的特征方程為試判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：勞斯陣列如下00200132023S4S3S2S1S0由于勞斯陣列第一列元素不全為正，因此由勞斯穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)不穩(wěn)定。第一列元素符號由7/3變?yōu)?4/7，再由-4/7變?yōu)?，即改變次數(shù)為兩次。因此由勞斯穩(wěn)定判據(jù)還可以得出系統(tǒng)特征方程的特征根有兩個位于s的右半平面。分析系統(tǒng)參數(shù)變化對穩(wěn)定性影響

利用代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)可確定系統(tǒng)個別參數(shù)變化對穩(wěn)定性的影響，以及為使系統(tǒng)穩(wěn)定，這些參數(shù)應(yīng)取值的范圍。若討論的參數(shù)為開環(huán)放大倍數(shù)，使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)放大倍數(shù)的臨界值稱為臨界放大倍數(shù)。3.4控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析S3S2S1S0140K14K設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳為試求保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益K的可調(diào)范圍。解系統(tǒng)的閉環(huán)傳函為由此可得閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式為D(s)=s3+14s2+40s+K=0根據(jù)穩(wěn)定條件：，K＞0得：0＜K＜560穩(wěn)態(tài)誤差定義為穩(wěn)定系統(tǒng)誤差的終值，用ess表示，即。它是衡量系統(tǒng)最終控制精度的重要性能指標(biāo)。3.5控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析一、誤差與穩(wěn)態(tài)誤差G1(s)G2(s)H(s)c(t)n(t)r(t)b(t)-e(t)系統(tǒng)誤差定義為

e(t)=r(t)-b(t)r(t)相當(dāng)于代表希望值的指令輸入，而b(t)相當(dāng)于被控量c(t)的測量值（且b(t)與r(t)同量綱），H(s)為檢測元件系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖3.5控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析二、穩(wěn)態(tài)誤差的計算

如果系統(tǒng)的誤差的拉氏變換E(s)在[s]的右半面及除原點外的虛軸上沒有極點，則其穩(wěn)態(tài)誤差可用拉氏變換的終值定理進行求解：令系統(tǒng)對輸入指令的誤差傳遞函數(shù)Фer(s)和系統(tǒng)對干擾的誤差傳遞函數(shù)Фen(s)分別為則可將誤差表示為：一個計算穩(wěn)態(tài)誤差的例子一個計算穩(wěn)態(tài)誤差的例子已知r(t)=t，n(t)=-1(t)，試計算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess。1.首先判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。根據(jù)上圖系統(tǒng)的特征方程為：D(s)=s(0.02s+1)(s+1)+10=0.02s3+1.02s2+s+10ab∴系統(tǒng)穩(wěn)定c解：

a2.求Ｅ(s)bc3.求穩(wěn)態(tài)誤差

3.5控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析三、系統(tǒng)的型別（K:為系統(tǒng)的開環(huán)增益，ν為積分環(huán)節(jié)數(shù)）設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為ν=0，系統(tǒng)就稱為0型；ν=1，系統(tǒng)就稱為1型；ν=2，系統(tǒng)就稱為2型；

......3.5控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析四、利用型別求取r(t)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差r(t)作用下典型系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖G(s)H(s)R(s)C(s)B(s)_E(s)只考慮r(t)作用時，系統(tǒng)的誤差拉氏變換為在系統(tǒng)穩(wěn)定時，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為r(t)=R0·1(t)

R(s)=R0/sr(t)=V0tR(s)=V0/s2r(t)=a0t2/2R(s)=a0/s33.5控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析ess與G(S)H(S)型別的關(guān)系表000V>2a0/K00V=2∞V0/K0V=1∞∞R0/(1+K)V=0a0S3V0S2R0S

輸入信號

essV3.5控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析5R(S)C(S)_E(S)1/S(1+5S)1+0.8S已知：t(r)＝1+t+t2/2，求essn。解：先將上圖變?yōu)閱挝回?fù)反饋系統(tǒng)。D(S)=S2+S+1=05R(S)C(S)_E(S)1/S(1+5S)0.8S_G(S)=5S(5S+1)1+[5/S(5S+1)]×0.8S=1/S(S+1)

系統(tǒng)穩(wěn)定。由G(S)可知系統(tǒng)為I型系統(tǒng)：ess1=0；ess2=1/kp=1/k=1；ess3=∞；ess=ess1＋ess2＋ess3=∞3.5控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析essn與G1(S)，G2(S)型別的關(guān)系表－a0/K100V1=2V2

任意∞－V0/K10V1=1V2

任意∞∞－R0/K1V1=0V2≠0∞∞－K2R0/(1+K1K2)V1=V2=0a0S3V0S2R0S

信號

essnV1V2五、利用型別求取n(t)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差G1(s)G2(s)H(s)c(t)n(t)r(t)b(t)-e(t)

第三章小結(jié)本章小結(jié)時域分析法是通過求解控制系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的時間響應(yīng)來分析系統(tǒng)穩(wěn)定性、快速性和準(zhǔn)確性，以系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間和穩(wěn)態(tài)誤差等性能指標(biāo)來評價系統(tǒng)性能的優(yōu)劣。一階系統(tǒng)的性能指標(biāo)主要決定時間常數(shù)T（調(diào)節(jié)時間ts）；二階系統(tǒng)的欠阻尼時的響應(yīng)及性能指標(biāo)分析占有重要的位置，它是高階系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)。穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度的度量，也是系統(tǒng)的一個重要性能指標(biāo)。重點掌握根據(jù)系統(tǒng)型別和穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)，按輸入端定義的給定輸入作用下穩(wěn)態(tài)誤差的計算方法。穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根全部位于s的左半面；判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法有勞斯穩(wěn)定判據(jù)。

根軌跡分析法第四章根軌跡概念與根軌跡方程繪制根軌跡的基本規(guī)則和方法用根軌跡分析控制系統(tǒng)根軌跡的改造本章小結(jié)4.1根軌跡的概念與根軌跡方程一、系統(tǒng)的根軌跡根軌跡是指系統(tǒng)某參數(shù)（如開環(huán)增益K*）由零增加到∞時，閉環(huán)特征根在s平面移動的軌跡上圖系統(tǒng)的閉環(huán)傳函為系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為系統(tǒng)的特征根為分析K*和根的關(guān)系

當(dāng)根軌跡增益K*由零變到無窮時，該系統(tǒng)的根軌均在s左半面，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

當(dāng)0<K*<1時，特征根為二個不相等實數(shù)根，相當(dāng)于ξ>1,故統(tǒng)呈過阻尼狀態(tài)；K*=1時，系統(tǒng)閉環(huán)特征根為二個相等實數(shù)根，呈臨界阻尼狀態(tài)；K*>1時，系統(tǒng)閉環(huán)特征根為一對負(fù)實部的共軛復(fù)數(shù)根，呈欠阻尼狀態(tài)。

K越大，共軛復(fù)數(shù)根離對稱軸（實軸）越遠(yuǎn)。-2-10××σK=0K=1K=01K→∞-j2-2jK=1K→∞jω畫出根軌跡圖如下分析回看4.1根軌跡的概念與根軌跡方程二、根軌跡方程系統(tǒng)的根軌跡方程（系統(tǒng)閉環(huán)特征方程）為系統(tǒng)的閉環(huán)傳函為其中

相角條件是確定根軌跡s平面上一點是否在根軌跡上的充分必要條件。

即模值方程相角方程4.2繪制根軌跡的基本規(guī)則和方法一、根軌跡的分支數(shù)二、根軌跡的起點和終點三、根軌跡的對稱性n階系統(tǒng)的特征方程有n個特征根，將有n條根軌跡。

根軌跡的起點，是指K*＝０時特征根在s平面上的位置，根軌跡的終點是指K*→∞時的特征根在s平面上的位置。根軌跡起始于開環(huán)極點（包括無限遠(yuǎn)極點），終止于開環(huán)零點（包括無限遠(yuǎn)零點）

從n個開環(huán)極點pi開始m條終于開環(huán)零點zj開始，(n-m)條趨于無窮復(fù)平面上的每一個（對）根均對稱于實軸。

4.2繪制根軌跡的基本規(guī)則和方法四、實軸上的根軌跡五、根軌跡的漸近線方位

實軸上的根軌跡存在的條件是：實軸上根軌跡段右側(cè)實軸上開環(huán)零點和開環(huán)極點數(shù)之和為奇數(shù)，而與復(fù)平面上的開環(huán)零極點無關(guān)。

如果開環(huán)零點數(shù)m小于開環(huán)極點數(shù)n，則系統(tǒng)共有(n-m)條根軌跡條趨向無窮遠(yuǎn)處，其方位可由漸近線決定漸近線與實軸正方向的夾角一直到獲得(n-m)個傾角為止

式中k依次取漸近線與實軸交點坐標(biāo)4.2繪制根軌跡的基本規(guī)則和方法

六、根軌跡與虛軸的交點

根軌跡和虛軸交點的坐標(biāo)及相應(yīng)的值，可在特征方程中令，然后使特征方程的實部和虛部分別為零求得七、根軌跡的起始角和終止角

×××z1p3jωp1θz1σ0θp1p2z2

根軌跡的起始角，是指根軌跡在起點處的切線與水平方的夾角；根軌跡的終止角是指終于開環(huán)零點的根軌跡在該點處的切線與水平方向的夾角。一般系統(tǒng)開環(huán)復(fù)極點的起始角為：

系統(tǒng)開環(huán)零點的終止角公式為：4.2繪制根軌跡的基本規(guī)則和方法

八、根軌跡分離點（或匯合點）d的求取

九、閉環(huán)特征根之和

兩條或兩條以上根軌跡分支，在s平面上某處相遇后又分開的點，稱做根軌跡的分離點（或匯合點），用d表示。根據(jù)相角條件可以推證，分離點d可用下式求得：

當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)極點數(shù)n比開環(huán)零點數(shù)m多兩個或兩個以上時，n個閉環(huán)極點之和等于n個開環(huán)極點之和，為常數(shù)：

該式表明當(dāng)根軌跡增益變動，使某些閉環(huán)根軌跡分支在s平面上向左移動時，則必有另一些根軌跡分支向右移動，而保持閉環(huán)極點為常數(shù)即此時根軌跡重心不變。4.2繪制根軌跡的基本規(guī)則和方法

十、根軌跡放大系數(shù)的求取式中：分別表示sl點到開環(huán)極點和開環(huán)零點的距離，若無開環(huán)零點，則上式分子為1。

一個繪制根軌跡的例子

已知單位反饋的開環(huán)傳遞函數(shù)為請繪制系統(tǒng)的根軌跡。4.2繪制根軌跡的基本規(guī)則和方法K*=？1234系統(tǒng)有二條根軌跡，分別起始于0、-1、-4、-4，終止于-10和無窮遠(yuǎn)；實軸根軌跡區(qū)間是[-1，0]、(-∞，-10]；根軌跡的漸近線：，用試探法求得軌跡的分離點：故分離點為5根軌跡與虛軸的交點：將代入特征方程解得67繪出根軌跡圖如下：4.3用根軌跡分析控制系統(tǒng)一、主導(dǎo)極點、偶極子概念主導(dǎo)極點：在閉環(huán)極點中離虛軸最近、而且附近又無零點的閉環(huán)極點，對系統(tǒng)的響應(yīng)影響最大，起著主要作用的極點。偶極子是指一對靠得很近的閉環(huán)零、極點。由于構(gòu)成偶極子的閉環(huán)極點的相應(yīng)項數(shù)值可能很小，它對系統(tǒng)的影響可忽略不計。

利用偶極子概念可以有意地在系統(tǒng)中設(shè)置適當(dāng)?shù)牧泓c，以抵消對動態(tài)過程影響較大的不利極點，用以改善系統(tǒng)的性能；對于高階系統(tǒng)，運用主導(dǎo)極點概念，快速估價系統(tǒng)的基本特性。4.3用根軌跡分析控制系統(tǒng)二、系統(tǒng)分析一系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，寫成標(biāo)準(zhǔn)式為根據(jù)前面的方法繪出根軌跡圖：=0.5β=0.5相對應(yīng)的開環(huán)放大倍數(shù)為：K=K*/2=0.58由圖求出ζ=0.5時閉環(huán)主導(dǎo)極點為本系統(tǒng)n-m=3>2，滿足根之和不變的條件，根據(jù)上面的K值求出第三個根為：s3對虛軸的距離是s1、s2的7倍，所以系統(tǒng)可以降為二階，其閉環(huán)傳函為：二階性能估算4.4根軌跡的改造一、增加開環(huán)零點對根軌跡的影響2個極點重合在原點

增加開環(huán)零點可以使系統(tǒng)根軌跡向左移動或彎曲，有利于改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性及暫態(tài)性能，適當(dāng)?shù)剡x擇附加零點的位置，可以使系統(tǒng)的階躍響應(yīng)具有較快的響應(yīng)速度，且調(diào)整時間不致太長，超調(diào)量也不太大。4.4根軌跡的改造二、增加開環(huán)極點對根軌跡的影響增加一個開環(huán)極點-pc，當(dāng)分別取-p1、-p2、-p3，且有-p1＜-p2＜-p3時，根軌跡的變化情況如圖中虛線所示改變了根軌跡在實軸上的分布；改變了漸近線的條數(shù)、方向角及與實軸的交點；使根軌跡向右偏移或彎曲，不利于系統(tǒng)的穩(wěn)定性及暫態(tài)性能。增加開環(huán)極點對根軌跡有如下影響：4.4根軌跡的改造三、增加開環(huán)偶極子對根軌跡的影響可見，在原點附近增加開環(huán)偶極子，能夠在不影響系統(tǒng)暫態(tài)特性的情況下，提高系統(tǒng)的開環(huán)增益，改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。開環(huán)增益K與根軌跡增益K*之間的關(guān)系為原點附近增加一對開環(huán)負(fù)偶極子－zc和－pc，且假設(shè)zc=A

pc(A>1)

第四章小結(jié)本章小結(jié)根軌跡是一種圖解的方法。利用根軌跡能夠分析結(jié)構(gòu)和參數(shù)已確定的系統(tǒng)的穩(wěn)定性和暫態(tài)響應(yīng)特性。還可以用來改造一個系統(tǒng)使其根軌跡滿足自動控制系統(tǒng)期望的要求。繪制根軌跡應(yīng)把握住本章介紹的10條基本規(guī)則：即繪制根軌跡首先用起、終點法則、漸近線法則、實軸區(qū)段法則及根之和法則判斷總體的特征，然后再計算虛軸交點等，以盡可能避免全局失誤。增加合適的開環(huán)零點，有利于改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性及暫態(tài)性能；增加開環(huán)極點，不利于系統(tǒng)的穩(wěn)定性及暫態(tài)性能；在原點附近增加合適的開環(huán)偶極子，能夠提高系統(tǒng)的開環(huán)增益，改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。如果系統(tǒng)存在主導(dǎo)極點，則高階系統(tǒng)可以降階為一階或二階系統(tǒng)來估算其性能指標(biāo)。

頻域分析法第五章頻率特性的基本概念典型環(huán)節(jié)的頻率特性系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性頻域法分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能本章小結(jié)5.1頻率特性的基本概念一、頻率特性的定義

一個線性定常系統(tǒng)，在它的輸入加一個振幅為Ar，角頻率為ω和初相為φ1的正弦信號，那么經(jīng)過一段過渡過程而達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，系統(tǒng)的輸出端也將輸出一同頻率的正弦信號，只是輸出信號的振幅Ac和初相φ2有所變化。

5.1頻率特性的基本概念G(jω)稱為系統(tǒng)的頻率特性，它表示了系統(tǒng)在正弦作用下，穩(wěn)態(tài)輸出的振幅，相位隨頻率變化的關(guān)系。稱為系統(tǒng)的幅頻特性φ(ω)=∠G(jω)稱為系統(tǒng)的相頻特性表示輸出正弦量的相量表示輸入正弦量的相量頻率特性的復(fù)數(shù)形式：5.1頻率特性的基本概念二、頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系頻率特性和傳遞函數(shù)之間的關(guān)系。

如果已知系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的傳遞函數(shù)，只要用jω置換其中的s，就可以得到該系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的頻率特性；反過來看，如果能用實驗方法獲得系統(tǒng)（或元部件）的頻率特性，則可由頻率特性確定出系統(tǒng)（或元部件）的傳遞函數(shù)。5.1頻率特性的基本概念三、頻率特性的圖示方法Nyquist圖也稱幅相頻率特性曲線，就是當(dāng)ω從0→∞變化時，向量G(jω)的矢端軌跡。-90-78.7-76-71.5-63.5-45-260φ(ω)=-arctanωT(度)00.200.240.320.450.710.891∞0ωjNyquist圖注意:相角φ(ω)的大小與正負(fù)，要從正實軸開始按送逆時針方向為正，順時針方向為負(fù)進行計算。5.1頻率特性的基本概念Bode圖也稱對數(shù)頻率特性，就是將A(ω)和φ(ω)分別表示在兩個圖上，橫坐標(biāo)采用對數(shù)刻度。L(ω)Bode圖

對數(shù)相頻特性：縱軸均勻刻度，標(biāo)以φ(ω)值(單位為度)；橫軸刻度及標(biāo)值方法與幅頻特性相同。

對數(shù)頻率特性定義為：L(ω)=20lgA(ω)dB

L(ω)的圖形就是Bode圖5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性一、比例環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：G(s)=K頻率特性：G(jω)=K

幅頻特性：