河北省辛集市辛集中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

第頁，共頁河北辛集中學(xué)2024-2025學(xué)年度第二學(xué)期階段二考試高一數(shù)學(xué)試題一、單選題（本題共10題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.下面命題中，正確的是（）A.若，則 B.若，則 C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的概念逐一判斷【詳解】對(duì)于，若，但兩向量方向不確定，則不成立，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，向量無法比較大小，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，若，則兩向量反向，因此，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，若，則，故選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C2.已知在中，，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由余弦定理，代入數(shù)值即可求得值.【詳解】由余弦定理得.故選：B.3.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法算出復(fù)數(shù)的值，在根據(jù)復(fù)數(shù)的模長公式計(jì)算即可.【詳解】，所以故選：B4.下列說法正確的是（）A.棱柱的兩個(gè)互相平行的面一定是棱柱的底面B.有兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)C.如果一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，那么這個(gè)棱錐可能為六棱錐D.如果一個(gè)棱柱的所有面都是長方形，那么這個(gè)棱柱是長方體【答案】D【解析】【分析】由棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，判斷各選項(xiàng)是否正確.【詳解】選項(xiàng)A，例如六棱柱的相對(duì)側(cè)面也互相平行，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，其余各面的邊延長后不一定交于一點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，當(dāng)棱錐的各個(gè)側(cè)面共頂點(diǎn)的角的角度之和是時(shí)，各側(cè)面構(gòu)成平面圖形，故這個(gè)棱錐不可能為六棱錐，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，若每個(gè)側(cè)面都是長方形，則說明側(cè)棱與底面垂直，又底面也是長方形，符合長方體的定義，故D正確．故選：D5.在中，，則（）A.30° B.45° C.30°或150° D.60°【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意利用正弦定理運(yùn)算求解，注意三角形的性質(zhì)應(yīng)用.【詳解】由正弦定理，可得，∵，則，即，∴.故選：A.6.已知復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)，，，所對(duì)應(yīng)的向量分別為，，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則以下命題錯(cuò)誤的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算公式從而判斷A；根據(jù)代入運(yùn)算進(jìn)而判斷B；根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算公式，結(jié)合復(fù)數(shù)乘法和復(fù)數(shù)模的運(yùn)算從而判斷C和D.【詳解】A選項(xiàng)：易知，，又，則，即，故選項(xiàng)A正確；B選項(xiàng)：當(dāng)，則，，故選項(xiàng)B正確；C選項(xiàng)：由于，則，，x不恒為0，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：由于，則，，，故，選項(xiàng)D正確.故選：C7.已知向量、的夾角為，且滿足，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出、，再由夾角公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，又，即，所以，所以，所以，又，所?故選：B.8.在三角形ABC中，分別根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】C【解析】【分析】由正弦定理可得，根據(jù)條件求得的值，根據(jù)與的大小判斷角的大小，從而判斷三角形的解的個(gè)數(shù)．【詳解】由正弦定理可得，若A成立，，，，有，∴，∴，故三角形有唯一解．若B成立，，，，有，∴，又，故，故三角形無解．若C成立，，，，有，∴，又，故，故可以是銳角，也可以是鈍角，故三角形有兩個(gè)解．若D成立，，，，有，∴，由于，故為銳角，故三角形有唯一解．故選：C．9.如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊BC、CD的中點(diǎn)，若，，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則得到，，得到答案.【詳解】，，故.故選：C10.已知向量滿足，則向量的模的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出，利用得到，根據(jù)cos的有界性得到，解方程得到的模的最大值.【詳解】設(shè)與之間的夾角為，，由.當(dāng)時(shí)，原方程可化為1=0不成立，所以.又由，有，所以，解得：，故的最大值．故選：B二、多選題（共3題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分）11.下列說法正確的是（）A.平行向量不一定是共線向量B.向量的長度與向量的長度相等C.是與非零向量共線的單位向量D.若四邊形滿足，則四邊形是平行四邊形【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)共線向量，相反向量，單位向量的概念即可求解.【詳解】依題意，平行向量即共線向量，故A錯(cuò)誤．與為相反向量，所以模長相等，故B正確．是與非零向量共線的單位向量，C正確．，所以且，則四邊形是平行四邊形，D正確．故選：BCD.12.若向量，滿足，，則（）A.B.與的夾角為C.D.在上的投影向量為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合平面向量夾角公式、投影向量的定義逐一判斷即可.【詳解】A：，因此本選項(xiàng)不正確；B：由上可知，因?yàn)?，所以，因此本選項(xiàng)正確；C：因?yàn)?，所以，因此本選項(xiàng)正確；D：在上的投影向量為，因此本選項(xiàng)正確，故選：BCD13.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.是鈍角三角形C.為直角三角形 D.若，則外接圓半徑為【答案】AD【解析】【分析】利用正弦定理結(jié)合已知可判斷選項(xiàng)A；利用余弦定理結(jié)合已知可計(jì)算判斷選項(xiàng)B，C；先求出，再借助正弦定理計(jì)算即可判斷D并作答.【詳解】在中，由正弦定理得，A正確；令，顯然最大角，由余弦定理得：，則是銳角，B，C都不正確；因，則，令外接圓半徑為R，由正弦定理得：，解得，D正確.故選：AD三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）14.已知，，，以、為基底將分解為的形式為____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可列方程組求解.【詳解】由題意可得，所以，故答案為：15已知，若復(fù)數(shù)，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，再計(jì)算其模.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：16.設(shè)是復(fù)數(shù)且，則的最小值為___________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義可知，表示復(fù)平面內(nèi)以為圓心，1為半徑的圓，而表示復(fù)數(shù)到原點(diǎn)的距離，由圖可知，.故答案為：.17.在中，、、分別為三個(gè)內(nèi)角、、的對(duì)邊，，若的外接圓面積為，則周長的最大值是______.【答案】【解析】【分析】由正弦定理邊角互化得，，進(jìn)而根據(jù)正弦定理得，余弦定理得，最后根據(jù)基本不等式求解即可.【詳解】解：，由正弦定理得：，即，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)榈耐饨訄A面積為，所以的外接圓半徑為1所以由正弦定理得：，解得：由余弦定理得：，則由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立所以，解得：，周長的最大值是故答案為：四、解答題（本題共4小題，共62分）18.已知復(fù)數(shù)滿足，其中是數(shù)單位，是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)（1）求復(fù)數(shù)；（2）若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的相等及乘法運(yùn)算可求解；（2）由純虛數(shù)的概念建立等式求解即可.【小問1詳解】設(shè)，，則，就是，即.于是，解得，所以.【小問2詳解】.此為純虛數(shù)，所以，即，因此.19.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.（1）求角的大小；（2）若，，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用余弦定理求解即得.（2）由（1）中信息求出，再利用三角形面積公式計(jì)算即得.【小問1詳解】在中，由及正弦定理得，即，由余弦定理得，而，所以.【小問2詳解】由（1）知，而，，即有，而，解得，所以的面積為.20.已知向量.（1）求的取值范圍；（2）記，在中，角的對(duì)邊分別為且滿足，求函數(shù)的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)題意，求得，再由，利用正弦定理求得，得到，得到，進(jìn)而求得的取值范圍.小問1詳解】（1）因?yàn)?，可得，因?yàn)?，所?【小問2詳解】解：由題意得，可得，因?yàn)?，由正弦定理得，所以，所以，又因?yàn)椋瑒t，且，所以，因?yàn)?，所以，所以，則，則，所以函數(shù)的值域是.21.杭州最高的建筑是杭州世紀(jì)中心，也被形象地稱為“杭州之門”，作為杭州的新地標(biāo)，它不僅是城市的一道亮麗風(fēng)景線，更是杭州發(fā)展的重要見證，也是旅游打卡的勝地.某校高一研究性學(xué)習(xí)小組在老師帶領(lǐng)下去測(cè)量“杭州之門”的高度，該小組同學(xué)在該建筑底部的東南方向上選取兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)與，測(cè)得米，在兩處測(cè)得該建筑頂部的仰角分別為.（已知）（1）請(qǐng)計(jì)算“杭州之門”的高度（保留整數(shù)部分）；（2）為慶祝某重大節(jié)日，在“杭州之門”上到處設(shè)計(jì)特殊的“燈光秀”以烘托節(jié)日氣氛.知米，高直接?。?）的整數(shù)結(jié)果，市民在底部的東南方向的處欣賞“燈光秀”（如圖），請(qǐng)問當(dāng)為多少米時(shí)，欣賞“燈光秀”的視角最大？（結(jié)果保留根式）【答案】（1）300米；（2）為米時(shí)，欣賞“燈光秀”的視角最大.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知有，即可求的高度；（2）由，根據(jù)已知及差角正切公式、基本不等式求的最值，確定取值條件即可得結(jié)論.【小問1詳解】由題設(shè)，所以米；【小問2詳解】設(shè)米，則，，由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，欣賞“燈光秀”的視角最大.22.如圖，在等腰梯形中，，，是邊上一點(diǎn)（含端點(diǎn)），設(shè).（1）若，與交于點(diǎn)，，求的值；（2）求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三點(diǎn)共線，結(jié)合平面向量基本定理可得，再由三點(diǎn)共線