第5章特殊平行四邊形 解答題優(yōu)生輔導(dǎo)訓(xùn)練 2024-2025學(xué)年浙教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

2024-2025學(xué)年浙教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《第5章特殊平行四邊形》解答題優(yōu)生輔導(dǎo)訓(xùn)練（附答案）1．如圖，把長(zhǎng)方形ABCD沿直線BD向上折疊，使點(diǎn)C落在C′的位置上，BC′交AD于E，已知CD=4(1)求證：△BED是等腰三角形．(2)求C′(3)求△C2．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，點(diǎn)E是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CE，以CE為邊作矩形CEFG（點(diǎn)D、G在CE的同側(cè)），且CE=2EF，連結(jié)BF．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在AD的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)B、E、F在同一直線上，求BF的長(zhǎng)；(2)如圖2，當(dāng)∠BCE=30°時(shí)，求證：線段BF被CE平分．3．如圖1，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5，若動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線BC勻速運(yùn)動(dòng)，DF⊥AE于F，連結(jié)DE．(1)當(dāng)E在線段BC上時(shí)①若DE=5，求BE的長(zhǎng)；②若CE=EF，求證：AD=AE；(2)連結(jié)BF，在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，△ABF是以AB為底的等腰三角形?4．如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以1cms的速度向點(diǎn)B移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以2cm/(1)在運(yùn)動(dòng)過程中，PQ的長(zhǎng)度能否為35cm？若能，求出(2)在運(yùn)動(dòng)過程中，△PDQ的面積能否為10?cm2(3)取PQ的中點(diǎn)M，運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)∠AMD=90°時(shí)，求t的值．5．如圖①，在矩形ABCD中，AB=1，BC=4，點(diǎn)M在BC邊上，BM=1，點(diǎn)N是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），AN=x．連接MN，將四邊形ABMN沿MN所在直線翻折，得到四邊形EFMN，點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E、F．(1)CM=__________；(2)當(dāng)∠ANM=90°時(shí)，x=________；當(dāng)∠ANM=45°時(shí)，x=________．(3)如圖②，當(dāng)點(diǎn)E落在BC邊上時(shí)，連接CN，求MN(4)當(dāng)EF所在直線經(jīng)過矩形ABCD的頂點(diǎn)時(shí)，直接寫出x的值．6．如圖，直線l1:y=?12x+b分別與x軸，y軸交于A、B(1)點(diǎn)A坐標(biāo)為(________，________)．(2)在直線BC上有一點(diǎn)E，過點(diǎn)E作y軸的平行線交直線l2于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)m為何值時(shí)，以O(shè)、B、E、F(3)若點(diǎn)P為直線l1上一點(diǎn)，則在平面直角坐標(biāo)系中是否存在一點(diǎn)Q，使得P、Q、O、B四個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成一個(gè)矩形．若存在，直接寫出所有符合條件的Q7．如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=10，∠ABC的平分線與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，與AD交于點(diǎn)F，且點(diǎn)F為邊AD的中點(diǎn)，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)M，交BE于點(diǎn)N，連接AE,FM．(1)求證：四邊形ABMF為菱形；(2)若AM=6，求AE的長(zhǎng)．8．如圖，在△ABC中，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，E是線段AB的延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接EF，過點(diǎn)C作CD∥AB，與線段EF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，連接(1)求證：四邊形BDCE是平行四邊形．(2)若∠ABC=120°,BC=4，則在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，①當(dāng)BE為何值時(shí)，四邊形BDCE是菱形，說明理由．②當(dāng)BE為何值時(shí)，四邊形BDCE是矩形，請(qǐng)直接寫出結(jié)論．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B；直線CD:y=x+1交y軸于點(diǎn)C，與直線AB交于點(diǎn)D，且OB=2OA=4OC．(1)求直線AB的解析式；(2)求△BCD的面積；(3)若點(diǎn)M在此平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)N在x軸上，以AC為邊，點(diǎn)A、C、M、N為頂點(diǎn)作四邊形，請(qǐng)直接寫出此四邊形為菱形時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．10．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，P是直線BD上一動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊向右側(cè)作等邊△APE（A，P，E按逆時(shí)針排列），點(diǎn)E的位置隨點(diǎn)P的位置變化而變化．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上，且點(diǎn)E在菱形ABCD內(nèi)部或邊上時(shí)，連接CE，則BP與CE的數(shù)量關(guān)系是，BC與CE的位置關(guān)系是；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上，且點(diǎn)E在菱形ABCD外部時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；11．已知：在?ABCD中，DE⊥BC于點(diǎn)E．(1)如圖1，若DF⊥AB于點(diǎn)F，CE=AF．求證：?ABCD是菱形．(2)如圖2，連AC、BD交于點(diǎn)O，試探究：AO2，BO2，(3)如圖3，若∠DBC=45°，BF⊥CD于點(diǎn)F交DE于點(diǎn)G，連接AG，其中BE=8，且以AG、CG、BD為邊構(gòu)成的三角形的面積為20．求?ABCD的面積．12．如圖1，在菱形ABCD中，AD=25cm，BD=30cm，DE，BF分別是AB，(1)請(qǐng)直接寫出AC的長(zhǎng)度是______cm；(2)如圖2，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從D，B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P由D－A－E－①若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為每秒9cm，點(diǎn)Q為每秒7cm，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts時(shí)，點(diǎn)P在邊AE上，點(diǎn)Q在邊FC上，且B，D，P，Q構(gòu)成的四邊形PBQD②若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為每秒xcm，點(diǎn)Q為每秒ycm，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為8s時(shí)，B、D、P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求y13．在正方形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD上一點(diǎn)(不與點(diǎn)C、D重合)，AF⊥BE于點(diǎn)F，CG⊥BE于點(diǎn)G．(1)如圖1，求證：AF=BG；(2)如圖2，若F為BG中點(diǎn)，連接DF，用等式表示線段AD，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．14．如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AO上（不與A、O重合）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥PB且交邊CD于點(diǎn)E．(1)PB與PE相等嗎？證明你的結(jié)論．(2)過點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F，如圖2，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，PF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)直接寫出這個(gè)不變的值；若變化，請(qǐng)說明理由．15．如圖1，已知矩形ABCD，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)，點(diǎn)F是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BF=DE(1)求證：四邊形ABCD是正方形；(2)如圖2，若點(diǎn)P是BC上一點(diǎn)，且∠PAE=45°，求BP的長(zhǎng)；(3)如圖3，若點(diǎn)G是AD的中點(diǎn)，連結(jié)CG交AE于點(diǎn)H，求∠AHG的度數(shù)．16．（1）如圖1，正方形ABCD與正方形ECGF，點(diǎn)D在EC邊上，連接BE、DG，同學(xué)們通過觀察可以得到如下解決辦法：EC=GC，∠ECB=∠GCD，CB=CD，證得“△ECB≌△GCD”．探究得出GD與BE的位置關(guān)系___________；（2）如圖2，正方形ECGF繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)BE經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，∠CDG的度數(shù)是___°；（3）正方形ECGF繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置，BE與DG相交于點(diǎn)M，連接MC．求證：2MC+ME=MG17．綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以“折紙”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．【動(dòng)手操作】如圖1．將邊長(zhǎng)為8?cm的正方形ABCD對(duì)折，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到折痕AC．打開后，再將正方形ABCD折疊，使得點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)P處，得到折痕GH，折痕GH與折痕AC交于點(diǎn)Q，打開鋪平，連接PQ、QD、PD【探究提煉】（1）如圖1，點(diǎn)P是BC上任意一點(diǎn)；線段QD和線段PQ存在什么關(guān)系？并說明理由；（2）如圖2，連接PH，當(dāng)PH恰好垂直于AC時(shí)，求線段CQ的長(zhǎng)度；【類比遷移】（3）如圖3，某廣場(chǎng)上有一塊邊長(zhǎng)為40?m的菱形草坪ABCD，其中∠BCD=60°．現(xiàn)打算在草坪中修建步道AC和MN?ND?DM，使得點(diǎn)M在BC上，點(diǎn)N在AC①求∠NMD的度數(shù)；②請(qǐng)問步道MN?ND?DM所圍成的△MND（步道寬度忽略不計(jì)）的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)直接寫出最小值：若不存在，說明理由．18．如圖，直線y=kx?4kk≠0與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，B，S△AOB=8，以O(shè)A為邊在y(1)求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；(2)如圖，點(diǎn)D是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在AD的右側(cè)，∠ADE=90°，①如圖1，問點(diǎn)E是否在定直線上，若是，求該直線的解析式；若不是，請(qǐng)說明理由；②如圖2，點(diǎn)D是線段OB的中點(diǎn)，另一動(dòng)點(diǎn)H在直線BE上，且∠HAC=∠BAD，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)．19．在正方形中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)翻折等變換，可通過SAS、AAS等全等條件構(gòu)造兩個(gè)三角形全等．如圖1，正方形ABCD中，E是邊BC上一點(diǎn)，將△ABE折疊至△AB′E位置，延長(zhǎng)EB′交邊CD(1)如圖2，點(diǎn)M、N分別在正方形ABCD的邊AB、邊CD上，將正方形ABCD沿MN折疊，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在邊AD上，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，線段EF交邊AB于點(diǎn)G，若CQ⊥EF，證明：△CQE≌△CDE．(2)如圖2，在（1）條件下連接CG，則∠GCE=．(3)如圖3，M為正方形ABCD邊BC中點(diǎn)，將△ABM沿AM折疊至△ANM，連接DN，作CH⊥DN交DN延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，若CH=6，求線段20．如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF=BE，連接CF、CE．(1)求證：CE=CF；(2)在圖1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，連接GE，求證：GE=BE+GD；(3)根據(jù)你所學(xué)的知識(shí)，運(yùn)用（1）、（2）解答中積累的經(jīng)驗(yàn)，完成下列各題：①如圖2，在四邊形ABCD中，AD∥BCBC>AD，∠B=90°，AB=BC=6，E是AB的中點(diǎn)，且∠DCE=45°，求DE的長(zhǎng)；②如圖3，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，E、F分別在BC和CD上，且∠EAF=60°，連接EF．若BE=2，DF=4，請(qǐng)直接寫出EF的長(zhǎng)度________．參考答案1．（1）證明：依題意可得：∠C∵四邊形ABCD為長(zhǎng)方形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵∠C∴∠C∴BE=DE，∴△BED為等腰三角形；（2）解：由折疊可得△CBD≌△C∴CD=C′D=4設(shè)C′E=x，則∵DE=BE，∴DE=8?x，在Rt△C′C′x2∴x=3，∴C′（3）解：∵∠C′=90°，∴C′ED2．（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90°，BC=AD=8，∵E為AD的中點(diǎn)，∴AE=1∴BE=A∵四邊形CEFG為矩形，∴∠CEF=∠BEC=90°，∴CE=B∵CE=2EF，∴EF=22∴BF=BE+EF=42（2）證明：過點(diǎn)B作BH⊥CE于點(diǎn)H，CE與BF交于點(diǎn)O，∵∠BCE=30°，∴BH=1∵AB=4，∴AB=BH，∴∠AEB=∠BEH，∵AD∥BC，∴∠BCE=∠DEC=30°，∴∠BEC=75°，∴∠EBC=180°?∠BEC?∠BCE=75°，∴∠BEC=∠EBC，∴BC=CE，∵CE=2EF，∴BH=EF，∵∠BOH=∠EOF，∠BHO=∠OEF，∴△BHO≌△FEOAAS∴OB=OF，即線段BF被CE平分．3．（1）①解：在矩形ABCD中，∠B=∠DCE=90°,BC=AD=5,DC=AB=4，∵DE=5，∴CE=D∴BE=BC?CE=5?3=2；②證明：在矩形ABCD中，∠DCE=90°,AD∥BC，DF⊥AE∴∠ADE=∠DEC,∠DCE=∠DFE=90°，∵CE=EF,DE=DE，∴△CED≌△DEFHL∴∠CED=∠FED，∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE；（2）解：①當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，AF=BF，如圖所示：∴∠ABF=∠BAF，∵∠ABF+∠EBF=90°,∠BAF+∠BEF=90°，∴∠EBF=∠BEF，∴EF=BF，∴AF=EF，∵DF⊥AE，∴DE=AD=5，在矩形ABCD中，CD=AB=4,∠DCE=90°，∴CE=3，∴BE=5?3=2；當(dāng)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，AF=BF，如圖所示，∵DF⊥AE，∴DE=AD=5，在矩形ABCD中，CD=AB=4,∠DCE=90°∴CE=3，∴BE=5+3=8，綜上所述，可知BE=2或8；∴當(dāng)t=2或8時(shí)，△ABF是以AB為底的等腰三角形．4．（1）解：PQ的長(zhǎng)度能為35根據(jù)題意可知：AP=tcm，BP=AB?AP=6?tcm∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=90°，在Rt△BPQ中，B∴6?t解得：t=?53（舍去）或∴當(dāng)t=3時(shí)PQ的長(zhǎng)度能為35（2）解：不能，理由如下：設(shè)運(yùn)動(dòng)x秒后△PDQ的面積為10?cm2，則AP=xcm，BP=6?xS△DPQ=AB?BC?1=6×12?1=x=10，即x2∴x∴Δ∴方程無實(shí)數(shù)根，∴△PDQ的面積不能為10?（3）解：如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P0,6?t，Q∵PQ的中點(diǎn)為M∴Mt,3?又∵A0,6，D∴取AD的中點(diǎn)N6,6，連接MN，則AD=12∵∠AMD=90°，∴MN=1∴t?6解得：t1=6，5．（1）解：∵BC=4，BM=1，∴CM=BC?BM=4?1=3；（2）解：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A=∠B=∠D=∠C=90°，AB=CD=1，AD=BC=4，AD∥∵∠ANM=∠A=∠B=90°，∴四邊形ABMN為矩形，∴AN=BM=1，即此時(shí)x=1；當(dāng)∠ANM=45°時(shí)，如圖所示：根據(jù)折疊可知：∠ENM=∠ANM=45°，∴∠ANE=45°+45°=90°，∴∠A=∠B=∠ANE=90°，∴四邊形ABPN為矩形，∴∠NPM=90°，NP=AB=1，AN=BP，∵∠MNP=45°，∠NPM=90°，∴△MNP為等腰直角三角形，∴MP=NP=1，∴AN=BP=1+2=2，即此時(shí)x=2；（3）解：過點(diǎn)N作NP⊥BC于點(diǎn)P，如圖所示：根據(jù)折疊可知：MF=BM=1，EF=AB=1，∠MFE=∠A=90°，∠NEF=∠A=90°，∴△MEF為等腰直角三角形，∴∠MEF=∠EMF=45°，ME=1∴EC=BC?BM?ME=4?1?2∵∠A+∠B=∠BPN=90°，∴四邊形ABPN為矩形，∴NP=AB=1，BP=AN，∵∠NEP=∠MEF?∠MEF=45°，∠NPE=90°，∴△NPE為等腰直角三角形，∴PE=NP=1，NE=1∴BP=AN=NE=2，PC=PE+CE=1+3?∴MP=BP?BM=2∴MNCN∴MN（4）解：當(dāng)EF所在直線經(jīng)過矩形ABCD的頂點(diǎn)D時(shí)，如圖所示：根據(jù)折疊可知：MF=BM=1，EF=AB=1，∠MFE=∠A=90°，∠NEF=∠A=90°，∵M(jìn)F=CD，∠F=∠C=90°，∠MPF=∠CPD，∴△MPF≌△CPD，∴MP=CP=12CM=根據(jù)勾股定理得：FP=DP=C∴DF=2DP=13∴DE=DF?EF=13∵AN=x，∴EN=x，DN=4?x，根據(jù)勾股定理得：DN即4?x2解得：x=1+當(dāng)頂點(diǎn)C在FE的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接CN，如圖所示：根據(jù)折疊可知：MF=BM=1，EF=AB=1，∠MFE=∠A=90°，∠NEF=∠A=90°，根據(jù)勾股定理得：CF=C∴CE=CF?EF=22∵AN=x，∴EN=x，DN=4?x，根據(jù)勾股定理得：CN2=N∴NE∴x2解得：x=1+2當(dāng)頂點(diǎn)C在EF的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接MP，過點(diǎn)M作MQ⊥AD于點(diǎn)Q，如圖所示：∵∠MQD=∠D=∠MCD=90°，∴四邊形MQDC為矩形，∴MQ=CD=1，QD=MC=3，∴AQ=4?3=1，∵M(jìn)P=MP，MQ=MF=1，∴Rt△MPQ≌∴PQ=PF，∵∠MFC=180°?90°=90°，∴在Rt△MCFCF=M設(shè)PQ=PF=y，則PD=3?y，PC=22在Rt△PCD中，根據(jù)勾股定理得：P即22解得：y=3?22∴PN=1+3?22?x=4?22根據(jù)折疊可知：EN=AN=x，在Rt△ENPPN即4?22解得：x=2?綜上分析可知：x=1+134或x=1+6．（1）解：將點(diǎn)C2,1代入直線l1:y=?解得b=2，∴直線l1的解析式為y=?將y=0代入一次函數(shù)y=?12x+2得：?∴點(diǎn)A坐標(biāo)為4,0；故答案為：4，（2）解：將x=0代入直線l1:y=?12x+2將點(diǎn)C2,1代入直線l2:y=kx?3得：2k?3=1∴直線l2的解析式為y=2x?3由題意得：點(diǎn)E的坐標(biāo)為Em,?12m+2，點(diǎn)∴EF=2m?3∵EF∥OB，∴要使以O(shè)、B、E、F為頂點(diǎn)四邊形是平行四邊形，則EF=OB，∴52解得m=145或所以當(dāng)m為145或65時(shí)，以O(shè)、B、E、（3）解：由上已得：A4,0，OB=2∴OA=4，∴AB=O∵點(diǎn)P為直線l1上一點(diǎn)，且在Rt△AOB中，∠OBA<90°∴分以下兩種情況：①如圖，以P、Q、O、B四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的是矩形OPBQ，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，∴OP⊥BP，PQ=OB=2，∴S△AOB∴OP=OA?OB∴PA=O∴S△AOP∴PM=OP?PA∴OM=O∴P4設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Qs,t∵矩形OPBQ的對(duì)角線PQ,OB互相平分，O0,0∴45+s2∴此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為?4②如圖，以P、Q、O、B四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的是矩形OPQB，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，則OP=OA=4，∴PQ⊥OP,PQ=OB=2，∴此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為4,2；綜上，存在一點(diǎn)Q，使得P、Q、O、B四個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成一個(gè)矩形，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為?45,7．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BC，∴∠DAM=∠AMB，∵∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，∴∠DAM=∠BMA，∴∠BAM=∠BMA，∴AB=BM，同理可得AB=AF，∴AF=BM，∴四邊形ABMF是平行四邊形，∵AB=BM．∴四邊形ABMF是菱形．（2）解：由（1）得四邊形ABMF是菱形，∴AN=1∵F為邊AD的中點(diǎn)，∴AF=5，在Rt△ANF中，NF=∴BF=8，在△FAB和△FDE中，∠AFB=∠EFD∠ABF=∠FED∴△FAB≌△FDEAAS∴EF=BF=8，在Rt△ANE中，AE=8．（1）證明：∵AB∥CD，∴∠CDF=∠BEF,∠DCF=∠EBF．∵F是BC的中點(diǎn)，∴CF=BF．在△DCF和△EBF中，∠CDF=∠BEF∠DCF=∠EBF∴△DCF≌△EBFAAS∴CD=BE．又CD∥AB，即CD∥BE，∴四邊形BDCE是平行四邊形．（2）解：①當(dāng)BE=4時(shí)，四邊形BDCE是菱形，理由如下：當(dāng)四邊形BDCE是菱形時(shí)，BE=CE．∵∠ABC=120°，∴∠CBE=60°．∴△CBE是等邊三角形．∴BE=BC=4．②當(dāng)BE=2時(shí)，四邊形BDCE是矩形，理由如下：當(dāng)四邊形BDCE是矩形時(shí)，∠CEB=90°．∵∠ABC=120°，∴∠CBE=60°．∴∠BCE=90°?∠CBE=30°．∴BE=19．（1）解：在y=x+1中，令x=0，y=1，則C(0,1)，∴OC=1，∵OB=2OA=4OC，∴OB=4，OA=2，∴A(2,0)，B(0,4)，設(shè)直線AB解析式為y=kx+b(k≠0)，將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入得：0=2k+b4=b∴k=?2b=4∴y=?2x+4；（2）解：令x+1=?2x+4，解得x=1，把x=1代入y=?2x+4，可得y=2，∴D(1,2)，∴S△BCD（3）解：如圖，當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，對(duì)應(yīng)菱形ACNM1，菱形①在菱形ACNM1中，CM1⊥AN②在菱形ACM2N中，CM2如圖，當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，對(duì)應(yīng)菱形ACM3N，此時(shí)C∴M3(綜上所述，以AC為邊，以點(diǎn)A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，M的坐標(biāo)為(0,?1)或?5,1或10．（1）解：如圖，連接AC，延長(zhǎng)CE交AD于H，如圖所示，∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，∠ABD=∠CBD=30°，∴AB=AC，∵△APE是等邊三角形，∴AP=AE，∵∠BAC=∠PAE，∴∠BAP+∠PAC=∠CAE+∠PAC，∴∠BAP=∠CAE，∴△BAP≌△CAESAS∴BP=CE，同理可證△ACD是等邊三角形，∴∠ACD=2∠ACH=60°，∴CH⊥AD，即CE⊥AD，又∵AD∥∴CE⊥BC．故答案為：BP=CE，（2）解：（1）中結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖，連接AC，如圖所示，∴△ABC，△ACD為等邊三角形，在△ABP和△ACE中，AB=AC，AP=AE，又∵∠BAP=∠BAC+∠CAP=60°+∠CAP，∠CAE=∠EAP+∠CAP=60°+∠CAP∴∠BAP=∠CAE，∴△ABP≌△ACESAS∴BP=CE，∠ACE=∠ABD=30°，設(shè)CE與AD交于點(diǎn)H，同理可得∠ACD=2∠ACH=60°，∴CE⊥AD，又∵AD∥∴CE⊥BC．11．（1）證明：∵?ABCD，∴∠A=∠C，∵DE⊥BC，DF⊥AB，∴∠CED=∠AFD=90°，∵CE=AF，∴△CDE≌△ADFASA∴CD=AD，∴?ABCD是菱形．（2）解：2OA證明：過點(diǎn)D作DF∥AC交BC延長(zhǎng)線于∵?ABCD，∴AC=2OA，BD=2OB，AD=BC，AD∥∵DF∴四邊形ACFD是平行四邊形，∴CF=AD，DF=AC，∴BC=CF∵DE⊥BC于點(diǎn)E．∴∠BED=∠CED=90°由勾股定理，得BDACC∴A∴2OA∴2OA（3）解：連接CG，∵DE⊥BC∴∠BED=∠CED=90°∴∠EBG+∠BGE=90°∵?ABCD，∴AD∴∠ADG=∠CEG=90°∵BF⊥CD∴∠GFD=90°∴∠DGF+∠GDF=90°，∠BEG=∠DFG=90°∵∠DGF=∠BGE∴∠EBG=∠GDF∵∠DBE=45°∴∠BDE=∠DBE=45°∴BE=DE∴△BEG≌△DEC∴CE=GE由勾股定理，得：BCGA∴B∴以AG、CG、BD為邊構(gòu)成的三角形是以AG為斜邊的直角三角形，∵BE=8∴B∴DE=BD=8∵以AG、CG、BD為邊構(gòu)成的三角形的面積為8，∴1∴1∴CG=∵C∴CE=∴BC=BE+CE=8+∴S?ABCD12．（1）解：設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且BD與AC互相平分，則BO=1在Rt△AOD中，根據(jù)勾股定理AO=∵DO=BO=15cm，AD=25∴AO=25則AC=2AO=2×20=40cm（2）解：①∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD=CD=BC=25cmS菱形即12解得DE=24cm在Rt△ADE中，AE=同理可得CF=7cm∴BE=DF=25?7=18cm∵點(diǎn)P在邊AE上，點(diǎn)Q在邊FC上，且四邊形PBQD是平行四邊形，所以BP=DQ．點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為每秒9cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t則BP=50?9t點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為每秒7cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t則DQ=DF+FQ=7t?BF+18=7t?6∴50?9t=7t?6，移項(xiàng)可得9t+7t=56，即16t=56，解得t=7∴B，D，P，Q構(gòu)成的四邊形PBQD是平行四邊形，t的值是72②點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為每秒xcm，點(diǎn)Q為每秒ycm，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為8s時(shí)，B、D、P如圖，當(dāng)P點(diǎn)在AE上P，點(diǎn)Q在CF上時(shí)，BP=50?8x，DQ=DF+FQ=18+8y?24=8y?6，∵BP=DQ，BP∥DQ，∴50?8x=8y?6，∴y=?x+7；當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)，點(diǎn)Q在BC上時(shí)，DP=8x，BQ=BF+CF+BC?8y=56?8y，∵DP∥BQ，DP=BQ，∴8x=56?8y，∴y=?x+7；當(dāng)點(diǎn)P在DE上，點(diǎn)Q在BF上時(shí)，DP=AD+AE+DE?8x=56?8x，BQ=8y，∵BQ∥DP，BQ=DP，∴56?8x=8y，∴y=?x+7；綜上所述，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為每秒xcm，點(diǎn)Q為每秒ycm，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為8s時(shí)，B、D、P，Q13．（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∵AF⊥BE，CG⊥BE，∴∠AFB=∠CGB=90°，∴∠ABF+∠CBG=90°，∠BCG+∠CBG=90°，∴∠ABF=∠BCG，在△AFB與△BGC中，∵∠ABF=∠BCG∴△AFB≌△BGCAAS∴AF=BG；（2）解：AD=DF，證明如下：如圖，過點(diǎn)D作DH⊥AF，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵AF⊥BE，DH⊥AF，∴∠AFB=∠DHA=90°，∴∠BAF+∠DAH=90°，∠ADH+∠DAH=90°，∴∠BAF=∠ADH，在△ABF與△DAH中，∵∠BAF=∠ADH∴△ABF≌△DAHAAS∴BF=AH，∵△AFB≌△BGC，∴BG=AF，∵F為BG的中點(diǎn)，∴AH=BF=1∴DH垂直平分AF，∴AD=DF14．（1）證明：如圖1，過點(diǎn)P作MN∥AD，交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD,AD∥CB,∵M(jìn)N∥AD，∴MN∥BC∴四邊形MNCB是平行四邊形，∴BM=∵PB⊥PE，∴∠BPE=90°，∴∠MPB+∠NPE=90°．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠D=90°，∠PCN=45°，∵AD∥MN，∴∠BMP=∠BAD=∠PNE=∠D=90°，∴∠MPB+∠MBP=90°，∴∠NPE=∠MBP．在Rt△PNC中，∠PCN=45°∴△PNC是等腰直角三角形，∴PN=CN，∴BM=CN=PN，∴△BMP≌△PNEASA∴PB=（2）解：在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，PF的長(zhǎng)度不發(fā)生變化．理由如下：如圖2，連接OB．∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，∴AB=CB=2，∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，∴OB⊥AC，∴∠AOB＝∴∠AOB=∠EFP=90°，∴∠OBP+∠BPO=90°．∴∠BPE=90°，∴∠BPO+∠FPE=90°，∴∠OBP=∠FPE．由（1）得：PB=∴△OBP≌△FPEAAS∴PF=OB．∵△ABO是等腰直角三角形，∴OB=2∴PF=2即PF的長(zhǎng)不發(fā)生變化，為2．15．（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠D=90°，∴∠ABF=90°，∵AF⊥AE，∴∠FAE=90°，∴∠EAD+∠BAE=∠FAB+∠BAE=90°，∴∠FAB=∠EAD，在△ABF與△ADE中，∠FAB=∠EAD∠ABF=∠ADE∴△ABF≌△ADEAAS∴AB=AD，∴矩形ABCD是正方形；（2）解：如圖，連接EP，∵∠PAE=45°，∴∠BAP+∠DAE=90°?∠PAE=45°，根據(jù)（1）中可得△ABF≌△ADEAAS∴∠FAB=∠EAD，AF=AE，∴∠FAP=∠BAP+∠FAB=45°=∠EAP，∵AP=AP，∴△AFP≌△AEPSAS∴FP=PE，設(shè)BP=x，則PC=BC?BP=6?x，∵CD=3DE=6，∴BF=DE=2，EC=4，則EP=FP=BP+BF=x+2，在Rt△PCE中，P即可得x+22解得x=3，故BP=3；（3）解：如圖，取BC的中點(diǎn)M，連接AM,EM，∵點(diǎn)G是AD的中點(diǎn)，∴AG=MC=3，AG∥MC，∴四邊形AMCG為平行四邊形，∴∠AHG=∠HAM，在Rt△MCE中，ME=∵FM=FB+BM=5，∴MF=ME，根據(jù)（1）中可得AF=AE，∵AM=AM，∴△AFM≌△AEMSSS∴∠FAM=∠EAM=∠AHG=116．解：（1）延長(zhǎng)GD交BE于點(diǎn)H，如圖：∵△ECB≌△GCD，∴∠BEC=∠DGC，∵四邊形ABCD和ECGF是正方形，∴∠DGC+∠EBC=∠BEC+∠EBC=90°，∴∠GHB=90°，即GD⊥BE；故答案為：垂直（或GD⊥BE）；（2）∵∠BCD+∠DCE=∠GCE+∠DCE，∴∠BCE=∠GCD，在△BCE和△DCG中，BC=DC∠BCE=∠GCD∴△BCE≌△DCGSAS∴∠CDG=∠CBE=45°；故答案為：45；（3）過C作CN⊥MC，交BE于點(diǎn)N，如圖：由（2）知在△BCE和△DCG中，BC=DC∠BCE=∠GCD∴△BCE≌△DCGSAS∴∠MGC=∠NEC，∵CN⊥MC，∠NCM+∠MCE=∠GCE+∠MCE，∴∠NCE=∠MCG，在△NCE和△MCG中，∠MGC=∠NECCE=GC∴△NCE≌△MCGASA∴NC=MC，NE=MG，∵CN⊥MC，NC=MC，∴MN=N∴2MC+ME=MN+ME=NE=MG，即217．解：（1）QD=PQ，理由如下：由折疊的性質(zhì)可知GH垂直平分PD，∴QD=PQ；（2）由（1）知，QH垂直平分PD，∴DH=PH，∵QD=QP，由折疊的性質(zhì)同理可得QP=QH，∴QD=QH，∠QHP=∠QPH，∵QH=QH，∴△QHP≌∠QHDSSS，∠QHD=∠QDH∴∠QHD=∠QHP=∠QDH=∠QPH，∵PH恰好垂直于AC，∵四邊形ABCD為正方形，∴AC平分∠PCH，∠PCH=90°，∴PC=CH，∴∠PHC=∠HPC=45°，∴∠PHD=180°?45°=135°，∴∠QDH=∠QPH=∠QHD=∠QHP=135°∴∠DQC=180°?∠ACD?∠QDH=67.5°，∴∠DQC=∠QDH，∵正方形ABCD邊長(zhǎng)為8?cm∴QC=DC=8cm（3）①解：過點(diǎn)N作NR⊥BC于點(diǎn)R，過點(diǎn)N作NS⊥DC于點(diǎn)S，∴∠NRC=∠NSC=NSD=90°，∵∠BCD=60∴∠RNS=360°?2×90°?60°=120°，∵草坪ABCD為菱形，AC為菱形ABCD的對(duì)角線，∴NR=NS，∵M(jìn)N=ND，∴Rt∴∠RNM=∠SND，∴∠NMD=∠SND+∠SNM=∠RNM+∠SNM=∠RNS=120°；②解：存在，過點(diǎn)N作NT⊥MD于點(diǎn)T，∵M(jìn)N=ND，∴MT=DT=1∵∠NMD=120°，∴∠NDM=∠NMD=30°，∴NT=1∵NT∴NT整理得NT=3∴S△MND∴當(dāng)MD最小時(shí)，△MND面積最小，即MD⊥BC時(shí)，△MND面積最小，∵∠BCD=60°∴∠MDC=30°，∵菱形草坪ABCD的邊長(zhǎng)為40?m∴MC=1∴DM=D∴S△MND=318．（1）解：分別將x=0，y=0代入y=kx?4kk≠0得y=?4k，x=4，即A0,?4k，B∴OA=?4k，OB=4．由S△AOB得，k=?1，即A0,4，B（2）解：①過點(diǎn)E作EF⊥x軸，如下圖：由題意可得：∠AOD=∠DFE=∠ADE=90°，∴∠ADO+∠EDF=∠ADO+∠OAD=90°．∴∠OAD=∠EDF．在△AOD和△DFE中，∠OAD=∠EDF∠AOD=∠DFE∴△AOD≌△DFEAAS∴DF=OA=4，EF=OD．∴BF=DF?DB=OA?DB=OB?DB=OD．∴EF=BF．設(shè)Ex,y，則Dy,0，∴OD=y，由題意可得：OF=OD+DF=OD+OA，即y=x?4，∴點(diǎn)E在定直線y=x?4上；②連接AE，由題意可得△ADE為等腰直角三角形，∴∠DAE=45°．∵四邊形OACB為正方形，∴∠BAC=∠DAE=45°．∴∠EAC=∠BAD，此時(shí)點(diǎn)H與點(diǎn)E重合．∵D是線段OB的中點(diǎn)，A0,4，B∴OD=1∴BF=EF=OD=2，∴OF=OB+BF=6，∴E6,2設(shè)直線