導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義對分課

導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義（2）

年級：高二學(xué)科：數(shù)學(xué)（人教A版）

主

講

人：張嘉祺

班

級：高二（4）班

漯河實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)精講留白01漯河實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)問題1高臺跳水運(yùn)動員的速度平均速度瞬時(shí)速度問題2拋物線的切線斜率割線斜率切線斜率漯河實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)問題1

你能寫出函數(shù)

y＝f(x)在x＝x0

處的導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式并說出導(dǎo)數(shù)的意義嗎？導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)y＝f(x)在

x＝x0處的瞬時(shí)變化率，反映了函數(shù)

y＝f(x)在

x＝x0附近的變化情況.導(dǎo)數(shù)是瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá).漯河實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)問題2導(dǎo)數(shù)

是否具有幾何意義？漯河實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)追問1：平均變化率的幾何意義是什么？漯河實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)追問1：平均變化率的幾何意義是什么？過點(diǎn)

和點(diǎn)的直線的斜率.漯河實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)追問1：平均變化率的幾何意義是什么？平均變化率的幾何意義是割線P0P的斜率k.漯河實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)問題3能否根據(jù)上述過程給切線下個(gè)定義？漯河實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)定義

在曲線

y＝

f(x)上任取一點(diǎn)

P(x，f(x))，如果當(dāng)點(diǎn)

P沿著曲線

y＝

f(x)無限趨近于點(diǎn)

P0

(x0，f(x0))時(shí)，割線

P0P無限趨近于一個(gè)確定的位置，這個(gè)確定位置的直線

P0T稱為曲線

y＝

f(x)在點(diǎn)

P0處的切線

.xf(x)漯河實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)問題4導(dǎo)數(shù)

的幾何意義是什么？點(diǎn)

P→點(diǎn)

P0割線

P0P的斜率

k切線

P0T的斜率

k0漯河實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)函數(shù)

y＝f(x)在

x＝x0處的導(dǎo)數(shù)曲線

y＝f(x)在點(diǎn)P0(x0，f(x0))處切線的斜率

k0漯河實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)函數(shù)

y＝f(x)在

x＝x0處的導(dǎo)數(shù)數(shù)形轉(zhuǎn)化曲線

y＝f(x)在點(diǎn)

P0(x0，f(x0))處切線的斜率

k0漯河實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)分析：切點(diǎn)是切線上一點(diǎn)，只需要再求出切線的斜率.切線的斜率等于相應(yīng)函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).

漯河實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)

解：設(shè)所以，所求切線方程為整理得漯河實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)

解決切線問題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率.漯河實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)

xf(x)問題5

圖中哪條直線最貼近點(diǎn)P0

附近的曲線？

在點(diǎn)

P0附近，曲線

y＝

f(x)可以用點(diǎn)

P0處的切線

P0T近似代替，這是微積分中重要的思想方法——以直代曲.漯河實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)例2

圖中是高臺跳水運(yùn)動中運(yùn)動員的重心相對于水面的高度隨時(shí)間變化的函數(shù)

h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11的圖象.根據(jù)圖象，請描述、比較曲線

h(t)在t＝t0，t1，t2附近的變化情況.漯河實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)追問1：如何描述曲線

h(t)在

t＝t0，t1，t2附近的變化情況？在

t＝t0，t1，t2處的切線在

t＝t0，t1，t2附近的曲線近似代替斜率刻畫漯河實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)解：用曲線

h(t)在

t＝t0，t1，t2處的切線斜率，刻畫曲線

h(t)在上述三個(gè)時(shí)刻附近的變化情況.(1)當(dāng)

t＝t0時(shí)，

曲線

h(t)在

t＝t0處的切線

l0平行于

t軸，這時(shí)，在

t＝t0附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降.漯河實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)(2)當(dāng)

t＝t1時(shí)，

曲線

h(t)在

t＝t1處的切線

l1

的斜率這時(shí)，在

t＝t1附近曲線下降，即函數(shù)

h(t)在t＝t1附近單調(diào)遞減.解：用曲線

h(t)在

t＝t0，t1，t2處的切線斜率，刻畫曲線

h(t)在上述三個(gè)時(shí)刻附近的變化情況.漯河實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)(3)當(dāng)

t＝t2

時(shí)，

曲線

h(t)在

t＝t2

處的切線

l2

的斜率這時(shí)，在

t＝t2附近曲線下降，即函數(shù)

h(t)在t＝t2附近單調(diào)遞減.解：用曲線

h(t)在

t＝t0，t1，t2處的切線斜率，刻畫曲線

h(t)在上述三個(gè)時(shí)刻附近的變化情況.漯河實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)追問2：曲線

h(t)在

t＝t1和

t＝t2附近都是下降的，兩個(gè)時(shí)刻的下降趨勢是否有區(qū)別呢？漯河實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)直線

l1的傾斜程度小于直線

l2的傾斜程度曲線

h(t)在

t＝t1附近比在

t＝t2附近下降得緩慢.解：漯河實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)在

t＝t0，t1，t2處的切線在

t＝t0，t1，t2附近的曲線近似代替斜率刻畫直線

l1的傾斜程度小于直線

l2的傾斜程度曲線

h(t)在

t＝t1附近比在

t＝t2附近下降得緩慢.解：以直代曲漯河實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)思考：請描述曲線

h(t)在

t＝t3，t4附近增（減）以及增（減）快慢的情況.漯河實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)t3t4而直線m

的傾斜程度小于直線

l

的傾斜程度曲線

h(t)在

t＝t4附近比在

t＝t3附近增加的慢.解：曲線

h(t)在

t＝t3

附近單調(diào)遞增，在

t＝t4附近單調(diào)遞增.t3t4總結(jié)：根據(jù)曲線

h(t)在

t＝t1，t2，

t3，t4附近增（減）以及增（減）快慢的情況，導(dǎo)數(shù)對函數(shù)圖像的變化影響.漯河實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)：增減趨勢導(dǎo)數(shù)的絕對值大小：增減快慢斜率的正負(fù)：增減趨勢斜率的大?。涸鰷p快慢在

t＝t0，t1，t2處的切線在

t＝t0，t1，t2附近的曲線近似代替斜率刻畫直線

l1的傾斜程度小于直線

l2的傾斜程度曲線

h(t)在

t＝t1附近比在

t＝t2附近下降得緩慢.解：以直代曲漯河實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)02獨(dú)立內(nèi)化完成任務(wù)單習(xí)題漯河實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)小組討論03漯河實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)師生對話04漯河實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)

漯河實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)√由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，f′(xA)，f′(xB)分別是曲線在點(diǎn)A，B處切線的斜率，2、已知y＝f(x)的圖象如圖所示，則f′(xA)與f′(xB)的大小關(guān)系是A.f′(xA)>f′(xB) B.f′(xA)<f′(xB)C.f′(xA)＝f′(xB) D.不能確定由圖象可知f′(xA)<f′(xB).漯河實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)√3、某地有關(guān)部門為盡快實(shí)現(xiàn)房價(jià)穩(wěn)定，提出多種方案，其中之一就是在規(guī)定的時(shí)間T內(nèi)完成房產(chǎn)供應(yīng)量任務(wù)Q.已知房產(chǎn)供應(yīng)量Q與時(shí)間t具有函數(shù)關(guān)系，則在以下四種房產(chǎn)供應(yīng)方案中，供應(yīng)效率(單位時(shí)間的供應(yīng)量)逐步提高的是單位時(shí)間的供應(yīng)量逐步提高時(shí)，供應(yīng)量的增長速度越來越快，圖象上切線的斜率隨著自變量的增加而增大，則曲線是上升的，且越來越陡。漯河實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)4、曲線y＝f(x)＝x2＋x－3的一條切線與直線y＝3x＋4平行，求切點(diǎn)的坐標(biāo)與切線的方程.∵切線與直線y＝3x＋4平行，∴切線的斜率為3.設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0)，則y′|x=x0＝3，漯河實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)∴2x0＋1