2025年中考數(shù)學總復習課件(山東省專用)53 第二部分 題型八 新定義問題

題型八新定義問題第二部分

題型探究·高分提能類型一定義新運算【典例1】定義一種新運算“a?b”：當a≥b時，a?b＝a＋2b；當a＜b時，a?b＝a－2b．例如：3?(－4)＝3＋(－8)＝－5，(－6)?12＝－6－24＝－30．(1)填空：(－3)?(－2)＝________；(2)若(3x－4)?(5＋x)＝(3x－4)＋2(5＋x)，則x的取值范圍為________；(3)已知(5x－7)?(－2x)＞1，求x的取值范圍．14.5[解]

(1)由題意可得，(－3)?(－2)＝(－3)－2×(－2)＝(－3)＋4＝1，故答案為1．(2)∵(3x－4)?(5＋x)＝(3x－4)＋2(5＋x)，∴3x－4≥5＋x，解得x≥4.5，故答案為x≥4.5．

歸納總結

對于運算的新定義問題，首先讀懂定義公式或規(guī)則，然后根據(jù)公式或規(guī)則代入數(shù)值解答即可．[對點演練]【問題提出】(1)數(shù)學課上王老師在黑板上寫了如下式子：a＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(22048＋1)．小麗同學想到剛學的平方差公式，她的方法是：a＝1×(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(22048＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(22048＋1)，求出a＝________．24096－1【問題解決】(2)請借鑒小麗的方法求出b的值．b＝(3＋1)(32＋1)(34＋1)…(31024＋1)．【遷移應用】定義一種新運算：i2＝－1．(3)(2＋3i)(2－3i)＝________．(4)求[1＋(2i)2][1＋(2i)4][1＋(2i)8]…[1＋(2i)256][1＋(2i)512]的值．13[解]

(1)a＝1×(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(22048＋1)＝(2－1)×(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(22048＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)…(22048＋1)＝(24－1)(24＋1)…(22048＋1)＝(28－1)…(22048＋1)＝24096－1，故答案為24096－1．

(3)原式＝4－9i2＝4－9×(－1)＝4＋9＝13，故答案為13．

類型二定義新概念【典例2】定義：如圖，點H，K把線段AB分割成AH，HK，KB，若以AH，HK，KB為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點H，K是線段AB的勾股分割點．

(1)已知H，K把線段AB分割成AH，HK，KB，若AH＝4，HK＝6，KB＝5，點H，K是線段AB的勾股分割點嗎？請說明理由．(2)已知點H，K是線段AB的勾股分割點，且AH為直角邊，若AH＝8，AB＝24，求BK的長．[解]

(1)不是，理由如下：∵AH＝4，HK＝6，KB＝5，∴AH2＋KB2≠HK2，∴以AH，HK，KB為邊的三角形不是一個直角三角形，∴點H，K不是線段AB的勾股分割點．(2)設BK＝x，則HK＝24－8－x＝16－x，①當BK為最長線段時，根據(jù)題意得，AH2＋HK2＝BK2，即82＋(16－x)2＝x2，解得x＝10；②當HK為最長線段時，根據(jù)題意得，AH2＋BK2＝HK2，即82＋x2＝(16－x)2，解得x＝6．綜上所述，BK的長為10或6．[對點演練]實踐探究題【定義】在平面內(nèi)，把一個圖形上任意一點與另一個圖形上任意一點之間的距離的最小值，稱為這兩個圖形之間的距離，即A，B分別是圖形M和圖形N上任意一點，當AB的長最小時，稱這個最小值為圖形M與圖形N之間的距離．例如，如圖1，AB⊥l1，線段AB的長度稱為點A與直線l2之間的距離，當l2∥l1時，線段AB的長度也是l1與l2之間的距離．

①②

[對點演練]“新定義”問題就是給出一個從未接觸過的新規(guī)定，要求現(xiàn)學現(xiàn)用，更多的考查閱讀理解能力、應變能力和創(chuàng)新能力．定義：方程cx2＋bx＋a＝0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的倒方程，其中a，b，c均不為0．請根據(jù)此定義解決下列問題：(1)方程－12x2－x＋1＝0的倒方程是_________________．(2)若x＝5是x2－3x＋c＝0的倒方程的解，求出c的值；(3)若m，n是一元二次方程x2－5x－1＝0的倒方程的兩個不相等的實數(shù)根，求代數(shù)式2n2－mn－10m的值．x2－x－12＝0

(3)由題知，一元二次方程x2－5x－1＝0的倒方程是－x2－5x＋1＝0，因為m，n是此方程的兩個不相等的實數(shù)根，所以m＋n＝－5，mn＝－1，－n2－5n＋1＝0，所以n2＝－5n＋1，所以2n2－mn－10m＝2(－5n＋1)－mn－10m＝－10n＋2－mn－10m＝－10(m＋n)－mn＋2＝－10×(－5)－(－1)＋2＝53．所以代數(shù)式2n2－mn－10m的值為53．類型三定義新方法【典例4】閱讀下面的材料：一元二次方程及其解法最早出現(xiàn)在公元前兩千年左右的古巴比倫人的《泥板文書》中．到了中世紀，阿拉伯數(shù)學家阿爾·花拉子米在他的代表作《代數(shù)學》中記載了求一元二次方程正數(shù)解的幾何解法，我國三國時期的數(shù)學家趙爽在其所著《勾股圓方圖注》中也給出了類似的解法．以x2＋10x＝39為例，花拉子米的幾何解法步驟如下：①如圖1，在邊長為x的正方形的兩個相鄰邊上作邊長分別為x和5的矩形，再補上一個邊長為5的小正方形，最終把圖形補成一個大正方形；②一方面大正方形的面積為(x＋________)2，另一方面它又等于圖中各部分面積之和，因為x2＋10x＝39，可得方程(x＋________)2＝39＋________，則方程的正數(shù)解是x＝________．根據(jù)上述材料，解答下列問題．(1)補全花拉子米的解法步驟②；(2)根據(jù)花拉子米的解法，在圖2的兩個構圖①②中，能夠得到方程x2－6x＝7的正數(shù)解的正確構圖是______(填序號)．55253①[解]

(1)一方面大正方形的面積為(x＋5)2，另一方面它又等于圖中各部分面積之和，因為x2＋10x＝39，可得方程(x＋5)2＝39＋25，則方程的正數(shù)解是x＝3．故答案為5；5；25；3．(2)由題意可得，能夠得到方程x2－6x＝7的正數(shù)解的正確構圖是①．故答案為①．歸納總結

新方法的定義類問題，要仔細讀題，研究出新方法的“新”，然后模仿其方法解答題目即可．[對點演練]閱讀材料：如圖1，過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬(a)”，中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高(h)”．我們可得出一種計算三角形面積的新方法：

[解]

(1)設拋物線的表達式為y1＝a(x－1)2＋4，把A(3，0)代入表達式求得a＝－1，所以y1＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3，設直線AB的表達式為y2＝kx＋b，由y1＝－x2＋2x＋3求得B點的坐標為(0，3)，把A(3，0)，B(0，3)代入y2＝kx＋b中，解得k＝－1，b＝3，所以y2＝－x＋3．

②換元法求解特殊的四次方程：x4－5x2＋4＝0，設x2＝y(tǒng)，那么x4＝y(tǒng)2，于是原方程可變?yōu)閥2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4，當y＝1，x2＝1時，∴x＝±1；當y＝4，x2＝4時，∴x＝±2；∴原方程有四個根：x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2．

【應用新知】(1)仿照以上方法，按照要求解方程：①(因式分解法)x3－10x＋3＝0；②(換元法)x4＋3x2－4＝0．【拓展延伸】(2)已知：x2－2x－1＝0，且x＞0，請綜合運用以上方法，通過“降次”求x4－2x3－3x的值．

②設x2＝y(tǒng)，那么x4＝y(tǒng)2，于是原方程可變?yōu)閥2＋3y－4＝0，解得y1＝1，y2＝－4，∵x2≥0，∴y＝－4舍去．當y＝1時，x2＝1，∴x＝±1，∴原方程有兩個根：x1＝1，x2＝－1．