2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)課件(山東省專用)52 第二部分 題型七 二次函數(shù)綜合題

題型七二次函數(shù)綜合題第二部分

題型探究·高分提能類型一線段、周長(zhǎng)最值問題【典例1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2＋bx＋4(a≠0)與x軸交于A(－4，0)，B(2，0)兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D(0，3)，連接AD．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是線段AO上一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交拋物線于點(diǎn)Q，交線段AD于點(diǎn)E，點(diǎn)F是直線AD上一點(diǎn)，連接FQ，F(xiàn)Q＝EQ，求△FEQ的周長(zhǎng)最大值．

歸納總結(jié)

與二次函數(shù)相關(guān)的線段、圖形周長(zhǎng)最值問題，先轉(zhuǎn)化為平行于y軸線段兩個(gè)端點(diǎn)縱坐標(biāo)的差(或平行于x軸線段兩個(gè)端點(diǎn)橫坐標(biāo)的差)，再利用含有未知數(shù)的式子表示出來，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題．

(3)直線l繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與直線CA重合時(shí)終止運(yùn)動(dòng)，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線l與線段AB交于點(diǎn)P，點(diǎn)P與點(diǎn)A，B不重合，點(diǎn)M為線段CP的中點(diǎn)．①過點(diǎn)P作PE⊥CB于點(diǎn)E，PF⊥CA于點(diǎn)F，連接ME，MF，在旋轉(zhuǎn)的過程中∠EMF的大小是否發(fā)生變化？若不變化，求出∠EMF的度數(shù)；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由．②在①的條件下，連接EF，請(qǐng)寫出線段EF的最小值．

類型二圖形面積問題【典例2】如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c過x軸上點(diǎn)A(－1，0)、點(diǎn)B(5，0)，過y軸上點(diǎn)C(0，－5)，點(diǎn)P(m，n)(0＜m＜5)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)求四邊形OCPB面積的最大值；(3)當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)m滿足2＜m＜5時(shí)，過點(diǎn)P作PE⊥x軸，交BC于點(diǎn)E，再過點(diǎn)P作PF∥x軸，交拋物線于點(diǎn)F，連接EF，求使△PEF為等腰直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

(3)如圖，∵y＝x2－4x－5＝(x－2)2－9，∴拋物線對(duì)稱軸為直線x＝2，當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)m滿足2＜m＜5時(shí)，點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)，∴PF＝2(m－2)＝2m－4，由(2)知PE＝(m－5)－(m2－4m－5)＝－m2＋5m，當(dāng)PE＝PF時(shí)，△PEF為等腰直角三角形，∴－m2＋5m＝2m－4，整理得m2－3m－4＝0，解得m＝4或m＝－1(不符合題意，舍去)，此時(shí)n＝42－4×4－5＝－5，即點(diǎn)P(4，－5)，∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4，－5)時(shí)，△PEF為等腰直角三角形．歸納總結(jié)

二次函數(shù)中圖形面積的計(jì)算，常常轉(zhuǎn)化為線段的最值問題．[對(duì)點(diǎn)演練][項(xiàng)目式學(xué)習(xí)試題]某數(shù)學(xué)試驗(yàn)小組在探究“關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2＋bx＋3的性質(zhì)(a，b為常數(shù))”時(shí)，進(jìn)行了如下活動(dòng)．(1)【試驗(yàn)操作】取不同的x的值，計(jì)算代數(shù)式ax2＋bx＋3的值．x…－2－101…ax2＋bx＋3…11632…根據(jù)表格，計(jì)算出a，b的值；(2)【觀察猜想】試驗(yàn)小組組員通過觀察表格，提出以下猜想：①代數(shù)式ax2＋bx＋3的值隨著x的增大而減??；②當(dāng)x＝1時(shí)，代數(shù)式ax2＋bx＋3有最小值，最小值是2．上述猜想中正確的是：________；(填寫序號(hào))(3)【驗(yàn)證猜想】請(qǐng)對(duì)正確的猜想進(jìn)行證明；②(4)【歸納運(yùn)用】根據(jù)試驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)解決下列問題：

如圖所示，小麗想借助院中互相垂直的兩面墻(墻體足夠長(zhǎng))，在墻角區(qū)域用6m長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)長(zhǎng)方形小菜園．當(dāng)AB為何值時(shí)，長(zhǎng)方形小菜園ABCD的面積最大，并求出最大面積．

(3)證明：由(1)知ax2＋bx＋3＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2．∵(x－1)2≥0，∴(x－1)2＋2≥2，當(dāng)x＝1時(shí)，取等號(hào)，∴當(dāng)x＝1時(shí)，代數(shù)式ax2＋bx＋3有最小值，最小值是2．(4)設(shè)AB＝xm，則AD＝(6－x)m，長(zhǎng)方形的面積為Sm2，則S＝x(6－x)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9，∵－1＜0，∴當(dāng)x＝3時(shí)，S有最大值，最大值為9，∴當(dāng)AB＝3m時(shí)，長(zhǎng)方形小菜園ABCD的面積最大，最大面積為9m2．類型三特殊三角形的存在性問題【典例3】

(2024·高唐一模)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2＋bx－3與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)和點(diǎn)B(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)P為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)△PBC面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段BC上一點(diǎn)(點(diǎn)Q不與兩端點(diǎn)重合)，是否存在以P，Q，O為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)寫出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．[解]

(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a(x＋1)(x－3)＝a(x2－2x－3)，則－3a＝－3，解得a＝1，則拋物線的表達(dá)式為y＝x2－2x－3，由拋物線的表達(dá)式知，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－4)．

(3)當(dāng)∠QOP為直角時(shí)，則點(diǎn)Q與點(diǎn)B或點(diǎn)C重合，不符合題意；當(dāng)∠OQP為直角時(shí)，即OQ⊥BC，則點(diǎn)P與點(diǎn)B或C重合，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，0)或(0，－3)．

[對(duì)點(diǎn)演練]如圖，二次函數(shù)y＝x2－2x－3的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，M為拋物線的頂點(diǎn)．(1)求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求△MBC的面積；(3)對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)N，使得以B，C，N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

類型四特殊四邊形的存在性問題【典例4】如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋3(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)，B(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．(1)求該拋物線及直線BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖2，在BC上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P(不與B，C重合)，過點(diǎn)P作PD∥AC，交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作PE∥y軸，交BC于點(diǎn)E．在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，請(qǐng)求出△PDE周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖3，若點(diǎn)P是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，問在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以B，C，P，Q為頂點(diǎn)，BC為對(duì)角線的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

歸納總結(jié)

特殊圖形的存在問題，一定要分類討論，考慮全面，防止漏掉答案的情況．

[解]

(1)由題意得，y＝a(x＋1)(x－3)＝a(x2－2x－3)，則－3a＝3，解得a＝－1，則拋物線的表達(dá)式為y＝－x2＋2x＋3．(2)如圖，分別過點(diǎn)D，A作y軸的平行線交BC于點(diǎn)H，G，則△AEG∽△DEH，則DE∶AE＝DH∶AG＝1∶2，由點(diǎn)B，C的坐標(biāo)得，直線BC的表達(dá)式為y＝－x＋3，則點(diǎn)G(－1，4)，即AG＝4，則DH＝2，設(shè)點(diǎn)D(x，－x2＋2x＋3)，則點(diǎn)H(x，－x＋3)，則DH＝2＝－x2＋2x＋3－(－x＋3)，解得x＝1或x＝2，即點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，4)或(2，3)．

[對(duì)點(diǎn)演練]如圖1所示，直線y＝x＋c與x軸交于A(－4，0)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過A，C．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，求CE＋OE的最小值；(3)如圖2所示，M是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn))，過點(diǎn)M垂直于x軸的直線與直線AC和拋物線分別交于點(diǎn)P，N．若以C，P，N為頂點(diǎn)的三角形與△APM相似，求△NPC的面積．[解]

(1)將A(－4，0)代入y＝x＋c，∴c＝4，將A(－4，0)和c＝4代入y＝－x2＋bx＋c，∴b＝－3，∴拋物線的表達(dá)式為y＝－x2－3x＋4．

[對(duì)點(diǎn)演練](2024·肥城二模)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋2經(jīng)過A(－1，0)，B(4，0)兩點(diǎn)，D(x，y)為拋物線上第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)△BCD的面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，是否存在點(diǎn)D，使∠DCE＝2∠ABC？若存在，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

(3)存在，理由：當(dāng)∠DCE＝2∠ABC時(shí)，取點(diǎn)F(0，－2)，連接BF．∵OC＝OF，OB⊥CF，∴∠ABC＝∠ABF，∴∠CBF＝2∠ABC．∵∠DCE＝2∠ABC，∴∠DCE＝∠CBF，∴CD∥BF．

類型七與圓相關(guān)的問題【典例7】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為(4，－1)的拋物線交y軸于A點(diǎn)，交x軸于B，C兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè))，已知A點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)．(1)求此拋物線的表達(dá)式；(2)已知點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于A，C兩點(diǎn)之間(不與A，C重合)，連接AC．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PAC的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)過點(diǎn)B作線段AB的垂線交拋物線于點(diǎn)D，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與直線BD相切，請(qǐng)判斷拋物線的對(duì)稱軸l與⊙C有怎樣的位置關(guān)系，并給出證明．

[對(duì)點(diǎn)演練]如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，如表給出了這條拋物線上部分點(diǎn)(x，y)的坐標(biāo)值：x…－10123…y…03430…(1)求出這條拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)P是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，求△APC周長(zhǎng)的最小值；(3)如圖2，點(diǎn)D是第四象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF⊥x軸，垂足為F，△ABD的外接圓與DF相交于點(diǎn)E．試問：線段EF的長(zhǎng)是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說明理由．[解]

(1)根據(jù)表格可得出A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)，設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a(x＋1)(x－3)，將C(0，3)代入，得3＝a(0＋1)(0－3)，解得a＝－1，∴y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴該拋物線的表達(dá)式為y＝－x2＋2x＋3，頂點(diǎn)M坐標(biāo)為(1，