2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)課件(山東省專用)03 第一部分 第一章 第二節(jié) 代數(shù)式、整式及因式分解

第二節(jié)代數(shù)式、整式及因式分解第一部分基礎(chǔ)復(fù)習(xí)·突破核心第一章數(shù)與式鏈接教材基礎(chǔ)過關(guān)考點(diǎn)一代數(shù)式1．代數(shù)式：用運(yùn)算符號(__________________________)把含有____或表示________連接而成的式子叫做代數(shù)式．2．代數(shù)式的值：用____代替代數(shù)式中的字母，計算后所得的____叫做代數(shù)式的值．加、減、乘、除、乘方、開方數(shù)字?jǐn)?shù)的字母數(shù)值結(jié)果考點(diǎn)二整式1．單項(xiàng)式：表示數(shù)與字母的____的代數(shù)式．單獨(dú)的一個數(shù)或一個____也叫單項(xiàng)式．其中的________叫做單項(xiàng)式的系數(shù)，所有字母的______叫做單項(xiàng)式的次數(shù)．2．多項(xiàng)式：幾個單項(xiàng)式的____．每個單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，________的項(xiàng)的次數(shù)，叫做多項(xiàng)式的次數(shù)．3．整式：單項(xiàng)式和______統(tǒng)稱為整式．4．同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的____也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)．常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng)．乘積字母數(shù)字因數(shù)指數(shù)和和次數(shù)最高多項(xiàng)式指數(shù)考點(diǎn)三整式的加減運(yùn)算1．合并同類項(xiàng)法則：同類項(xiàng)的____相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的____不變．2．去括號法則：括號前是“＋”號，把括號和它前面的“＋”號去掉后，原括號里各項(xiàng)的符號都不改變；括號前是“－”號，把括號和它前面的“－”號去掉后，原括號里各項(xiàng)的符號都要改變．3．整式的加減運(yùn)算法則：先去括號，再合并同類項(xiàng)．系數(shù)指數(shù)考點(diǎn)四冪的有關(guān)運(yùn)算冪的運(yùn)算法則符號表示同底數(shù)冪相乘am·an＝______同底數(shù)冪相除am÷an＝______冪的乘方(am)n＝____積的乘方(ab)n＝_______商的乘方零指數(shù)冪a0＝__(a≠0)負(fù)指數(shù)冪am＋nam－namnanbn1

考點(diǎn)五整式的乘除運(yùn)算1．單項(xiàng)式×單項(xiàng)式：(1)____和________分別相乘；(2)只有一個字母的照抄．2．單項(xiàng)式×多項(xiàng)式：m(a＋b)＝__________．3．多項(xiàng)式×多項(xiàng)式：(m＋n)(a＋b)＝______________________．4．單項(xiàng)式÷單項(xiàng)式：將____、________分別相除．系數(shù)同底數(shù)冪ma＋mbma＋mb＋na＋nb系數(shù)同底數(shù)冪5．多項(xiàng)式÷單項(xiàng)式：(1)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單項(xiàng)式；(2)商相加．6．乘法公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝_______．(2)完全平方公式：(a±b)2＝_____________．a(chǎn)2－b2a2±2ab＋b2考點(diǎn)六因式分解的概念1．把一個多項(xiàng)式化成幾個________的形式，這種變形叫做因式分解．2．分解因式與整式乘法的關(guān)系：因式分解與整式的乘法互為逆運(yùn)算．考點(diǎn)七因式分解的基本方法1．提公因式法：ma＋mb＋mc＝____________．2．公式法：(1)平方差公式：a2－b2＝______________．(2)完全平方公式：a2±2ab＋b2＝________．整式的積m(a＋b＋c)(a＋b)(a－b)(a±b)21．(魯教版六上P81習(xí)題3.1T1改編)每件上衣的原價為a元，降價10%后的售價是(

)A．10%a B．(1－10%)aC．(1＋10%)a D．(1＋90%)a√B

[原來的價格×(1－降低的百分率)＝降價后的價格，據(jù)此即可列出代數(shù)式．]2．當(dāng)x＝－1時，代數(shù)式－x2＋1的值是(

)A．－1

B．0

C．1

D．2√B

[把x＝－1代入－x2＋1＝－(－1)2＋1＝0，故選B．]

√4．下列計算正確的是(

)A．a(chǎn)6＋a6＝a12 B．a(chǎn)5·a2＝a10C．(2a2)4＝2a8 D．a(chǎn)12÷a5＝a7√D

[a6＋a6＝2a6，故A不符合題意；a5·a2＝a7，故B不符合題意；(2a2)4＝16a8，故C不符合題意；a12÷a5＝a7，故D符合題意，故選D．]C

[a－4a3＝a(1－4a2)＝a(1＋2a)(1－2a)，因此選項(xiàng)A不符合題意；3x－6y＋3＝3(x－2y＋1)，因此選項(xiàng)B不符合題意；x2＋2x＋1＝(x＋1)2，因此選項(xiàng)C符合題意；x2－2x＋1＝(x－1)2，因此選項(xiàng)D不符合題意，故選C．]5．(魯教版八上P16復(fù)習(xí)題T1改編)下列分解因式正確的是(

)A．a(chǎn)－4a3＝(1＋2a)(1－2a3) B．3x－6y＋3＝3(x－2y)

C．x2＋2x＋1＝(x＋1)2

D．x2－2x－1＝(x－1)2√考點(diǎn)突破對點(diǎn)演練

√

(2)若x滿足x2＋3x－5＝0，則代數(shù)式2x2＋6x－3的值為(

)A．5 B．7C．10 D．－13√歸納總結(jié)

求代數(shù)式的值可以直接代入、計算．如果給出的代數(shù)式可以化簡，要先化簡，再求值．一般地，題型有以下三種：(1)已知條件不化簡，所給代數(shù)式化簡；(2)已知條件化簡，所給代數(shù)式不化簡；(3)已知條件和所給代數(shù)式都要化簡．[對點(diǎn)演練]1．為落實(shí)“雙減”政策，某校利用課后服務(wù)開展了主題為“書香滿校園”的讀書活動．現(xiàn)需購買甲、乙兩種讀本共100本供學(xué)生閱讀，其中甲種讀本的單價為10元/本，乙種讀本的單價為8元/本，設(shè)購買甲種讀本x本，則購買乙種讀本的費(fèi)用為(

)A．8x元 B．10(100－x)元C．8(100－x)元 D．(100－8x)元C

[乙的單價×乙的本數(shù)＝乙的費(fèi)用．]√A

[原式＝a2－2a＋1＋a2－4＝2a2－2a－3＝2(a2－a)－3，∵a2－a－2＝0，∴a2－a＝2，∴原式＝2×2－3＝1．故選A．]2．如果a2－a－2＝0，那么代數(shù)式(a－1)2＋(a＋2)(a－2)的值為(

)A．1 B．2C．3 D．4√B

[x2＋1是多項(xiàng)式；xy是二次單項(xiàng)式；x2y是三次單項(xiàng)式；22x是一次單項(xiàng)式，故選B．]命題點(diǎn)2整式的有關(guān)概念【典例2】下列整式中，是二次單項(xiàng)式的是(

)A．x2＋1 B．xyC．x2y D．22x√[對點(diǎn)演練]1．(2024·泰安)單項(xiàng)式－3ab2的次數(shù)是________．3

[∵單項(xiàng)式－3ab2中，a的指數(shù)是1，b的指數(shù)是2，∴此單項(xiàng)式的次數(shù)為1＋2＝3．]32．若多項(xiàng)式xy|m－n|＋(n－2)x2y2＋1是關(guān)于x，y的三次多項(xiàng)式，則mn＝________．0或8

[∵多項(xiàng)式xy|m－n|＋(n－2)x2y2＋1是關(guān)于x，y的三次多項(xiàng)式，∴n－2＝0，1＋|m－n|＝3，∴n＝2，|m－n|＝2，∴m－n＝2或n－m＝2，∴m＝4或m＝0，∴mn＝0或8．]0或8D

[2x2y與－3xy2不屬于同類項(xiàng)，不能合并，故A不符合題意；4x8y2÷2x2y2＝2x6，故B不符合題意；(x－y)(－x－y)＝y(tǒng)2－x2，故C不符合題意；(x2y3)2＝x4y6，故D符合題意，故選D．]命題點(diǎn)3整式的運(yùn)算【典例3】

(2024·泰安)下列運(yùn)算正確的是(

)A．2x2y－3xy2＝－x2y

B．4x8y2÷2x2y2＝2x4

C．(x－y)(－x－y)＝x2－y2 D．(x2y3)2＝x4y6√歸納總結(jié)

解此類題目的關(guān)鍵是熟記冪運(yùn)算公式及其成立的條件，確定出冪的底數(shù)和指數(shù)，注意公式的正向和逆向應(yīng)用．D

[A．式子中兩項(xiàng)不是同類項(xiàng)，不能合并，故A不符合題意；B．(a－1)2＝a2－2a＋1，故B不符合題意；C．(a3b)2＝a6b2，故C不符合題意；D．a(chǎn)(2a＋1)＝2a2＋a，故D符合題意．故選D．][對點(diǎn)演練]1．(2024·山東)下列運(yùn)算正確的是(

)A．a(chǎn)4＋a3＝a7 B．(a－1)2＝a2－1C．(a3b)2＝a3b2 D．a(chǎn)(2a＋1)＝2a2＋a√2．計算：2a(a＋b)＋a3b4÷a3b2－(a2＋2ab)．[解]原式＝2a2＋2ab＋b2－a2－2ab＝a2＋b2．C

[A選項(xiàng)，原式＝4x；B選項(xiàng)，原式＝a；D選項(xiàng)，原式＝x2－2xy＋y2．故選C．]√【教師備選資源】1．(2022·泰安)下列運(yùn)算正確的是(

)A．6x－2x＝4 B．a(chǎn)－2·a3＝a－6C．x6÷x3＝x3 D．(x－y)2＝x2－y2D

[A選項(xiàng)，2x2與3x3不是同類項(xiàng)，不能合并；B選項(xiàng)，原式＝－8x3；C選項(xiàng)，原式＝x2＋2xy＋y2；D選項(xiàng)，原式＝22－(3x)2＝4－9x2．故選D．]√2．(2021·泰安)下列運(yùn)算正確的是(

)A．2x2＋3x3＝5x5 B．(－2x)3＝－6x3C．(x＋y)2＝x2＋y2 D．(3x＋2)(2－3x)＝4－9x2D

[3xy－xy＝2xy；x3·x4＝x7；x－10÷x2＝x－12．故選D．]√3．(2020·泰安)下列運(yùn)算正確的是(

)A．3xy－xy＝2

B．x3·x4＝x12C．x－10÷x2＝x－5 D．(－x3)2＝x63a(x－y)2

[3ax2－6axy＋3ay2＝3a(x2－2xy＋y2)＝3a(x－y)2．]命題點(diǎn)4因式分解【典例4】

(2024·內(nèi)蒙古通遼)因式分解：3ax2－6axy＋3ay2＝_____________．3a(x－y)2溫馨提示

一個多項(xiàng)式有公因式首先考慮提取公因式，然后考慮用公式法進(jìn)行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．A

[原式＝a(a2－9)＝a(a－3)(a＋3)，故選A．][對點(diǎn)演練]1．(2024·云南)因式分解：a3－9a＝(

)A．a(chǎn)(a－3)(a＋3)B．a(chǎn)(a2＋9)C．(a－3)(a＋3)D．a(chǎn)2(a－9)√xy(x＋2)

[直接提取公因式xy即可．]2．(2024·山東)因式分解：x2y＋2xy＝________．(a－1)2

[(a＋1)2－4a＝a2＋2a＋1－4a＝a2－2a＋1＝(a－1)2．]3．(2024·四川廣元)因式分解：(a＋1)2－4a＝________．3(x－3)2

[3x2－18x＋27＝3(x2－6x＋9)＝3(x－3)2．]4．(2024·四川達(dá)州)因式分解：3x2－18x＋27＝________．xy(x＋2)(a－1)2

3(x－3)2命題點(diǎn)5數(shù)式規(guī)律探索【典例5】

(2022·泰安)將從1開始的連續(xù)自然數(shù)按以下規(guī)律排列：若有序數(shù)對(n，m)表示第n行，從左到右第m個數(shù)，如(3，2)表示6，則表示99的有序數(shù)對是

____________．(10，18)(10，18)

[∵第n行的最后一個數(shù)是n2，第n行有(2n－1)個數(shù)，∴99＝102－1在第10行倒數(shù)第二個，第10行有：2×10－1＝19個數(shù)，∴表示99的有序數(shù)對是(10，18)．]歸納總結(jié)

認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法，通常將數(shù)字與序號建立數(shù)量關(guān)系或者與前后數(shù)字進(jìn)行簡單運(yùn)算，從而得出一般公式．[對點(diǎn)演練](2020·泰安)如圖，被稱為“楊輝三角”或“賈憲三角”．其規(guī)律是：從第三行起，每行兩端的數(shù)都是“1”，其余各數(shù)都等于該數(shù)“兩肩”上的數(shù)之和．圖中兩平行線之間的一列數(shù)：1，3，6，10，15，…，我們把第一個數(shù)記為a1，第二個數(shù)記為a2，第三個數(shù)記為a3……第n個數(shù)記為an，則a4＋a200＝________．20110

【教師備選資源】(2024·泰安)如圖所示，是用圖形“”和“

”按一定規(guī)律擺成的“小屋子”．按照此規(guī)律繼續(xù)擺下去，第________個“小屋子”中圖形“

”個數(shù)是圖形“

”個數(shù)的3倍．1212

[由所給圖形可知，第1個“小屋子”中圖形“

”的個數(shù)為：1＝1，“

”的個數(shù)為：4＝1×2＋2；第2個“小屋子”中圖形“

”的個數(shù)為：3＝1＋2，“

”的個數(shù)為：6＝2×2＋2；第3個“小屋子”中圖形“

”的個數(shù)為：6＝1＋2＋3，“”的個數(shù)為：8＝3×2＋2；第4個“小屋子”中圖形“

”的個數(shù)為：10＝1＋2＋3＋4，“

”的個數(shù)為：10＝4×2＋2；…，

(說明：選擇題每題3分，填空題每題3分，本試卷共69分)B

[“a與b的差的5倍”用代數(shù)式表示為：5(a－b)．故選B．]課時分層評價卷(二)代數(shù)式、整式及因式分解√

2．(2024·四川內(nèi)江)下列單項(xiàng)式中，ab3的同類項(xiàng)是(

)A．3ab3 B．2a2b3C．－a2b2 D．a(chǎn)3b√A

[根據(jù)同類項(xiàng)的定義可知，ab3的同類項(xiàng)是3ab3．故選A．]3．(2024·青海)計算12x－20x的結(jié)果是(

)A．8x B．－8xC．－8 D．x2√B

[原式＝(12－20)x＝－8x，故選B．]

√

5．(2024·四川眉山)下列運(yùn)算中正確的是(

)A．a(chǎn)2－a＝a B．a(chǎn)·a2＝a3C．(a2)3＝a5 D．(2ab2)3＝6a3b6√B

[a2與a不是同類項(xiàng)，無法合并，則A不符合題意；a·a2＝a3，則B符合題意；(a2)3＝a6，則C不符合題意；(2ab2)3＝8a3b6，則D不符合題意．故選B．]6．(2024·甘肅蘭州)計算：2a(a－1)－2a2＝(

)A．a(chǎn) B．－aC．2a D．－2a√D

[2a(a－1)－2a2＝2a2－2a－2a2＝－2a．故選D．]7．[情境題]從前，古希臘一位莊園主把一塊邊長為a米(a＞6)的正方形土地租給租戶張老漢，第二年，他對張老漢說：“我把這塊地的一邊增加6米，相鄰的另一邊減少6米，變成矩形土地繼續(xù)租給你，租金不變，你也沒有吃虧，你看如何？”如果這樣，你覺得張老漢的租地面積會(

)A．沒有變化 B．變大了C．變小了 D．無法確定√C

[∵矩形的面積為(a＋6)(a－6)＝a2－36，∴矩形的面積比正方形的面積a2小了36平方米，故選C．]8．(2024·吉林長春)單項(xiàng)式－2a2b的次數(shù)是________．3

[單項(xiàng)式－2a2b的次數(shù)是：2＋1＝3．]9．計算：8x3y÷(2x)2＝________．2xy

[原式＝8x3y÷4x2＝2xy．]32xy10．雪山彩虹谷門票的價格為成人票每張20元，兒童票每張10元．若購買m張成人票和n張兒童票，則共需花費(fèi)

____________元．20m＋10n

[根據(jù)票價乘對應(yīng)票的數(shù)量分別求出成人票和兒童票的費(fèi)用，然后求和可得．]20m＋10n11．(2024·北京)因式分解：x3－25x＝_________________．x(x＋5)(x－5)

[x3－25x＝x(x2－25)＝x(x＋5)(x－5)．]12．(2024·內(nèi)蒙古)因式分解：a＋2ab＋ab2＝____________．a(chǎn)(b＋1)2

[原式＝a(1＋2b＋b2)＝a(b＋1)2．]13．(2024·四川德陽)若一個多項(xiàng)式加上y2＋3xy－4，結(jié)果是3xy＋2y2－5，則這個多項(xiàng)式為________．y2－1

[3xy＋2y2－5－(y2＋3xy－4)＝3xy＋2y2－5－y2－3xy＋4＝y(tǒng)2－1．]x(x＋5)(x－5)a(b＋1)2y2－1

a(a＋1)×100＋25

16．如圖，是利用割補(bǔ)法求圖形面積的示意圖，下列公式中與之相對應(yīng)的是(

)A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2

C．(a＋b)(a－b)＝a2－b2

D．(ab)2＝a2b2√A

[根據(jù)題意，大正方形的邊長為a＋b，面積為(a＋b)2，由邊長為a的正方形，2個長為a寬為b的長方形，邊長為b的正方形組成，所以(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2．故選A．]17．(2024·廣西)如果a＋b＝3，ab＝1，那么a3b＋2a2b2＋ab3的值為(

)A．0 B．1C．4 D．9√D

[∵a＋b＝3，ab＝1，∴a3b＋2a2b2＋ab3＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2＝1×32＝9，故選D．]18．[數(shù)學(xué)文化]古代名著《九章算術(shù)》是我國最早的一部數(shù)學(xué)專門著作，它的內(nèi)容豐富，而且大多和實(shí)際生活密切聯(lián)系，反映出中國古代先賢的智能，同時也顯出古代中國數(shù)學(xué)的研究多以實(shí)用性為主．如圖所給的程序框圖的算法思路就是源于《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”，執(zhí)行該程序框圖，如果輸出M的值為5，那么輸入x的值為(

)A．－2 B．－8C．1 D．8√B

[若x＞3，∵x2－x＋3＝x(x－1)＋3，x－1＞2，∴x(x－1)＞6，∴x2－x＋3＞9，∴輸出的M值不可能為5．

19．(2024·河北)若a，b是正整數(shù)，且滿足

，則a與b的關(guān)系正確的是(

)A．a(chǎn)＋3＝