中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練專題23 解直角三角形模型之新定義模型（解析版）

專題23解直角三角形模型之新定義模型

解直角三角形的新定義模型，是體現(xiàn)選拔功能的試題中對(duì)初高中知識(shí)銜接的考查。高中數(shù)學(xué)為這類試

題的命制提供了廣闊的空間背景，命題者將高中數(shù)學(xué)的一些概念、定理、法則、公式等初中化（用初中數(shù)

學(xué)知識(shí)內(nèi)容包裝、初中試題命制技術(shù)設(shè)置）處理，命制出具有高中數(shù)學(xué)背景味道的試題。這類試題往往對(duì)

學(xué)生思維能力和創(chuàng)新能力要求較高，能有效檢驗(yàn)學(xué)生是否具備進(jìn)入高中學(xué)習(xí)的潛能，所以平時(shí)教學(xué)挖掘這

方面解題技能及功效尤為重要。恰當(dāng)?shù)貥?gòu)建模型可以拓寬解題思路，優(yōu)化解題過(guò)程，豐富解題內(nèi)涵。

【知識(shí)儲(chǔ)備】

模型1、新定義模型

此類模型主要包含高中數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)和解三角形的相關(guān)定理（公式），而這些定理（公式）也

可利用初中數(shù)學(xué)知識(shí)證明。

若無(wú)特殊說(shuō)明，一般認(rèn)為△ABC的3個(gè)角∠A、∠B、∠C，分別對(duì)應(yīng)邊a、b、c；

abc

1）正弦定理：如圖1，2R（其中R是三角形外接圓的半徑）。

sinAsinBsinC

圖1圖2

2）余弦定理：如圖2，a2b2c22bccosAb2a2c22accosBc2a2b22abcosC．

111

3）正弦面積公式：如圖2，SabsinCbcsinAacsinB.

222

sin

4）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:sin2cos21，tan。

cos

5）和（差）、二倍角角公式：

sin()sincoscossin;sin22sincos.

cos()coscossinsin;cos2cos2sin22cos2112sin2.

tantan2tan

tan()tan2.

1tantan1tan2

例1．（2022·湖南·中考真題）閱讀下列材料：

ab

在ABC中，A、DB、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，求證：．

sinAsinB

證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CDAB于點(diǎn)D，則：

在RtBCD中，CD=asinB；在RtACD中，CDbsinA

ab

asinBbsinA

sinAsinB

根據(jù)上面的材料解決下列問(wèn)題：

bc

(1)如圖2，在ABC中，A、DB、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，求證：；(2)為了辦好湖南

sinBsinC

省首屆旅游發(fā)展大會(huì)，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境．如圖3，規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知A67，

B53，AC80米，求這片區(qū)域的面積．（結(jié)果保留根號(hào)．參考數(shù)據(jù)：sin530.8，sin670.9)

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)18003

【分析】（1）作BC邊上的高，利用三角函數(shù)表示AD后，即可建立關(guān)聯(lián)并求解；

（2）作BC邊上的高，利用三角函數(shù)分別求出AE和BC，即可求解．

(1)證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)A作ADBC于點(diǎn)D，在RtABD中，ADcsinB，

bc

在RtACD中，ADbsinC，csinBbsinC，；

sinBsinC

(2)解：如圖3，過(guò)點(diǎn)A作AEBC于點(diǎn)E，BAC67，B53，C60，

3

在RtACE中，AEACsin60°80403m

2

ACBC80BC12

又，即，BC90m，S△ABC9040318003m．

sinBsinBAC0.80.92

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系，即銳角三角函數(shù)的定義是解決問(wèn)

題的前提．

例2．（2022·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）閱讀材料：余弦定理是描述三角形中三邊長(zhǎng)度與一個(gè)角余弦值關(guān)系的

數(shù)學(xué)定理，運(yùn)用它可以解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者已知三邊求角的問(wèn)題．余弦定理是這

樣描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，則三角形中任意一邊的平方等于另外

兩邊的平方和減去這兩邊及這兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍．

用公式可描述為：a2＝b2＋c2﹣2bccosA；b2＝a2＋c2﹣2accosB；c2＝a2＋b2﹣2abcosC

現(xiàn)已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，則BC＝_____．

【答案】13

【分析】從閱讀可得：BC2＝AB2＋AC2﹣2ABACcosA，將數(shù)值代入求得結(jié)果．

【詳解】解：由題意可得，

BC2＝AB2＋AC2﹣2AB?AC?cosA＝32＋42﹣2×3×4cos60°＝13，∴BC＝13，故答案為：13．

【點(diǎn)睛】本題考查閱讀理解能力，特殊角銳角三角函數(shù)值等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是公式的具體情景運(yùn)用．

例3．（2022·山東青島·校考二模）問(wèn)題提出：已知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積．

問(wèn)題探究：為了解決上述問(wèn)題，我們先由特殊到一般來(lái)進(jìn)行探究．

探究一：如圖1，在ABC中，ABC90，ACb，BCa，C，求ABC的面積．

AB11

在Rt△ABC中，ABC90，sinABbsin．SABCBCABabsin．

AC22

探究二：如圖2，ABC中，ABACb，BCa，B，求ABC的面積（用含a、b、代數(shù)式

表示），寫(xiě)出探究過(guò)程．

探究三：如圖3，ABC中，ABb，BCa，B，求ABC的面積（用a、b、表示）寫(xiě)出探究

過(guò)程．

問(wèn)題解決：已知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積方法是：___________（用文字?jǐn)⑹觯?/p>

問(wèn)題應(yīng)用：如圖4，已知平行四邊形ABCD中，ABb，BCa，B，求平行四邊形ABCD的面積（用

a、b、表示）寫(xiě)出解題過(guò)程．

問(wèn)題拓廣：如圖5所示，利用你所探究的結(jié)論直接寫(xiě)出任意四邊形的面積（用a、b、c、d、、表示），

其中ABb，BCc，CDd，ADa，A，C．

11

【答案】absin，見(jiàn)解析；absin，見(jiàn)解析；一個(gè)三角形兩邊及其夾角的正弦值的積的一半；absin；

22

11

S四邊形absincdsin

ABCD22

【分析】探究二：如圖2中，作AHCB于H．求出高AH，即可解決問(wèn)題；

探究三：如圖3中，作AHCB于H．求出高AH，即可解決問(wèn)題；

1

問(wèn)題解決：SabsinC（C）是a、b兩邊的夾角）；

2

問(wèn)題應(yīng)用：如圖4中，作AH⊥CB于H．求出高AH，即可解決問(wèn)題；

問(wèn)題拓廣：如圖5，連接BD，由探究三的結(jié)論可得出答案．

【詳解】解：探究二：如圖2中，作AHCB于H．

ABACb，BCa，B，BC，

AH11

在RtAHC中，AHC90，sin，AHb·sin，SABCBCAHabsin．

AC22

探究三：如圖3中，作AHCB于H．

AH11

在RtAHC中，AHC90sin，AHb·sinSABCBCAHabsin．

AC22

問(wèn)題解決：一個(gè)三角形兩邊及其夾角的正弦值的積的一半．

故答案為：一個(gè)三角形兩邊及其夾角的正弦值的積的一半．

問(wèn)題應(yīng)用：如圖4中，作AHCB于H．

AH

在RtAHB中，AHB90sin，AHb·sinS平行四邊形ABCDBCAHabsin．

AB

11

問(wèn)題拓廣：連接BD，由探究三的結(jié)論可得：SABDABADsinabsin．

22

1111

SBCCDcdsin．S四邊形absincdsin．

BCD22ABCD22

【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、三角形的面積、平行四邊形的面積，銳角三角函數(shù)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．

例4．（2023春·四川瀘州·八年級(jí)?？计谥校┢矫鎺缀螆D形的許多問(wèn)題，如：長(zhǎng)度、周長(zhǎng)、面積、角度等問(wèn)

題，最后都轉(zhuǎn)化到三角形中解決．古人對(duì)任意形狀的三角形，探究出若已知三邊，便可以求出其面積．具

1

體如下：設(shè)一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，P(abc)，則有下列面積公式：

2

1a2＋b2－c2

SP(P－a)(P－b)(P－c)（海倫公式）；S[a2b2－()2]（秦九韶公式）．

42

(1)一個(gè)三角形邊長(zhǎng)依次是5、6、7，利用兩個(gè)公式，可以求出這個(gè)三角形的面積；

(2)學(xué)完勾股定理以后，已知任意形狀的三角形的三邊長(zhǎng)也可以求出其面積．如圖，在ABC中，AB15，

BC14，AC13，求ABC的面積和BC邊上得高AD的長(zhǎng)．

【答案】(1)66(2)ABC的面積為84；BC邊上得高AD的長(zhǎng)為12

【分析】（1）利用兩個(gè)公式分別代入即可；

2222

（2）設(shè)BDx，則DC14x，利用勾股定理得AD2AC2CD2，AD2AB2BD2，即13(14x)15x，

求解得x9，即BD9，再利用勾股定理求解，然后利用三角形面積公式求出其面積即可．

11

【詳解】（1）解：Pabc5679，

22

由海倫公式可得SP(Pa)(Pb)(Pc)9(95)(96)(97)66；

22222222

122abc122567

由秦九昭公式可得Sab5666．

4242

（2）解：設(shè)BDx，則DC14x，ADBC，AD2AC2CD2，AD2AB2BD2，

132(14x)2152x2，解得x9；∴BD9

11

∴2222．∴．

ADABBD15912SABCBCAD141284

22

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理以及三角形面積求法，正確掌握三角形面積公式和勾股定理是解題的關(guān)鍵．

例5．（2023·北京市·九年級(jí)校考期末）關(guān)于三角函數(shù)有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α

﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；tan（α+β）

tantan

＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用這些公式可以將一些角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)

1tantan

1133

來(lái)求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝+＝1，利用上述公式計(jì)算下

2222

6+262

列三角函數(shù)①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣3，③sin15°＝，④cos90°＝0，其中正確的

44

個(gè)數(shù)有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【答案】D

【分析】直接利用已知公式法分別代入計(jì)算得出答案．

32126+2

【詳解】①sin105°=sin（60°+45°）=sin60°cos45°+cos60°sin45°==，故此選項(xiàng)正確；

22224

tan45tan601+3(1+3)2

②tan105°=tan（60°+45°）====-2-3，故此選項(xiàng)正確；

1tan45tan60132

321262

③sin15°=sin（60°-45°）=sin60°cos45°-cos60°sin45°==，故此選項(xiàng)正確；

22224

2222

④cos90°=cos（45°+45°）=cos45°cos45°-sin45°sin45°==0，故此選項(xiàng)正確；

2222

故正確的有4個(gè)．故選D．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值以及公式的應(yīng)用，正確應(yīng)用公式是解題關(guān)鍵．

例6．（2023年四川省廣元市中考真題數(shù)學(xué)試題）“一縷清風(fēng)銀葉轉(zhuǎn)”，某市20臺(tái)風(fēng)機(jī)依次矗立在云遮霧繞的

山脊之上，風(fēng)葉轉(zhuǎn)動(dòng)，風(fēng)能就能轉(zhuǎn)換成電能，造福千家萬(wàn)戶．某中學(xué)初三數(shù)學(xué)興趣小組，為測(cè)量風(fēng)葉的長(zhǎng)

度進(jìn)行了實(shí)地測(cè)量．如圖，三片風(fēng)葉兩兩所成的角為120，當(dāng)其中一片風(fēng)葉OB與塔干OD疊合時(shí)，在與塔

底D水平距離為60米的E處，測(cè)得塔頂部O的仰角OED45，風(fēng)葉OA的視角OEA30．

(1)已知α，β兩角和的余弦公式為：coscoscossinsin，請(qǐng)利用公式計(jì)算cos75；

(2)求風(fēng)葉OA的長(zhǎng)度．

62

【答案】(1)(2)風(fēng)葉OA的長(zhǎng)度為60360米

4

【分析】（1）根據(jù)題中公式計(jì)算即可；（2）過(guò)點(diǎn)A作AFDE，連接AC，OGAC，先根據(jù)題意求出OE，

再根據(jù)等腰對(duì)等邊證明OEAE，結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)論用三角函數(shù)即可求EF，再證明四邊形DFAG是矩形，

即可求出．

【詳解】（1）解：由題意可得：cos75cos4530，

232162

∴cos4530cos45cos30sin45sin30；

22224

（2）解：過(guò)點(diǎn)A作AFDE，連接AC，OGAC，如圖所示，

DE60

OE602

由題意得：DE60米，OED45，∴cos452米，DOE45，

2

∵三片風(fēng)葉兩兩所成的角為120，∴DOA120，∴AOE1204575，

又∵OEA30，∴OAE180753075，∴OAEAOE，∴OEAE602米，

62

∵OEA30，OED45，∴AED75，由（1）得：cos75，

4

∴EFAEcos7530330米，∴DFDEEF603033090303米，

∵AFDE，OGAC，ODDE，∴四邊形DFAG是矩形，∴AGDF90303米，

∵三片風(fēng)葉兩兩所成的角為120，且三片風(fēng)葉長(zhǎng)度相等，∴OAG30，

AG90303

OA60360

∴cos303米，∴風(fēng)葉OA的長(zhǎng)度為60360米．

2

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意和作出輔助線是關(guān)鍵．

例7．（2023·四川宜賓·?？既＃┩ㄟ^(guò)學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊

長(zhǎng)的比值相互唯一確定，因此邊長(zhǎng)與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角

之間的聯(lián)系．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)（sad）．如果ABC中，ABAC，

底邊BC

那么頂角A的正對(duì)記作sadA，這時(shí)sadA=．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互

腰AB

3

唯一確定的．根據(jù)上述角的正對(duì)定義，填空：如果A的正弦函數(shù)值為，那么sadA的值為．

5

【答案】10

5

【分析】過(guò)點(diǎn)B作BDAC于D，利用A的正弦函數(shù)值，設(shè)出BD、AB的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出AD、CD，

最后根據(jù)sadA的規(guī)定求值即可．

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作BDAC于D，如圖所示，

3

sinA，設(shè)BD3k,AB5k，AD(5k)2(3k)24k，

5

ABAC5k，CDk，BC(3k)2k210k，

BC10k1010

sadA；故答案為：．

AB5k55

【點(diǎn)睛】此題是新定義運(yùn)算題，主要考查了等腰三角形的定義、勾股定理和三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握勾

股定理、三角函數(shù)的定義以及新定義運(yùn)算的規(guī)定是解答此題的關(guān)鍵．

例8．（2022春·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下列材料：

在學(xué)習(xí)完銳角三角函數(shù)后，老師提出一個(gè)這樣的問(wèn)題：如圖1，在RtABC中，ACB90,AB1,A，

求sin2（用含sinα,cosα的式子表示）．

聰明的小雯同學(xué)是這樣考慮的：如圖2，取AB的中點(diǎn)O，連接OC，過(guò)點(diǎn)C作CDAB于點(diǎn)D，則COB2，

然后利用銳角三角函數(shù)在RtABC中表示出AC,BC，在RtACD中表示出CD，則可以求出

CDsinACsincos

sin22sincos

OC11．

22

閱讀以上內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：在RtABC中，C90,AB1．

1

（1）如圖3，若BC，則sin__，sin2_____；

3

（2）請(qǐng)你參考閱讀材料中的推導(dǎo)思路，求出tan2的表達(dá)式（用含sin,cos的式子表示）．

1422cossin

【答案】（1）；；（2）tan22

3912(sin)

【分析】（1）根據(jù)勾股定理求得AC，再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求得sin和cos，再根據(jù)sin22sincos

11

求解即可；（2）取AB的中點(diǎn)O，連接OC，過(guò)點(diǎn)C作CDAB于點(diǎn)D，則COB2，OCAB，

22

在RtACD中表示出CD，勾股定理求得OD，即可求解．

22

【詳解】解：（1）由勾股定理可得：ACAB2BC2

3

BC1AC22

由三角函數(shù)的定義可得sin，cos

AB3AB3

42142

由材料可得：sin22sincos故答案為；

939

（2）取AB的中點(diǎn)O，連接OC，過(guò)點(diǎn)C作CDAB于點(diǎn)D，如下圖：

11

則COB2，OCOBAB，290，45

22

在RtABC中，ACcos，BCsin在RtACD中，CDACsincossin，

1

在Rt△CBD中，BDBCsin(sin)2，則ODOCBD(sin)2

2

CDcossin2cossin

tan22cossin

2

則OD1212(sin)故答案為tan22

(sin)12(sin)

2

【點(diǎn)睛】此題考查了三角函數(shù)定義的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是是熟練掌握三角函數(shù)的定義，作輔助線作所求角

的直角三角形．

例9．（2022·重慶·?？家荒＃┎牧弦唬鹤C明：sin2cos21．

證明：如圖，作∠BAC=∠a，在射線AC上任意取一點(diǎn)D(異于點(diǎn)A)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E．

DEAEDE2AE2

∵DE⊥AB于點(diǎn)EsinBAC，cosBACsin2BAC，cos2BAC

ADADAD2AD2

DE2AE2DE2AE2AD2

∵在Rt△ADE中，DE2+AE2=AD2sin2BACcos2BAC1

AD2AD2AD2AD2

∵∠BAC=∠a∴sin2cos21．

材料二：學(xué)習(xí)了三角函數(shù)之后，我們知道，在直角三角形中，知道了一個(gè)直角三角形的兩條邊的長(zhǎng)或知道

直角三角形的一條邊的長(zhǎng)及其一個(gè)銳角的度數(shù)，我們可以求出這個(gè)直角三角形其它邊的長(zhǎng)度和其它角的度

數(shù)；由“SAS”定理可知，如果一個(gè)三角形的兩條邊的長(zhǎng)度及其這兩條邊的夾角的度數(shù)知道了，那么這個(gè)三角

形的第三條邊一定可以求出來(lái).

應(yīng)用以上材料，完成下列問(wèn)題：(1)如圖，在△ABC中，AC=4，BC=6，∠C=60°，求AB的長(zhǎng)．

(2)在（1）題圖中，如果AC=b，BC=a，∠C=a，你能用a，b和cosa表示AB的長(zhǎng)度嗎？如果可以，寫(xiě)出推

導(dǎo)過(guò)程；如果不可以，說(shuō)明理由．

【答案】(1)27(2)能，過(guò)程見(jiàn)解析

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)A作ADBC于點(diǎn)D，根據(jù)解直角三角形即可求得；

(2)過(guò)點(diǎn)A作ADBC于點(diǎn)D，根據(jù)解直角三角形即可求得．

【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)A作ADBC于點(diǎn)D

31

AD=ACsin60423，CD=ACcos6042

22

2

DB=CBCD=62=4AB=AD2DB2=2342=27

（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作ADBC于點(diǎn)D

AD=ACsinbsin，CD=ACcosbcosDB=CBCD=abcos

22

AB=AD2DB2=bsinabcos

b2sin2a22abcosb2cos2b2a22abcos．

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，作出輔助線，構(gòu)造直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．

例10．（2023春·湖北·九年級(jí)專題練習(xí)）在初中，我們學(xué)習(xí)過(guò)銳角的正弦、余弦、正切和余切四種三角函數(shù)，

即在圖1所示的直角三角形ABC，A是銳角，那么sinAA的對(duì)邊斜邊，cosAA的鄰邊斜邊，

tanAA的對(duì)邊A的鄰邊．為了研究需要，我們?cè)購(gòu)牧硪粋€(gè)角度÷來(lái)規(guī)定一個(gè)角的三角函數(shù)的÷意義：設(shè)

有一個(gè)角α，我們以÷它的頂點(diǎn)作為原點(diǎn)，以它的始邊作為x軸的正半軸ox，建立直角坐標(biāo)系（圖2），在角α

的終邊上任取一點(diǎn)P，它的橫坐標(biāo)是x，縱坐標(biāo)是y，點(diǎn)P和原點(diǎn)(0,0)的距離為r=x2y2（r總是正的），

yxy

然后把角α的三角函數(shù)規(guī)定為：sin，cos，tan．我們知道，圖1的四個(gè)比值的大小與角A

rrx

的大小有關(guān)，而與直角三角形的大小無(wú)關(guān)，同樣圖2中四個(gè)比值的大小也僅與角α的大小有關(guān)，而與點(diǎn)P在

角α的終邊位置無(wú)關(guān)．比較圖1與圖2，可以看出一個(gè)角的三角函數(shù)的意義的兩種規(guī)定實(shí)際上是一樣的，根

據(jù)第二種定義回答下列問(wèn)題：

(1)若90180，則角α的三角函數(shù)值sin、cos、tan，其中取正值的是；

(2)若角α的終邊與直線y2x重合，則sin+cos的值；

1

(3)若角α是鈍角，其終邊上一點(diǎn)P(x,2)，且cos=x，求tan的值；

3

(4)若090，則sin+cos的取值范圍是．

353525

【答案】(1)sin(2)或(3)tan(4)1sincos2

555

【分析】（1）由題意可得r0，y0，x<0，然后依據(jù)定義進(jìn)行判斷即可；（2）設(shè)點(diǎn)Px,2x，則r=5x，

然后分為x0和x<0兩種情況求解即可；（3）由題意可得r=3，然后依據(jù)定理列出關(guān)于x的方程，從而求

出x的值，然后依據(jù)正切的定義求解即可；（4）依據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得xyr，然后再得到

xy2

sincos=xy

22，再求得的取值范圍，即可求得結(jié)果．

xyx2y2

【詳解】（1）解：當(dāng)90180時(shí)，r0，y0，x0，

yxy

sin=0，cos0，tan=0，故答案為：sin．

rrx

2

（2）解：若角α的終邊與直線y2x重合，Px,2x，r=x22x=5x，

∵2xx352xx35

當(dāng)x0時(shí)，sincos==，當(dāng)x0時(shí)，sincos==，

5x5x55x5x5

3535

sincos的值為或．

55

x1

（3）解：cos=，點(diǎn)P(x,2)，且cos=x，

r3

225

x2223，x5（正值舍去），tan．

x5

yxxyxy

（4）解：sincos，x+yr，sincos1，

rrrx2y2

2x+y

222x+y2xy2

xy0，xy2xy，又=111=2，22

x2y2x2y2xy

1sincos2，故答案為：1sincos2．

【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義及完全平方公式，理解三角函數(shù)的定義是解題的

關(guān)鍵．

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1．（2023秋·廣東東莞·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀材料：余弦定理是描述三角形中三邊長(zhǎng)度與一個(gè)角余弦值

關(guān)系的數(shù)學(xué)定理，運(yùn)用它可以解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者已知三邊求角的問(wèn)題．余弦定

理是這樣描述的：在ABC中，A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，則三角形中任意一邊的平方等

于另外兩邊的平方和減去這兩邊及這兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍．用公式可描述為：

a2b2c22bccosA；b2a2c22accosB；c2a2b22abcosC；現(xiàn)已知在ABC中，AB2，BC4，

A60，則AC的長(zhǎng)為（）

A．23B．131C．131D．32

【答案】B

【分析】利用公式直接解答即可．

【詳解】解：∵AB2，BC4，∴c2,a4，

2221

∵a2b2c22bccosA，∴4b222b，整理得，b22b120，

2

解得b131或113（負(fù)值舍去），故選：B．

【點(diǎn)睛】此題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用、解一元二次方程，正確理解公式并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．

2．（2020·四川廣元市·中考真題）規(guī)定：

sinxsinx,cosxcosx,cosxycosxcosysinxsiny給出以下四個(gè)結(jié)論：（1）

1

sin30；（2）cos2xcos2xsin2x；（3）cosxycosxcosysinxsiny；（4）

2

62

cos15其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

4

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)題目所規(guī)定的公式，化簡(jiǎn)三角函數(shù)，即可判斷結(jié)論．

1

【詳解】解：（1）sin30sin30，故此結(jié)論正確；

2

22

（2）cos2xcosxxcosxcosxsinxsinxcosxsinx，故此結(jié)論正確；

（3）cosxycosxycosxcosysinxsinycosxcosysinxsiny故此結(jié)論正確；

232162

（4）cos15=cos4530=cos45cos30sin45sin30

222244

62

，故此結(jié)論錯(cuò)誤.故選：C．

4

【點(diǎn)睛】本題屬于新定義問(wèn)題，主要考查了三角函數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，

理解題中公式.

3．（2023年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)真題）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)學(xué)九章》一書(shū)中，給

2

222

出了這樣的一個(gè)結(jié)論：三邊分別為、、的的面積為122abc．的邊

abcABCS△ABCabABC

22

111

a、b、c所對(duì)的角分別是∠A、∠B、∠C，則SabsinCacsinBbcsinA．下列結(jié)論中正確的

△ABC222

是（）

a2b2c2a2b2c2a2b2c2a2b2c2

A．cosCB．cosCC．cosCD．cosC

2ab2ab2ac2bc

【答案】A

【分析】本題利用三角函數(shù)間的關(guān)系和面積相等進(jìn)行變形解題即可．

2

2221

【詳解】解：∵122abc，，

S△ABCabSABCabsinC

222

2

2222222

122abc122abc222

∴ababsinC即ababsinC，

2222

22

222222222

222abc2abcabc

ab1sinC，cosC，cosC故選：A．

22ab2ab

【點(diǎn)睛】本題考查等式利用等式的性質(zhì)解題化簡(jiǎn)，熟悉sin2Ccos2C1是解題的關(guān)鍵．

4．（2023·安徽滁州·?？级＃┮阎切蔚娜呴L(zhǎng)分別為a、b、c，求其面積問(wèn)題．中外數(shù)學(xué)家曾經(jīng)進(jìn)行

abc

過(guò)深入研究，古希臘的幾何學(xué)家海倫給出求其面積的海倫公式S=p(pa)(pb)(pc)，其中p=；

2

1a2b2c2

我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求其面積的秦九韶公式S=a2b2()2，若

22

一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為5，6，7，則其面積是（）

1161115

A．66B．615C．D．

22

【答案】A

【分析】根據(jù)題目中的秦九韶公式，可以求得一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為5，6，7的面積，從而可以解答

本題．

1a2b2c2

【詳解】∵S=a2b2()2∴若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為5，6，7，

22

15262721

則面積是：S=5262()29003666，故選A.

222

【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于結(jié)合題意列相應(yīng)的二次根式并將其化簡(jiǎn).

5．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考二模）一般地，當(dāng)α、β為任意角時(shí)，tan（α+β）與tan（α-β）的值可以用下面的公

tantan

式求得：tan（α±β）=．例如：tan15°=tan（45°-30°）

1tantan

3

12

tan45tan30333(33)

=====2-3．請(qǐng)根據(jù)以上材料，求得tan75°的值為．

3333333

1tan45tan3011

3

【答案】2+3．

3tan45+tan30

【分析】根據(jù)給定的公式，將tan451，tan30代入tan75中計(jì)算化簡(jiǎn)即可．

31tan45tan30

3

12

tan45tan30333(33)

【詳解】解：tan75°=tan（45°+30°）=====2+3．

1tan45tan303333333

11

3

故答案為：2+3．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的計(jì)算以及用平方差公式進(jìn)行分母有理化，讀懂新定義的含義是關(guān)鍵.

6．（2023·河北石家莊·九年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下面的材料，先完成閱讀填空，再按要求答題．

sin230°＋cos230°＝；

sin245°＋cos245°＝；

sin260°＋cos260°＝；

……

觀察上述等式，猜想：對(duì)任意銳角A，都有sin2A＋cos2A＝．

【答案】1111

13

【詳解】sin230°＋cos230°＝()2()2=1，

22

22

sin245°＋cos245°＝()2()2=1，

22

31

sin260°＋cos260°＝()2()2=1，

22

即可猜想出：對(duì)任意銳角A，都有sin2Acos2A1.故答案為：1；1；1；1

7．（2023秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）定義一種運(yùn)算：sinsincoscossin，

321262

sinsincoscossin．例如：當(dāng)60，45時(shí)，sin6045，

22224

則sin75的值為．

【答案】62

4

【分析】根據(jù)754530和新定義，代入計(jì)算即可．

【詳解】解：sin75sin4530sin45cos30cos45sin30

23216262

，故答案為：．

222244

【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算，涉及新定義，解題的關(guān)鍵是掌握特殊角的三角函數(shù)值，能

準(zhǔn)確進(jìn)行二次根式的計(jì)算．

8．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）同學(xué)們，在我們進(jìn)入高中以后，還將學(xué)到下面三角函數(shù)公式：

sinsincoscossin，sinsincoscossin，

coscoscossinsin，coscoscossinsin．例：

621

sin15sin4530sin45cos30cos45sin30．若已知銳角滿足條件sin，則

43

sin2．

【答案】42

9

1

【分析】先根據(jù)sin求出cos，把sin2變?yōu)閟in，然后根據(jù)sinsincoscossin計(jì)

3

算即可．

【詳