微電子器件 （1-3）半導(dǎo)體器件的計(jì)算機(jī)模擬

由1.6可知，描述半導(dǎo)體器件特性的基本方程是泊松方程、輸運(yùn)方程和連續(xù)性方程。要得出器件的電學(xué)性能就需要求解該偏微分方程組。在實(shí)際器件分析設(shè)計(jì)過程中，偏微分方程的解析求解只能在各種理想條件下作近似分析求解，這樣得出的結(jié)論往往缺乏普遍價(jià)值。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，采用計(jì)算機(jī)來對(duì)半導(dǎo)體基本方程進(jìn)行數(shù)值求解，從而得出器件外部特性和內(nèi)部物理量分布，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)器件特性的分析和優(yōu)化，已經(jīng)成為現(xiàn)代微電子器件設(shè)計(jì)分析的必備手段。1.7半導(dǎo)體器件的計(jì)算機(jī)模擬傳統(tǒng)微電子器件的研發(fā)過程現(xiàn)代微電子器件的研發(fā)過程1、微電子器件研發(fā)流程演變器件模擬實(shí)際上是通過計(jì)算機(jī)軟件對(duì)1.6節(jié)描述器件性能的泊松方程、輸運(yùn)方程和連續(xù)性方程進(jìn)行數(shù)值求解，得到器件的電參數(shù)。所涉及到的知識(shí)點(diǎn)大致包括偏微分方程的離散化，模擬區(qū)域的網(wǎng)格劃分，對(duì)離散后得到非線性方程組，用Newton法、Gummel法等方法求解。設(shè)函數(shù)ψ(x)滿足以下的二階常數(shù)微分方程：其自變量x的區(qū)間是0≤x≤L，ψ(x)在邊界上取值：ψ(0)=ψ0，ψ(L)=ψL

。2、微分方程的有限差分求解整個(gè)區(qū)域

[0，L]等分為N段，共N+1個(gè)離散點(diǎn)xl(l=0,1,2,…N)，每一離散點(diǎn)稱為網(wǎng)格點(diǎn)，相鄰網(wǎng)格點(diǎn)間的距離xl+1-xl=△x。首末網(wǎng)格點(diǎn)位于邊界，x0=0，xN=L。函數(shù)ψ(x)在網(wǎng)格點(diǎn)xl+1的值可以展開成式中，0＜θl＜1，為方便，用ψl代替ψ(xl)，則上式為近似可以得到函數(shù)ψ(x)的一階導(dǎo)數(shù)有限差分表達(dá)式：可見，如果△x越小，網(wǎng)格越密，誤差越小。以上為前差分近似，同樣也可得到后差分近似如下：誤差為如果泰勒展開取更高次項(xiàng)，得出中心差分近似為：兩式相減，可得中心差分近似誤差為可見，誤差與△x的平方成正比，精確度大大提高。二階導(dǎo)數(shù)的有限差分近似為得到二階導(dǎo)數(shù)的有限差分近似表達(dá)式，需要泰勒展開成更高的項(xiàng)，即兩式相加，則包含一階和三階導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)抵消，得出二階導(dǎo)數(shù)有限差分近似的誤差為即二階導(dǎo)數(shù)有限差分近似與一階導(dǎo)數(shù)中心差分近似的誤差都與△x的平方成正比。3、微分方程的有限差分法求解對(duì)網(wǎng)格點(diǎn)xl

，微分方程可以寫為其中，fl是f(x)在xl的值。帶入二階導(dǎo)數(shù)有限差分近似，得這就是原方程的有限差分表達(dá)式，在整個(gè)區(qū)間[0，LX]，共有L+1個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)xl(l=0,1,2,…L)，其中ψ(x0)=ψ0，ψ(xl)=ψLX是邊界條件

，所以ψ(xl)待求的網(wǎng)格點(diǎn)有L-1個(gè)，對(duì)L-1個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)寫出有限差分表達(dá)式，得這樣，就把微分方程轉(zhuǎn)化為現(xiàn)行方程組，該方程組有L-1個(gè)變量，L-1個(gè)方程?？梢詫⒎匠探M寫成矩陣形勢：其中：3、器件模擬的網(wǎng)格劃分半導(dǎo)體器件的計(jì)算機(jī)模擬，就是給定器件結(jié)構(gòu)、雜質(zhì)分布和偏置狀況，通過對(duì)半導(dǎo)體基本方程的有限差分離散化，轉(zhuǎn)化為線性方程組，由計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算求解，從而得到器件外部特性和內(nèi)部參數(shù)。半導(dǎo)體基本方程的數(shù)值求解首先需要對(duì)器件模擬區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格劃分，求解得到的是網(wǎng)格點(diǎn)上的器件特性。每一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)對(duì)應(yīng)于離散化方程組中的一個(gè)未知量，就需要一個(gè)方程來求解。劃分合適的網(wǎng)格，