圓錐曲線綜合大題歸類-2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（解析版）

專題8-1圓錐曲線綜合大題歸類

目錄

講高考....................................................................................1

題型全歸納...............................................................................9

【題型一】求根型.................................................................9

【題型二】最值型................................................................13

【題型三】多斜率計(jì)算型..........................................................18

【題型四】韋達(dá)定理復(fù)雜轉(zhuǎn)化型....................................................22

【題型五】線段（向量）定比型....................................................25

【題型六】求軌跡方程型..........................................................29

【題型七】定點(diǎn)定值定曲線型......................................................34

【題型八】非對(duì)稱非偉達(dá)型........................................................38

專題訓(xùn)練........................................................................41

講高考

1.（普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（理）試題（山東卷））已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)12J,且與直線

x=-Pn

2相切，其中。

（1）求動(dòng)圓圓心C的軌跡的方程；

（2）設(shè)42是軌跡C上異于原點(diǎn)。的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線O/和03的傾斜角分別為e和萬(wàn)，當(dāng)

%月變化且1+6為定值外0＜6〈兀）時(shí)，證明直線N8恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】（1）/=2/（？＞0）；

（2）當(dāng)6*5時(shí)，直線工8恒過定點(diǎn)（-2〃熹］,當(dāng)6=］時(shí)，直線恒過定點(diǎn)（-2“0）；詳見

解析.

【分析】（1）根據(jù)拋物線定義即得；

（2）由題意知直線48的斜率存在，從而設(shè)N8方程為歹=履+以聯(lián)立拋物線方程利用韋達(dá)

定理法結(jié)合條件可表示出6,進(jìn)而即得.

【詳解】（1）由題可知?jiǎng)訄A圓心C到定點(diǎn)仁。）的距離與定直線x的距離相等，

由拋物線的定義知，點(diǎn)C的軌跡為拋物線，其中為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，

所以動(dòng)圓圓心C的軌跡方程為V=2力（。＞0）；

（2）設(shè)/（再,%）,8（%2，%），由題意得無(wú)產(chǎn)x?（否則a+￡=兀），且無(wú)“/HO,

由題意知直線的斜率存在，從而設(shè)的方程為〉=h+6,顯然西==1戶2=卓，

2p2p

將歹二丘+6與V=20x（p〉0）聯(lián)立消去x,得.2_2py+2Pb=o,

由韋達(dá)定理知必+%=-^,yx,y2=—,

/tK

因?yàn)閍+,為定值。（0＜。＜兀）,

1

八/6tana+tan?:X[%2。?+%)

當(dāng)時(shí)，tan，=tan(a+p]=--------------—

1-tancrtan.!_A.AM%-4p2

再x2

2P

b-2kp

所以六蓋+2切,

所以直線"的方程為y*+襦+2則即匕襦=小+20,

所以直線N8恒過定點(diǎn)-2p,

當(dāng)。=彳時(shí)，則&?匹=1,可得6=2切，直線ZB的方程為丁=Q+2p),恒過定點(diǎn)(-2p,0),

2玉々

綜上，當(dāng)夕2]時(shí)，直線Z3恒過定點(diǎn)(-2〃襦)，當(dāng)夕=；時(shí)，直線N8恒過定點(diǎn)(-2“0).

22

E\—+^-r-=l(tz>/)>0)

2.(2021年北京市高考數(shù)學(xué)試題)已知橢圓。b2一個(gè)頂點(diǎn)“(。，-2),以

橢圓E的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為4火.

(1)求橢圓E的方程；

(2)過點(diǎn)尸(0,-3)的直線/斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)瓦C,直線/瓦AC

分別與直線交尸-3交于點(diǎn)M,N,當(dāng)1PM+EMW15時(shí)，求后的取值范圍.

/2

【答案】(1)—+—V=1；(2)[-3,-1)0(1,3].

54

【分析】(1)根據(jù)橢圓所過的點(diǎn)及四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積可求從而可求橢圓的

標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)設(shè)8(國(guó),%)((%,%),求出直線48,/C的方程后可得的橫坐標(biāo)，從而可得

怛M+|PN|,聯(lián)立直線2C的方程和橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)1PM+|尸N|,從而可求左

的范圍，注意判別式的要求.

【詳解】(1)因?yàn)闄E圓過/(0,-2),故6=2,

因?yàn)樗膫€(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為4VL故;*2"26=4括，即°=右，

22

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：二+匕=1.

54

(2)

2

一"

MNP

設(shè)3（X],%）,C（X2，%）,

因?yàn)橹本€8c的斜率存在，故占X2#0,

V,+2x,

故直線N2：y=X2,令y--3,則與=,同理0=2.

X]必+2%+2

直線3。子=6一3,由1:二左一；可得（4+5〃b2

-30Ax+25=0,

[4x+5^=20'7

故A=900左2一100（4+5的＞0,解得左＜—1或后＞1.

立30k25,,八s、i

—,1n

又.X|+%2z,%i%2—4.2故^再“2〉0，所以XM*N＞.

又1尸網(wǎng)+|阿|=島+苫/=f+上、

%十/%十/

50k30左

_占?3_2g%-（西+尤2）=4+5嚴(yán)4+5/

=5陽(yáng)

2

丘1一1Ax2-1X{X2-k（XX+X2125k230k?十1

4+5后24+5左2

故5%歸15即網(wǎng)V3,

綜上，一3W左＜一1或1〈人＜3.

1/

3.（2021年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）如圖，已知尸是拋物線歹=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，河是拋

物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，且W?=2,

3

（1）求拋物線的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)尸的直線交拋物線與/、B兩點(diǎn),斜率為2的直線/與直線〃4M8,,x軸

依次交于點(diǎn)尸，Q,R,N,且忸時(shí)=|尸NH例，求直線/在x軸上截距的范圍.

【答案】（1）y23*5=4x；(2)(-?,-7-4>/3]U[-7+4A/3,1)U(1,+?).

【分析】（1）求出。的值后可求拋物線的方程.

（2）方法一：設(shè)/8:x=W+l,A（x1,y1）,B（x2,y2）,N（n,0）,聯(lián)立直線48的方程和拋物

線的方程后可得%力=-4,弘+力=4，求出直線從4MB的方程，聯(lián)立各直線方程可求出

n+\23+4產(chǎn)

力,先，打，根據(jù)題設(shè)條件可得;——石，從而可求〃的范圍.

（21）

【詳解】（1）因?yàn)閨MF|=2,故。=2,故拋物線的方程為：y2=4x.

（2）［方法一］:通式通法

l^AB:x=ty+l,4（%,月）,3（工2，%）,N（〃,0）,

所以直線/：x=」+〃，由題設(shè)可得”"且

22

x=ty+\.

由64x可得廠的-4=0,故%/=一4,乂+力=匕

因?yàn)閨RN|2=|7WH0N，故［卜鼻為

必

y=

必石+1,2(H+1)V

又=(%+1),由v可得1

再+1

x=上+〃

2

2(〃+1)為

同理%J

2x2+2-y2

%=W+1

2(~1)

由，彳_2：+力可得為=

2/-1

2

2

2(1)2(〃+1)乃xN"+D%

所以

2Z-12毛+2-%2%+2—弘

n-1；=（2f

整理得到

n+1(29+2-%)(2再+2-必)

4⑵7)2

j2f

2r

4(2/-1)2⑵-咪

223+4產(chǎn)

苧+U+P1)2-力弘-X弘%-2(%+乂)+4

n+\23+4〃

故

(2—廣

5+1

令s=2/—1,貝!)%=---且sw0,

2

4

33

H—>-

44

>-M+I4Z+GO

4BPLI

〃w1

解得z?<-7-4G或-7+4百W〃<1或〃>L

故直線/在x軸上的截距的范圍為〃4一7一46或一7+46=〃<1或

［方法二］:利用焦點(diǎn)弦性質(zhì)

設(shè)直線N8的方程為X=K〉+1,直線M4的方程為％=總》一1，直線的方程為工二句7-1，

直線/的方程為x=^■+7%/］?,弘亍,％；N(加,0),由題設(shè)可得〃?H1且左*y.

由1'得/——4=0,所以K+%=優(yōu),乂%=Y?

五+1

因?yàn)橹?\="+_1,%」+1

---------1--------

M4M4%

%+%

k2+質(zhì)=乂+—+—+—

4必4%4“%

(必+%)2

A+lY^+-k^+-1

k2k3+-----

[4yj[4yj164"2

x=%2>—1，m+1

由<y得『1.

x=——\-m仁「大

I22

m+1

同理j=;一r.

x=k{y+l,_m—1

由y得力=

K

x=—■I-m-2

I2

因?yàn)閨RV|2=|PN|“0N|,

(Y

cvyt-1(m+1)2(m+1)2

所以力=一乃>?坨即—f

令公后「；，則［皿］/+%+1

2-1)

所以I二片+晚。,‘解得正-7-班或-7+4^加<1或〃>1.

故直線/在X軸上的截距的范圍為(f-7-0)U［-7+473,1)U(l,田)?

［方法三］【最優(yōu)解】:

5

設(shè)2a）（"0）,8.2,2耳,

2b-2a22a

由4尸,8三點(diǎn)共線得,BPab=-\.

b2-a2Q+6Q2—1

2a

所以直線M4的方程為>=（x+l）,直線MB的方程為歹=4彳（》+1）=?\（》+1）,直

a2+1b+1a

線的方程為了=?7（》-1）.

a-I

設(shè)直線/的方程為y=2x+加（加w-2）,

_（2-w）g_（m-2）g_（-2-w）g__m

則》一口—TTY/。__2,c~~2—--7，xN―_V

Q—a+1Q+Q+1CL—ci—\2

（2+加）2〃2（2—冽）2/

所以|RV|2=|PN|.|QN|O

Q2_Q_1『(/+]『一a2?

2

2

2G---1

2+m/_a_1a4

故Ga--eR）.

|2J-+3-入3o,§（其中:

2-m/+1\-a2a

QH-----

a

所以加￡（f14—8g]U[14+8g,欣）.

因此直線l在x軸上的截距為e(-8,-7-4C]U[-7+473,1)U(1,+8).

【整體點(diǎn)評(píng)】本題主要是處理共線的線段長(zhǎng)度問題，主要方法是長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為坐標(biāo).

方法一：主要是用/(國(guó),弘),8(%,%)坐標(biāo)表示直線朋4人力，利用弦長(zhǎng)公式將線段長(zhǎng)度關(guān)系

轉(zhuǎn)為縱坐標(biāo)關(guān)系，再將所求構(gòu)建出函數(shù)關(guān)系式，再利用換元法等把復(fù)雜函數(shù)的范圍問題轉(zhuǎn)化

為常見函數(shù)的范圍.

方法二：利用焦點(diǎn)弦的性質(zhì)求得直線〃4兒必的斜率之和為0,再利用線段長(zhǎng)度關(guān)系即為縱

坐標(biāo)關(guān)系，再將所求構(gòu)建出函數(shù)關(guān)系式，再利用換元法等把復(fù)雜函數(shù)的范圍問題轉(zhuǎn)化為常見

函數(shù)的范圍.

方法三：利用點(diǎn)43在拋物線上，巧妙設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，借助于焦點(diǎn)弦的性質(zhì)求得點(diǎn)48橫坐標(biāo)的

關(guān)系，這樣有助于減少變?cè)?，再將所求?gòu)建出函數(shù)關(guān)系式，再利用換元法等把復(fù)雜函數(shù)的范

圍問題轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)的范圍.

4.(2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)(文)試題)已知拋物線°：必=2"(0>0)的焦點(diǎn)/到準(zhǔn)線

的距離為2.

(1)求C的方程；

(2)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)尸在C上，點(diǎn)。滿足而=9行，求直線。。斜率的最大值.

【答案】(1)y2=4x；(2)最大值為;.

【分析】(1)由拋物線焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離即可得解；

(2)設(shè)。伉,%),由平面向量的知識(shí)可得尸(10%-9,10%),進(jìn)而可得看=25；：+%再由

斜率公式及基本不等式即可得解.

【詳解】(1)拋物線。：產(chǎn)=2/5>0)的焦點(diǎn)尸(彳,0],準(zhǔn)線方程為x=-],

由題意，該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為孑-[-￡|=P=2,

所以該拋物線的方程為/=4x；

(2)[方法一]:譬方里?基本不等式法

設(shè)。(%,然),則改=9/=(9-9%,-9%),

所以尸(10%-9,10%),

6

由尸在拋物線上可得（10%『=4（10x0-9）,即X。=25；：+9,

7Q

據(jù)此整理可得點(diǎn)。的軌跡方程為必=（X-5，

kM10%

所以直線。。的斜率。。一x°-25以+9-25M+9，

10

當(dāng)乂）=。時(shí)，k0Q=0；

,10

當(dāng)30時(shí)，。2—25%+2,

%

當(dāng)盟>0時(shí)，因?yàn)?5%+22225%?2=30,

%\%

193

此時(shí)0<自當(dāng)且僅當(dāng)25%=一,即為=?時(shí)，等號(hào)成立;

3%）5

當(dāng)外<0時(shí)，自2<0;

綜上，直線。。的斜率的最大值為:

［方法二］:【最優(yōu)解】軌跡方程+數(shù)形結(jié)合法

同方法一得到點(diǎn)。的軌跡方程為/-福.

設(shè)直線。。的方程為>=丘，則當(dāng)直線。。與拋物、線2-福9相切時(shí)，其斜率后取到最

y—kx,2

值.聯(lián)立229得心2-，+4=0,其判別式A=（二］一止義2=0,解得左=±5,

N=丁-玉，525I5；253

所以直線。。斜率的最大值為;.

［方法三］:軌跡方程+換元求最值法

同方法一得點(diǎn)Q的軌跡方程為/

設(shè)直線的斜率為比貝=2一-

4-={o</<^］則產(chǎn)的對(duì)稱軸為/=：,所以ov左2w1,_Jv左wj.

（故直

XIy）2,JJyy33

線。。斜率的最大值為;.

［方法四］:參數(shù)+基本不等式法

由題可設(shè)尸（4匕4。?>0）,0（羽了）.

因?yàn)槭?,0）,歷=9中，所以卜一4?/-町=9（1一x,—y）.

x-4t2=9(1)10x=4?+9

于是,所以《

y-4t=-9y10y=4t

書_4<4_1

則直線。。的斜率為（―4/+9-4/+9-2J.2-3.

當(dāng)且僅當(dāng)4f==9,即/3時(shí)等號(hào)成立，所以直線。。斜率的最大值為1

t23

7

【整體點(diǎn)評(píng)】方法一根據(jù)向量關(guān)系，利用代點(diǎn)法求得。的軌跡方程，得到直線。。的斜率

關(guān)于〉的表達(dá)式，然后利用分類討論，結(jié)合基本不等式求得最大值；

方法二同方法一得到點(diǎn)。的軌跡方程，然后利用數(shù)形結(jié)合法，利用判別式求得直線。。的

斜率的最大值，為最優(yōu)解；

方法三同方法一求得。的軌跡方程，得到直線。。的斜率k的平方關(guān)于X的表達(dá)式，利用換

元方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求得最大值，進(jìn)而得到直線。。斜率的最大值；

方法四利用參數(shù)法，由題可設(shè)尸（4匕4/）（，>0）,Q（xj）,求得關(guān)于1的參數(shù)表達(dá)式，得到

直線。。的斜率關(guān)于I的表達(dá)式，結(jié)合使用基本不等式，求得直線。。斜率的最大值.

—+=1（O>b>0）2、

5.（2020年天津市高考數(shù)學(xué)試卷）己知橢圓。2b2的一個(gè)頂點(diǎn)為“（°，—3）,右焦

點(diǎn)為尸，且1。4=10尸1,其中0為原點(diǎn).

（I）求橢圓的方程；

（II）已知點(diǎn)C滿足3詼=礪，點(diǎn)B在橢圓上（8異于橢圓的頂點(diǎn)），直線與以C為圓

心的圓相切于點(diǎn)尸，且P為線段的中點(diǎn).求直線N8的方程.

【答案】（I）—+^-1；（II）'=9-3,或了=x-3.

1892

【分析】（I）根據(jù)題意，并借助/=/+02,即可求出橢圓的方程；

（II）利用直線與圓相切，得到CPLN8,設(shè)出直線的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，求出

8點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出尸點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)求出直線的斜率，從而得解.

22

【詳解】（I）?.?橢圓亍+}=1（°>6>0）的一個(gè)頂點(diǎn)為小0,-3）,

二?6=3,

由尸|,得c=6=3,

又由得Q?=32+32=18,

所以，橢圓的方程為工+且=1;

189

（II）???直線與以C為圓心的圓相切于點(diǎn)尸，所以

根據(jù)題意可知，直線和直線C尸的斜率均存在，

設(shè)直線48的斜率為左，則直線48的方程為y+3=丘，即了=米-3,

y=kx-3

'巨￡_,消去九可得（2F+1*-126=0,解得x=0或x=

.18~9~

、或12k724曰712左c6k2—3

將、二門代入”質(zhì)一3,華二鼠門-3=m'

所以’點(diǎn)3的坐標(biāo)為

因?yàn)槭瑸榫€段的中點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,-3）,

所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為,31

由3。心=礪，得點(diǎn)。的坐標(biāo)為。,0）,

—3

-0

3

所以，直線CP的斜率為左

O/C2k2—6k+1

-1

2k2+1

3

又因?yàn)?。尸，所以左?2/7

2左2—6左+1

8

整理得2/-3左+1=0,解得“或左=1.

所以，直線4?的方程為y=gx-3或y=x-3.

【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系、

中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及直線垂直關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.當(dāng)看到題

目中出現(xiàn)直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題時(shí)，要想到聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程.

題型全歸納

【題型一】求根型

【講題型】，

例題L已知橢圓?+/=l(a>b>0)的離心率為右左頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,且|AF|=3.

(I)求橢圓的務(wù)程；

(II)過點(diǎn)F做互相垂直的兩條直線I】，卜分別交直線1：x=4于M,N兩點(diǎn)，直線AM,AN

分別交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，求證：P,F,Q三點(diǎn)共線.

【答案】(I)。+(=1；(II)見解析

43

【分析】

(I)根據(jù)離心率和|AF|=3,可得a=2,c=l,從而求出橢圓的方程；

(II)設(shè)y=k1(x-1),聯(lián)立L和橢圓的方程，得P坐標(biāo)，因?yàn)橹本€L，k垂直，同理得

Q坐標(biāo).且F(l,0),所以按赤=1和赤71分類討論，判斷即可.

【詳解】

_C_1

e、=5今

{|明=a+c=39=1

得b2=a2-(?=3,所以橢圓的方程是。+《=L

43

(II)由題意可知，直線lj,12的斜率均存在且不為0,A(-2,0),F(1,0),設(shè)lj,12

的斜率分別為k1,k2,則kjkz=T.

直線L的方程為丫=冗(x-1),則M點(diǎn)坐標(biāo)為(4,3k)得=筌=*設(shè)直線AM的方

程為y=—(x+2),

由「413得：(3+脛)>+4般%+4脛-12=0

7=^(%+2)

因?yàn)閤=-2是方程的根，所以勺=需，yp=+2)=熱.同理可得配=素，刈=

6k2

3+政

當(dāng)馬=簫=1,即就=1時(shí)，可得好=1,和=1,又F(1,0),所以P,F,Q三點(diǎn)共

線；

6kl

12kl

當(dāng)■力1，即般大1，好時(shí)'kpF=6胃

--3--+---垃-7■—1

所以P,F,Q三點(diǎn)共線;

綜上所述：P,F,Q三點(diǎn)共線.

例題2,已知拋物線方程儼=4%,F為焦點(diǎn)，P為拋物線準(zhǔn)線上一點(diǎn)，Q為線段PF與拋物線的交

9

點(diǎn)，定義：d(P)=局.

(1)當(dāng)P(—1,—§時(shí)，求d(P)；

(2)證明:存在常數(shù)a,使得2d(P)=|PE|+a；

(3)Pi，P2〃3為拋物線準(zhǔn)線上三點(diǎn)，且IP1P2I=IP2P31，判斷d(Pj+d(P3)與2d(P2)的關(guān)

系.

【答案】(1)*(2)2；(3)見解析

【分析】

(1)求解出Q點(diǎn)坐標(biāo)，然后得至IJ|PF|和|FQ|,從而求得d(P)；(2)通過假設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)得到直

線PF方程,與拋物線聯(lián)立后得到我,代入2d(P)-|PF|,整理得到結(jié)果;(3)由IP1P2I=IP2P3I可知「2為「1，「3

中點(diǎn)，假設(shè)三點(diǎn)坐標(biāo)，代入2[d(Pi)+d(P3)]-4d(P2)，將式子整理為為和丫3的形式，然后

通過平方運(yùn)算可得到2[d(Pj+d(P3)]-4d(P2)>0,從而得到結(jié)論:d(Pi)+d(P3)>

2d#2).

【詳解】

由題意可知：F(l,0),準(zhǔn)線方程為：久=—1

8

y=-ix-l)1

(1)因?yàn)?9ny=((x-l)聯(lián)立方程.=%Q=1

V2=4%

1^1=J(-l-l)2+(-1-0)2=ndQ

|QF|=和+1=)

(2)當(dāng)P(—1,0)時(shí)，易得a=2d(P)—|PF|二2

設(shè)P(—l,yp),>0,直線PF:%=my+1,則znyp=-2

聯(lián)立，y2nlz:1，y?-4my—4=0J/Q=—27n+2Vm2+12d(P)—\PF\

設(shè)Pi(Ty。尸2(-32)，尸3(-1，乃)，則2[d(PD+d(P3)]-4d(P2)=|尸/|+島司-

又因(科+4)(達(dá)+4)-(y/3+4)2=4(無(wú)+滔)-8yly3>。。所以d(P，+d(P3)>2d(P2)

10

【講技巧】

求根型有以下幾種：

1.知道一根求另一根

2.求根公式型

3.韋達(dá)定理型

【練題型】

22

1、如圖所示,橢圓c：5+2=l(a>Z>>0)的離心率為g其右準(zhǔn)線方程為x=4,4、B分

a2b2

別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)/、8作斜率分別為左、魚，直線和直線3N分別與橢圓

C交于點(diǎn)N(其中M在x軸上方，N在x軸下方).

(2)若直線"V恒過橢圓的左焦點(diǎn)￡,求證：1k為定值.

22

【答案】(1)—+^=1：(2)證明見解析.

43

(1)由題可得9=」,4=4,求出C，。，再利用02=62+C2,即可求出橢圓C的方程;

a2c

(2)設(shè)的方程為y=%(x+2),聯(lián)立片+廣=1,利用韋達(dá)定理求得點(diǎn)

43

-6-12左2

M,同理求出“,再利用向量共線M片〃N片，求

始2

3+4?k；'3+4k2

出k「3k2=0,即證y1為定值.

左2

【詳解】(1)由題可得9=匕4=4,解得C=l,a=2

a2c

22

y.a2=b2+c2,可得〃=3,所以橢圓C的方程為：土+匕=1

43

(2)???/(-2,0),設(shè)4W的方程為y=/(x+2),設(shè)

y=K(x+2)

由，^+產(chǎn)-1消去了整理得(3+4婷)尤2+16k：x+16^-12=0,A>0,

43

16婷

3+4婷

由韋達(dá)定理可得：，解得玉=，代入y=左(X+2),求得％=22,

16自2T23+4左］3+

3+4勺2

(-8婷+612kl

即M13+41'3+442

???5(2,0),設(shè)8N的方程為y=&(x-2),設(shè)

11

y=k2(x-2)

由<，/v2，消去V整理得(3+44)/—164x+16考-12=0,A〉。,

—+—=1

[43

「16人，

x2?+2=---

3+4月2，解得尤2=等/，代入y=^2（x-2）,求得％=ah2，

由韋達(dá)定理可得：

J6療-123+4左2J十442

%-3+4自2

即藐■又直線防V恒過橢圓的左焦點(diǎn)片，

則而后//詬

又加=a*9-^(nk^-3-m^

113+44點(diǎn)+軟"13+44‘3+44)

-4k；+9-Uk2_12kl12始一3

-----------丁X-----7-----TX------丁即（4空2+3）（左一3左2）=0

3+4尢23+4左23+4婷3+4左2

?左］，左2〉04左］左2+3>0.,.左一3kz—0即k?

22

2.已知橢圓從2+方二川。〉/）〉。）的右焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)/,B分別為右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，點(diǎn)。為

11e「_

坐標(biāo)原點(diǎn)，何可+=彳，AO/2的面積為C，其中e為E的皆心率.

（1）求橢圓￡的方程；

（2）過點(diǎn)。異于坐標(biāo)軸的直線與E交于M,N兩點(diǎn)，射線/M,/N分別與圓。:尤2+必=4

交于P,。兩點(diǎn)，記直線MV和直線尸。的斜率分別為勺，右，問/是否為定值？若是，求

出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴土+工=1⑵7r為定值與

42?23

11e=

【分析】（1）根據(jù)西+囪=兩，AGU5的面積為應(yīng)，求得。,6,即可得出答案；

（2）設(shè)點(diǎn)”（x。,％）,尸（西,必）,。（工2，%），則點(diǎn)%（-%,-%）,根據(jù)此N在橢圓￡上，可得

L-Kv=V1，設(shè)直線的方程為X="沙+2,則直線ZN的方程為尤=-二2”2,

2m

x=my+2,

rx=my+2,

分別聯(lián)立/y2，2；,求得〃，尸,0三點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得出結(jié)論.

—+乙=1,［x2+y2=4,

142

⑴解:因?yàn)橄?向=向,所以L士,又之"56=口=》f2+”，

22

聯(lián)立可得〃=2,6=血，所以橢圓￡的方程為土+匕=1；

42

（2）解：設(shè)點(diǎn)〃■（%,%）,玖占,%）,。（工2,%），則點(diǎn)N（f）,-%）,由題意得N（2,o）,

22

因?yàn)镸N在橢圓￡上，所以今+/=1,則為2=4-2比2,所以

%-%=一葉=-%2」

XQ—2—XQ—24—XQ22比22

12

即7,設(shè)直線NM的方程為了=切+2,則直線4N的方程為、=——V+2，

2m

12

x=my+2,

聯(lián)立x2y2消工得（加2+2）/+4磔=0,

——+—=1,

I42

由4M在橢圓E上，所以為=-?所以％=?％+2=學(xué)￡,所以左=2m

A=

m+2m+2m2—2

x=my+2,.4m

聯(lián)立/+,一消x得M+M+4.。，由點(diǎn)4尸在圓C上，所以M=,所以

m2+1

2-2加2

再=my+2=

xm2+1

8m2m2-8%一必_m（3m2+6）_3m

同理：，所以左2=

y2=55%2=74?2

m+4m+4x2-x1m-4m-2

所以行;一2即?為定值:.

左2m—23m3k23

【題型二】最值型

【講題型】

22:,且過點(diǎn)當(dāng)后，

例題L已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C:彳+17=1（。＞6＞0）,離心率為

7

不過橢圓頂點(diǎn)的動(dòng)直線/：了=丘+/與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，求:

（1）橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求三角形面積的最大值，并求取得最值時(shí)直線（9/、OB的斜率之積.

【答案】（1）匕+x2=l；（2）面積最大值為1,斜率之積為-4.

4

【分析】（1）由離心率得￡=",從而得。=26,再把點(diǎn)（克，后）的坐標(biāo)代入標(biāo)準(zhǔn)方程,

a22

可解得；

（2）利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求得底N3的長(zhǎng)，由點(diǎn)到直線距離公式可求得48邊上的高,

（左2+4-m2m2

從而把面積表示為S.OAB=22——，進(jìn)而可得.

【詳解】因?yàn)闄E圓c離心率為走，可設(shè)方程為二+￡=1,過點(diǎn)

所以6=1,

22

4b2b7

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為貴+x?=l.

4

y=kx+m

（2）設(shè)4（國(guó),為）,5（尤2，%），聯(lián)立＜'J-],得（左？+4）x?+2A7"X+機(jī)2—4=0,

14

△=16儼+4"）＞0①

-2kmm2-4-2km丫m2-44

…2=總*，*=下*，?小_司=-4J4+4一桐，

左2+4左2+4一左2+4

,\m\

又點(diǎn)。到直線AB的距離為d=

，1+左2

SABd=g"2+七后a'#----------丁加

.AOB=~^\\+4-m2-/

VF+1

13

故當(dāng)一L=L即左2+4=2/時(shí)，三角形的面積有最大值1,此時(shí)滿足①,

上2+42

所以kOAkOB=純=網(wǎng)+"+"')=16-4加2,

—5----=-4

XjX2xtx2m-4m-4

三角形495面積的最大值為1,此時(shí)直線。/、08的斜率之積為一4.

22

例題2.已知橢圓。：3+方=1（。＞。＞0）的右焦點(diǎn)為尸（百,0）,若過點(diǎn)尸的直線與橢圓交于

（4-73

A,3兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為尸弋，一手.

⑴求橢圓C的方程；

⑵若橢圓C的右頂點(diǎn)為。，點(diǎn)M,N在橢圓C上，且滿足直線。”與DN的斜率之積為，,

證明直線經(jīng)過定點(diǎn)，并求ADW面積的最大值.

【答案】（1）,+/=1⑵證明見解析，AZ）MN面積的最大值為:

【分析】⑴設(shè)4（再,%）、8（9,%）,利用點(diǎn)差法得到巨=L再由析=3=。2_氏求出入

a4

b2,即可得解；

（2）首先判斷直線"N不垂直于x軸，設(shè)4W:y=b+加（左NO）,M（x3,y3）s2V（x4,y4）,

聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，由叱磯=（得到蘇-機(jī)-6左2=0，即可

得到加=-2左