陜西省漢中市2025屆高三下學(xué)期二模試題 數(shù)學(xué) 含解析

漢中市普通高中2025屆高三年級(jí)質(zhì)量檢測(cè)考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理直接求解.【詳解】在中，由正弦定理得，所以.故選：D2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的概念以及無(wú)理數(shù)數(shù)的拆分，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)判斷即可.【詳解】因?yàn)?，設(shè),則：有理數(shù)部分：，無(wú)理數(shù)部分，,,符合條件，所以，故A錯(cuò)誤；設(shè),則有理數(shù)部分，無(wú)理數(shù)部分:，,,符合條件，故，故B錯(cuò)誤；設(shè),則：有理數(shù)部分，無(wú)理數(shù)部分：(矛盾，因?yàn)闊o(wú)解，故,故C正確；設(shè),則有理數(shù)部分：(非整數(shù)，矛盾)，故，故D錯(cuò)誤．故選：C.3.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)即可.【詳解】．故選：A.4.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦函數(shù)的單調(diào)性列出不等式求解即可.【詳解】依題意，函數(shù)的遞增區(qū)間，即為函數(shù)的遞減區(qū)間，由，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：A.5.某中學(xué)隨機(jī)抽取了60名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)了他們某天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)間，數(shù)據(jù)如下表，則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（）學(xué)習(xí)時(shí)間／分鐘60708090100110120人數(shù)9101412852A.75分鐘 B.90分鐘 C.95分鐘 D.100分鐘【答案】C【解析】【分析】應(yīng)用百分位數(shù)定義計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)椋缘?5百分位數(shù)是所有數(shù)據(jù)從小到大排列的第45項(xiàng)和第46項(xiàng)的平均數(shù)，由表中數(shù)據(jù)可知，第45項(xiàng)為90，第46項(xiàng)為100，所以第75百分位數(shù)是分鐘．故選：C.6.從正四棱臺(tái)的12條棱中任取2條，則這2條棱互相平行的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先確定出正四棱臺(tái)中平行直線，再應(yīng)用古典概型及組合數(shù)計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)?，，所以這2條棱互相平行的概率為．故選：D.7.如圖1，這是一只古代的青花牡丹紋碗.已知該碗高10cm，口徑26cm，底徑10cm，該碗的軸截面（不含碗底部分）是拋物線的一部分，如圖2，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用待定系數(shù)法求出參數(shù)值.【詳解】以該碗軸截面的對(duì)稱軸為軸，拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)該拋物線的方程為（的單位均為cm），點(diǎn)縱坐標(biāo)為（單位：cm），則，，于是，解得，故該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為．故選：B8.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)變形，再構(gòu)造函數(shù)，然后求導(dǎo)分析單調(diào)性即可.【詳解】，，．構(gòu)造函數(shù)，則，易證函數(shù)為增函數(shù)，（，令，所以時(shí)，為增函數(shù).）所以，所以，所以，即．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.若函數(shù)，則（）A. B.的最小值為0C.是奇函數(shù) D.的定義域?yàn)椤敬鸢浮緼CD【解析】【分析】用特值法可判斷A、B；求出函數(shù)的定義域判斷D；利用奇函數(shù)的定義既可判斷C.【詳解】，故A正確；由，得，故D正確．因?yàn)?，所以的最小值不?，故B錯(cuò)誤．因?yàn)?，所以是奇函?shù)，故C正確．故選：ACD.10.已知點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，則（）A.曲線由虛軸長(zhǎng)相等的兩條雙曲線組成 B.存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，使得C.存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，使得 D.存在8個(gè)點(diǎn)，使得【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓、雙曲線的定義判斷ABC；求出點(diǎn)的軌跡，借助數(shù)形結(jié)合法判斷D.【詳解】由，得或，則曲線由雙曲線與雙曲線組成，對(duì)于A，雙曲線與雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)都為4，虛軸長(zhǎng)不等，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，點(diǎn)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，則存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，使得，B正確；對(duì)于C，點(diǎn)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，則存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，使得，C正確；對(duì)于D，由，得點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，由圖知，該橢圓與曲線共有8個(gè)交點(diǎn)，因此存在8個(gè)點(diǎn)，使得，D正確.故選：BCD11.如圖，在四面體中，，，，，，分別為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.的最小值為 B.四面體的體積為C.的最小值為2 D.二面角的余弦值為【答案】BC【解析】【分析】先由線面垂直判定定理證明平面，再由棱錐的體積公式可得B正確；由線面垂直的判定定理得到平面，從而得到二面角的平面角，再由幾何關(guān)系計(jì)算可得D錯(cuò)誤；將側(cè)面翻折至點(diǎn)與平面共面，分別得到的最小值為和的最小值為，由解三角形即得A錯(cuò)誤，C正確.【詳解】對(duì)于B，因?yàn)?，，所以，又，，平面，所以平面．因?yàn)?，，所以，，，所以四面體的體積為，故B正確；對(duì)于D，由平面，平面，得，又，，平面，所以平面，又平面，則，所以為二面角的平面角，因?yàn)?，，所以，所以，故D錯(cuò)誤；對(duì)于A、C，將側(cè)面翻折至點(diǎn)與平面共面，如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則的最小值為，的最小值為，故A錯(cuò)誤，C正確.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為______．【答案】【解析】【分析】求出的值，即可得出的最大值.【詳解】圓的圓心為，半徑為，因?yàn)?，所以的最大值為．故答案為?13.如圖，一滑輪組中有兩個(gè)定滑輪A，B，在從連接點(diǎn)O出發(fā)的三根繩的端點(diǎn)處掛著三個(gè)重物，它們所受的重力分別為4N，4N，7N，此時(shí)整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，則________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，可得，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律及夾角公式計(jì)算得解.【詳解】依題意，，則，即，解得，所以.故答案為：14.設(shè)是關(guān)于的方程的一個(gè)實(shí)根，其中為常數(shù)，則______．【答案】4【解析】【分析】令，利用二倍角的正切公式用表示即可得解.【詳解】設(shè)，則，，整理得，而是關(guān)于的方程的實(shí)根，所以.故答案為：4.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的一個(gè)方向向量為．（1）求的值；（2）若不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出參數(shù).（2）由（1）的結(jié)論，等價(jià)變形不等式，分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)最小值即可.【小問1詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，由圖象在點(diǎn)處的切線的一個(gè)方向向量為，可得該切線斜率為1，因此，所以.【小問2詳解】由（1）知，函數(shù)的定義域?yàn)椋坏仁胶愠闪?，即?duì)恒成立，因此對(duì)恒成立，設(shè)，求導(dǎo)得，由，得；由，得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，故得，即的取值范圍是.16.如圖，是圓柱上底面圓周上的三個(gè)不同的點(diǎn)，為直徑，，均為該圓柱的母線．（1）證明：平面平面．（2）若，，，求與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)母線的性質(zhì)可得平面，從而得，根據(jù)直徑得，從而得平面，結(jié)合面面垂直的判斷可得平面平面；（2）利用向量法可求線面角的正弦值.【小問1詳解】證明：因?yàn)闉橹睆?，是上底面圓周上異于的一點(diǎn)，所以．因?yàn)闉樵搱A柱的母線，所以平面，平面，所以，又，平面．所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面．【小?詳解】設(shè)點(diǎn)在圓柱下底面的射影為，連接．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．因?yàn)?，，所以，所以，．設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得．由，得與平面所成角的正弦值為．17.對(duì)于數(shù)列，記區(qū)間內(nèi)偶數(shù)的個(gè)數(shù)為，則稱數(shù)列為的偶數(shù)列．（1）若數(shù)列為數(shù)列的偶數(shù)列，求．（2）若數(shù)列為數(shù)列的偶數(shù)列，證明：數(shù)列為等比數(shù)列．（3）在（2）的前提下，若數(shù)列為等差數(shù)列的偶數(shù)列，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）列出在區(qū)間內(nèi)的偶數(shù)，根據(jù)偶數(shù)列的概念即可求解；（2）找出在區(qū)間內(nèi)的偶數(shù)，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列的定義即可證明；（3）利用等差數(shù)列的基本量求出，可得，可得，利用錯(cuò)位相減法即可求解.【小問1詳解】解：在區(qū)間內(nèi)的偶數(shù)為2，4，6，8，10，共有5個(gè)，則．【小問2詳解】證明：在區(qū)間內(nèi)的偶數(shù)為，則．因?yàn)?，所以是首?xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．【小問3詳解】解：設(shè)等差數(shù)列公差為，則，所以，所以．由（2）知，，則，①，則②，所以①-②可得：，故．18.A，B兩人做游戲，每次游戲只需用一只手完成，記A的左，右手分別為，，B的左，右手分別為，，每次游戲A，B的得分之和均為0，記A用的概率為，B用的概率為，每次游戲A的得分如下表所示（比如A用，B用參加游戲，A的得分為5）：53（1）分別求每次游戲A得分的期望與B得分的期望；（2）當(dāng)，時(shí)，設(shè)每次游戲A，B選擇用哪只手參與相互獨(dú)立，求經(jīng)過兩次游戲后，B的總得分為正數(shù)的概率；（3）假設(shè)，的值可以自由調(diào)整，其中不取，證明：不論取何值，A總能通過調(diào)整的值，使得每次游戲A得分的期望不小于．【答案】（1），（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）結(jié)合題意，列出的可能取值，再求出相應(yīng)概率，然后由公式求出期望；（2）結(jié)合題意列出的分布列，再分析求出的總得分為正數(shù)的概率；（3）記，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分別討論當(dāng)和以及時(shí)，A得分的期望.【小問1詳解】設(shè)每次游戲A的得分為，的得分為，則的分布列為53所以，所以．【小問2詳解】當(dāng)，時(shí)，的分布列為71當(dāng)?shù)谝淮蔚?分時(shí)，第二次不管得幾分，的總得分均為正數(shù)；當(dāng)?shù)谝淮蔚梅只蚍謺r(shí)，第二次只能得7分；當(dāng)?shù)谝淮蔚?分時(shí)，第二次只能得1分或7分．故經(jīng)過兩次游戲后，的總得分為正數(shù)的概率為．【小問3詳解】證明：記（且）．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則A可取，使得；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則A可取，使得．綜上，不論取何值，A總能通過調(diào)整的值，使得每次游戲A得分的期望不小于．19.已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在該橢圓上，均為該橢圓上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求該橢圓的方程；（2）若的重心是坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的方程；（3）若的重心是坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：的面積是定值．【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率及點(diǎn)在橢圓上分別列式計(jì)算求參得出橢圓方程；（2）點(diǎn)差法得出直線斜率，再點(diǎn)斜式得出直線方程；（3）根據(jù)直線斜率不存及斜率存在兩種情況分別計(jì)算面積即可求解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，可得．又因?yàn)辄c(diǎn)在該橢圓