江蘇省鎮(zhèn)江市實驗高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月考試數(shù)學(xué)試題（解析）

第頁，共頁鎮(zhèn)江市實驗高中2024-2025學(xué)年第二學(xué)期4月考試高二數(shù)學(xué)試卷一、單選題1.某校高三年級共有2000人，其中男生1200人，女生800人，某次考試結(jié)束后，學(xué)校采用按性別分層隨機(jī)抽樣的方法抽取容量為的樣本，已知樣本中男生比女生人數(shù)多8人，則（）A.20 B.30 C.40 D.48【答案】C【解析】【分析】利用分層抽樣性質(zhì)直接求解.【詳解】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可知，樣本中男生人數(shù)為：，樣本中女生人數(shù)為：，由題意，所以，所以.故選：C2.下列求導(dǎo)運算結(jié)果不正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式以及導(dǎo)數(shù)的運算法則求解可判斷每個選項的正誤.【詳解】，故A錯誤；，故B正確；，故C正確；，故D正確.故選：A.3.某批產(chǎn)品檢驗后的評分，由統(tǒng)計結(jié)果制成如圖所示的頻率分布直方圖，下列說法中正確的是（）A. B.評分的眾數(shù)估值為70C.評分的第25百分位數(shù)估值為67.5 D.評分的平均數(shù)估值為76【答案】C【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為得到方程，求出，再根據(jù)平均數(shù)、百分位數(shù)及眾數(shù)的計算規(guī)則計算可得.【詳解】由題意：，解得，A錯誤，所以平均數(shù)為，故D錯誤；眾數(shù)為，故B錯誤；因為，第百分位數(shù)估計為，故C正確；故選：C4.襪子由襪口?襪筒?腳趾三部分組成，現(xiàn)有四種不同顏色的布料，設(shè)計襪子的顏色配比，要求相連的部分顏色不同，共可以設(shè)計出不同顏色類型的襪子種數(shù)為（）A.12 B.24 C.36 D.48【答案】C【解析】【分析】根據(jù)襪口和腳趾顏色是否相同進(jìn)行分類討論，由此求得正確答案.【詳解】若襪口和腳趾顏色相同，則有種，若襪口和腳趾顏色不同，則有種，共有種．故選:C5.已知的展開式中第5項與第8項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)的展開式中第5項與第8項的二項式系數(shù)相等建立關(guān)于的方程，求出；再利用二項式系數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為的展開式中第5項與第8項的二項式系數(shù)相等，所以，解得：.所以奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為.故選：A.6.已知函數(shù)有2個實數(shù)解，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求得，求得函數(shù)的單調(diào)性得到，轉(zhuǎn)化為函數(shù)和的圖象有2個公共點，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】由題意，，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，可得，當(dāng)所以函數(shù)的圖象如圖所示，函數(shù)和的圖象有2個公共點，結(jié)合圖象可得實數(shù)的取值范圍.故選：B.7.設(shè)，則中最大的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用二項展開式的通項公式，得展開式各項的系數(shù)與二項式系數(shù)相等或互為相反數(shù)，再利用二式系數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】因為展開式的通項公式為，所以展開式各項的系數(shù)與二項式系數(shù)相等或互為相反數(shù)，又由二項式系數(shù)的性質(zhì)知，二項式系數(shù)最大的項為第五、第六項，即，，所以中最大的是.故選：B.8.已知函數(shù)，若，使成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先研究函數(shù)是奇函數(shù)，再求導(dǎo)，用均值不等式和余弦函數(shù)特點，知道函數(shù)在整個取值范圍遞增.利用奇函數(shù)性質(zhì)變成，結(jié)合單調(diào)性得出.參變分離，轉(zhuǎn)化為求的最值即可.【詳解】因為，所以為奇函數(shù)，又，故在上單調(diào)遞增，由，得，所以，若，，即，只需，令，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，故，故.故選：D.二、多選題9.下列命題正確的有（）A.回歸直線過樣本點中心，且至少過一個樣本點B.兩個變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)r越接近1C.將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上同一個正數(shù)，則其方差不變D.將9個數(shù)的一組數(shù)去掉一個最小和一個最大數(shù)，則中位數(shù)不變【答案】CD【解析】【分析】由回歸直線的性質(zhì)可判斷A；由相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)可判斷B；由方差的性質(zhì)可判斷C；由中位數(shù)的算法可判斷D.【詳解】對于A：回歸直線恒過樣本點的中心，可以不過任一個樣本點，故A錯誤；對于B：兩個變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)就越接近1，故B錯誤；對于C：將一組數(shù)據(jù)的每個數(shù)據(jù)都加一個相同的常數(shù)后，數(shù)據(jù)的波動性不變，方差不變，故C正確；對于D：由中位數(shù)的算法可知，將9個數(shù)的一組數(shù)去掉一個最小和一個最大數(shù)，則中位數(shù)不變，故D正確.故答案為：CD.10.對函數(shù)的描述正確的有（）A.的對稱中心為B.若關(guān)于的方程有三解，則C.若在上有極小值，則D.若在上的最大值、最小值分別為、，則【答案】ABD【解析】【分析】利用函數(shù)對稱性的定義可判斷A選項；利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可判斷B選項；利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷C選項；分析可知，，，將兩個等式相加，化簡變形后可判斷D選項.【詳解】對于A選項，函數(shù)的定義域為，，所以，的對稱中心為，A對；對于B選項，，則，由可得，列表如下：增極大值減極小值增如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有三個交點，因此，實數(shù)的取值范圍是，B對；對于C選項，若在上有極小值，則，C錯；對于D選項，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.因為在上的最大值、最小值分別為、，則必有，，所以，，上述兩個等式相加得，因為，，則，，，則，故，D對.故選：ABD.11.若，則下列說法正確的是（）A.展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為B.C.D.除以10的余數(shù)為9【答案】BC【解析】【分析】由二項展開式二項式系數(shù)之和的性質(zhì)判斷A；利用賦值法判斷B；利用展開式通項公式判斷C；利用構(gòu)造二項式的展開式來解決整除和余數(shù)問題判斷D.【詳解】的展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為，故A錯誤；令，可得，令，，則，故B正確；，故C正確；，故除以10的余數(shù)為1，故D錯誤.故選：BC三、填空題12.已知一組數(shù)據(jù)1，3，5，的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)列方程求出的值，再結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)差的定義即可求解.【詳解】由題知，解得.所以這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為.故答案為：.13.已知函數(shù)在其定義域內(nèi)的區(qū)間內(nèi)有極值點，則實數(shù)的取值范圍是_____.【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)確定單調(diào)區(qū)間，求得極值點，結(jié)合區(qū)間構(gòu)造不等式求解即可.【詳解】由，可知，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，存在唯一極值點2，所以，解得：，又，所以，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：14.若，則正整數(shù)的值為_________．【答案】5或7【解析】【分析】由組合數(shù)的性質(zhì)得到，列出方程，求出答案.【詳解】由組合數(shù)性質(zhì)：，可得，則，所以或，解得或.故答案為：5或7四、解答題15.將4個編號為1，2，3，4的小球放入4個編號為1，2，3，4的盒子中.（1）有多少種放法？（2）每盒至多一球，有多少種放法？（3）恰好有一個空盒，有多少種放法？（4）把4個不同的小球換成4個相同的小球，恰有一個空盒，有多少種放法？【答案】（1）256(種)（2）24(種)（3）144(種)（4）12(種)【解析】【分析】（1）由分步乘法計數(shù)原理求解即可；（2）根據(jù)排列的定義求解即可；（3）（方法1）先將4個小球分為三組，再將三組小球投入四個盒子中的三個盒子，結(jié)合排列組合知識求解；（方法2）利用捆綁法結(jié)合排列組合知識求解；（4）（方法1）先從四個盒子中選出三個盒子，再從三個盒子中選出一個盒子放入兩個球，余下兩個盒子各放一個結(jié)合組合知識求解；（方法2）根據(jù)隔板法求解.【小問1詳解】每個小球都可能放入4個盒子中的任何一個，將小球一個一個放入盒子，共有種放法.【小問2詳解】這是全排列問題，共有(種)放法.【小問3詳解】（方法1）先將4個小球分為三組，有種方法，再將三組小球投入四個盒子中的三個盒子，有種投放方法，故共有(種)放法.（方法2）先取4個球中的兩個“捆”在一起，有種選法，把它與其他兩個球共3個元素分別放入4個盒子中的3個盒子，有種投放方法，所以共有(種)放法【小問4詳解】（方法1）先從四個盒子中選出三個盒子，再從三個盒子中選出一個盒子放入兩個球，余下兩個盒子各放一個.由于球是相同的即沒有順序，所以屬于組合問題，故共有(種)放法.（方法2）恰有一個空盒子，第一步先選出一個盒子，有種選法，第二步在小球之間的3個空隙中任選2個空隙各插一塊隔板，有種方法，由分步計數(shù)原理得，共有(種)放法.16.若.求：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【解析】【分析】（1）（2）（3）（4）（5）利用賦值法計算求值即可；【小問1詳解】解：令，得；【小問2詳解】解：令，得；【小問3詳解】解：由（2）知，①令，得，②①②得，；【小問4詳解】解：①②得，；【小問5詳解】解：令，得，故；17.已知，．（1）當(dāng)，時，求的展開式中含的項；（2）若的展開式中，倒數(shù)第2，3，4項的系數(shù)成等差數(shù)列，求的展開式中系數(shù)最大的項．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）先求出的展開式，再根據(jù)多項式乘法求出的展開式中含的項；（2）根據(jù)的展開式中，倒數(shù)第2，3，4項的系數(shù)成等差數(shù)列求出，設(shè)的展開式中系數(shù)最大的項為第項，建立不等式即可求解.【詳解】（1）當(dāng)，時，，，則的展開式中含的項為，所以的展開式中含的項為．（2）在的展開式中，倒數(shù)第2，3，4項的系數(shù)分別為，，，所以，整理得，解得或．又，，所以．設(shè)的展開式中系數(shù)最大的項為第項，則，解得．又，所以，所以的展開式中系數(shù)最大的項為．18.2025年春晚最火的節(jié)目無疑是機(jī)器人扭秧歌．其中表演的機(jī)器人出自宇樹科技，宇樹科技是一家專注于高性能四足機(jī)器人研發(fā)和生產(chǎn)的中國科技公司．該公司以其創(chuàng)新的四足機(jī)器人在全球范圍內(nèi)廣受關(guān)注，主要應(yīng)用于教育、科研、娛樂和工業(yè)等領(lǐng)域，其中四大產(chǎn)品之一的機(jī)器人UnitreeA1具備較強(qiáng)的負(fù)載能里和環(huán)境適應(yīng)性，可用于巡檢與監(jiān)控、物流和運用、安防與救援．現(xiàn)統(tǒng)計出機(jī)器人UnitreeA1在某地區(qū)2024年2月到6月的銷售量如下表所示：月份23456銷量425366109用最小二乘法得到UnitreeA1的銷售量關(guān)于月份的回歸直線方程為，且相關(guān)系數(shù)，銷量的方差．（1）求的值(結(jié)果精確到0.1)；（2）求的值，并根據(jù)（1）的結(jié)果計算5月銷售量的殘差．附：回歸系數(shù)，相關(guān)系數(shù)．【答案】（1）（2）；殘差為【解析】【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)可得，，，代入即可求的值；（2）根據(jù)線性回歸方程必過樣本中心點求的值，令，可得，即可得殘差.【小問1詳解】由表可得：，，因為，可得，又因為，可得，所以.【小問2詳解】由表可知：，由（1）可知回歸直線方程為，且，則，解得，此時，，可得，符合題意，所以，對于回歸直線方程，令，可得，所以5月銷售量的殘差.19.已知函數(shù)．（1）若，求曲線在處切線方程；（2）若時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)，該導(dǎo)數(shù)就是曲線在該點處切線的斜