河南省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

第頁(yè)，共頁(yè)2024~2025學(xué)年度4月質(zhì)量檢測(cè)高二數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.選擇題用鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交.5.本卷主要考查內(nèi)容：北師大版選擇性必修第一冊(cè)第七章、選擇性必修第二冊(cè)第一章～第二章4.2.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，利用函數(shù)的平均變化率的公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【詳解】由平均變化率的計(jì)算公式，可得平均變化率為.故選：D.2.已知數(shù)列，則是這個(gè)數(shù)列的（）A.第8項(xiàng) B.第9項(xiàng) C.第10項(xiàng) D.第11項(xiàng)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，令，求得的值，即可得到答案.【詳解】由數(shù)列，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為，令，解得，所以是這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng).故選：C.3.已知函數(shù)在處可導(dǎo)，且，則等于（）A. B.3 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)極限的運(yùn)算法則，求得，得到的值，得到答案.【詳解】由，可得，即.故選：B.4.已知根據(jù)如下表所示的樣本數(shù)據(jù)，用最小二乘法求得線性回歸方程為，則的值為（）24681065432A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，求得樣本中心點(diǎn)，將其代入回歸直線方程，求得的值，即可得到答案.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)，可得，，所以樣本中心點(diǎn)必在線性回歸直線上，將代入回歸直線方程，可得，解得.故選：D.5.曲線在處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】由題知，所以，又，所以曲線在處的切線方程為，即.故選：B.6.已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，若，則（）A.11 B. C.10 D.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，求得，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由，可得，整理得，解得，所以，則，故.故選：B.7.為落實(shí)中央一號(hào)文件《中共中央、國(guó)務(wù)院關(guān)于進(jìn)一步深化農(nóng)村改革、扎實(shí)推進(jìn)鄉(xiāng)村全面振興的意見》，某農(nóng)村合作社擬引進(jìn)先進(jìn)技術(shù)提升某農(nóng)產(chǎn)品的深加工技術(shù)，以此達(dá)到10年內(nèi)每年此農(nóng)產(chǎn)品的銷售額（單位：萬(wàn)元）等于上一年的1.4倍再減去4.已知第一年（2024年）合作社該農(nóng)產(chǎn)品的銷售額為100萬(wàn)元，則按照計(jì)劃合作社從2024年到2033年該農(nóng)產(chǎn)品的銷售總額約為（參考數(shù)據(jù)：）（）A.6384萬(wàn)元 B.6374萬(wàn)元 C.6284萬(wàn)元 D.6274萬(wàn)元【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到，得出數(shù)列是首項(xiàng)為90，公比為1.4的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】設(shè)該合作社在2024年，2025年，…，2033年的銷售額分別為，由題意，可得，則，又因?yàn)椋詳?shù)列是首項(xiàng)為90，公比為1.4等比數(shù)列，則，即，所以，故從2024年到2033年該產(chǎn)品的銷售總額約為萬(wàn)元.故選：A.8.設(shè)兩個(gè)等比數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，.若，則（）A.18 B.162 C.54 D.81【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式及求和公式求解計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，的公比分別為，，若，，則，，則，即，所以，可得，得.所以，，滿足.所以，.所以.同理可得，時(shí)也可以得到.當(dāng)，時(shí)，，，則，故舍去.當(dāng)，時(shí)，，顯然不符合題意，綜上所述，.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列求導(dǎo)不正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，逐項(xiàng)計(jì)算，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，由，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由，所以B正確；對(duì)于C中，由，所以C正確；對(duì)于D中，由，所以D錯(cuò)誤.故選：AD.10.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.當(dāng)時(shí)，的最小值為13【答案】AB【解析】【分析】在等差數(shù)列中，由，得到，可判定A正確；由，得到等差數(shù)列為遞減數(shù)列，可判定B正確；由，可判定C錯(cuò)誤；由等差數(shù)列的求和公式，得到當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可判定D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A中，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，且，可得，即，故A正確；對(duì)于B中，因?yàn)?，可得等差?shù)列的公差，所以等差數(shù)列為遞減數(shù)列，即，故B正確；對(duì)于C中，因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為14，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.記數(shù)列滿足：，，為的前項(xiàng)和，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C.若為奇數(shù)，則 D.【答案】ACD【解析】【分析】由數(shù)列的遞推公式，逐項(xiàng)計(jì)算，求得，可判定A正確；當(dāng)時(shí)，求得，結(jié)合，可判定B錯(cuò)誤；根據(jù)并項(xiàng)求和，以及等差數(shù)列的求和公式，可判定C正確；當(dāng)為奇數(shù)，推得，結(jié)合數(shù)列的周期性，求得和，再由時(shí)，求得，可得判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋傻?；?dāng)時(shí)，，可得，所以A正確；對(duì)于B中，當(dāng)時(shí)，可得，又由，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以C正確；對(duì)于D中，當(dāng)為奇數(shù)，，，兩式作差，可得，因?yàn)?，所以，，，，…，所以，，?dāng)時(shí)，，所以，所以，所以D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.甲、乙、丙各自研究?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量的數(shù)據(jù)，若甲、乙、丙計(jì)算得到各自研究的兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)系數(shù)分別為，則這三人中，______研究的兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)程度最高.【答案】甲【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，結(jié)合相關(guān)系數(shù)的含義，即可求解.【詳解】由甲、乙、丙的兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)系數(shù)分別為，可得，所以這三人中，甲研究的兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)程度最高.故答案為：甲.13.已知，則______.【答案】##【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可求得，代入計(jì)算即可.【詳解】由，得，令，可得，得，所以，可得.故答案為：14.記為不超過的最大整數(shù)，已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，且，為的前項(xiàng)和，則______.【答案】18【解析】【分析】根據(jù)題意，得出是等差數(shù)列，求得，由，得到，結(jié)合裂項(xiàng)消去法，求得，進(jìn)而求得的值，得到答案.【詳解】由數(shù)列滿足：，可得，且，所以是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，故，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，即，所以，所以，綜上所述，故.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.已知為公差不為0的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列定義以及等比數(shù)列性質(zhì)列方程計(jì)算可得公差，可求得通項(xiàng)公式；（2）利用等差等比前項(xiàng)和公式代入計(jì)算可得結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)公差為，則，，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，即，所以或0（舍去）.故；即的通項(xiàng)公式為；【小問2詳解】由（1）可得，16.某地區(qū)為了評(píng)估新課改對(duì)學(xué)生成績(jī)的影響，對(duì)兩個(gè)程度相近的學(xué)校的高一年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行為期一個(gè)學(xué)期的實(shí)驗(yàn).甲校高一年級(jí)采用新課改教學(xué)方法，乙校高一年級(jí)采用傳統(tǒng)教學(xué)方法.學(xué)期末，對(duì)兩個(gè)學(xué)校的高一年級(jí)的學(xué)生期末考試成績(jī)進(jìn)行了分析，成績(jī)分為優(yōu)秀（550分及以上）和非優(yōu)秀（550分以下）兩個(gè)等級(jí)，以下是實(shí)驗(yàn)結(jié)果的列聯(lián)表：學(xué)校成績(jī)合計(jì)優(yōu)秀非優(yōu)秀甲校150乙校200合計(jì)270400（1）請(qǐng)根據(jù)以上信息，完成列聯(lián)表；（2）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，使用卡方檢驗(yàn)判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為“推廣新課改與成績(jī)是否優(yōu)秀”有關(guān)？參考數(shù)據(jù)：0.100050.0100.0052.7063.8416.6357.879，其中，是總樣本數(shù).【答案】（1）答案見解析（2）有99.5%的把握認(rèn)為“推廣新課改與成績(jī)是否優(yōu)秀”有關(guān)，理由見解析.【解析】【分析】（1）分析數(shù)據(jù)，完善列聯(lián)表，得到答案；（2）計(jì)算出卡方，與7.879比較后得到答案.【小問1詳解】學(xué)校成績(jī)合計(jì)優(yōu)秀非優(yōu)秀甲校15050200乙校12080200合計(jì)270130400【小問2詳解】根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到，故有99.5%的把握認(rèn)為“推廣新課改與成績(jī)是否優(yōu)秀”有關(guān).17.已知曲線.若曲線在處的切線方程為.（1）求，的值；（2）求過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程.【答案】（1），（2）和【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及切線斜率計(jì)算可得，的值；（2）設(shè)切點(diǎn)，由經(jīng)過點(diǎn)解方程可得或，即可得出直線方程.【小問1詳解】易知，因?yàn)椋?，所以在處的切線方程為，即，所以，，可得，；【小問2詳解】由（1）可知，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，故切線方程為，因?yàn)榍芯€過，所以，即，所以或，當(dāng)時(shí)，切線斜率為3，此時(shí)切線方程為；當(dāng)時(shí)，切線斜率為，此時(shí)切線方程為；故過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為和，即和.18.已知數(shù)列滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的前項(xiàng)和；（3）若恒成立，求的值.【答案】（1）（2）（3）2【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求得，再由時(shí)，得到，兩式相減，求得，進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）知：，結(jié)合乘公比錯(cuò)位相減法求和，即可得到答案；（3）由（1）知，化簡(jiǎn)，得出數(shù)列的單調(diào)性，得到恒成立，結(jié)合恒成立，即可求解.【小問1詳解】解：由數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，由，可得，兩式相減，可得，所以，又因?yàn)闈M足上式，所以，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】解：由（1）知：，則兩式相減，可得，所以，即數(shù)列的前項(xiàng)和.【小問3詳解】解：由（1）知：，則，當(dāng)時(shí)，可得，即；當(dāng)且時(shí)，可得，即，綜上可得：恒成立，因?yàn)楹愠闪?，所?19.已知數(shù)列的首項(xiàng)為3，且滿足，令.（1）證明：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）若，求的前項(xiàng)和；（3）在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在互不相同的3項(xiàng)成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析，（2）（3）不存，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而得到，進(jìn)而得到為等比數(shù)列，得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得，分和，兩種情況討論，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解；（3）根據(jù)題意，求得，假設(shè)在數(shù)列中存在不相同的3項(xiàng)成等比數(shù)列，