貴州省貴陽(yáng)市修文縣貴陽(yáng)修文北實(shí)新世紀(jì)學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

貴陽(yáng)市修文北實(shí)新世紀(jì)實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025-2026學(xué)年高二期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)卷數(shù)學(xué)試題2025年4月注意事項(xiàng)：1、本場(chǎng)考試時(shí)間為120分鐘，試題卷共5頁(yè)，滿(mǎn)分150分，答題卡共4頁(yè).2、答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡指定位置上.3、回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，在選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.4、考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合集合補(bǔ)運(yùn)算，直接求解即可.【詳解】集合，又，故.故選：C.2.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（）A.2 B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算先求復(fù)數(shù)，進(jìn)而得，即可運(yùn)算.【詳解】由有.故選：A.3.某班級(jí)有名學(xué)生，班主任用不放回的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從這名學(xué)生中抽取人進(jìn)行家訪，則同學(xué)被抽到的可能性為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的定義，即可求解.【詳解】總體有個(gè)個(gè)體，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相同，均為，故選：D.4.下列兩個(gè)函數(shù)為同一函數(shù)的為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】同一函數(shù)要滿(mǎn)足中兩個(gè)條件：第一：定義域相同，第二：對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，根據(jù)兩個(gè)條件即可判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，定義域?yàn)?，定義域?yàn)?，函?shù)定義域不相同，不是同一函數(shù)，故A不符合題意；對(duì)于B，定義域?yàn)椋x域?yàn)?，函?shù)定義域不相同，不是同一函數(shù)，故B不符合題意；對(duì)于C，定義域?yàn)椋瘮?shù)定義域?yàn)?，函?shù)定義域不相同，不是同一函數(shù)，故C不符合題意；對(duì)于D，定義域?yàn)?，定義域?yàn)?，且，函?shù)定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，是同一函數(shù)，故D符合題意.故選：D.5.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù).若函數(shù)，，則（）A.27 B.28 C.29 D.30【答案】B【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義可得，再利用賦值法由代入計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由函數(shù)是奇函數(shù)可知，因此可得；又，因此；兩式相加可得；又，因此.故選：B6.某電視臺(tái)的夏日水上闖關(guān)節(jié)目一共有三關(guān)，第一關(guān)與第二關(guān)的過(guò)關(guān)率分別為，．只有通過(guò)前一關(guān)才能進(jìn)入下一關(guān)，每一關(guān)都有兩次闖關(guān)機(jī)會(huì)，且是否通過(guò)每關(guān)相互獨(dú)立．一選手參加該節(jié)目，則該選手能進(jìn)入第三關(guān)的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)“第次通過(guò)第一關(guān)”，“第次通過(guò)第二關(guān)”，其中．從而得到選手能進(jìn)入第三關(guān)的事件為再由互斥事件和事件及獨(dú)立事件乘法公式求解即可；【詳解】設(shè)“第次通過(guò)第一關(guān)”，“第次通過(guò)第二關(guān)”，其中．由題意知選手能進(jìn)入第三關(guān)的事件可表示為：，所以選手能進(jìn)入第三關(guān)的概率：．故選：C．7.底面半徑為3的圓錐被平行底面的平面所截，截去一個(gè)底面半徑為1、高為1的圓錐，所得圓臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)相似可得原圓錐的高，進(jìn)而利用圓錐的體積公式即可求解.【詳解】由已知，設(shè)原圓錐的高為，則，所以，因?yàn)?，，所以．故選：A．8.已知，則的最小值為（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】對(duì)進(jìn)行變形，結(jié)合，運(yùn)用基本不等式計(jì)算即可.【詳解】,由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào).則.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是對(duì)進(jìn)行變形，然后結(jié)合進(jìn)行配湊放縮，即可求出最值.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，有選錯(cuò)得0分，部分選對(duì)得部分分）9.已知函數(shù)．則能夠使得變成函數(shù)的變換為（）A.先橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，再向左平移B.先橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，再向左平移C.先向左平移，再橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的D.先向右平移，再橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象變換過(guò)程即可得出結(jié)果.【詳解】先將的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，得到的圖象；再將的圖象向左平移個(gè)單位即可得到函數(shù)的圖象，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；先將的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象；再將的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的即可得到函數(shù)的圖象，故選項(xiàng)C正確；先將的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象；再將的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的即可得到函數(shù)的圖象，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD10.在中，角所對(duì)的邊為，根據(jù)下列條件解三角形，其中僅有一解的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A,B,D,根據(jù)三角形全等，易得三角形的形狀唯一確定，故解唯一；對(duì)于C，可用正弦定理，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，說(shuō)明符合條件的三角形有兩解.【詳解】對(duì)于A，三角形中，已知三邊，由三角形全等知，三角形的形狀唯一確定，故僅有一解，即A正確；對(duì)于B，三角形中，已知兩個(gè)角和夾邊，由三角形全等知，三角形的形狀唯一確定，故僅有一解，即B正確；對(duì)于C，由正弦定理，可得，，因，則,因，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可知角有兩解，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，三角形中，已知兩邊和夾角，由三角形全等知，三角形的形狀唯一確定，故僅有一解，即D正確.故選：ABD.11.萊昂哈德?醫(yī)拉是歷史上最杰出的數(shù)學(xué)家之一，在數(shù)學(xué)許多分支上都可以見(jiàn)到以歐拉命名的常數(shù)，公式和定理．在拓?fù)鋵W(xué)中，歐拉公式描述了凸多面體頂點(diǎn)數(shù)，棱數(shù)和面數(shù)之間的關(guān)系：記凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)為V，棱數(shù)為E，面數(shù)為F，則．根據(jù)歐拉公式，判斷下列說(shuō)法正確的是（）注：若多面體上任意兩點(diǎn)的連線段都在該多面體內(nèi)（含表面），則稱(chēng)該多面體為凸多面體A.若某棱錐的棱數(shù)比頂點(diǎn)數(shù)多5，則該棱錐為六棱錐B.存在7條棱的多面體C.存在每個(gè)面都是五邊形或六邊形的凸多面體，且任意相鄰兩個(gè)面的邊數(shù)都不同D.若某凸多面體每個(gè)面都是邊長(zhǎng)為1的正方形或正五邊形，且每個(gè)頂點(diǎn)與其相連接的棱所形成的空間圖形均相同，則面數(shù)的所有可能取值為6，7，12【答案】AD【解析】【分析】將選項(xiàng)代入公式計(jì)算推導(dǎo)可判斷AB選項(xiàng)；C選項(xiàng)，假設(shè)存在，可設(shè)有x個(gè)五邊形，y個(gè)六邊形，根據(jù)多邊形的特點(diǎn)計(jì)算頂點(diǎn)數(shù)，根據(jù)多邊形內(nèi)角和列出不等式求解可判斷；D選項(xiàng)，從每個(gè)面都是正方形，每個(gè)面都是五邊形，以及既有正方形又有五邊形三個(gè)角度分別討論，分別計(jì)算頂點(diǎn)數(shù)，棱數(shù)求解是否存在相應(yīng)的面數(shù)可判斷.【詳解】A選項(xiàng)：代入歐拉公式得，故為六棱錐，A正確；B選項(xiàng)：若，則，而V，，故，或，，無(wú)論哪種情況都無(wú)法形成多面體，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：任意相鄰兩個(gè)面的邊數(shù)都不同，因此每個(gè)頂點(diǎn)至少連接4個(gè)面，設(shè)共有x個(gè)五邊形，y個(gè)六邊形，則（數(shù)遍每個(gè)五邊形的5個(gè)頂點(diǎn)和每個(gè)六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)，則該多面體每個(gè)頂點(diǎn)都被至少數(shù)了4遍），考慮所有多邊形的內(nèi)角和，注意每個(gè)頂點(diǎn)所連接的內(nèi)角之和小于，故，整理得無(wú)解，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：①若每個(gè)面都是正方形，則每個(gè)頂點(diǎn)連接3個(gè)面（正方形內(nèi)角為90°），每條棱連接2個(gè)面，故，，代入得，此時(shí)為正方體，②若每個(gè)面都是正五邊形，則每個(gè)頂點(diǎn)連接3個(gè)面數(shù)（正五邊形內(nèi)角為108°），每條棱連接2個(gè)面，故，，代入得，此時(shí)為正十二面體，③若即存在正方形又存在正五邊形，則每個(gè)頂點(diǎn)連接3個(gè)面，每條棱連接2個(gè)面，設(shè)共有m個(gè)正方形，n個(gè)正五邊形，則，，代入歐拉公式得，因?yàn)槊總€(gè)頂點(diǎn)與其相連接的棱所形成的空間圖形均相同，故每個(gè)頂點(diǎn)要么連接2個(gè)正方形1個(gè)五邊形，要么連接1個(gè)正方形2個(gè)五邊形，（i）若每個(gè)頂點(diǎn)連接2個(gè)正方形1個(gè)五邊形，則，，解得，，，此時(shí)為側(cè)面為正方形的正五棱柱，（ii）若每個(gè)頂點(diǎn)連接1個(gè)正方形2個(gè)五邊形，此時(shí)考慮某個(gè)五邊形，其5條邊每條邊相連的面一定是五邊形正方形間隔環(huán)形排列，而5是奇數(shù)，不可能；因此符合題意的簡(jiǎn)單凸多面體的面數(shù)只可能為6，7，12，D正確.故選：AD第Ⅱ卷（選擇題共92分）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.若函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義，對(duì)于定義域內(nèi)的任意，都有，通過(guò)這個(gè)等式來(lái)求解的值.【詳解】已知為偶函數(shù)，則，即.對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)：將其代入可得：得到：,可得：因?yàn)樯鲜綄?duì)于定義域內(nèi)的任意都成立，所以，解得.故答案為：.13.天氣預(yù)報(bào)7月1日后連續(xù)四天，每天下雨的概率為0.7，現(xiàn)用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十個(gè)整數(shù)值中，假定0，1，2，3，4，5，6表示當(dāng)天下雨，7，8，9表示當(dāng)天不下雨.在隨機(jī)數(shù)表中從某位置按從左到右的順序讀取如下20組四位隨機(jī)數(shù)：32819522001874720129387958692436846039909533798026928280075384258935388278905987據(jù)此估計(jì)四天中恰有三天下雨的概率為_(kāi)_____.【答案】##0.45【解析】【分析】結(jié)合表中數(shù)據(jù)根據(jù)古典概型概率公式求解即可.【詳解】由表中數(shù)據(jù)可得四天中恰有三天下雨的有3281，9522，0018，0129，8460，9533，2692，0753，8425，共9組，所以估計(jì)四天中恰有三天下雨的概率為.故答案為：14.設(shè)集合，對(duì)和，定義：．已知集合是的子集，對(duì)任意，滿(mǎn)足：當(dāng)，時(shí)，為偶數(shù)，否則為奇數(shù)，則中元素個(gè)數(shù)的最大值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】先列舉出兩個(gè)元素和的取值，再結(jié)合條件，進(jìn)行分類(lèi)討論，即可求解.【詳解】集合中任取兩個(gè)元素和對(duì)應(yīng)坐標(biāo)計(jì)算結(jié)果如下表：000010100111因?yàn)楫?dāng)，時(shí)，為偶數(shù)，所以集合中任一元素含有1的個(gè)數(shù)為0，2或4，分別如下：①；②，，，，，；③，根據(jù)題意，可知集合中至多含以上8個(gè)元素．當(dāng)和不同時(shí)，因?yàn)槠鏀?shù)，所以和的四個(gè)對(duì)應(yīng)位置都為1的恰有1個(gè)或3個(gè)，若中不含第②類(lèi)元素，則中至多1個(gè)元素，若中含第②類(lèi)元素，不妨設(shè)，則第①和③類(lèi)的兩個(gè)元素不在中，對(duì)于第②類(lèi)元素中，不在中，其余都可以是的元素，所以集合中元素個(gè)數(shù)的最大值為5，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.一個(gè)單擺如圖所示，以為始邊，為終邊的角（）與時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)滿(mǎn)足.（1）時(shí)，角是多少？（2）單擺頻率是多少？（3）單擺完成5次完整擺動(dòng)共需多長(zhǎng)時(shí)間？【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）代入解析式直接求解；（2）先求周期，再求頻率；（3）根據(jù)周期直接求解.【詳解】.（1）時(shí)，.（2）因?yàn)?所以單擺頻率.（3）因?yàn)閱螖[的周期為，所以單擺完成5次完整擺動(dòng)共需時(shí)間為：.16.為了解某校高一年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的階段性表現(xiàn)，年級(jí)組織了一次階段測(cè)試.已知此次考試共有450名學(xué)生參加，考試成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示（同一組中的數(shù)據(jù)以該區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.（1）求a的值；（2）估計(jì)這次數(shù)學(xué)考試成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；（3）估計(jì)該校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的第70百分位數(shù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)）.【答案】（1）（2）眾數(shù)為65，中位數(shù)為67.69，平均成績(jī)?yōu)?7.60（3）第70的分位數(shù)為75.83【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖面積為1，求解即可；（2）由眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解；（3）由百分位數(shù)的計(jì)算公式即可求解；【小問(wèn)1詳解】由，解得.小問(wèn)2詳解】由頻率分布直方圖知：眾數(shù)為65，設(shè)中位數(shù)為x，因?yàn)椋?，故中位?shù)位于內(nèi)，則有，解得.所以中位數(shù)為67.69.這次數(shù)學(xué)考試的平均成績(jī)?yōu)?【小問(wèn)3詳解】成績(jī)小于70分所占的比例為，成績(jī)小于80分所占的比例為，所以第70的分位數(shù)在內(nèi)，所以第70的分位數(shù)為.17.已知為銳角三角形，角所對(duì)的邊分別為，．（1）求證：；（2）若，求周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）運(yùn)用正弦定理邊角互化，再結(jié)合和角差角公式變形計(jì)算即可；（2）運(yùn)用正弦定理邊角互化，再結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合換元法和二次函數(shù)性質(zhì)計(jì)算.小問(wèn)1詳解】由，得，由余弦定理得，即，由正弦定理得，所以．所以，即．所以或，即或．因?yàn)椋?，所以．【小?wèn)2詳解】因?yàn)闉殇J角三角形，所以即解得．因?yàn)?，由正弦定理得，所以，由正弦定理得，故的周長(zhǎng)．令，由（1）知，所以．因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以周長(zhǎng)的取值范圍為．18.如圖，平面，分別為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）．【解析】【分析】（1）由平行的傳遞性得到，即可求證；（2）連接，則由已知可證得平面，從而得為和平面所成的角，然后在Rt中求解.【小問(wèn)1詳解】∵分別為的中點(diǎn)，∴．又∵，∴．又不在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，∴平面．【小問(wèn)2詳解】連接.為的中點(diǎn)，且.平面平面，∴，∵，∴，∵，平面，平面，∵平面，由（1）有，又四邊形為平行四邊形，∴，∵，平面.平面.為和平面所成的角.由得，在Rt中，，和平面所成角的正弦值為.19.設(shè)是正整數(shù)，是的非空子集（至少有兩個(gè)元素），如果對(duì)于中的任意兩個(gè)元素，，都有，則稱(chēng)具有性質(zhì)．（1）試判斷集合是否具有性質(zhì)？并說(shuō)明理由；（2）若集合，證明不可能具有性質(zhì)；（3）若集合具有性質(zhì)和，中最多有幾個(gè)元素，并說(shuō)明理由．【答案】（1）具有性質(zhì)，理由見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）至多只有5個(gè)，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)新定義判斷是否具有性質(zhì)即可；（2）利用反證法，假設(shè)具有性質(zhì)