廣東省惠州仲愷中學(xué)等五校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析）

第頁，共頁惠州市2027屆高一五校聯(lián)考試題數(shù)學(xué)注意事項：1．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡的相應(yīng)位置．3．全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無效．4．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．5．考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)平面向量，若，則實數(shù)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由有，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】由有.故選：D2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A.2 B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算先求復(fù)數(shù)，進而得，即可運算.【詳解】由有.故選：A.3.已知在中，角的對邊分別為，若，則的值為（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦定理即可求解.【詳解】由正弦定理可得,故.故選：C4.已知，是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】由不共線的兩個非零向量才可以作為基底，結(jié)合共線定理對各項逐一判斷.【詳解】對于A，因為，所以與共線，不能作為基底；對于B，設(shè)，則，解得，所以與共線，不能作為基底；對于C，設(shè)，則，即：，此時無解，所以與不共線，可以作為基底；對于D，設(shè)，則，即：，解得，所以與共線，不能作為基底；故選：C.5.在中，若，則此三角形（）A.無解 B.有兩解 C.有一解 D.解的個數(shù)不確定【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理求出，再結(jié)合，即可得出結(jié)論.【詳解】因為，，所以，因，所以，所以滿足的有兩個，所以此三角形有兩解.故選：B.6.我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示，在“趙爽弦圖”中，若，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用平面向量的線性運算列式，再借助方程思想求解作答.【詳解】因為,所以,,所以...①,...②，由①+②得：，即.故選：B7.已知，，且，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)投影向量的公式求解即可.【詳解】設(shè)為向量，的夾角，因為，所以向量在向量上的投影向量為.故選：B.8.克羅狄斯·托勒密是希臘數(shù)學(xué)家，他博學(xué)多才，既是天文學(xué)權(quán)威，也是地理學(xué)大師．托勒密定理是平面幾何中非常著名的定理，它揭示了圓內(nèi)接四邊形的對角線與邊長的內(nèi)在聯(lián)系，該定理的內(nèi)容為圓的內(nèi)接四邊形中，兩對角線長的乘積等于兩組對邊長乘積之和．已知四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，且，．若，則圓的半徑為（）A.4 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】由托勒密定理求出，設(shè)圓的半徑為，由正弦定理可得，即可得到，再根據(jù)及二倍角公式求出，即可求出，從而得解.【詳解】解：由托勒密定理，得．因為，所以．設(shè)圓的半徑為，由正弦定理，得．又，所以．因為，所以，因為，所以，所以，所以，則，故．故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列結(jié)論中錯誤的為（）A.兩個有共同起點的單位向量，其終點必相同B.向量與向量的長度相等C.對任意向量，是一個單位向量D.零向量沒有方向【答案】ACD【解析】【分析】由單位向量和零向量以及相反向量的定義即可判斷.【詳解】對于A：由單位向量的定義可知，單位向量是模為1，方向任意，故A錯誤；對于B：由相反向量的定義可知向量與向量的長度相等，故B正確；對于C：當(dāng)向量時，不滿足，故C錯誤；對于D：零向量是定義大小為0，方向任意，故D錯誤.故選：ACD.10.已知是邊長為2的等邊三角形，若向量，滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)向量加法的三角形法則判斷A，根據(jù)數(shù)量積的定義判斷B，根據(jù)數(shù)量積的運算律判斷C、D；【詳解】解：因為，，對于A：，故A正確；對于B：，故B錯誤；對于C：，則，故C正確：對于D：，即，故D錯誤；故選：AC11.在中，，則（）A. B.的面積為8C. D.內(nèi)切圓半徑是【答案】ABD【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式即可求，利用余弦定理即可求得，由求，進而得的面積，利用數(shù)量積的定義即可判斷C，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，由即可求解.詳解】由，所以，由余弦定理有：，所以，故A正確；由，所以，故B正確；，故C錯誤；設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則有，即，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為_____________．【答案】【解析】【分析】先計算復(fù)數(shù)，由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，即實部為零即可求解.【詳解】由，所以，因為復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，即.故答案為：.13.如圖，在中，，是上的一點，若，則實數(shù)的值為________.【答案】【解析】【分析】解法1：先根據(jù)得到，從而可得，再根據(jù)三點共線定理，即可得到的值.解法2：根據(jù)圖形和向量的轉(zhuǎn)化用同一組基底去表示，根據(jù)圖形可得：，設(shè)，通過向量線性運算可得：，從而根據(jù)平面向量基本定理列方程組，解方程組得的值.【詳解】解法1：因為，所以，又，所以因為點三點共線，所以，解得：.解法2：因為，設(shè)，所以，因為，所以，又，所以，所以，又，所以解得：，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查平面向量的線性運算、三點共線定理，平面向量基本定理的運用，屬于基礎(chǔ)題.14.“大美中國古建筑名塔”榴花塔以紅石為基，用青磚灰沙砌筑建成．如圖，記榴花塔高為，測量小組選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測量點和，現(xiàn)測得m，在點處測得塔頂?shù)难鼋菫?，則塔高為_____________m．【答案】【解析】【分析】先在中利用正弦定理求，再在中求即可.【詳解】依題意，中，，，即，解得.在中，，即.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，向量．（1）若向量，求向量的坐標(biāo)；（2）若向量與向量的夾角為120°，求．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）由，設(shè)，有，再根據(jù)，得，最后解方程即可；（2）先求，再求后可求解.【小問1詳解】由，設(shè)，∴，∵，∴，解得或所以或．【小問2詳解】∵，，，∴，∴，∴．16.在銳角中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知．（1）若，，求的值：（2）若，判斷的形狀．【答案】（1）（2）等邊三角形．【解析】【分析】（1）由正弦定理邊化角，求出，再利用余弦定理可得答案；(2)由余弦定理得結(jié)合得，進而，從而可得答案.【小問1詳解】由正弦定理，，故，再由余弦定理得，,從而；小問2詳解】因為，所以由余弦定理得結(jié)合得，進而，所以是等邊三角形．17.已知，，，是復(fù)平面上的四個點，其中，，且向量，對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，．（1）若，求，；（2）若，對應(yīng)的點在復(fù)平面內(nèi)的第二象限，求．【答案】（1），；（2）．【解析】【分析】（1）向量，對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，.利用即可得出得出結(jié)果.（2），對應(yīng)的點在第二象限，計算可得，，進而計算即可得出結(jié)果.【詳解】解：（1）由題意可知，所以．，所以．又，所以所以所以，．（2）由已知可得，，，所以，又，所以，解得或（舍），又對應(yīng)的點在第二象限，所以，可得，，，可得．18.如圖，在菱形中，.（1）若，求的值；（2）若，，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可知，即可求解；（2），從而即可求解.【小問1詳解】因為在菱形中，.故，故，所以.【小問2詳解】顯然，所以①，因為菱形，且，，故，.所以.故①式.故.19.如圖，正方形ABCD的邊長為1，P，Q分別為邊BC，CD上的點，且；（1）求∠PAQ的大?。唬?）求面積的最小值；（3）某同學(xué)在探求過程中發(fā)現(xiàn)PQ的長也有最小值，結(jié)合（2）他猜想“中PQ邊上的高為定值”，他的猜想對嗎?請說明理由．【答案】（1）（2）（3）該同學(xué)猜想正確，理由見解析【解析】【分析】（1）解法一首先由向量的平行四邊形定則和向量的數(shù)量積得到，再由三角函數(shù)的定義得到，，最后再結(jié)合正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式得到；方法二設(shè)，，由向量夾角的定義得到，在中再結(jié)合勾股定理和三角函數(shù)值求出；（2）由三角形的面積公式得到，再角度關(guān)系和二倍角公式及結(jié)合正弦函數(shù)的最值化簡可得；（3）由三角形的面積公式得到，再由向量夾角的定義結(jié)合三角函數(shù)值得到，求出結(jié)果即可.【小問1詳解】記，，則．（1）解法一：∵，∴，∴，∴，∵正方形ABCD的邊