廣東省佛山市南海外國語高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題（解析）

第頁，共頁南海外國語高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年第二學(xué)期一檢考試高二年級(jí)數(shù)學(xué)科答題卷（全卷150分，考試時(shí)間：120分鐘）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用交集的定義可求.詳解】由題設(shè)有，故選：B.2.已知平面向量滿足.則向量與向量的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)向量模長(zhǎng)公式求出的模長(zhǎng)，再根據(jù)通過向量模長(zhǎng)公式展開得到關(guān)于的等式，最后根據(jù)向量點(diǎn)積公式（為與的夾角）求出夾角.【詳解】已知，根據(jù)向量模長(zhǎng)公式.因?yàn)?，將其兩邊平方可?根則有.，所以；，所以.代入上式可得，化簡(jiǎn)得，所以.，解得.因?yàn)?，所?故選：A.3.已知復(fù)數(shù)滿足(其中為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題目條件可得，即，然后利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn).【詳解】因?yàn)?，所以，則故復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的相關(guān)概念及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，按照復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)計(jì)算即可，較簡(jiǎn)單.4.數(shù)列，，，，……的通項(xiàng)公式可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由分母構(gòu)成等差數(shù)列即可求出.【詳解】數(shù)列的分母形成首項(xiàng)為5，公差為2的等差數(shù)列，則通項(xiàng)公式為，所以.故選：C.5.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A.36 B.45 C.54 D.63【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到，然后求和即可.【詳解】，所以，.故選：C.6.汽車行駛的路程s和時(shí)間t之間的函數(shù)圖象如圖所示，在時(shí)間段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分別為，則三者的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平均速度的幾何意義對(duì)進(jìn)行分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】設(shè)直線的斜率分別為，則，，，由題中圖象知，即.故選:B7.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且為常數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由條件可得，然后可得，然后用累乘法求出答案即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是常數(shù)列，所以，因?yàn)?，所以，即，所以?dāng)時(shí)，時(shí)也滿足上式，所以.故選：B8.已知，若等比數(shù)列滿足，則（）A. B.1013 C.2025 D.2026【答案】D【解析】【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再計(jì)算，再利用倒序相加計(jì)算結(jié)果．【詳解】因，數(shù)列是等比數(shù)列，有，因?yàn)?，所以，故有設(shè)，則，則，則.故選：D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由已知條件列方程組，求出公差和首項(xiàng)，從而可求出通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，所以，解得，所以，，故選：BC10.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，（），則下列結(jié)論正確的是（）A. B.等比數(shù)列C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由題設(shè)得，是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，即可判斷A、B、C選項(xiàng)；應(yīng)用錯(cuò)位相減法、等比數(shù)列前項(xiàng)和，可判斷D選項(xiàng).【詳解】由（），得，又，則，所以是以3為首項(xiàng)、3為公比的等比數(shù)列，故B選項(xiàng)正確；所以，則，可得，故A選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，則兩式相減，得，所以，，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD.11.若函數(shù)與的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)可能取值為A.2 B.1 C.0 D.【答案】BCD【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合考查兩個(gè)函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)閮珊瘮?shù)圖象都過原點(diǎn)，則求函數(shù)過原點(diǎn)的切線．【詳解】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為；所以過原點(diǎn)的切線的斜率為；則過原點(diǎn)的切線的方程為：；所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)；故選：BCD【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)形結(jié)合思想，考查函數(shù)零點(diǎn)，函數(shù)的切線的求法；屬于基礎(chǔ)題．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為________.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求切線方程.【詳解】，故，而，故切線方程為：即，故答案為：.13.已知為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則的值為______．【答案】40【解析】【分析】可結(jié)合等比推論也成等比數(shù)列直接求解【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，所以也成等比數(shù)列，即也成等比數(shù)列，解得，，即故答案：4014.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（1175年-1250年）經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間研究兔子繁殖的數(shù)量發(fā)現(xiàn)，其數(shù)值滿足某種規(guī)律，他將這些數(shù)據(jù)羅列出來，寫成數(shù)列形式：1，1，2，3，5，8，…，通過探索和不懈的努力，斐波那契得到了其通項(xiàng)公式為，同時(shí)發(fā)現(xiàn)這一數(shù)列的個(gè)位數(shù)是以60為周期變化的，故此數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，今天，我們借助意大利數(shù)學(xué)家斐波那契對(duì)人類的此項(xiàng)貢獻(xiàn)，求解的值的個(gè)位數(shù)為______．【答案】4【解析】【分析】由斐波那契數(shù)列得到遞推關(guān)系，得到，從而可求出的值，根據(jù)條件可得答案.【詳解】解根據(jù)題意，可得此數(shù)列滿足，，根據(jù)題意，的個(gè)位數(shù)與的個(gè)位數(shù)相同為1，的個(gè)位數(shù)與的個(gè)位數(shù)相同為4，所以個(gè)位數(shù)為4．故答案為：4四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在等差數(shù)列中，已知公差，．（1）判斷和是否是數(shù)列中的項(xiàng)．如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，請(qǐng)說明理由．（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可．（2）利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解即可．【小問1詳解】等差數(shù)列中，公差，，，，，令，，不是數(shù)列中的項(xiàng)，令，，是數(shù)列中的項(xiàng)，是第21項(xiàng)【小問2詳解】16.已知函數(shù)，且在處的切線斜率為.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性.【答案】（1）（2）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)減【解析】【分析】(1)對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)已知條件代入即可求出的值；(2)分形解，即可得解．【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，求導(dǎo)得，在處的切線斜率為，即，，解得；【小問2詳解】由(1)可知，求導(dǎo)，令，解得；令，解得.函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)減．17.數(shù)列滿足：，，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】（1），，，（2）【解析】【分析】（1）利用累加法可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；利用降標(biāo)作差求出，再結(jié)合等比數(shù)列，可得，進(jìn)而計(jì)算出以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法即可計(jì)算.【小問1詳解】因，則當(dāng)且時(shí)，，則，由累加法可得，又，則，又當(dāng)時(shí)，也滿足上式，故，；因，則，兩式作差得，則，，，因數(shù)列為等比等比數(shù)列，則公比，且，又，得，則，故，.【小問2詳解】由（1）可知，則，則，由兩式相減可得，，故.18.如圖，在多面體ABCDEF中，平面平面ABCD，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，四邊形ABCD是菱形，且，，．（1）求證：平面ACF；（2）在線段AE上是否存在點(diǎn)M，使平面MAD與平面MBC夾角的余弦值為．若存在，請(qǐng)說明點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在點(diǎn)，點(diǎn)為線段AE的中點(diǎn)【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法得出，從而得出，利用四邊形是菱形，得出，再利用線面垂直的判定定理即可得出證明；（2）設(shè)，，利用（1）結(jié)果，求出平面的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量為，再根據(jù)條件，利用面面角的向量法即可求出結(jié)果.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又四邊形是菱形，且，所以，故以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，易知，則，，，，，所以，，得到，故，，得到，所以，又，平面ACF，平面ACF，，∴平面ACF．【小問2詳解】假設(shè)存在點(diǎn)，使平面與平面夾角的余弦值為，設(shè)，，則，所以，，．即，所以，，設(shè)平面的法向量為，則即，所以，令，得，所以，又平面的一個(gè)法向量為，所以，解得或(舍去)，所以，存在點(diǎn)，使平面與平面夾角的余弦值為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，說明理由；（3）記，證明：．【答案】（1）（2）存在；或（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用的關(guān)系可得，利用累乘法可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消法可求得，假設(shè)存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列，可得，求解即可；（3）當(dāng)時(shí)，可得，利用放縮法可證明不等式成立.【小問1詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，兩式相減得，即．累乘得．經(jīng)檢驗(yàn)也符合上式，所以．【小問2詳解】因?yàn)?，所以，所以，假設(shè)存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列，則，即，即，顯然是18的正約數(shù)，又因?yàn)?，所以，所以?8，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，．所以，存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列，此時(shí)或．【小問3詳解】由題意知，，當(dāng)時(shí)，，不等式成立．當(dāng)，因，所以．因?yàn)?，所以，所以時(shí)，，綜上，．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明數(shù)列