上海市長寧區(qū)2025屆高三下學(xué)期二模試題 數(shù)學(xué) 含解析

2024學(xué)年第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量調(diào)研試卷考生注意：1．答題前，務(wù)必在答題紙上將姓名、學(xué)校、班級等信息填寫清楚，并貼好條形碼．2．解答試卷必須在答題紙規(guī)定的相應(yīng)位置書寫，超出答題紙規(guī)定位置或?qū)懺谠嚲?、草稿紙上的答案一律不予評分．3．本試卷共有21道試題，滿分150分，考試時間120分鐘．一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果．1.已知集合，則_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)交集的定義可求.【詳解】由交集的定義可得，故答案為：2.復(fù)數(shù)，，則_________．【答案】##【解析】【分析】由已知可得，根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算即可求解.【詳解】因為，所以，所以.故答案為：.3.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，則其前7項和_________．【答案】【解析】【分析】利用公式法可求.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，故，故，故答案為：4.某水果店的蘋果，來自A基地，來自B基地，A基地蘋果的新鮮率為，B基地蘋果的新鮮率為，從該水果店隨機選取一個蘋果，則選到新鮮蘋果的概率是_________．【答案】##【解析】【分析】由已知結(jié)合全概率公式求解即可.【詳解】設(shè)選取的蘋果來自A基地為事件，選取的蘋果來自B基地為事件，選到新鮮蘋果為事件，所以，，，，所以，所以從該水果店隨機選取一個蘋果，則選到新鮮蘋果的概率是.故答案為：.5.為了研究吸煙習(xí)慣與慢性氣管炎患病的關(guān)系，某疾病預(yù)防中心對相關(guān)調(diào)查數(shù)據(jù)進行了研究，假設(shè)：患慢性氣管炎與吸煙沒有關(guān)系，并通過計算得到統(tǒng)計量，則可推斷_________原假設(shè)．（填“拒絕”或“接受”，規(guī)定顯著性水平．）【答案】拒絕【解析】【分析】在獨立性檢驗中，當計算得到的統(tǒng)計量大于臨界值時，就拒絕原假設(shè)，即可求解.【詳解】已知顯著性水平，，即臨界值為，因為，所以可推斷拒絕原假設(shè).故答案為：拒絕.6.已知隨機變量的分布是，則其方差_________．【答案】##【解析】【分析】利用方差公式可求方差.【詳解】的期望為，故，故答案為：7.已知，，用表示為__．【答案】【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)和換底公式求解.【詳解】因為，，所以，；所以．故答案為:.8.頂角為的等腰三角形被稱為黃金三角形，其底邊和腰之比正好為黃金比，用黃金比表示_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知可得，由二倍角的余弦函數(shù)即可求解.【詳解】如圖等腰三角形中，，過作交于，所以為角平分線，所以，即，由已知可得，所以，所以.故答案為：.9.一項過關(guān)游戲的規(guī)則規(guī)定：在第n關(guān)要投擲骰子n次，如果這n次投擲所得的點數(shù)之和大于，則算過關(guān)，問一個人連過第一、二關(guān)的概率為_________．【答案】【解析】【分析】利用古典概型的概率公式可求過第一、二關(guān)的概率，從而可得連過兩關(guān)的概率.【詳解】由題設(shè)，在第一關(guān)投1次骰子，點數(shù)大于3，即擲得點數(shù)為，則過第一關(guān)的概率為，第二關(guān)投2次骰子，點數(shù)之和大于6，則兩次擲得點數(shù)分別為：，故過第二關(guān)系的概率為，故一個人連過第一、二關(guān)的概率為，故答案為：.10.已知點D、E分別是三角形ABC的邊AC、BC的中點，且，則三角形ABC的面積的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】如圖，利用補形可得，結(jié)合面積公式可求范圍.【詳解】如圖，過作，過作交的延長線于，則四邊形、四邊形為平行四邊形，連接，則互相平分，故共線且為的中點，而，故，故，中，，，，故，故，故答案為：11.現(xiàn)有一塊正四面體木料PABC，其邊長為3，現(xiàn)需要將木料進行切割，要求切割后底面ABC上任意一點Q到頂點P的距離不大于，則切割好后，木料體積的最大值是_________．（結(jié)果保留）【答案】【解析】【分析】設(shè)正四面體定點在底面的投影為，連接，可得以為圓心，半徑為的圓在底面內(nèi)的部分為底，以為頂點的幾何體即為符合要求的部分，先求解底面面積，為高，即可求解切割好后，木料體積的最大值.【詳解】設(shè)正四面體定點在底面的投影為，則為正三角形的中心，連接，所以，，若底面上任意一點到頂點的距離不大于，設(shè)，則，所以以為圓心，半徑為的圓在底面內(nèi)的部分為底，以為頂點的幾何體即為符合要求的部分，如圖以為圓心，半徑為的圓與底面相交的交點為，延長交于，連接，，所以，，所以，所以，所以，所以為等邊三角形，所以以為圓心，半徑為的圓在底面內(nèi)的部分的面積為，所以切割好后，木料體積的最大值是.故答案為：.12.已知函數(shù)和，其中，且是定義在上的函數(shù)，其圖像關(guān)于原點對稱，當時，．若對任意的，存在，使得，則的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可知的值域是值域的子集，先求出的值域，再對分類討論求值域，從而求得的取值范圍.【詳解】對任意的，存在，使得，的值域是值域的子集，當時，的值域為，是定義在上的函數(shù)，其圖像關(guān)于原點對稱，是奇函數(shù)，且，當時，，的對稱軸方程為，當時，在上單調(diào)遞增，在時的范圍是，，，在上的值域為，此時的值域不可能為值域的子集，舍去；當，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在時的范圍是，，，在上的值域為，此時的值域不可能為值域的子集，舍去；當即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在時的范圍是，，，在上的值域為，此時的值域不可能為值域的子集，舍去；當，即時，在上單調(diào)遞減，在時的范圍是，若，則，，在上的值域為，此時的值域不可能為值域的子集，舍去；若，則，，，或解得，或，；若，則，，在上的值域為，此時的值域不可能為值域的子集，舍去；綜上，的取值范圍是.故答案為：.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個正確選項．考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑．13.已知非零實數(shù)，則下列命題中成立的是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用賦值法即可判斷，，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】由已知當，，所以，故錯誤；因為，當時，所以，故錯誤；當非零實數(shù)，一正一負時，無意義，故錯誤；因為在上單調(diào)遞增，且，所以，故正確故選：.14.某書店為了分析書籍銷量與宣傳投入之間的關(guān)系，對宣傳投入x（千元）和書籍銷量y（百本）的情況進行了調(diào)研，并統(tǒng)計得到表中幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)，同時用最小二乘法得到y(tǒng)關(guān)于x的線性回歸方程為，則下列說法不正確的是（）x3456y56.27.4mA.變量x、y之間呈正相關(guān) B.預(yù)測當宣傳投入2千元時，書籍銷量約為400本C. D.擬合誤差【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線性回歸方程即可判斷；將代入線性回歸方程即可判斷；由在線性回歸方程上，即可求解；根據(jù)擬合誤差計算公式求解即可.【詳解】因為線性回歸方程為，，所以變量x、y之間呈正相關(guān)，故正確；當時，（百本），所以書籍銷量約為400本，故正確；由表中數(shù)據(jù)可得，，所以，解得，故錯誤；當時，，，當時，，，當時，，，當時，，，所以，故正確.故選：.15.如圖，等腰直角三角形ABC中，，點E是邊AC的中點，點D是邊BC上一點（不與C重合），將三角形DCE沿DE逆時針翻折，點C的對應(yīng)點是，連接，設(shè)為二面角大小，．在翻折過程中，下列說法當中不正確的是（）A.存在點D和，使得 B.存在點D和，使得C.存在點D和，使得 D.存在點D和，使得【答案】B【解析】【分析】取特例判斷ACD，利用反證法判斷B后可得正確的選項.【詳解】對于AD，取為中點，，則，而，故，故在幾何體中，，而，故為二面角的平面角，故，故，而平面，故平面，而平面，故，故A成立.因，，平面，故平面，而平面，故，故D成立.對于C，過作，為垂足，取，同理可證平面，而平面，故，故C成立.對于B，過作平面，垂足為，因為平面，故，若，因為平面，故平面，而平面，故，而，故在上，因為，平面，故平面，而平面，故，故，但，矛盾，故不成立即B不成立，故選：B.16.橢圓具有如下光學(xué)性質(zhì)：如圖，分別是橢圓的左、右焦點，從點發(fā)出的光線在到達橢圓上的點P后，經(jīng)過到達點的切線反射后經(jīng)過點，有以下兩個命題：①若P是橢圓上除長軸端點外的一點，設(shè)法線與x軸的交點為，則②若從發(fā)出的光線，經(jīng)橢圓兩次反射后，第一次回到所經(jīng)過的路程為，則該橢圓的離心率為；則以下說法正確的是（）A.①是真命題，②是真命題 B.①是真命題，②是假命題C.①是假命題，②是真命題 D.①是假命題，②是假命題【答案】A【解析】【分析】設(shè)，通過求導(dǎo)可得橢圓在點處的切線的斜率為，由法線和切線垂直可得，即可判斷①；由已知結(jié)合橢圓的定義可得，即可判斷②.【詳解】設(shè)，因為，所以，當時，，所以在點處的切線的斜率為，同理可得當時，在點處的切線的斜率為，所以橢圓在點處的切線的斜率為，因為，所以，因為，所以，所以，因為，所以，故①是真命題；因為發(fā)出光線在到達橢圓上的點P后，經(jīng)過到達點的切線反射后經(jīng)過點，所以兩次反射后，第一次回到所經(jīng)過的路程為，所以，所以，故②是真命題.故選：三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）．解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟．17.已知向量．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若函數(shù)在區(qū)間上恰有2個零點，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1），.（2）【解析】【分析】（1）由數(shù)量積的坐標形式結(jié)合三角變換公式可得，由整體法可求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（2）函數(shù)在給定區(qū)間上的零點問題可轉(zhuǎn)化為與的圖象在上有兩個不同的交點，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】，令，則，其中，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，.【小問2詳解】由題設(shè)有在有兩個不同的零點，而，故在有兩個不同的解，故與的圖象在上有兩個不同的交點，而在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，且，故，故.18.如圖，在直三棱柱中，，點D是棱的中點．（1）求證：平面平面；（2）求點到平面的距離以及三棱錐的體積．【答案】（1）證明見詳解（2）；【解析】【分析】(1)利用面面垂直的判定定理進行證明；(2)利用等體積法求解即可.【小問1詳解】連接，取的中點，連接，，，，在直三棱柱中，平面平面，平面平面，平面，平面，分別為，的中點，且，點D是棱的中點，且，且，四邊形是平行四邊形，，平面，平面，平面平面；【小問2詳解】，，，點D是棱的中點，，，，由(1)知平面，，，，，設(shè)點到平面的距離為，，，，點到平面的距離為，三棱錐的體積為.19.為響應(yīng)國家促進消費的政策，某大型商場舉辦了“消費滿減樂翻天”的優(yōu)惠活動，顧客消費滿800元（含800元）可抽獎一次，抽獎方案有兩種（顧客只能選擇其中的一種）方案1：從裝有5個紅球，3個藍球（形狀、大小完全相同）的抽獎盒中，有放回地依次摸出3個球．每摸出1次紅球，立減150元，若3次都摸到紅球，則額外再減200元（即總共減650元）；方案2：從裝有5個紅球，3個藍球（形狀、大小完全相同）的抽獎盒中，不放回地依次摸出3個球．中獎規(guī)則為：若摸出3個紅球，享受免單優(yōu)惠；若摸出2個紅球，則打5折；其余情況無優(yōu)惠．（1）顧客A選擇抽獎方案2，已知他第一次摸出紅球，求他能夠享受優(yōu)惠的概率；（2）顧客B恰好消費了800元，①若他選擇抽獎方案1，求他實付金額的分布列和期望（結(jié)果精確到0.01）；②試從實付金額的期望值分析顧客B選擇何種抽獎方案更合理．【答案】（1）（2）①分布列見解析，；②選擇方案【解析】【分析】（1）設(shè)事件表示“第一次摸到紅球”，事件表示“能夠享受優(yōu)惠”，求解在第一次摸到紅球后，從7個球中不放回摸2個球的情況和摸出兩球為紅球和一紅一藍兩種情況的種數(shù)，即可求解；（2）①設(shè)顧客B選擇抽獎方案1時實付金額為元，由二項分布即可求解；②設(shè)顧客B選擇抽獎方案2時實付金額為元，根據(jù)超幾何分布求得均值，比較隨機變量和的均值即可判斷.【小問1詳解】設(shè)事件表示“第一次摸到紅球”，事件表示“能夠享受優(yōu)惠”，在第一次摸到紅球后，抽獎盒中還剩4個紅球和3個藍球，共7個球，享受優(yōu)惠包含摸出2個紅球和摸出3個紅球這兩種情況，從7個球中不放回摸2個球，總情況有種，摸出兩個紅球的情況有種，摸出1紅1藍的情況有種，所以；【小問2詳解】①設(shè)顧客B選擇抽獎方案1時實付金額為元，從裝有5個紅球，3個藍球的抽獎盒中摸一個球，摸到紅球的概率為，摸到藍球的概率為，當摸出0個紅球時，，當摸出1個紅球時，，當摸出2個紅球時，，當摸出3個紅球時，，所以實付金額的分布列為800650500150實付金額的期望為；②設(shè)顧客B選擇抽獎方案2時實付金額為元，當摸出0個紅球或1個紅球時，，當摸出2個紅球時，，當摸出3個紅球時，，所以，所以，所以從實付金額的期望值分析，顧客B選擇抽獎方案2更合理.20.已知雙曲線的左、右焦點分別為，點A是其左頂點，點P是雙曲線上一點，且位于第一象限，若雙曲線的離心率．（1）求雙曲線的方程；（2）若三角形是等腰三角形，求點P的坐標；（3）直線不垂直于x軸，且與曲線另一個交點為Q，若是銳角，求直線的斜率的取值范圍．【答案】（1）（2）或.（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件求出基本量后得雙曲線方程；（2）就、、分類得方程組，求解后得的坐標；（3）聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，結(jié)合韋達定理可得關(guān)于斜率的不等式，求解后得斜率的范圍.【小問1詳解】設(shè)半焦距為，則即，而，故，故，，故雙曲線的方程為：.【小問2詳解】由（1）得，，因為在第一象限，故設(shè)，其中，因為三角形是等腰三角形，故或或，若，則在的中垂線上，則，舍；若，則，故，故，解得，故.若，同理有，，故，綜上，或.【小問3詳解】設(shè)直線，設(shè)，而，故，因為是銳角，故，所以，整理得到，由可得，故且，且，所以，又，整理得：，故或或.21.已知函數(shù)的定義域，對任