高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.2直接證明與間接證明2.2.1綜合法和分析法課時作業(yè)含解析新人教A版選修1-2

PAGEPAGE4其次章推理與證明課時作業(yè)36一、選擇題1．命題“對于隨意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的證明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”，其過程應(yīng)用了()A．分析法B．綜合法C．綜合法、分析法綜合運(yùn)用D．間接證法解析：從證明過程來看，是從已知條件入手，經(jīng)過推導(dǎo)得出結(jié)論，符合綜合法的證明思路．答案：B2．欲證eq\r(2)－eq\r(3)<eq\r(6)－eq\r(7)成立，只需證()A.(eq\r(2)－eq\r(3))2<(eq\r(6)－eq\r(7))2B.(eq\r(2)－eq\r(6))2<(eq\r(3)－eq\r(7))2C.(eq\r(2)＋eq\r(7))2<(eq\r(3)＋eq\r(6))2D.(eq\r(2)－eq\r(3)－eq\r(6))2<(－eq\r(7))2解析：A中，eq\r(2)－eq\r(3)<0，eq\r(6)－eq\r(7)<0平方后不等價；B、D與A狀況一樣；只有C項，eq\r(2)－eq\r(3)<eq\r(6)－eq\r(7)?eq\r(2)＋eq\r(7)<eq\r(6)＋eq\r(3)?(eq\r(2)＋eq\r(7))2<(eq\r(6)＋eq\r(3))2.故選C.答案：C3．在△ABC中，A>B是cos2B>cos2A的()A．既不充分也不必要條件B．充分不必要條件C．充要條件D．必要不充分條件解析：∵A>B?a>b?sinA>sinB(由正弦定理得)，又cos2B>cos2A?1－2sin2B>1－2sin2A?sin2B<sin2A?sinB<sinA.∴A>B?cos2B>cos2A.故選C.答案：C4．已知a、b、c、d為正實數(shù)，且eq\f(a,b)<eq\f(c,d)，則()A.eq\f(a,b)<eq\f(a＋c,b＋d)<eq\f(c,d) B.eq\f(a＋c,b＋d)<eq\f(a,b)<eq\f(c,d)C.eq\f(a,b)<eq\f(c,d)<eq\f(a＋c,b＋d) D.以上均可能解析：先取特值檢驗，∵eq\f(a,b)<eq\f(c,d)，可取a＝1，b＝3，c＝1，d＝2，則eq\f(a＋c,b＋d)＝eq\f(2,5)，滿意eq\f(a,b)<eq\f(a＋c,b＋d)<eq\f(c,d).∴B、C不正確．要證eq\f(a,b)<eq\f(a＋c,b＋d)，∵a、b、c、d為正實數(shù)，∴只需證a(b＋d)<b(a＋c)，即證ad<bc.只需證eq\f(a,b)<eq\f(c,d).而eq\f(a,b)<eq\f(c,d)成立，∴eq\f(a,b)<eq\f(a＋c,b＋d).同理可證eq\f(a＋c,b＋d)<eq\f(c,d).故A正確，D不正確．答案：A二、填空題5．設(shè)n∈N，a＝eq\r(n＋4)－eq\r(n＋3)，b＝eq\r(n＋2)－eq\r(n＋1)，則a，b的大小關(guān)系是________．解析：要比較eq\r(n＋4)－eq\r(n＋3)與eq\r(n＋2)－eq\r(n＋1)的大小，即推斷(eq\r(n＋4)－eq\r(n＋3))－(eq\r(n＋2)－eq\r(n＋1))＝(eq\r(n＋4)＋eq\r(n＋1))－(eq\r(n＋3)＋eq\r(n＋2))的符號，∵(eq\r(n＋4)＋eq\r(n＋1))2－(eq\r(n＋3)＋eq\r(n＋2))2＝2[eq\r(n＋4n＋1)－eq\r(n＋3n＋2)]＝2(eq\r(n2＋5n＋4)－eq\r(n2＋5n＋6))<0，∴eq\r(n＋4)－eq\r(n＋3)<eq\r(n＋2)－eq\r(n＋1).答案：a<b6．已知p＝a＋eq\f(1,a－2)(a>2)，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，則p與q的大小關(guān)系是________．解析：p＝a－2＋eq\f(1,a－2)＋2≥2eq\r(a－2·\f(1,a－2))＋2＝4，－a2＋4a－2＝2－(a－2)2<2，∴q<22＝4≤p.答案：p>q7．若不等式(－1)na<2＋eq\f(－1n＋1,n)對隨意正整數(shù)n恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：當(dāng)n為偶數(shù)時，a<2－eq\f(1,n)，而2－eq\f(1,n)≥2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，∴a<eq\f(3,2).當(dāng)n為奇數(shù)時，a>－2－eq\f(1,n)，而－2－eq\f(1,n)<－2，∴a≥－2.綜上可得－2≤a<eq\f(3,2).答案：[－2，eq\f(3,2))三、解答題8．設(shè)a，b>0，且a≠b，求證：a3＋b3>a2b＋ab2.證明：綜合法a≠b?a－b≠0?(a－b)2>0?a2－2ab＋b2>0?a2－ab＋b2>ab.留意到a，b∈R＋，a＋b>0，由上式即得(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)．∴a3＋b3>a2b＋ab2.9．證明：若a>b>c且a＋b＋c＝0，則eq\f(\r(b2－ac),a)<eq\r(3).證明：∵a>b>c且a＋b＋c＝0，∴a>0，c<0.要證eq\f(\r(b2－ac),a)<eq\r(3)，只需證eq\r(b2－ac)<eq