2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課后限時(shí)集訓(xùn)56隨機(jī)事件的概率文含解析北師大版

PAGE1-課后限時(shí)集訓(xùn)(五十六)(建議用時(shí)：60分鐘)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1．從存放的號(hào)碼分別為1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一張卡片并登記號(hào)碼，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：卡片號(hào)碼12345678910取到次數(shù)138576131810119則取到號(hào)碼為奇數(shù)的卡片的頻率是()A．0.53 B．0.5C．0.47 D．0.37A[取到號(hào)碼為奇數(shù)的卡片的次數(shù)為：13＋5＋6＋18＋11＝53，則所求的頻率為eq\f(53,100)＝0.53.故選A．]2．(2024·欽州月考)從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事務(wù)是()A．至少有一個(gè)黑球與都是黑球B．至少有一個(gè)黑球與都是紅球C．至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球D．恰有一個(gè)黑球與恰有兩個(gè)黑球D[對(duì)于A：事務(wù)：“至少有一個(gè)黑球”與事務(wù)：“都是黑球”可以同時(shí)發(fā)生，∴A不正確；對(duì)于B：事務(wù)：“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”不能同時(shí)發(fā)生，但肯定會(huì)有一個(gè)發(fā)生，∴這兩個(gè)事務(wù)是對(duì)立事務(wù)，∴B不正確；對(duì)于C：事務(wù)：“至少有一個(gè)黑球”與事務(wù)：“至少有一個(gè)紅球”可以同時(shí)發(fā)生，如：一個(gè)紅球與一個(gè)黑球，∴C不正確；對(duì)于D：事務(wù)：“恰有一個(gè)黑球”與事務(wù)：“恰有兩個(gè)黑球”不能同時(shí)發(fā)生，但從口袋中任取兩個(gè)球時(shí)還有可能兩個(gè)都是紅球，∴兩個(gè)事務(wù)是互斥事務(wù)但不是對(duì)立事務(wù)，∴D正確．]3．依據(jù)某醫(yī)療探討所的調(diào)查，某地區(qū)居民血型的分布為O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.現(xiàn)有一血液為A型病人須要輸血，若在該地區(qū)任選一人，那么能為病人輸血的概率為()A．15% B．20%C．45% D．65%D[∵某地區(qū)居民血型的分布為：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.現(xiàn)有能為A型病人輸血的有O型和A型，故為病人輸血的概率為50%＋15%＝65%，故選D.]4．對(duì)一批產(chǎn)品的長(zhǎng)度(單位：mm)進(jìn)行抽樣檢測(cè)，如圖為檢測(cè)結(jié)果的頻率分布直方圖，依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，產(chǎn)品長(zhǎng)度在區(qū)間[20,25)上為一等品，在區(qū)間[15,20)和[25,30)上為二等品，在區(qū)間[10,15)和[30,35]上為三等品．用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件，則其為二等品的概率是()A．0.09 B．0.20C．0.25 D．0.45D[利用統(tǒng)計(jì)圖表可知在區(qū)間[25,30)上的頻率為1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)×5＝0.25，在區(qū)間[15,20)上的頻率為0.04×5＝0.2，故所求二等品的概率為0.45.]5．若隨機(jī)事務(wù)A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，2)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2))) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(4,3)))D[由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜PA＜1，,0＜PB＜1，,PA＋PB≤1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜2－a＜1，,0＜4a－5＜1，,3a－3≤1，))解得eq\f(5,4)＜a≤eq\f(4,3).]二、填空題6．容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻率如下表：分組[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]頻數(shù)234542則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40)的頻率為_(kāi)_______．eq\f(9,20)[樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40)的頻數(shù)為9，故頻率為eq\f(9,20).]7．(2024·武漢調(diào)研)甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是eq\f(1,2)，乙獲勝的概率是eq\f(1,3)，則乙不輸?shù)母怕适莀_______．eq\f(5,6)[乙不輸?shù)母怕蕿閑q\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).]8．(2024·泰安模擬)某城市2024年的空氣質(zhì)量狀況如下表所示：污染指數(shù)T3060100110130140概率Peq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(7,30)eq\f(2,15)eq\f(1,30)其中污染指數(shù)T≤50時(shí)，空氣質(zhì)量為優(yōu)；50＜T≤100時(shí)，空氣質(zhì)量為良；100＜T≤150時(shí)，空氣質(zhì)量為稍微污染，則該城市2024年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為_(kāi)_______．eq\f(3,5)[由題意可知2024年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為P＝eq\f(1,10)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,5).]三、解答題9．某超市隨機(jī)選取1000位顧客，記錄了他們購(gòu)買(mǎi)甲、乙、丙、丁四種商品的狀況，整理成如下統(tǒng)計(jì)表，其中“√”表示購(gòu)買(mǎi)，“×”表示未購(gòu)買(mǎi)．商品顧客人數(shù)甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)估計(jì)顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)乙和丙的概率；(2)估計(jì)顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買(mǎi)3種商品的概率；(3)假如顧客購(gòu)買(mǎi)了甲，則該顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？[解](1)從統(tǒng)計(jì)表可以看出，在這1000位顧客中有200位顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)了乙和丙，所以顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)乙和丙的概率可以估計(jì)為eq\f(200,1000)＝0.2.(2)從統(tǒng)計(jì)表可以看出，在這1000位顧客中有100位顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)了甲、丙、丁，另有200位顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)了甲、乙、丙，其他顧客最多購(gòu)買(mǎi)了2種商品，所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買(mǎi)3種商品的概率可以估計(jì)為eq\f(100＋200,1000)＝0.3.(3)與(1)同理，可得：顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)甲和乙的概率可以估計(jì)為eq\f(200,1000)＝0.2，顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)甲和丙的概率可以估計(jì)為eq\f(100＋200＋300,1000)＝0.6，顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)甲和丁的概率可以估計(jì)為eq\f(100,1000)＝0.1.所以，假如顧客購(gòu)買(mǎi)了甲，則該顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)丙的可能性最大．10．(2024·福建四地六校聯(lián)考)現(xiàn)有7名奧運(yùn)會(huì)志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通曉日語(yǔ)，B1、B2通曉俄語(yǔ)，C1、C2通曉韓語(yǔ)．從中隨機(jī)選出通曉日語(yǔ)、俄語(yǔ)和韓語(yǔ)的志愿者各1名，組成一個(gè)小組．(1)求A1被選中的概率；(2)求B1和C1不全被選中的概率．[解](1)從7人中選出通曉日語(yǔ)、俄語(yǔ)和韓語(yǔ)志愿者各1名，全部基本領(lǐng)件數(shù)為3×2×2＝12.用M表示“A1恰被選中”這一事務(wù)，則它包含的基本領(lǐng)件有1×2×2＝4.P(M)＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).(2)用N表示“B1，C1不全被選中”這一事務(wù)，則其對(duì)立事務(wù)eq\x\to(N)表示“B1，C1全被選中”，由于eq\x\to(N)包含的基本領(lǐng)件：(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，事務(wù)eq\x\to(N)有3個(gè)基本領(lǐng)件組成，所以P(eq\x\to(N))＝eq\f(3,12)＝eq\f(1,4)，由對(duì)立事務(wù)的概率公式得P(N)＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).B組實(shí)力提升1．圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為eq\f(1,7)，都是白子的概率是eq\f(12,35)，則從中隨意取出2粒恰好是同一色的概率是()A．eq\f(1,7) B．eq\f(12,35)C．eq\f(17,35) D．1C[設(shè)“從中取出2粒都是黑子”為事務(wù)A，“從中取出2粒都是白子”為事務(wù)B，“隨意取出2粒恰好是同一色”為事務(wù)C，則C＝A∪B，且事務(wù)A與B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,7)＋eq\f(12,35)＝eq\f(17,35)，即隨意取出2粒恰好是同一色的概率為eq\f(17,35).]2．(2024·青島模擬)設(shè)條件甲：“事務(wù)A與B是對(duì)立事務(wù)”，結(jié)論乙：“概率滿意P(A)＋P(B)＝1”，則甲是乙的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件A[若事務(wù)A與事務(wù)B是對(duì)立事務(wù)，則A∪B為必定事務(wù)，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.投擲一枚硬幣3次，事務(wù)A：“至少出現(xiàn)一次正面”，事務(wù)B：“3次出現(xiàn)正面”，則P(A)＝eq\f(7,8)，P(B)＝eq\f(1,8)，滿意P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是對(duì)立事務(wù)．]3．一只袋子中裝有7個(gè)紅玻璃球，3個(gè)綠玻璃球，從中無(wú)放回地隨意抽取兩次，每次只取一個(gè)，取得兩個(gè)紅球的概率為eq\f(7,15)，取得兩個(gè)綠球的概率為eq\f(1,15)，則取得兩個(gè)同顏色的球的概率為_(kāi)_______；至少取得一個(gè)紅球的概率為_(kāi)_______．eq\f(8,15)eq\f(14,15)[(1)由于“取得兩個(gè)紅球”與“取得兩個(gè)綠球”是互斥事務(wù)，取得兩個(gè)同色球，只需兩互斥事務(wù)有一個(gè)發(fā)生即可，因而取得兩個(gè)同色球的概率為P＝eq\f(7,15)＋eq\f(1,15)＝eq\f(8,15).(2)由于事務(wù)A“至少取得一個(gè)紅球”與事務(wù)B“取得兩個(gè)綠球”是對(duì)立事務(wù)，則至少取得一個(gè)紅球的概率為P(A)＝1－P(B)＝1－eq\f(1,15)＝eq\f(14,15).]4．某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息，支配一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示．一次購(gòu)物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)/(人)x3025y10結(jié)算時(shí)間/(分鐘/人)11.522.53已知這100位顧客中一次購(gòu)物量超過(guò)8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并估計(jì)顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的平均值；(2)求一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)2分鐘的概率(將頻率視為概率)．[解](1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.該超市全部顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體，所收集的100位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容量為100的簡(jiǎn)潔隨機(jī)樣本，顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的平均值可用樣本平均數(shù)估計(jì)，其估計(jì)值為eq\f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分鐘)．(2)設(shè)A表示事務(wù)“一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)2分鐘”，A1，A2，A3分別表示事務(wù)“該顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為1分鐘”、“該顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為1.5分鐘”、“該顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為2分鐘”．將頻率視為概率得P(A1)＝e