專題12 解直角三角形之新定義模型（解析版）

專題12解直角三角形之新定義模型解直角三角形的新定義模型，是體現(xiàn)選拔功能的試題中對(duì)初高中知識(shí)銜接的考查。高中數(shù)學(xué)為這類試題的命制提供了廣闊的空間背景，命題者將高中數(shù)學(xué)的一些概念、定理、法則、公式等初中化（用初中數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容包裝、初中試題命制技術(shù)設(shè)置）處理，命制出具有高中數(shù)學(xué)背景味道的試題。這類試題往往對(duì)學(xué)生思維能力和創(chuàng)新能力要求較高，能有效檢驗(yàn)學(xué)生是否具備進(jìn)入高中學(xué)習(xí)的潛能，所以平時(shí)教學(xué)挖掘這方面解題技能及功效尤為重要。恰當(dāng)?shù)貥?gòu)建模型可以拓寬解題思路，優(yōu)化解題過(guò)程，豐富解題內(nèi)涵?！局R(shí)儲(chǔ)備】模型1、新定義模型此類模型主要包含高中數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)和解三角形的相關(guān)定理（公式），而這些定理（公式）也可利用初中數(shù)學(xué)知識(shí)證明。若無(wú)特殊說(shuō)明，一般認(rèn)為△ABC的3個(gè)角∠A、∠B、∠C，分別對(duì)應(yīng)邊a、b、c；1）正弦定理：如圖1，（其中R是三角形外接圓的半徑）。圖1圖22）余弦定理：如圖2，．3）正弦面積公式：如圖2，.4）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:，。5）和（差）、二倍角角公式：;.;..例1．（2023·寧夏·?？既＃╅喿x下列材料，并解答后面的問(wèn)題．在學(xué)習(xí)了直角三角形的邊角關(guān)系后，小穎和小明兩個(gè)學(xué)習(xí)小組繼續(xù)探究任意銳角三角形的邊角關(guān)系：在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c．（1）小明學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：如圖1，過(guò)A作AD⊥BC于D，則sinB=，sinC=即AD=csinB，AD=bsinC，于是_____=______即，同理有，則有（2）小穎學(xué)習(xí)小組則利用圓的有關(guān)性質(zhì)也得到了類似的結(jié)論：

如圖2，△ABC的外接圓半徑為R，連結(jié)CO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，連結(jié)DB，則∠D=∠A，∵CD為⊙O的直徑，∴∠DBC=90°，在Rt△DBC中，∵，∴，同理：，則有請(qǐng)你將這一結(jié)論用文字語(yǔ)言描述出來(lái):．小穎學(xué)習(xí)小組在證明過(guò)程中略去了“”的證明過(guò)程，請(qǐng)你把“”的證明過(guò)程補(bǔ)寫(xiě)出來(lái)．（3）直接用前面閱讀材料中得出的結(jié)論解決問(wèn)題：規(guī)劃局為了方便居民，計(jì)劃在三個(gè)住宅小區(qū)A、B、C之間修建一座學(xué)校，使它到三個(gè)住宅小區(qū)的距離相等，已知小區(qū)C在小區(qū)B的正東方向千米處，小區(qū)A在小區(qū)B的東北方向，且A與C之間相距千米，求學(xué)校到三個(gè)小區(qū)的距離及小區(qū)A在小區(qū)C的什么方向？【答案】（1）csinB，bsinC；（2）在任意一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦值的比相等且等于外接圓的直徑；（3）學(xué)校到三個(gè)小區(qū)的距離為1千米，小區(qū)A在小區(qū)C的北偏西15°的方向．【分析】（1）由AD=csinB，AD=bsinC可得答案；（2）由結(jié)論可總結(jié)為：在任意一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦值的比相等且等于外接圓的直徑，據(jù)此解答即可；（3）根據(jù)題意畫(huà)出圖形如圖，則∠B=45°，BC=千米，AC=千米，設(shè)學(xué)校的位置為點(diǎn)O，則OA=OB=OC=R，由閱讀材料的結(jié)論可得：，由此即可求出∠BAC的度數(shù)和R的值，進(jìn)而可求出∠ACB的度數(shù)，即得∠ACN的度數(shù)，問(wèn)題即得解決．【詳解】解：（1）由AD=csinB，AD=bsinC得：csinB=bsinC；故答案為：csinB，bsinC；（2）由這一結(jié)論用文字語(yǔ)言描述出來(lái)是：在任意一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦值的比相等且等于外接圓的直徑．故答案為：在任意一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦值的比相等且等于外接圓的直徑；（3）如圖，由題意得：∠B=45°，BC=千米，AC=千米，設(shè)學(xué)校的位置為點(diǎn)O，則OA=OB=OC=R，由閱讀材料的結(jié)論可得：，即，解得：，千米，∴∠BAC=60°，∴∠ACB=180°－45°－60°=75°，∴∠ACN=15°，即小區(qū)A在小區(qū)C的北偏西15°的方向．答：學(xué)校到三個(gè)小區(qū)的距離為1千米，小區(qū)A在小區(qū)C的北偏西15°的方向．【點(diǎn)睛】本題以閱讀理解題的形式考查了解直角三角形、圓周角定理等知識(shí)，正確理解題意、熟練應(yīng)用閱讀材料提供的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．例2．（2023春·山西·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀與思考．請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．利用我們所學(xué)習(xí)的三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)可以解決許多關(guān)于三角形邊長(zhǎng)、角度、面積等問(wèn)題．如圖，在銳角中，，，的對(duì)邊分別是，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，即，于是．在中，，在中，，，整理得．任務(wù)：(1)__________，__________；(2)已知中，，，所對(duì)邊分別是，，，，，，求．【答案】(1)；(2)【分析】（1）直接根據(jù)進(jìn)行類比即可求解；（2）根據(jù)代入數(shù)值可得，繼而求解即可．【詳解】（1）根據(jù)進(jìn)行類比，可得，，故答案為：，；（2），，，，∴，即，解得，（舍去），．例3．（2023·山西·九年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下列內(nèi)容，并解答問(wèn)題：三角形的一個(gè)面積公式小明喜歡通過(guò)多渠道學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，一天，他運(yùn)用網(wǎng)絡(luò)搜索學(xué)會(huì)了一個(gè)三角形面積公式，這個(gè)公式敘述如下：在中，已知，，，則的面積為.請(qǐng)你完成以下活動(dòng)：?jiǎn)栴}探究：（1）如圖1，已知是銳角三角形，，，，請(qǐng)證明上述三角形面積公式仍然成立；問(wèn)題解決：（2）如圖2，在中，，，.則的面積是______.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）9【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，解，求出AD，即可；（2）同理求出AD的長(zhǎng)度，運(yùn)用求解即可.【詳解】（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

在中，.∵，∴.（2）在△ABC中，∵，，，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是做輔助線，通過(guò)解直角三角形表示出三角形對(duì)應(yīng)邊上的高.例4．（2023春·廣西南寧·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）【再讀教材】：我們八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)課本第頁(yè)介紹了“海倫－秦九韶公式”：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，記，那么三角形的面積為．【解決問(wèn)題】：如圖，在中，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，連接，，，，．

任務(wù)一：請(qǐng)你用海倫－秦九韶公式求的面積．任務(wù)二：求的面積．【答案】見(jiàn)詳解；【分析】任務(wù)一：根據(jù)，，得到，結(jié)合即可得到答案；任務(wù)二：根據(jù)平行線間距離處處相等及平行四邊形的對(duì)邊相等求解即可得到答案；【詳解】解：任務(wù)一：∵，，，∴，∴，任務(wù)二：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴；【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，解題的管家是根據(jù)新定義直接求出的面積．例5．（2023·北京市·九年級(jí)?？计谀╆P(guān)于三角函數(shù)有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用這些公式可以將一些角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來(lái)求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1，利用上述公式計(jì)算下列三角函數(shù)①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0，其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】直接利用已知公式法分別代入計(jì)算得出答案．【詳解】①sin105°=sin（60°+45°）=sin60°cos45°+cos60°sin45°==，故此選項(xiàng)正確；②tan105°=tan（60°+45°）====-2-，故此選項(xiàng)正確；③sin15°=sin（60°-45°）=sin60°cos45°-cos60°sin45°==，故此選項(xiàng)正確；④cos90°=cos（45°+45°）=cos45°cos45°-sin45°sin45°==0，故此選項(xiàng)正確；故正確的有4個(gè)．故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值以及公式的應(yīng)用，正確應(yīng)用公式是解題關(guān)鍵．例6．（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）【閱讀材料】關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式：①；②；③．利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來(lái)求值，如．【學(xué)以致用】根據(jù)上面的知識(shí)，你可以選擇適當(dāng)?shù)墓浇鉀Q下面的實(shí)際問(wèn)題：(1)求的值；(2)如圖，一架直升機(jī)在一建筑物上方的點(diǎn)處測(cè)得建筑物頂端點(diǎn)的俯角為，底端點(diǎn)的俯角為，此時(shí)直升機(jī)與建筑物的水平距離為，求建筑物的高；(3)疫情封控期間，直升機(jī)給該建筑物的居民投放物資，試求飛機(jī)從點(diǎn)處往正東方向飛多遠(yuǎn)，居民在點(diǎn)處看飛機(jī)的仰角恰好是．【答案】(1)(2)84米(3)飛機(jī)再飛168米可使點(diǎn)看飛機(jī)的仰角為【分析】（1）根據(jù)，可求的值；（2）根據(jù)求得AB，再根據(jù)ED=求得A、E兩點(diǎn)垂直距離ED，最后CD的長(zhǎng)即可求得；（3）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，并使，根據(jù)可求EF的值，即可求解．【詳解】（1）解：；（2）解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵，米，∴米，∵，米∴、垂直距離為ED=米，∴米．答：建筑物的高為84米．（3）解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，并使，∴米，由（2）得、垂直距離米，∵，，∴，∴米，∴米．答：飛機(jī)再飛168米可使點(diǎn)看飛機(jī)的仰角為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊的銳角三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵是將不特殊三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊三角函數(shù)并結(jié)合圖像解直角三角形．例7．（2023春·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）學(xué)習(xí)過(guò)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長(zhǎng)的比值相互唯一確定，因此邊長(zhǎng)與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系，我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)（）．如圖，在中，，頂角A的正對(duì)記作，這時(shí)．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述對(duì)角的正對(duì)定義，解下列問(wèn)題：(1)的值為_(kāi)__________A．

B．1

C．

D．2(2)對(duì)于，的正對(duì)值的取值范圍是___________．(3)已知，其中α為銳角，試求的值．【答案】(1)B(2)(3)【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求出底角的度數(shù)，判斷出三角形為等邊三角形，再根據(jù)正對(duì)的定義解答；（2）求出0度和度時(shí)等腰三角形底和腰的比即可；（3）作出直角，構(gòu)造等腰三角形，根據(jù)正對(duì)的定義解答．【詳解】（1）解：根據(jù)正對(duì)定義，當(dāng)頂角為時(shí)，等腰三角形底角為，則三角形為等邊三角形，則，故選B；（2）解：當(dāng)接近時(shí)，接近0，當(dāng)近時(shí)，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故接近2．于是的取值范圍是．故答案為；（3）解：如圖，在中，，，在上取點(diǎn)D，使，作，H為垂足，令，，則，又∵在中，，，∴，，則在中，，，于是在中，，，由正對(duì)的定義可得：，即．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是理解新定義，再根據(jù)新定義直接求解．例8．（2023秋·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）在學(xué)習(xí)完銳角三角函數(shù)后，老師提出一個(gè)這樣的問(wèn)題：如圖1，在中，，，，求（用含，的式子表示）．聰明的小雯同學(xué)是這樣考慮的：如圖2，取的中點(diǎn)O，連接，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)D，則，然后利用銳角三角函數(shù)在中表示出，，在中表示出，則可以求出．

閱讀以上內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：在中，，．(1)如圖3，，，若，則______，______；(2)請(qǐng)你參考閱讀材料中的推導(dǎo)思路，求出的表達(dá)式（用含，的式子表示）．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)勾股定理求得，再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求得和，再根據(jù)求解即可；（2）取的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，在中表示出，勾股定理求得，即可求解．【詳解】（1）解：由勾股定理可得：，由三角函數(shù)的定義可得，，由材料可得：，故答案為：，（2）解：取的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如下圖：

則，，，，在中，，，，，在中，，，，．【點(diǎn)睛】此題考查了三角函數(shù)定義的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是是熟練掌握三角函數(shù)的定義，作輔助線構(gòu)造直角三角形．例9．（2023春·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)完成填空，再按要求答題．(1)；；．(2)觀察上述等式，猜想：在中，，都有；(3)如圖④，在中，，，，的對(duì)邊分別是，，，利用三角函數(shù)的定義和勾股定理，證明你的猜想；(4)若，且，求的值．【答案】(1)1，1，1(2)1(3)證明見(jiàn)解析(4)【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)定義，數(shù)形結(jié)合，分別得到正弦函數(shù)值與余弦函數(shù)值，代入式子求解即可得到答案；（2）由（1）中運(yùn)算結(jié)果即可得到答案；（3）根據(jù)題意，由勾股定理及三角函數(shù)定義，得到正弦函數(shù)值與余弦函數(shù)值，代入式子求解即可得證；（4）由上述歸納及證明的結(jié)論知，結(jié)合，根據(jù)完全平方和公式恒等變形，由確定，代值求解即可得到答案．【詳解】（1）解：，，，故答案為：1，1，1；（2）解：由（1）中運(yùn)算結(jié)果即可猜想在中，，都有，故答案為：1；（3）證明：在中，，，，的對(duì)邊分別是，，，由勾股定理即可得到，，；（4）解：，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)計(jì)算綜合，涉及三角函數(shù)定義、同角三角函數(shù)關(guān)系、勾股定理及三角函數(shù)恒等變形求值，數(shù)形結(jié)合，靈活運(yùn)用三角函數(shù)定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．例10．（2023春·湖北·九年級(jí)專題練習(xí)）在初中，我們學(xué)習(xí)過(guò)銳角的正弦、余弦、正切和余切四種三角函數(shù)，即在圖1所示的直角三角形，是銳角，那么的對(duì)邊÷斜邊，的鄰邊÷斜邊，的對(duì)邊÷的鄰邊．為了研究需要，我們?cè)購(gòu)牧硪粋€(gè)角度來(lái)規(guī)定一個(gè)角的三角函數(shù)的意義：設(shè)有一個(gè)角α，我們以它的頂點(diǎn)作為原點(diǎn)，以它的始邊作為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系（圖2），在角α的終邊上任取一點(diǎn)P，它的橫坐標(biāo)是x，縱坐標(biāo)是y，點(diǎn)P和原點(diǎn)的距離為（r總是正的），然后把角α的三角函數(shù)規(guī)定為：，，．我們知道，圖1的四個(gè)比值的大小與角A的大小有關(guān)，而與直角三角形的大小無(wú)關(guān)，同樣圖2中四個(gè)比值的大小也僅與角α的大小有關(guān)，而與點(diǎn)P在角α的終邊位置無(wú)關(guān)．比較圖1與圖2，可以看出一個(gè)角的三角函數(shù)的意義的兩種規(guī)定實(shí)際上是一樣的，根據(jù)第二種定義回答下列問(wèn)題：(1)若，則角α的三角函數(shù)值、、，其中取正值的是；(2)若角α的終邊與直線重合，則的值；(3)若角α是鈍角，其終邊上一點(diǎn)，且，求的值；(4)若，則的取值范圍是．【答案】(1)(2)或(3)(4)【分析】（1）由題意可得，，，然后依據(jù)定義進(jìn)行判斷即可；（2）設(shè)點(diǎn)，則，然后分為和兩種情況求解即可；（3）由題意可得，然后依據(jù)定理列出關(guān)于x的方程，從而求出x的值，然后依據(jù)正切的定義求解即可；（4）依據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得，然后再得到，再求得的取值范圍，即可求得結(jié)果．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，，，，，，故答案為：．（2）解：∵若角α的終邊與直線重合，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，的值為或．（3）解：，點(diǎn)，且，，（正值舍去），．（4）解：，，，，，又，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義及完全平方公式，理解三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）定義一種運(yùn)算：，例如：當(dāng)，時(shí)，，則的值為()A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，可以計(jì)算出的值．【詳解】解：由題意可得，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形、二次根式的混合運(yùn)算、新定義，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用新定義解答．2．（2022·廣東東莞·校考一模）關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式：，由該公式可求得的值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，代入特殊三角函數(shù)值計(jì)算即可．【詳解】解：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)值，靈活運(yùn)用公式把一般角轉(zhuǎn)化為特殊角的和或者差是解題的關(guān)鍵．3．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考二模）一般地，當(dāng)α、β為任意角時(shí)，tan（α+β）與tan（α-β）的值可以用下面的公式求得：tan（α±β）=．例如：tan15°=tan（45°-30°）=====2-．請(qǐng)根據(jù)以上材料，求得tan75°的值為．【答案】2+．【分析】根據(jù)給定的公式，將，代入中計(jì)算化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：tan75°=tan（45°+30°）=====2+．故答案為：2+．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的計(jì)算以及用平方差公式進(jìn)行分母有理化，讀懂新定義的含義是關(guān)鍵.4．（2023秋·福建莆田·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）我們給出定義：如果兩個(gè)銳角的和為，那么稱這兩個(gè)角互為半余角．如圖，在中，，互為半余角，且，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】要求的值，想到構(gòu)造直角三角形，根據(jù)已知可得的補(bǔ)角為，所以過(guò)點(diǎn)B作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，分別在和中利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，

∵，∴設(shè)，，，互為半余角，，，在中，，，，，在中，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了余角和補(bǔ)角，解直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．5．（2023·河北石家莊·九年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下面的材料，先完成閱讀填空，再按要求答題．sin230°＋cos230°＝；sin245°＋cos245°＝；sin260°＋cos260°＝；……觀察上述等式，猜想：對(duì)任意銳角A，都有sin2A＋cos2A＝．【答案】1111【詳解】sin230°＋cos230°＝=1，sin245°＋cos245°＝=1，sin260°＋cos260°＝=1，即可猜想出：對(duì)任意銳角，都有故答案為：1；1；1；16．（2022·湖南湘潭·?？家荒＃┩瑢W(xué)們，在我們進(jìn)入高中以后，還將學(xué)到下面三角函數(shù)公式：，；，．例：．(1)試仿照例題，求出的值；(2)若已知銳角α滿足條件，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）把化為直接代入三角函數(shù)公式計(jì)算即可；（2）把化為直接代入三角函數(shù)公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵，∴；（2）解：∵，，α為銳角，解得，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，屬于新題型，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中所給信息結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值來(lái)求解．7．（2023·四川成都·成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？家荒＃┯^察與思考：閱讀下列材料，并解決后面的問(wèn)題在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，過(guò)A作AD⊥BC于D（如圖（1）），則，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即，同理有：，所以．即：在一個(gè)銳角三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等在銳角三角形中，若已知三個(gè)元素（至少有一條邊），運(yùn)用上述結(jié)論和有關(guān)定理就可以求出其余三個(gè)未知元素．根據(jù)上述材料，完成下列各題．（1）如圖（2），△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=60，則∠A=；AC=；（2）某次巡邏中，如圖（3），我漁政船在C處測(cè)得釣魚(yú)島A在我漁政船的北偏西30°的方向上，隨后以40海里/時(shí)的速度按北偏東30°的方向航行，半小時(shí)后到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得釣魚(yú)島A在的北偏西75°的方向上，求此時(shí)漁政船距釣魚(yú)島A的距離AB．【答案】（1）60°,20;(2)10【詳解】（1）先利用三角形內(nèi)角和定理求出∠A，再利用題目總結(jié)的正弦定理，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入求解即可；（2）在△ABC中，分別求得BC的長(zhǎng)和三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，利用題目中總結(jié)的正弦定理AB的長(zhǎng)即可．解析：（1）∵∠B=45°，∠C=75°，∴∠A=180°-∠B-∠C=60°，根據(jù)材料有：，∴，即，∴AC=20，故答案為60°，20；（2）如圖，依題意：BC=40×0.5=20（海里），∵CD∥BE，∴∠DCB+∠CBE=180°．∵∠DCB=30°，∴∠CBE=150°，∵∠ABE=75°，∴∠ABC=75°，∴∠A=45°，在△ABC中，，即，解之得：AB=10海里，

所以漁政船距釣魚(yú)島A的距離為10海里．【點(diǎn)睛】本題考查的閱讀理解題，涉及到三角函數(shù)等知識(shí)，弄清材料中知識(shí)，并能應(yīng)用解決相關(guān)的問(wèn)題是關(guān)鍵.8．（2023春·山東濟(jì)寧·九年級(jí)統(tǒng)考期中）某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組，探究出下面關(guān)于三角函數(shù)的公式：；；．利用這些公式可將某些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來(lái)求值，如：．根據(jù)上面的知識(shí)，選擇適當(dāng)?shù)墓浇鉀Q下面的實(shí)際問(wèn)題：(1)計(jì)算：；(2)如圖，直升飛機(jī)在一建筑物上方點(diǎn)處測(cè)得建筑物頂端點(diǎn)的俯角，底端點(diǎn)的俯角，此時(shí)直升飛機(jī)與建筑物的水平距離為，求建筑物的高．

【答案】(1)(2)建筑物AB的高為120米【分析】（1）利用求解；（2）利用求出，解直角三角形求出和B，C垂直距離，即可求解．【詳解】（1）解：；（2）解：，，，，，，B，C垂直距離為，∴（米）．答：建筑物的高為120米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)提供的公式計(jì)算出非特殊角的三角函數(shù)值．9．（2023.廣東九年級(jí)期中）在△ABC中，cosA＝，cosB＝，cosC＝，我們稱為余弦定理，請(qǐng)用余弦定理完成下面的問(wèn)題．請(qǐng)用余弦定理完成下面的問(wèn)題：（1）如圖，已知△DEF，∠E＝60°，DE＝4，DF＝，求EF的長(zhǎng)度；（2）通過(guò)合理的構(gòu)造，試求cos105°．解：（1）由余弦定理，可得cosE＝，∵∠E＝60°，DE＝4，DF＝，∴＝，解得EF＝1或3；（2）如圖，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，AD⊥BC，AD＝1．∵在RT△ADC中，AD＝1．∴AC＝2，CD＝，∵在RT△ADB中，AD＝1，∴AB＝，BD＝1，∴在△ABC中，AB＝，AC＝2，BC＝+1，∠BAC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，利用余弦定理可得cos105°＝＝＝．10．（2023·陜西西安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀材料：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，記，那么這個(gè)三角形的面積為．這個(gè)公式叫“海倫公式”，它是利用三角形的三條邊的邊長(zhǎng)直接求三角形面積的公式，中國(guó)秦九韶也得出了類似的公式，稱三斜求積術(shù)，故這個(gè)公式又被稱為“海倫-秦九韶公式”．完成下列問(wèn)題：如圖，在中，，，．

(1)求的面積；(2)過(guò)點(diǎn)A作，垂足為D、求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）把，，代入公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）由的面積，再建立方程求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴的面積；（2）∵的面積，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的應(yīng)用，化為最簡(jiǎn)二次根式，熟練的代入計(jì)算是解本題的關(guān)鍵．11．（2023·湖南株洲·?？寄M預(yù)測(cè)）閱讀、理解、應(yīng)用研究間的角的三角函數(shù)，在初中我們學(xué)習(xí)過(guò)銳角的正弦余弦正切和余切四種三角函數(shù)，即在圖1所示的直角三角形是銳角，那么為了研究需要，我們?cè)購(gòu)牧硪粋€(gè)角度來(lái)規(guī)定一個(gè)角的三角函數(shù)的意義：設(shè)有一個(gè)角，我們以它的頂點(diǎn)作為原點(diǎn)，以它的始邊作為軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系（圖2），在角的終邊上任取一點(diǎn)，它的橫坐標(biāo)是，縱坐標(biāo)是，終邊可以看作是將射線點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后所得到的．和原點(diǎn)的距離為（總是正的）然后把角的三角函數(shù)規(guī)定為：（其中分別是點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)）我們知道，圖1的四個(gè)比值的大小與角A的大小有關(guān)，而與直角三角形的大小無(wú)關(guān)，同樣圖2中四個(gè)比值的大小也僅與角的大小有關(guān)，四個(gè)比值的正、負(fù)取決于角的終邊所在的象限，而與點(diǎn)在角的終邊位置無(wú)關(guān)．比較圖1與圖2，可以看出一個(gè)角的三角函數(shù)的意義的兩種規(guī)定實(shí)際上是一樣的，根據(jù)第二種定義回答下列問(wèn)題，(1)如圖3，若，則角的三角函數(shù)值，其中取正值的是________．(2)若角的終邊與直線重合，則________．(3)若角是銳角，其終邊上一點(diǎn)且，則________．(4)若，則的取值范圍是________．【答案】(1)(2)或(3)(4)【分析】（1）由點(diǎn)在第四象限，推出，根據(jù)，即可判斷；（2）分兩種情形討論即可解決問(wèn)題；（3）如圖2中，作軸于E．求出的長(zhǎng)，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可解決問(wèn)題；（4）根據(jù)題意可得，根據(jù)，可得，再由，可得，從而得到，由此即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：∵，∴點(diǎn)在第四象限，∴，∵，∴，∴取取正值的是；故答案為：（2）解：如圖1中，

①當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，作軸于E．設(shè)，則，∴．②當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，作軸于E．設(shè)，則，∴．綜上所述，或；故答案為：或；（3）解：如圖2中，作軸于E．由題意，，∴，∴，∴；（4）解：根據(jù)題意得：，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)綜合題、三角函數(shù)的定義、解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考創(chuàng)新題目．12．（2022秋·山東濰坊·九年級(jí)統(tǒng)考期中）【閱讀理解】：如圖，在中，a，b，c分別是，，的對(duì)邊，，其外接圓半徑為．根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義：，，可得，即（規(guī)定）．【探究活動(dòng)】：如圖，在銳角中，a，b，c分別是，，的對(duì)邊，其外接圓半徑為，那么：______________________（用>，=或<連接），并說(shuō)明理由．【初步應(yīng)用】：事實(shí)上，以上結(jié)論適用于任意三角形．在中，a，b，c分別是，，的對(duì)邊．已知，，，求．【綜合應(yīng)用】：如圖，在某次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，小瑩同學(xué)測(cè)量一棟樓的高度，在處用測(cè)角儀測(cè)得地面點(diǎn)處的俯角為45°，點(diǎn)處的俯角為15°，B，C，D在一條直線上，且C，D兩點(diǎn)的距離為100m，求樓的高度．（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】探究活動(dòng)：，；初步應(yīng)用：；綜合應(yīng)用：樓高度約為．【分析】探究活動(dòng)：由銳角三角函數(shù)可得，可得解；初步應(yīng)用：將數(shù)值代入可求解；綜合應(yīng)用：由銳角三角函數(shù)即可求解．【詳解】解：探究活動(dòng)：如圖，過(guò)點(diǎn)C作直徑，連接，∴，，∴，∴，同理可證：，∴，故答案為：，；初步應(yīng)用：∵，，，，∴，∴，∴；綜合應(yīng)用：如圖，由題意得：，，，，∴，∵，∴，，設(shè)樓，則，∵，∴，∴，∴，∴樓高度約為．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，主要考查了圓周角定理，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，讀懂材料，并能熟練運(yùn)用結(jié)論是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·陜西銅川·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）對(duì)于鈍角α，定義它的三角函數(shù)值如下：sinα=sin（180°﹣α），cos=﹣cos（180°﹣α）．（1）求sin120°，cos150°的值；（2）若一個(gè)直角三角形的三個(gè)內(nèi)角比是1：1：4，A，B設(shè)這個(gè)三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的值及∠A和∠B的度數(shù)．【答案】（1）sin120°=，cos150°=﹣；（2）m=0，∠A=30°，∠B=120°【分析】（1）仿照已知定義將各式變形，利用特殊角的三角函數(shù)值求出值即可；（2）根據(jù)內(nèi)角之比，利用內(nèi)角和為180°求出各自的度數(shù)，根據(jù)sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求出m的值，進(jìn)而確定出∠A和∠B的度數(shù)．【詳解】解：（1）由題意得：sin120°=sin（180°﹣120°）=sin60°=，cos150°=cos（180°﹣30°）=﹣cos30°=﹣；（2）∵一個(gè)直角三角形的三個(gè)內(nèi)角比是1：1：4，∴三個(gè)內(nèi)角分別為30°，30°，120°，①當(dāng)∠A=30°，∠B=120°時(shí)，方程的兩根為，﹣，把代入方程得：1﹣m﹣1=0，解得：m=0，經(jīng)檢驗(yàn)﹣是4x2﹣1=0的根，故m=0；②當(dāng)∠A=120°，∠B=30°時(shí)，方程的兩根為，，不符合題意；③∠A=30°，∠B=30°時(shí)，方程兩根為，，把代入得：1﹣m﹣1=0，解得：m=0，經(jīng)檢驗(yàn)不是方程4x2﹣1=0的根，不符合題意，則m=0，∠A=30°，∠B=120°．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形，方程的根，以及特殊角的三角函數(shù)值，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．14．（2023春·成都市·九年級(jí)專題練習(xí)）對(duì)于鈍角β，定義它的三角函數(shù)值如下：sinβ=sin（180°﹣β），cosβ=﹣cos（180°﹣β），tanβ=﹣tan（180°﹣β）．（1）求sin120°，cos135°，tan150°的值；（2）若一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的比是1：1：4，A，B是這個(gè)三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)，sinA，cosB是方程ax2﹣bx﹣1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求a、b的值及∠A和∠B的大?。敬鸢浮浚?），，-（2）當(dāng)A=B=30°時(shí)，a=﹣，b=﹣2﹣；當(dāng)A=30°、B=120°時(shí)，a=4，b=0【分析】（1）根據(jù)給定鈍角的三角函數(shù)值，代入數(shù)據(jù)，即可求出結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及三個(gè)角的比例可得出三角形的三個(gè)內(nèi)角，分①A=B=30°；②A=30°、B=120°；③A=120°、B=30°．三種情況考慮，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值找出sinA、cosB的值，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系找出關(guān)于a、b的二元一次方程組，解方程組即可得出結(jié)論．【詳解】（1）sin120°=sin（180°﹣120°）=sin60°=；cos135°=﹣cos（180°﹣135°）=﹣cos45°=﹣；tan150°=﹣tan（180°﹣150°）=﹣tan30°=﹣．（2）∵一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的比是1：1：4，且三角形的內(nèi)角和為180°，∴三角形的三個(gè)內(nèi)角為30、30、120．①當(dāng)A=30°、B=30°時(shí)，sinA=，c