典型例題：空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

1/32空間向量在立體幾何中的應(yīng)用一、空間直角坐標系1．單位正交基底如果三個向量，，不共面，那么所有空間向量所組成的的集合就是，這個集合可以看作是由，，生成的，從而把稱為空間的一個基底，，，叫做基向量.如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且模為，則這個基底叫做單位正交基底，通常用表示.2．空間直角坐標系Ozyx在空間選一點和一個單位正交基底用，以點為原點，分別以，，的方向為正方向建立三條數(shù)軸軸、軸、軸，它們都叫做坐標軸，這樣就建立了一個空間直角坐標系，點叫做原點，，，叫做坐標向量，通過兩條坐標軸的平面叫作坐標平面.Ozyx如圖，通常使用的是右手直角坐標系.軸、軸、軸又稱為橫軸、縱軸、豎軸.3．點的坐標AA'DBB'D'CC'yzx在空間直角坐標系中，對空間任一點對應(yīng)一個向量，于是存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，則有序?qū)崝?shù)組叫做點在此空間直角坐標系中的坐標，其中、、分別叫做點的橫坐標、縱坐標、豎坐標AA'DBB'D'CC'yzx4．常見空間直角坐標系的建立①正方體如圖所示，正方體的棱長為，一般選擇點為原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則各點坐標為，，，，，，，.亦可選點為原點.在長方體中建立空間直角坐標系與之類似.②正四面體BCADOzxy如圖所示，正四面體的棱長為，一般選擇在上的射影為原點，、（或）、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則各點坐標為BCADOzxy，，，.③正四棱錐ABCDPOxyz如圖所示，正四棱錐的棱長為，一般選擇點在平面的射影為原點，（或）、（或）、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則各點坐標為ABCDPOxyz，，B'C'A'CABxB'C'A'CABxyzOE④正三棱柱如圖所示，正三棱柱的底面邊長為，高為，一般選擇中點為原點，（或）、、（為在上的射影）所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則各點坐標為，，，，，.二、向量的直角坐標運算設(shè)，，則；；；；；；；或或；.設(shè)，，則.這就是說，一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標.yzxBA若，，三點共線則.yzxBA三、直線的方向向量把直線上任意兩點的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量.如圖，在空間直角坐標系中，由與確定直線的方向向量是.四、平面法向量如果，那么向量叫做平面的法向量.下面介紹法向量的求法.例1：已知正方體，點、、分別是、、的中點.求平面的法向量.解：不妨設(shè)正方體的邊長為，建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為AA'DBB'D'CAA'DBB'D'CC'yzxFGE設(shè)平面法向量為，，，，令取平面的一個法向量為.※亦可以使用.注意，一個平面的法向量有無數(shù)多條，而且均互相平行.五、證明平行問題1．證明線線平行AA'DBB'D'AA'DBB'D'CC'yzxFE例2：已知正方體，、分別為和的中點.求證：.證明：不妨設(shè)正方體的邊長為，建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為，，，.，.∵，∴即.例3：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行.已知：直線平面，直線平面，、為垂足.求證：.yxzkjiOαABDDBOAα證明：以點為原點，以射線為非負軸，建立空間直角坐標系，，，為沿yxzkjiOαABDDBOAα∵，∴，.∴，，∴，∴.∵、為不同兩點，∴.2．證明線面平行ABDCEFMN例4：如圖已知四邊形和是兩個正方形，分別在其對角線、上，且.求證：平面.ABDCEFMN證明：在正方形和中，∵，，∴存在實數(shù)使，，∴，∴、、共面.∵平面，∴平面.向量與兩個不共線的向量、共面的充要條件是存在實數(shù)對，使.利用共面向量定理可以證明線面平行問題.本題用的就是向量法.★直線的方向向量為，平面的法向量為，且，若即則.例5：棱長都等于的正三棱柱，點是的中點.求證：平面.證明：如圖所示，建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為B'C'A'CABxB'C'A'CABxyzD，.設(shè)平面法向量為，，，，令取平面的一個法向量為.∵，.∴，∴平面.3．證明面面平行平面的法向量為，平面的法向量為，若即則.例6：已知正方體.求證：平面平面.AA'DBB'D'CAA'DBB'D'CC'yzx，，，，，.設(shè)平面法向量為，，，，令取平面的一個法向量為.平面法向量為，，，，令取平面的一個法向量為.∵，∴平面平面.六、證明垂直問題1．證明線線垂直證明兩直線垂直可用.例7：已知在空間四邊形中，，.求證：.ABOC證明：∵，ABOC∴，，，，∴，，∴，∴，∴即.ABOC例8：已知在空間四邊形中，，.求證：.ABOC證明：∴.AA'DBB'D'CC'yAA'DBB'D'CC'yzx證明：不妨設(shè)正方體的邊長為，建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為，，，.，.∵，∴.實際上，正方體的體對角線與任意一條與之異面的面對角線所成角均為直角.例10：已知正方體，、分別為和中點.求證：是和的公垂線段.AA'DBB'D'CAA'DBB'D'CC'yzxMN，，，，，.，，.∵，，∴，即，.∴是它們的公垂線段.例11：在三棱柱中，底面是正三角形，底面，.求證：.證明：設(shè)底面邊長為，高為，建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為CAC'A'B'zxCAC'A'B'zxyBO，，.，，，.，，.∴即.2．證明線面垂直AA'DBB'D'CC'yzxFE例12：已知正方體，、分別為和AA'DBB'D'CC'yzxFE證明：不妨設(shè)正方體的邊長為，建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為，，，，.，，.∵，，又，，，∴平面.★直線的方向向量為，平面的法向量為，且，若即則.解法二：不妨設(shè)正方體的邊長為，建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為，，，，.設(shè)平面法向量為，，，，令取平面的一個法向量為.∵，∴平面.3．證明面面垂直平面的法向量為，平面的法向量為，若即則.CADSyzxEB例13：如圖，底面是正方形，底面，且，是中點.求證：平面平面.CADSyzxEB解：不妨設(shè)，建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為，，,,.設(shè)平面法向量為，，，，令取平面的一個法向量為.∵底面，,∴平面的一個法向量為.∵，∴平面平面.七、夾角1．求線線夾角設(shè)，，為一面直線所成角，則：；；.AA'DBB'D'CC'yzxE'AA'DBB'D'CC'yzxE'F'解：不妨設(shè)正方體的邊長為，建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為，，，.∵，，∴，，，A'AC'A'AC'B'BzxyC∴和所成角的余弦值是.例15：如圖直三棱柱的底面和是全等等腰直角三角形，，側(cè)棱垂直底面且，，，，求與所成角的余弦值.解：如圖所示，建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為，，.∵，，∴，，，，∴與所成角的余弦值是.BCADFE例16：正四面體邊長均為，、分別為和中點，求異面直線和所成角.BCADFE解：設(shè)，，，則，.，，，，∴異面直線和所成角是.αOBAD'αOBAD'C'DCθ★異面直線和所成角公式：.證明：將平移單位到平面內(nèi)與交于點，夾角為，則有①②③④③④①②得，.，∴.解法二：BCADFE連結(jié)、，有，可得BCADFE∴，，，，，∴異面直線和所成角是.解法三：以點在上的射影為原點建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為，，，.BCADOzxFEy∵BCADOzxFEy∴，.∵，，∴，，，，∴異面直線和所成角是.需要注意，、坐標求法滿足線段的定比分點公式.★設(shè)，，在上求一點使它分所成的比為，即，從而，，.當(dāng)時，點是線段的中點，則，，.由中點公式，可得以，，為頂點的三角形重心.例17：如圖，是正三角形所在平面外一點，、分別是和的中點，，且.求異面直線與所成角.解：不妨設(shè)，建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為，，，，，.SABCMNSABCMNzxy∴，，，，∴異面直線與所成角為.例18：已知矩形與全等，為直二面角，為中點，與所成角為，且.求與的邊長之比.解：設(shè)，，，建立如圖所示的空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為zCDBAzCDBAFENMxy，.∵，，∴，，，，整理得，，∴.2．求線面夾角nOPAαθ如圖，已知為平面的一條斜線，為平面的一個法向量，過作平面的垂線，連結(jié)則為斜線和平面所成的角，記為易得nOPAαθ.例19：正三棱柱的底面邊長為，高為.求與側(cè)面所成的角.解：如圖所示，建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為B'A'C'ACBxyzB'A'C'ACBxyzD設(shè)平面法向量為，，，，令取平面的一個法向量為.∵，，∴，，，設(shè)為與側(cè)面所成的角則，，∴與側(cè)面所成的角是.例20：正四面體棱長為，為的中點.求與底面所成角.解：以點在上的射影為原點建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為，，，，.設(shè)平面法向量為，，，BCABCADOzxEy令取平面的一個法向量為.∵，，∴，，，設(shè)為與底面所成角則，，∴與底面所成角是.同樣本題也可以選擇基底來做.解法二：作底面于.設(shè)，，，與所成的角為，則與底面所成角為.∵，.∴，.（詳見例16）∴，..∴與底面所成角是.3．求面面夾角設(shè)、分別是二面角兩個半平面、的法向量，當(dāng)法向量、同時指向二面角內(nèi)或二面角外時，二面角的大小為；當(dāng)法向量、一個指向二面角內(nèi)，另一外指向二面角外時，二面角的大小為.例21：已知正方體的棱長為，是的中點.求二面角的大小.AA'DBB'D'CAA'DBB'D'CC'yzxP，，，.設(shè)平面法向量為，，，，令取平面的一個法向量為.平面法向量為，，，，令取平面的一個法向量為.∵，，∴，，，，且二面角為銳角，∴二面角的大小為.例22：底面是直角梯形的四棱錐，，底面，，.求平面與平面所成的二面角的正切值.解：如圖所示，建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為ASCDBxzy，，ASCDBxzy設(shè)平面法向量為，∵，且，∴取平面的一個法向量.設(shè)平面法向量為，，，，令取平面的一個法向量為.∵，，∴，，，，且平面與平面所成的二面角為銳角，∴平面與平面所成的二面角的余弦值為，∴平面與平面所成的二面角的正切值為.例23：過正方形的頂點引平面，并使平面、與平面成角.求二面角的大小.解：不妨設(shè)，，建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為，，，，設(shè)平面法向量為，，，CBDCBDASyzx令取平面的一個法向量為.設(shè)平面法向量為，，，，令取平面的一個法向量為.∵，，∴，，，，∴，，.設(shè)平面法向量為，，，，令取平面的一個法向量為.∵，，∴，，，，∵二面角的為鈍角，∴二面角的大小為.例24：已知正方體，是中點.求平面和底面所成角的余弦值.AA'DBB'D'CAA'DBB'D'CC'yzxE，，，.設(shè)平面法向量為，，，，令取平面的一個法向量為.設(shè)平面法向量為，∵，且，∴底面，又，∴平面的一個法向量為.∵，，∴，，，，且平面和底面所成角為銳角，∴平面和底面所成角的余弦值為.★公式法求解二面角：射影面積公式.解法二：解：連結(jié).∵底面，底面，∴是在底面上的射影.設(shè)平面和底面所成的角為，則.不妨設(shè)正方體的邊長為，建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為，，.∵，，∴，，，，，∴，且平面和底面所成角為銳角，∴平面和底面所成角的余弦值為.★三角形面積用向量表示就是上題中的.證明過程如下：設(shè)三角形兩邊向量為，，∵，∴.★三面角余弦公式OABCθβα設(shè)為一個三面角，，，，二面角的平面角為，則有.OABCθβα當(dāng)、中有一個為鈍角（或直角）時，公式也照樣成立。例25：已知正三棱錐的側(cè)面與底面所成角為，任兩側(cè)面夾角為，求證：.ABOC證明：如圖所示，設(shè)正三棱錐，的平面角為，的平面角為，.ABOC由公式得：；.整理得.八、距離1．求點點距離設(shè)，，則，即，其中表示與兩點間的距離，這就是空間兩點間的距離公式.例26：已知正方體，、分別為和中點且是和的公垂線段.求直線與間的距離.AA'DBB'D'CAA'DBB'D'CC'yzxMN，.，∴直線與間的距離是.例27：已知平行六面體，，，，，，求體對角線長.BCAB'BCAB'DC'A'D'∴∴體對角線長為.例28：已知正方形的邊長是，平面外的一點到正方形各頂點的距離都為，、分別是、上的點，且.求線段的長.ADBCNPOyMzADBCNPOyMzx，，，.∵，∴，，即，，.∵，∴線段的長為.★異面直線上兩點距離公式其中，是異面直線和的距離，為和所成的角，、分別是異面直線、上的點、到公垂線與、的交點、的距離。如果點(或)在點(或)的另一側(cè)時，則公式中取“”號.BβlαADC例29：如圖，在直二面角，點、，且，且，若，，，求線段的長.BβlαADC解：.∴.2．求點線距離已知一條直線上兩點，，直線外一點為，則有點與直線的距離，其中向量積有公式.此公式亦可記為.例30：過的直角頂點作線段垂直于這個三角形所在平面，已知，，，求點到的距離.ACBDxACBDxyzα，，.，BDCAPzxyBDCAPzxy例31：如圖，垂直矩形所在平面，且，，.求點到的距離及的面積.解：如圖所示，建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為，，.，，，∴點到的距離為.(平方單位)，∴的面積為平方單位.3．求點面距離如圖，為平面任一點，已知為平面的一條斜線，為平面的一個法向量，過作平面的垂線，連結(jié)則為斜線和平面所成的角，記為易得nOnOPAαθ.即點到平面的距離等于平面內(nèi)外兩點的向量和平面的法向量的數(shù)量積的絕對值與平面的法向量模的比值.例32：已知正方體.求點到平面的距離.解：不妨設(shè)正方體的邊長為，建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為，，，.AA'DBB'D'AA'DBB'D'CC'yzx，，，令取平面的一個法向量為.∵，，∴，，∴，∴點到平面的距離為.例33：如圖，已知正方形的邊長為，、分別是、的中點，平面，且，求點到平面的距離．ABGEFABGEFDCzxy，，，.設(shè)平面法向量為，，，，令取平面的一個法向量為.∵，，∴，，，∴點到平面的距離為.4．求線線距離和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線.公垂線和兩條異面直線都相交，公垂線上兩個交點間的部分叫做異面直線的公垂線段.例34：已知正方體，棱長為.求直線與的距離.解：如圖所示，建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為AA'DBB'D'CC'yAA'DBB'D'CC'yzx設(shè)點，點，且有，.則，，，，，∴，∴.∵此時就是與公垂線段，∴直線與的距離為.★求異面直線間的距離也可以利用向量的正射影性質(zhì)直接計算.abnBA如圖，設(shè)兩條異面直線、的公垂線的方向向量為,這時分別在、上任取、兩點，則向量在上的正射影長就是兩條異面直線、的距離.abnBA即兩異面直線間的距離等于兩異面直線上分別任取兩點的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值.直線、的距離.解法二：如圖所示，建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為，，，.設(shè)異面直線與的公垂線的方向向量，，，，取則異面直線與的公垂線的方向向量.∵，，∴，，∴，∴直線與的距離為.★兩條異面直線間的距離公式(實質(zhì)與解法二相同)：已知兩條異面直線，其中一條上有兩點、，另外