清華微積分高等數(shù)學(xué)第八講微分中值定理(2)省公開課一等獎全國示范課微課金獎?wù)n件

作業(yè)P88習(xí)題4.15(1).7.8(2)(4).9(1).10(3).P122綜合題:4.5.復(fù)習(xí)：P80——88預(yù)習(xí)：P89——955/7/20251第1頁應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)局部性態(tài)—未定型極限函數(shù)局部近似整體性態(tài)—在某個區(qū)間上函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)極值函數(shù)凸性、漸近性、圖形5/7/20252第2頁微分中值定理，包含：羅爾定理、拉格朗中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理微分中值定理是微分學(xué)理論基礎(chǔ)。是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)理論依據(jù)。微分中值定理共同特點(diǎn)是：在一定條件下，能夠斷定在所給區(qū)間內(nèi)最少有一點(diǎn)，使所研究函數(shù)在該點(diǎn)含有某種微分性質(zhì)。5/7/20253第3頁第八講微分中值定理一、費(fèi)爾馬(Fermat)定理二、羅爾(Rolle)定理三、拉格朗日(Lagrange)定理四、柯西(Cauchy)定理5/7/20254第4頁一、費(fèi)爾馬(Fermat)定理（一）極值定義：5/7/20255第5頁極值研究是微積分產(chǎn)生主要動力之一5/7/20256第6頁（二）費(fèi)爾馬定理(極值必要條件)5/7/20257第7頁5/7/20258第8頁[證]5/7/20259第9頁5/7/202510第10頁微分中值定理引入(((5/7/202511第11頁5/7/202512第12頁5/7/202513第13頁

5/7/202514第14頁二、羅爾(Rolle)定理5/7/202515第15頁怎樣證實(shí)羅爾定理？先利用形象思維去找出一個C點(diǎn)來！想到利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最大最小值定理！5/7/202516第16頁羅爾定理證實(shí)：5/7/202517第17頁5/7/202518第18頁三、拉格朗日(Lagrange)定理5/7/202519第19頁怎樣證實(shí)拉格朗日定理？拉格朗日定理若添加條件:則收縮為羅爾定理；羅爾定理若放棄條件:則推廣為拉格朗日定理。知識擴(kuò)張所遵照規(guī)律之一就是將欲探索新問題轉(zhuǎn)化為已掌握老問題。所以想到利用羅爾定理！5/7/202520第20頁滿足羅爾定理?xiàng)l件弦線與f(x)在端點(diǎn)處相等設(shè)函數(shù)5/7/202521第21頁拉格朗日定理證實(shí)：結(jié)構(gòu)輔助函數(shù)拉格朗日中值公式5/7/202522第22頁拉格朗日公式各種形式有限增量公式5/7/202523第23頁5/7/202524第24頁推論1：[證]5/7/202525第25頁推論2：推論3：推論4：5/7/202526第26頁四、柯西(Cauchy)定理5/7/202527第27頁柯西中值定理證實(shí)：結(jié)構(gòu)輔助函數(shù)5/7/202528第28頁費(fèi)爾馬定理羅爾定理拉格朗日定理柯西定理5/7/202529第29頁零點(diǎn)問題以下證實(shí)恰好有三個根該方程實(shí)根個數(shù)就是兩條曲線5/7/202530第30頁首先證實(shí)最少有三個根計(jì)算表明依據(jù)介值定理所以方程最少有三個根然后證實(shí)方程最多有三個根用反證法5/7/202531第31頁依據(jù)洛爾定理矛盾！總而言之，方程恰好有三個實(shí)根355/7/202532第32頁直觀觀察能夠啟發(fā)思緒在第一個情形,都不是最小值所以最小值一定在區(qū)間內(nèi)部到達(dá)5/7/202533第33頁[證]5/7/202534第34頁證實(shí)思緒直觀分析[例3]5/7/202535第35頁[證]依據(jù)連續(xù)函數(shù)最大最小值定理5/7/202536第36頁[證]5/7/202537第37頁445/7/202538第38頁[證]5/7/202539第39頁5/7/202540第40頁[證]5/7/202541第41頁5/7/202542第42頁5/7/202543第43頁[證]5/7/202544第44頁5/7/202545