北師大版高中數(shù)學選擇性必修第二冊第2章導數(shù)及其應用數(shù)學探究活動(二)：探究函數(shù)性質(zhì)課件

第二章導數(shù)及其應用§8數(shù)學探究活動(二)：探究函數(shù)性質(zhì)素養(yǎng)目標?定方向

1．能通過類比一次、二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的探究，探究三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．2．能利用導數(shù)分析三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．

通過應用導數(shù)分析三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理及數(shù)學運算素養(yǎng)．關鍵能力?攻重難題|型|探|究題型一三次函數(shù)的零點問題典例1設x3＋ax＋b＝0，其中a，b均為實數(shù)．下列條件中，使得該三次方程僅有一個實根的是___________.(寫出所有正確條件的編號)①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.對點訓練?[解析]

方法一：令f(x)＝x3＋ax＋b，則f

′(x)＝3x2＋a.對于①，由a＝b＝－3，得f(x)＝x3－3x－3，f

′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)極大值＝f(－1)＝－1<0，f(x)極小值＝f(1)＝－5<0，函數(shù)f(x)的圖象與x軸只有一個交點，故x3＋ax＋b＝0僅有一個實根；①③④⑤對于②，由a＝－3，b＝2，得f(x)＝x3－3x＋2，f

′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)極大值＝f(－1)＝4>0，f(x)極小值＝f(1)＝0，函數(shù)f(x)的圖象與x軸有兩個交點，故x3＋ax＋b＝0有兩個實根；對于③，由a＝－3，b>2，得f(x)＝x3－3x＋b，f

′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)極大值＝f(－1)＝2＋b>0，f(x)極小值＝f(1)＝b－2>0，函數(shù)f(x)的圖象與x軸只有一個交點，故x3＋ax＋b＝0僅有一個實根；對于④，由a＝0，b＝2，得f(x)＝x3＋2，f

′(x)＝3x2≥0，f(x)在R上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)的圖象與x軸只有一個交點，故x3＋ax＋b＝0僅有一個實根；對于⑤，由a＝1，b＝2，得f(x)＝x3＋x＋2，f

′(x)＝3x2＋1>0，f(x)在R上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)的圖象與x軸只有一個交點，故x3＋ax＋b＝0僅有一個實根．方法二：根據(jù)題意，直線y＝－b和函數(shù)f(x)＝x3＋ax的圖象有且僅有一個公共點．先考慮a＝－3的情形，此時f

′(x)＝3x2－3，于是f(x)在x＝－1處取得極大值2，在x＝1處取得極小值－2，如圖所示．于是當b<－2或b>2時符合題意，故①③符合題意．再考慮a≥0的情形，此時f

′(x)＝3x2＋a≥0，f(x)單調(diào)遞增，且值域為R，必然符合題意，故④⑤符合題意．

設函數(shù)f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)<－2t＋m對t∈(0,2)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．[解析]

(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，∴當x＝－t時，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1(t>0)．題型二與最值有關的恒成立問題典例2(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合題意，舍去)．當t變化時，g′(t)，g(t)的變化情況如下表：t(0,1)1(1,2)g′(t)＋0－g(t)單調(diào)遞增1－m單調(diào)遞減∴對t∈(0,2)，當t＝1時，g(t)max＝1－m，h(t)<－2t＋m對t∈(0,2)恒成立，也就是g(t)<0對t∈(0,2)恒成立，只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.故實數(shù)m的取值范圍是(1，＋∞)．[規(guī)律方法]

(1)“恒成立”問題向最值問題轉化是一種常見的題型，一般地，可采用分離參數(shù)法進行轉化．λ≥f(x)恒成立?λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立?λ≤[f(x)]min.對于不能分離參數(shù)的恒成立問題，直接求含參函數(shù)的最值即可．(2)此類問題特別要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等號”的情況，以此來確定參數(shù)的范圍能否取得“＝”．

設函數(shù)f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c.(1)若對任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c2成立，求實數(shù)c的取值范圍；(2)若對任意的x∈(0,3)，都有f(x)<c2成立，求實數(shù)c的取值范圍．[解析]

(1)∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．∴當x∈(0,1)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當x∈(1,2)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當x∈(2,3)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．∴當x＝1時，f(x)取極大值f(1)＝5＋8c.又f(3)＝9＋8c>f(1)，對點訓練?∴x∈[0,3]時，f(x)的最大值為f(3)＝9＋8c.∵對任意的x∈[0,3]，有f(x)<c2恒成立，∴9＋8c<c2，即c<－1或c>9.∴實數(shù)c的取值范圍為(－∞，－1)∪(9，＋∞)．(2)由(1)知，f(x)<f(3)＝9＋8c，∴9＋8c≤c2，即c≤－1或c≥9，∴實數(shù)c的取值范圍為(－∞，－1]∪[9，＋∞)．易|錯|警|示利用參變分離時忽視自變量的取值范圍

設函數(shù)f(x)＝ax3－3x＋1，若對任意的x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，則實數(shù)a的值為_____.典例34[誤區(qū)警示]

本題上述解法中有兩處錯誤．(1)是在參數(shù)分離的過程中，要在不等式兩邊同時除以x3才能實現(xiàn)參數(shù)的分離，若x的取值范圍在正數(shù)區(qū)間上，可以避免討論；若x的取值范圍中包含零或負數(shù)，則需要進行分類討論．(2)是換元后未求新元t的范圍，t的范圍不再是[－1,1]．課堂檢測?固雙基CD(7，＋∞)3．給定函數(shù)f(x)＝ex－x.(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并求出f(x)的值域；(2)畫出函數(shù)f(x)的大致圖象；(3)求出方程f(x)＝m(m∈R)在區(qū)間[－1,2]的解的個數(shù)．[解析]

(1)函數(shù)的定義域為R，f

′(x)＝ex－1，令f

′(x)＝0，解得x＝0.f

′(x)，f(x)的變化情況如表所示：x(－∞，0)0(0，