北京市朝陽區(qū)2024-2025學年高二下學期期中考試數(shù)學檢測試卷（含答案）

北京市朝陽區(qū)2024-2025學年高二下學期期中考試數(shù)學檢測試卷一、單選題（每題只一個正確答案，每題4分，共計40分）1．某女生有件不同顏色的襯衣，件不同花樣的裙子，另有套不同樣式的連衣裙，“五一”節(jié)選擇一套服裝參加歌舞演出，則不同的選擇方式有（

）A．種 B．種 C．種 D．種2．已知函數(shù)，則的導函數(shù)為（

）A．B．C． D．3．4名學生報名參加數(shù)學、計算機、航模興趣小組，若每個項目都有人報名，每人限報1個項目，則不同的報名方式有（

）種A．81 B．64 C．36 D．724．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．和5．設A，B為兩個事件，若，，則等于（

）A． B． C． D．6．已知隨機變量X的分布規(guī)律為（），則（

）A． B． C． D．7．二項式的展開式中的常數(shù)項為（

）A．480 B．240 C．120 D．158．已知小明射箭命中靶心的概率為，且每次射擊互不影響，則小明在射擊4次后，恰好命中兩次的概率是（）A． B． C． D．9．如圖所示是的導函數(shù)的圖象，下列4個結論：①在區(qū)間上是增函數(shù)；②是極小值點；③在區(qū)間上是減函數(shù)；在區(qū)間上是增函數(shù)；④當時，在區(qū)間上取得最大值.其中正確結論的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．410．已知兩個正態(tài)分布的密度函數(shù)圖像如圖所示，則（

）A．，B．，C．，D．，二、填空題（每小題4分，共計20分）11．已知隨機變量的分布列如下表；且，則，.0212．若函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為．13．如果，那么等于．14．設是一個離散型隨機變量，其分布列為如下，則．15．將一枚均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，以表示沒有出現(xiàn)連續(xù)3次正面的概率.給出下列四個結論：①；②；③當時，；④.其中，所有正確結論的序號是.三、解答題（每題10分，共計40分）16．已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是(1)求函數(shù)的解析式;(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.17．抽樣檢查是日常檢測中常用的方法．某商場進了一種商品20件，其中有4件次品，若從中抽取3件．(1)抽出的商品中無次品的抽法有多少種？(2)抽出的商品中全是次品的抽法有多少種？(3)抽出的商品中至多有2件次品的抽法有多少種？18．已知，.(1)求的值；(2)求的值；19．某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，產(chǎn)品等級分為一等品、二等品、普通品，為了解各等級產(chǎn)品的比例，檢測員從流水線上隨機抽取200件產(chǎn)品進行等級檢測，檢測結果如下表所示．產(chǎn)品等級一等品二等品普通品樣本數(shù)量（件）808040(1)若從流水線上隨機抽取一件產(chǎn)品，估計該產(chǎn)品為一等品的概率；(2)從該流水線上隨機抽取3件產(chǎn)品，記其中一等品的件數(shù)為X，用頻率估計概率，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；(3)為拓寬市場，工廠決定對抽取的200件樣本產(chǎn)品進行讓利銷售，每件產(chǎn)品的銷售價格均降低了a元．設降價前后這200件樣本產(chǎn)品的利潤的方差分別為，，比較，的大?。ㄕ堉苯訉懗鼋Y論）答案題號12345678910答案BBCDDABDBA1．B【難度】0.85【知識點】分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及簡單應用【分析】利用分類加法和分步乘法計數(shù)原理計算可得結果.【詳解】依題意可知，有兩類衣服可選，第一類：選擇襯衣和裙子，共有種選擇；第二類：選擇連衣裙，共有種選擇；所以共有種選擇.故選：B.2．B【難度】0.85【知識點】導數(shù)的乘除法【分析】根據(jù)導數(shù)四則運算的乘法法則求導即可.【詳解】由可得，即.故選：B3．C【難度】0.85【知識點】分組分配問題【分析】利用分組分配方法求解即可.【詳解】將4名學生分成3個組有種方法，再將3個組分配到3個興趣小組有種方法，故選：C4．D【難度】0.85【知識點】利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）【分析】根據(jù)導數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關系，即可求解.【詳解】，解得：或，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和.故選：D5．D【難度】0.94【知識點】計算條件概率【分析】根據(jù)條件公式直接代入運算即可.【詳解】因為，，所以.故選：D.6．A【難度】0.94【知識點】利用隨機變量分布列的性質解題【分析】利用分布列的性質求出，進而可得出答案.【詳解】因為隨機變量X的分布規(guī)律為（），所以，解得，所以.故選：A.7．B【難度】0.85【知識點】求二項展開式的第k項【分析】直接利用通項公式可得常數(shù)項.【詳解】因為的通項公式為，令得，所以常數(shù)項為.故選：B8．D【難度】0.85【知識點】建立二項分布模型解決實際問題、獨立事件的乘法公式【分析】利用二項分布的概率即可得解．【詳解】由已知命中的概率為，不命中的概率為，射擊4次，命中兩次，故概率.故選：D.9．B【難度】0.65【知識點】函數(shù)（導函數(shù)）圖像與極值點的關系、函數(shù)與導函數(shù)圖象之間的關系【分析】結合圖象首先判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后結合選項逐項分析即可得到答案.【詳解】由圖象可知，時，，則單調(diào)遞減；時，，則單調(diào)遞增；時，，則單調(diào)遞減；時，，則單調(diào)遞增；故①錯，③正確；在處取得極小值，則是的極小值點，故②正確；因為在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則在處取得極小值，在處取得極大值，在處取得極小值，但不確定的大小關系，所以不確定是否在處取得最大值,故④錯誤，故選：B.10．A【難度】0.94【知識點】正態(tài)曲線的性質【分析】由正態(tài)分布密度函數(shù)圖像的性質，觀察圖像可得結果.【詳解】解：由正態(tài)分布密度函數(shù)圖像的性質可知：越大，圖像對稱軸越靠近右側；越大，圖像越“矮胖”，越小，圖像越“瘦高”.所以由圖像可知：，.故選：A.11．4【難度】0.85【知識點】由隨機變量的分布列求概率、離散型隨機變量的方差與標準差、由離散型隨機變量的均值求參數(shù)根據(jù)，求得p,再由，求得a，然后利用方差公式求解.【詳解】因為，所以.因為，所以，..故.故，412．【難度】0.65【知識點】求在曲線上一點處的切線方程（斜率）、簡單復合函數(shù)的導數(shù)【分析】利用導函數(shù)求得即為切線斜率，寫出直線點斜式方程，整理得到結果.【詳解】由，得，則點處的切線的斜率，故曲線在點處的切線方程為，即．故．13．【難度】0.85【知識點】二項式的系數(shù)和【分析】利用賦值法分別令，，化簡求值即可.【詳解】令，則原式，令，則原式，所以.故14．/【難度】0.65【知識點】利用隨機變量分布列的性質解題【分析】根據(jù)隨機變量的概率非負不大于，且隨機變量取遍所有可能值時相應的概率之和等于，列出方程和不等式，解方程組即可．【詳解】因為隨機變量取遍所有可能值時相應的概率之和等于，所以，解得或，又因為隨機變量的概率非負不大于，所以，，解得，綜上，故##．15．①③④【難度】0.4【知識點】利用全概率公式求概率、獨立重復試驗的概率問題【分析】由的對立事件概率可得和，可判斷①②，再由第n次分正反面，依次討論前n-1的正反及前n-2次，從而得到概率的遞推關系，可判斷④，由及，可得，從而可判斷③.【詳解】當時，，①正確；當時，出現(xiàn)連續(xù)3次正面的情況可能是：正正正反、反正正正，所以，②錯誤；要求，即拋擲n次沒有出現(xiàn)連續(xù)3次正面的概率，分類進行討論，若第n次反面向上，前n-1次未出現(xiàn)連續(xù)3此正面即可；若第n次正面向上，則需要對第n-1進行討論，依次類推，得到下表：第n次n-1次n-2次概率反面正面反面正面正面反面所以，④正確；由上式可得，所以，又，滿足當時，，③正確.故①③④.關鍵點點睛：本題解題的關鍵是找到第n次和第n-1和第n-2次的關系，通過分類討論及列表格的形式得到，屬于難題.16．(1)(2)單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；極大值為，極小值°【難度】0.85【知識點】已知切線（斜率）求參數(shù)、利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）、求已知函數(shù)的極值【分析】（1）先求出函數(shù)的導函數(shù)，由切線方程可得，，進而可求函數(shù)解析式；（2）求函數(shù)的導函數(shù)，令，，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而可求極值.【詳解】（1）由題意可知，由，則，已知函數(shù)圖像在處的切線方程是，即，所以，解得，∴的解析式為：，綜上所述，的解析式為；（2）由（1）可知，的解析式為則，令，解得或，令，解得或，則函數(shù)在和上單調(diào)遞增令，解得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極大值，；在處取得極小值，，綜上所述的單調(diào)增區(qū)間為和，的單調(diào)減區(qū)間為，極大值為，極小值為.17．(1)560種；(2)4種；(3)1136種.【難度】0.85【知識點】實際問題中的組合計數(shù)問題【分析】（1）（2）（3）根據(jù)已知并應用組合數(shù)求抽出的商品中無次品、全是次品、至多有2件次品的抽法數(shù).【詳解】（1）由題意，共有16件非次品，則抽出的商品中無次品的抽法有種；（2）由題意，抽出的商品中全是次品的抽法有種；（3）由題意，抽出的商品中至多有2件次品的抽法有種.18．(1)(2)【難度】0.85【知識點】求指定項的系數(shù)、二項展開式各項的系數(shù)和【分析】（1）令，可得出的值；（2）分別令、，兩式相加可得出的值.【詳解】（1）因為，，令得，.（2）因為，，令得，，令得，，上述兩個等式相減得，故.19．(1)0.4；(2)隨機變量分布列見解析，1.2；(3).【難度】0.65【知識點】二項分布的均值、利用二項分布求分布列、計算古典概型問題的概率、各數(shù)據(jù)同時加減同一數(shù)對方差的影響【分析】（1）求樣本空間中隨機抽取一件產(chǎn)品為一等品的頻率作為概率即可；（2