安徽省合肥市2024屆高三數(shù)學(xué)最后一卷測試題含解析

Page212024屆高三最后一卷數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3．非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】解：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，據(jù)此可知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，首先要把拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程.拋物線方程中，字母p的幾何意義是拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離，等于焦點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離．牢記它對解題非常有益．2.2024屆高三某次聯(lián)考中對尖端生采用屏蔽措施，某校歷史方向有五名屏蔽生總分在前9名，現(xiàn)在確定第一、二、五名是三位同學(xué)，但不是第一名，兩名同學(xué)只知道在6至9名，且的成績比好，則這5位同學(xué)總分名次有多少種可能（）A.6 B.12 C.24 D.48【答案】C【解析】【分析】先排，再排和，對進(jìn)行分類，可排6，7，8位，最后根據(jù)的情況再排?！驹斀狻康谝徊脚庞袃煞N可能：第2名或第5名；第二步排和有兩種可能；第三步排和，有6，7，8位三種可能；當(dāng)為第6名時(shí)，有7，8，9名三種可能，當(dāng)為第7名時(shí)，有8，9名兩種可能，當(dāng)?shù)?名時(shí)，只有第9名一種可能，所以第三步的總數(shù)為種；根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，所有名次排位的總數(shù)種。故選：C3.已知“正項(xiàng)數(shù)列滿足”，則“”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】【分析】由可得正項(xiàng)數(shù)列隔項(xiàng)成等比數(shù)列，再由結(jié)合充分條件和必要條件的定義求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，兩式相除可得：，所以，所以?dāng)，則，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以當(dāng)，則，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，當(dāng)，則，，所以數(shù)列為公比為的等比數(shù)列，所以“”能推出“數(shù)列為等比數(shù)列”，若數(shù)列為等比數(shù)列，則公比為2，故，所以“數(shù)列為等比數(shù)列”能推出“”.故“”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的充要條件.故選：C.4.函數(shù)（為自然函數(shù)的底數(shù)）的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性可排除B，C；再由趨近，，排除D，即可得出答案.【詳解】的定義域?yàn)?，，所以為奇函?shù)，故排除B，C；當(dāng)趨近，，所以，，所以，故排除D.故選：A.5.已知角的對邊分別為滿足，則角的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理及基本不等式求解即得.【詳解】在中，由正弦定理及，得，即，由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，而，則，所以角的最大值為.故選：A6.已知事件滿足：，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求，再根據(jù)全概率公式及進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，設(shè)，則，，所以.故選：B.7.某停車場在統(tǒng)計(jì)停車數(shù)量時(shí)數(shù)據(jù)不小心丟失一個(gè)，其余六個(gè)數(shù)據(jù)分別是10，8，8，11，16，8，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)成等差數(shù)列，則丟失數(shù)據(jù)的所有可能值的和為（）A.21 B.24 C.27 D.32【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平均數(shù)公式，中位數(shù)，眾數(shù)的定義，即可求解.【詳解】設(shè)丟失的數(shù)據(jù)為，則平均數(shù)為：，眾數(shù)是，若，則中位數(shù)為，此時(shí)，解得：（舍去），若，則中位數(shù)為，此時(shí)，解得：，若，則中位數(shù)為，此時(shí)，解得：，所有可能的值為，其和為.故選：D.8.已知函數(shù)（不恒為零），其中為的導(dǎo)函數(shù)，對于任意的，滿足，且，則（）A. B.是偶函數(shù)C.關(guān)于點(diǎn)對稱 D.【答案】D【解析】【分析】借助賦值法令，即可得A；結(jié)合賦值法與函數(shù)奇偶性的定義計(jì)算可得B；結(jié)合復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式與對稱性可得C；借助賦值法，可逐項(xiàng)計(jì)算出到，即可得解.【詳解】對A：令，有，故，故A錯(cuò)誤；對B：令，有，又不恒為零，故，即，又，故是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對C：令，；令，當(dāng)時(shí)，有，；當(dāng)，有，，當(dāng)，結(jié)合，有，，，綜上，，，關(guān)于直線對稱，所以關(guān)于直線對稱，故C錯(cuò)誤；對D：由，故，令，有，即，則，即，，即，，即，令，有，即，則，，，故，故D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D選項(xiàng)中，關(guān)鍵點(diǎn)在于令可得，結(jié)合，可得為偶數(shù)時(shí)，.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的是（）A.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的虛部為B.已知復(fù)數(shù)，若，則C.若，則的最小值為1D.已知復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的虛部不為0，則【答案】ACD【解析】【分析】由已知結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)得幾何意義檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.【詳解】對于A，的虛部為，則A正確；對于B，令，，滿足，故B錯(cuò)誤，對于C，設(shè)，則，且，由，得，所以，故C正確；對于D，，則D正確故選：ACD10.如圖，在邊長為1的正方體中，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.不存在點(diǎn)，使得B.的最小值為C當(dāng)時(shí)，D.若平面上的動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是直線的一部分【答案】BC【解析】【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)；B選項(xiàng)，設(shè)，然后利用向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算律得到，最后求最小值即可；C選項(xiàng)，利用空間向量再證明即可；D選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)列方程得到點(diǎn)的軌跡方程，即可得到點(diǎn)的軌跡.【詳解】A選項(xiàng)：當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，理由如下：由圖可知，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)平面，因?yàn)闉檎襟w，所以平面，，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：設(shè)，，則，，所以，當(dāng)時(shí)取得最小值，最小值為，故B正確；C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，，，所以，故C正確；D選項(xiàng)：如圖，以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)，，則，，當(dāng)平面上的動(dòng)點(diǎn)滿足時(shí)，，整理得，所以點(diǎn)的軌跡為橢圓的一部分，故D錯(cuò).故選：BC.11.已知函數(shù)在上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則（）A.在上有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)B.在上有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)C.當(dāng)時(shí)，的取值范圍是D.當(dāng)時(shí)，圖象可能關(guān)于直線對稱【答案】ACD【解析】【分析】作出函數(shù)圖象結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想即可判斷AB；對于C，根據(jù)即可判斷；對于D只需令解出再驗(yàn)證是否在C選項(xiàng)的范圍里.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，因?yàn)閳D象有5個(gè)零點(diǎn)，所以，即的值在與之間（包括不包括），故A正確；當(dāng)?shù)闹翟谂c之間時(shí)（包括不包括），則函數(shù)在上有3個(gè)極小值，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，則有，解得，故C正確；令，解得，當(dāng)時(shí)，，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，整體思想以及數(shù)形結(jié)合思想.解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出的大致圖象并根據(jù)的圖象性質(zhì)列出不等式.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在四邊形中，，且，則______．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)圖形，建立平面直角坐標(biāo)系，再利用坐標(biāo)求數(shù)量積.【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，由題意可知，，，則，，，，，所以.故答案為：313.設(shè)是定義在上的函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則函數(shù)在處的切線方程為______．【答案】【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出的解析式，再求出，可得函數(shù)在處的切線斜率和方程.【詳解】由可得：，即為，可設(shè)為，所以，由，可得，解得：，則，，，則函數(shù)在處的切線方程為：，化簡可得：.故答案為：.14.如圖，已知圓和橢圓，點(diǎn)，，直線交軸于，直線平行軸交于（點(diǎn)在軸上方），，直線交于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，則橢圓的長軸長為______．【答案】8【解析】【分析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合題意，利用斜率相等可得點(diǎn)坐標(biāo)，同理可逐步計(jì)算出點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)坐標(biāo)，最后結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)解出的值即可得解.【詳解】設(shè)，由，解得，，即，即，則有，即，又，解得，即，則，由，有，設(shè)，，有，由可得，故，化簡得，即或（舍去），則，則，由，解得，故橢圓的長軸長為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合題意，利用斜率相等逐步計(jì)算出點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)坐標(biāo)，最后結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)解出的值.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.某高校強(qiáng)基計(jì)劃入圍有3道面試題目，若每位面試者共有三次機(jī)會(huì)，一旦某次答對抽到的題目，則面試通過，否則就一直抽題到第3次為止．李想同學(xué)答對每道題目的概率都是0.6，假設(shè)對抽到的不同題目能否答對是獨(dú)立的．（1）求李想第二次答題通過面試的概率；（2）求李想最終通過面試的概率.【答案】（1）0.24；（2）0.936.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即得.（2）利用相互獨(dú)立事件及對立事件的概率公式計(jì)算即得.【小問1詳解】記李想同學(xué)第i次抽到題目并答對的事件為，，李想第二次答題通過面試的事件為，，所以李想第二次答題通過面試的概率為0.24.【小問2詳解】李想沒有通過面試的事件，且，所以李想最終通過面試概率為.16.在底面為梯形多面體中．，且四邊形為矩形．點(diǎn)在線段上．（1）點(diǎn)是線段中點(diǎn)時(shí)，求證：平面；（2）是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為60°？若存在，求．若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，且或【解析】【分析】（1）由題意可得為等腰直角三角形，結(jié)合各邊長度與勾股定理及勾股定理的逆定理可得，取線段中點(diǎn)，結(jié)合面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可得線面平行；（2）由題意可得平面，即可建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，由空間向量與平面的法向量結(jié)合夾角公式計(jì)算即可得解.【小問1詳解】由，則為等腰直角三角形，有，則，則，在中，，取線段中點(diǎn)，連接，則，又因?yàn)橹本€平面，平面，所以直線平面，同理直線平面，又因?yàn)?，、平面，所以平面平面，因?yàn)橹本€平面，所以平面；【小問2詳解】因?yàn)樗倪呅螢榫匦危瑒t，又，、平面，故平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，所以,設(shè)，其中，解得，故，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，故，因?yàn)橹本€與平面所成的角為，所以，即，解得或，故存在點(diǎn)或.17.已知數(shù)列滿足，且對任意均有．（1）設(shè)，證明為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）已知，求．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）令，變形遞推關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列定義即可得出證明；（2）由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得出，再由累加法得出，結(jié)合賦值可得，即可得出通項(xiàng)公式；（3）分組求和得出，再由裂項(xiàng)相消法求出的前n項(xiàng)和.【小問1詳解】因?yàn)?，，令，所以?dāng)時(shí)，，即，所以，所以為等差數(shù)列.【小問2詳解】由（1）知，，所以，即，所以，，所以，，再由，令，可得，即，解得，所以，，當(dāng)時(shí)，，滿足上式.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問3詳解】因?yàn)?，所以，設(shè)，則，，所以，，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式及累加法求出后，表達(dá)式中的求值，首先對所求的式子中賦值得出，.其次要對原式恰當(dāng)賦值，聯(lián)立方程求出，具有很強(qiáng)的技巧性.18.已知分別為橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，過點(diǎn)作一條斜率存在且不為0的直線與軸交于點(diǎn)，該直線與的一個(gè)交點(diǎn)為，與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為．（1）若平分，求的內(nèi)切圓半徑；（2）設(shè)直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，則直線的斜率是否為定值？若是，求出該定值；否則，說明理由．【答案】（1）（2）是，且該定值為【解析】【分析】（1）結(jié)合題意可得直線的方程，即可得點(diǎn)坐標(biāo)，從而結(jié)合斜率公式可得，即可通過求角平分線交點(diǎn)得到內(nèi)切圓圓心坐標(biāo)，即可得內(nèi)切圓半徑；（2）設(shè)出直線的方程，通過聯(lián)立曲線，逐步得到所需點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)，從而結(jié)合斜率公式表示斜率后求解即可得.【小問1詳解】由可得，則，，故，令，解得或，當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)為點(diǎn)，舍去，當(dāng)時(shí)，，即，則，故，，則，令，則，即，則為的角平分線，聯(lián)立，有，則點(diǎn)為內(nèi)心，故的內(nèi)切圓半徑等于圓心到軸的距離，即；【小問2詳解】設(shè)，聯(lián)立，可得，則，則，即，聯(lián)立，有，則，則，即，則，故，聯(lián)立，得，則由，，故，則，即，故，即直線的斜率是否為定值，且該定值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題最后一問關(guān)鍵點(diǎn)在于借助所設(shè)直線方程，通過聯(lián)立曲線，逐步得到所需點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)，從而結(jié)合斜率公式表示斜率后求解.19.若為上的非負(fù)圖像連續(xù)的函數(shù)，點(diǎn)將區(qū)間劃分為個(gè)長度為的小區(qū)間．記，若無窮和的極限存在，并稱其為區(qū)域的精確面積，記為．（1）若有導(dǎo)函數(shù)，則．求由直線以及軸所圍成封閉圖形面積；（2）若區(qū)間被等分為個(gè)小區(qū)間，請推證：．并由此計(jì)算無窮和極限的值；（3）求有限項(xiàng)和式的整數(shù)部分．【答案】（1）（2）證明見解析，（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)的幾何意義，找到對應(yīng)的、、帶入求解即可；（2）用特值法設(shè)，再根據(jù)定義即可證